基于線性二次最優(yōu)控制的倒立擺系統(tǒng)鎮(zhèn)定設計

1、基于線性二次最優(yōu)控制的倒立擺系統(tǒng)鎮(zhèn)定設計現代控制理論論文學院班級學號姓名指導老師2015.06.20目錄一. 引言1.1研究背景1.2國內外研究現狀二.系統(tǒng)描述2.1數學模型描述及參數設置2.2設計過程中的問題描述三系統(tǒng)特征分析四系統(tǒng)設計4.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條分析4.2二次型最優(yōu)控制設計五結論六參考文獻一.引言1.1研究的背景倒立擺系統(tǒng)是機器人技術、控制理論、計算機控制等多個領域、多種技術的有機結合，其被控系統(tǒng)本身又是一個多變量、強耦合、快速、非線性和自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在控制過程中能有效地反映控制中的許多關鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動問題、鎮(zhèn)定問題及追蹤問題等，可以作為一個經典的

2、控制對象對其進行研究。近年來，新的控制方法不斷出現，人們試圖通過倒立擺這樣一個嚴格的控制對象，檢驗新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和對絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力。倒立擺系統(tǒng)作為一個實驗裝置，形象直觀，結構簡單，構建組成參數和形狀易于改變，成本低廉。倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現，也可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時間直接度量，其實驗效果直觀地體現、顯著。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，位自動控制理論的教學、實驗和科研構建一個良好的實驗平臺，以用來檢驗某種控制理論或方法的經典方案，促進了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。2.2國內外研究現狀分析倒立擺系統(tǒng)的研

3、究始于20世紀50年代，麻省理工學院的控制論專家根據火箭發(fā)射助推器原理設計出一級倒立擺實驗設備，而后世界很多國家豆?jié){一級倒立擺控制作為驗證某種控制理論或方法的經典方案：后來人們參照雙足機器人控制問題研究二級倒立擺控制設備，二級倒立擺控制的仿真或實物系統(tǒng)已廣泛見于某些實驗室中。在1993年，三極擺的仿真控制已經實現，美國、日本、俄羅斯、瑞士等很多國家的科研機構都對倒立擺進行了很多的研究，提出了很多先進的控制算法。日本的科研工作者們在1997年成功的實驗了平面倒立擺的控制，獲得了非常好的控制效果，與此同時，瑞士國家工程研究院的Bernhard Sprenger等實現了直線運動機器臂的平面倒立擺的控

4、制，并且具有很好的魯棒性。我國的倒立擺研究雖然起步比較晚，但是隨著倒立擺系統(tǒng)的廣泛應用，國內很多大學和科研機構都對倒立擺進行了很多的卓有成效的工作?，F在我國的倒立擺研究在某些方面已經走在了世界的前列。2002年8月北京師范大學數學系李洪興教授領導的科研團隊采用“變論域自適應模糊控制理論”成功地實現了全球首例“四級倒立擺實物系統(tǒng)控制”。而由此項理論產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、機器人技術、導彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對接控制技術等方面具有廣闊的開發(fā)利用前景。二系統(tǒng)描述2.1數學模型描述及參數設置倒立擺系統(tǒng)是一類典型的多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng),因其運動特性與火箭飛行、雙足機器人行走等現代

5、高科技存在相似性,因此對其研究有著重要的意義?，F以單級倒立擺系統(tǒng)為例, 應用上述設計方法的思路實現對其有效控制。單級倒立擺系統(tǒng)(如圖2.1)是由剛性擺桿、電機和小車組成,電機施加的水平控制力使小車根據擺桿偏角的變化而在軌道上左右運動,從而使擺桿始終保持垂直位置。應用牛頓動力學原理對系統(tǒng)建立非線性數學模型：圖2.1單級倒立擺系統(tǒng)示意圖在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖2.4所示。圖2.2直線一級倒立擺模型其中：小車質量擺桿質量小車摩擦系數擺桿轉動軸心到桿質心的長度擺桿慣量加在小車上的力小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角擺桿與垂直向下方向的夾角（

6、考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖2.3是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖2.3所示，圖示方向均為矢量正方向。圖2.3小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (3.1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： (3.2)即： (3.3)把這個等式代入式(3.1)中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： (3.4)為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： (3.5) (3.6)力矩平衡方程如下： (3.7

7、)由于,，故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程： (3.8)設(是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小，即，如下定義的格蘭姆矩陣非奇異： rank(=n 矩陣的列線性獨立。利用matlab對系統(tǒng)進行能觀性分析:clear;clc;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0;0 1 0 0;D= 0 0 ;rank(C A*C A2*C A3*C)ans = 4系統(tǒng)具有可觀性圖3.3系統(tǒng)可控性，可觀性可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。因此接

8、下來，我要進行控制器的設計。四.系統(tǒng)的設計4.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條分析由于穩(wěn)定性是系統(tǒng)在自由運動下的特性，故只需考慮自治系統(tǒng)為維狀態(tài)向量；為時間變量； 為維函數，其展開式為： 如果對于所有，滿足 的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)(又稱為平衡點)。如果系統(tǒng)是線性定常的，也就是說，則當為非奇異矩陣時，系統(tǒng)存在一個唯一的平衡狀態(tài)；當為奇異矩陣時，系統(tǒng)將存在無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，可有一個或多個平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對應于系統(tǒng)的常值解(對所有，總存在)。任意一個孤立的平衡狀態(tài)(即彼此孤立的平衡狀態(tài))或給定運動都可通過坐標變換，統(tǒng)一化為擾動方程之坐標原點，即或。在本章中，除非特別申明，我們將僅討論擾動方程關于原點

9、處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這種“原點穩(wěn)定性問題”由于使問題得到極大簡化，而不會喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅實的基礎，這是Lyapunov的一個重要貢獻?？刂葡到y(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動態(tài)行為。鑒于線性系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于具有多個平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來說，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不相同，故需逐個加以考慮，還需結合具體初始條件下的系統(tǒng)運動軌跡來考慮。4.2二次型最優(yōu)控制設計在控制系統(tǒng)中，為了達到同一個控制目的，可以有多種方案，具有最小能量的控制方式更具有實際意義。對于 （1）系統(tǒng)性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指標來描述： （2）Q是對稱正定（半正定）加權矩陣，R是對稱正定加權矩陣，他們反映了設 計者對狀態(tài)x和控制u中各分量重要性的關注程度。第一項反映控制性能，這一項越小，狀態(tài)衰減到0的速度越快，振蕩越小，控制性能越好；第二項反映對控制能量的限制。通常狀態(tài)x衰減速度越快，控制能量越大，這是一個矛盾，最優(yōu)控制的目的就是尋找Q、