第12節(jié)δ函數(shù)和梳狀函數(shù)

1、教材：蘇顯渝等信息光學(xué) 第一章+第二章部分內(nèi)容n上節(jié)回顧上節(jié)回顧n常用非初等函數(shù)：矩形函數(shù)、sinc函數(shù)、三角形函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、階躍函數(shù)、圓柱函數(shù)定義、圖形、特征參數(shù)的實(shí)際含義？應(yīng)用？本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 常用非初等函數(shù)常用非初等函數(shù)1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)1.3 卷積和相關(guān)卷積和相關(guān)1.4 傅里葉變換傅里葉變換1.5 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析1.6 二維光場(chǎng)分析二維光場(chǎng)分析1.7 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì)1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的物理意義物理意義n為考察質(zhì)量或能量在空間或時(shí)間上高度集中的現(xiàn)象，抽象出質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、瞬時(shí)脈沖等物理模

2、型n 函數(shù)就是用來(lái)描述上述物理模型的數(shù)學(xué)工具n 函數(shù)不是普通函數(shù)，是廣義函數(shù)，其屬性由它在積分中的作用表現(xiàn)出來(lái)n 函數(shù)的函數(shù)的定義定義（有多種，介紹三種）（有多種，介紹三種）1.類(lèi)似普通非初等函數(shù)形式的定義：n應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足積分式（守恒定律）n保留了“數(shù)值”對(duì)應(yīng)關(guān)系的痕跡1,0, 0, 00,dydxyxyxyxyx0 xxx00 xn 思考：思考： 二維二維 函數(shù)的圖？函數(shù)的圖？1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)00,yyxxx00 xy0yn 函數(shù)的函數(shù)的定義定義（有多種，介紹三種）（有多種，介紹三種）2.普通函數(shù)序列極限形式的定義： 且對(duì)該函數(shù)序列中的任一函數(shù)，皆有：yxgyxnn,lim

3、,0, 0, 0,lim1,yxyxgdydxyxgnnn1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的定義定義（有多種，介紹三種）（有多種，介紹三種）2.普通函數(shù)序列極限形式的定義：n滿(mǎn)足條件函數(shù)序列很多，常用的有：yxgyxnn,lim,)(sinc)(sinclim,)(rect)(rectlim,)(explim,222222nynxnyxnynxnyxyxnnyxnnn1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)xyn/11n 函數(shù)的函數(shù)的定義定義（有多種，介紹三種）（有多種，介紹三種）3.廣義函數(shù)形式的定義：賦予檢驗(yàn)函數(shù) 以一個(gè)數(shù)即：n要求 在 處連續(xù)n不同形式的函數(shù)，只要它在上述積

4、分中的作用滿(mǎn)足上式，即可認(rèn)為它們與 相等 0, 0,dydxyxyxyx,0, 00yx,0, 0yx,1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的定義定義（有多種，介紹三種）（有多種，介紹三種）n三種定義形式是等效的n應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題選用最合適的形式1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.篩選性質(zhì)：設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，則有： 0000,yxfdydxyyxxyxfyxf,00, yx廣義函數(shù)定廣義函數(shù)定義形式的擴(kuò)義形式的擴(kuò)展展1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)n篩選性質(zhì)： 【證明】令 、 ，則 、 ，則左邊變?yōu)椋毫顧z驗(yàn)函數(shù)代入 函數(shù)的廣

5、義函數(shù)定義，則左邊化為： 得證！ dYdXYXyYxXf,000yyY0 xxXdxdX dydY 0000,yxfdydxyyxxyxf00,yYxXfYX 0, 0,dYdXYXYX1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)00, yxfn 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.篩選性質(zhì)：設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，則有2.坐標(biāo)縮放性質(zhì)：設(shè) 、 為實(shí)常數(shù)，則有 0000,yxfdydxyyxxyxfabyxabbyax,|1,1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)yxf,00, yxn 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)n坐標(biāo)縮放性質(zhì)： 【證明】令 、 ，則 、 ，左邊代入 函數(shù)的廣義函數(shù)定義的積分式，則： 得證！yxabbyax,

6、|1,dYdXYXbYaX,byY axX dxadX dybdY yxbyaxab,|yx,1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)dydxbyaxabyx,|,ba0,00, 0n 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3.分離變量性質(zhì)： yxyx,1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)n分離變量性質(zhì)： 【證明】由 函數(shù)的函數(shù)序列極限形式定義，有 得證！ yxyx,2222explimexplimynnxnnnn1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù))(explim,2222yxnnyxn yxn 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3.分離變量性質(zhì)：4.采樣性質(zhì)：與普通函數(shù)乘積的性質(zhì) yxyx, 0000

