船體振動學第1章

1、船體振動學船體振動學 第第1 1章章 單自由度系統的振動單自由度系統的振動 Ship Vibration 以質量以質量-彈簧彈簧-阻尼器系統作為力學模型，研阻尼器系統作為力學模型，研究單自由度系統的振動具有非常普遍的實際意究單自由度系統的振動具有非常普遍的實際意義，因為工程上有許多問題通過簡化，用單自義，因為工程上有許多問題通過簡化，用單自由度系統的振動理論就能得到滿意的結果。而由度系統的振動理論就能得到滿意的結果。而且，多自由度系統和連續(xù)系統的振動，在特殊且，多自由度系統和連續(xù)系統的振動，在特殊坐標系中考察時，顯示出與單自由度系統類似坐標系中考察時，顯示出與單自由度系統類似的性態(tài)。因此，研究

2、單自由度系統的振動規(guī)律的性態(tài)。因此，研究單自由度系統的振動規(guī)律和特點，為進一步研究復雜的振動系統奠定了和特點，為進一步研究復雜的振動系統奠定了基礎。基礎。 Ship Vibration 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動由振動 1.3 有粘性阻尼的單自由度系統的強迫振動有粘性阻尼的單自由度系統的強迫振動 1.4 周期振動的諧波分析周期振動的諧波分析 1.5 周期激勵作用下周期激勵作用下單自由度系統單自由度系統的強迫振的強迫振動動Ship Vibration 1.1 1.

3、1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship VibrationShip Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動由于由于影響振動特性的主要因素是質量、剛度和阻影響振動特性的主要因素是質量、剛度和阻尼尼，而在實際的工程結構中，質量、剛度和阻尼，而在實際的工程結構中，質量、剛度和阻尼的分布都比較復雜，所以在進行振動分祈時，需的分布都比較復雜，所以在進行振動分祈時，需要根椐所研究的具體問題，對實際的振動系統加要根椐所研究的具體問題，對實際的振動系統加以簡化。以簡化。例如：可將實際結構中彈性較小的質量

4、簡化為無例如：可將實際結構中彈性較小的質量簡化為無彈性的質量，而將質量較小的彈性元件簡化為無彈性的質量，而將質量較小的彈性元件簡化為無質量的彈簧。質量的彈簧。 Ship Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的自由度系統的自由度：確定振動系統的運動所需的獨立：確定振動系統的運動所需的獨立坐標的數目。這種確定系統在空間位置的獨立變坐標的數目。這種確定系統在空間位置的獨立變量稱為量稱為廣義坐標廣義坐標。在系統具有。在系統具有幾何約束幾何約束的條件下，的條件下，系統的自由度與廣義坐標的數目相等。系統的自由度與廣義坐標的數目相等。單

5、自由度系統單自由度系統：如果一個系統，在空間內任何瞬：如果一個系統，在空間內任何瞬時的位置只需用一個坐標來確定，那么這個系統時的位置只需用一個坐標來確定，那么這個系統就稱為單自由度系統。就稱為單自由度系統。工程中的很多振動問題都可以簡化為單自由度系工程中的很多振動問題都可以簡化為單自由度系統的振動問題。統的振動問題。 Ship Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動安裝在船底骨架上的往復式發(fā)動機，如果僅考慮安裝在船底骨架上的往復式發(fā)動機，如果僅考慮發(fā)動機的上下振動，則可以簡化為一單自由度質發(fā)動機的上下振動，則可以簡化為一單自由度

6、質量量-彈簧彈簧-阻尼器系統。發(fā)動機簡化為一集中質阻尼器系統。發(fā)動機簡化為一集中質量量 ，船體結構的彈性簡化為一彈簧，船體結構的彈性簡化為一彈簧 ，船體，船體結構的阻尼簡化為一阻尼器結構的阻尼簡化為一阻尼器 ，發(fā)動機在運轉過，發(fā)動機在運轉過程中產生的不平衡慣性力簡化為作用在質量上的程中產生的不平衡慣性力簡化為作用在質量上的外力外力 。 mck)(tFShip Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動因為單自由度系統的振動不僅因為單自由度系統的振動不僅可以揭示振動現象的本質，而可以揭示振動現象的本質，而且是多自由度系統的振動和連且是

7、多自由度系統的振動和連續(xù)系統的振動的基礎，所以首續(xù)系統的振動的基礎，所以首先研究單自由度系統的振動。先研究單自由度系統的振動?？紤]一個典型的單自由度系統，考慮一個典型的單自由度系統，如圖所示。如圖所示。質量懸掛在彈簧的下端，彈簧質量懸掛在彈簧的下端，彈簧的自然長度是的自然長度是 ，彈簧剛度，彈簧剛度是是 ，不計彈簧的質量。，不計彈簧的質量。 k0lShip Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動自由振動微分方程自由振動微分方程以圖示的質量以圖示的質量-彈簧系統為研究彈簧系統為研究對象。對象。取質點的靜平衡位置為坐取質點的靜平衡位

8、置為坐標原點標原點 ， 軸沿彈簧變形的方軸沿彈簧變形的方向，鉛直向下為正。當質點在靜向，鉛直向下為正。當質點在靜平衡位置時，由平衡條件平衡位置時，由平衡條件可以得到可以得到式中式中 是彈簧的靜變形。是彈簧的靜變形。 stkmgox0 xFstShip Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動當質量偏離平衡位置的距離為時，當質量偏離平衡位置的距離為時，質點的運動微分方程是質點的運動微分方程是兩邊除以兩邊除以 ，并令，并令 ，則，則運動微分方程可寫成運動微分方程可寫成這就是質量這就是質量-彈簧系統的自由振彈簧系統的自由振動的微分方程，

9、是一個動的微分方程，是一個二階常系二階常系數、線性、齊次微分方程數、線性、齊次微分方程。mx0kxxm mkn202xxn Ship Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動由微分方程的理論可知，運動方程的通解是由微分方程的理論可知，運動方程的通解是式中式中 和和 是積分常數，由運動的起始條件是積分常數，由運動的起始條件確定。假設確定。假設 時，時， ， ?？山獾每山獾靡虼?，因此，運動方程的通解運動方程的通解是是1CtCtCxnnsincos2102xxn 2C0t0)0(xx0)0(xx01xC nxC02txtxxnnnsin

10、cos00Ship Vibration 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動上述方程也可寫成下述形式上述方程也可寫成下述形式式中式中)sin(tAxn2020nxxA00arctanxxntxtxxnnnsincos00Ship Vibration無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為中心無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為中心的簡諧振動。系統的靜平衡位置稱為振動中的簡諧振動。系統的靜平衡位置稱為振動中心，其心，其振幅振幅是是 和和初相位角初相位角是是 。振動的位移：振動的位移：令令 ，則，則振動的速度：振動的速度： )sin(tAxnA2cos)si

11、n(tAtAxnn211costAxn2cossin11tAtAxnnnn 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration振動的加速度：振動的加速度：位移、速度和加速度隨時間的變化如圖所示。位移、速度和加速度隨時間的變化如圖所示。12212coscostAxtAxnnnnn 1costAxn2cossin11tAtAxnnnn 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration由上圖可以看出：由上圖可以看出：（1）當位移為零時，當位移為零時，速度達到最大值，速度達到最

12、大值，加速度為零加速度為零；（2）當位移達到最大值時，速度為零，