7、00,yyxxyxfyyxxyxf1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)n采樣性質(zhì)： 思考：如何證明采樣性質(zhì)？ 000000,yyxxyxfyyxxyxf xfx00 x 00 xxxf0 xx1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) 0 xfn 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3.分離變量性質(zhì)：4.采樣性質(zhì)：與普通函數(shù)乘積的性質(zhì)5.偶函數(shù)性質(zhì)： yxyx,yxyxyxyx, 000000,yyxxyxfyyxxyxf1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的定義定義n一維梳狀函數(shù)：n由無(wú)數(shù)個(gè) 函數(shù)組成，也是廣義函數(shù)n每個(gè) 函數(shù)都座落在整數(shù)坐標(biāo)上 nnxxcomb xco

8、mbx01233211.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的定義定義n二維梳狀函數(shù)： 其中 ，n思考：二維梳狀函數(shù)的圖形？ 性質(zhì)？ nnxxcombyx,combx01221 yxyxcombcomb,comb mmyycomby2121由由 函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)決定性質(zhì)決定1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的定義定義 【例題】【例題】寫(xiě)出下圖函數(shù)寫(xiě)出下圖函數(shù) 的表達(dá)式的表達(dá)式 處的處的 函數(shù)：函數(shù)： 處的處的 函數(shù)：函數(shù)： xg ?gxx00 xb0 xx0 xbxx0bx 01.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的定義定義 【例題】【例

9、題】寫(xiě)出下圖函數(shù)寫(xiě)出下圖函數(shù) 的表達(dá)式的表達(dá)式 處的處的 函數(shù)：函數(shù)： 處的處的 函數(shù)：函數(shù)： 所求函數(shù)由無(wú)數(shù)個(gè)所求函數(shù)由無(wú)數(shù)個(gè) 函數(shù)組成：函數(shù)組成： xg0 xnbxx0nbx 0 nnbxxxg0n 思考：思考： 寫(xiě)成梳狀函數(shù)形式？寫(xiě)成梳狀函數(shù)形式？1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) ?gxx00 xb0 xxn梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.比例變換性質(zhì)： 有偏置情形：nanxaax|1combnanxxaxxa00|1comb0comb|xxaa|x00 x|1a1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)梳狀函數(shù)的的性質(zhì)性質(zhì)n比例變換性質(zhì)： 【證明】 證畢！1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)

10、函數(shù)和梳狀函數(shù)高度、間隔同時(shí)高度、間隔同時(shí)縮放為縮放為1/|a|！nnaxaxcombnanxa|1nanxa|1nanxananxaax|1combn梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.比例變換性質(zhì)：2.偶函數(shù)性質(zhì)： 注意：有偏置情形不成立！nanxaax|1comb00combcombxxxx xxcombcomb1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)梳狀函數(shù)的的性質(zhì)性質(zhì)n偶函數(shù)性質(zhì)： 【證明】 、 值域及定義域均相同，故右邊=左邊 得證！ nanxaax|1comb nnxxacomb1kkxnnxxacomb1nk1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) xxcombcomb)(nkn

11、梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.比例變換性質(zhì)：2.偶函數(shù)性質(zhì)：3.周期性：4.平移性質(zhì)：5.積分性質(zhì)：nanxaax|1comb xxcombcomb xnxcombcomb21comb21combxx 1comb2121nndxx1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)6.抽樣性質(zhì)： 有偏置和縮放情形： nnxnfxfxcomb nanxxanxfxfxxa|a|000comb1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù)n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)n抽樣性質(zhì)：0comb|xxaa|x00 x|1a xfx01.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) xfxxaa|0comb|x00 x連續(xù)變化的物理量連續(xù)變化的物理量 離散分布的抽樣值離散分布的抽樣值 梳狀函數(shù)梳狀函數(shù)也稱(chēng)也稱(chēng)“抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)”n梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)6.抽樣性質(zhì)：7.卷積性質(zhì)： 有偏置和縮放情形： nanxxfxfxxa|a|00comb nnxfxfxcomb1.2 函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) nnxnfxfxcombn梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)n卷積性質(zhì)：0comb|xxaa|x00 x|1a xfx0 xfxxaa|0comb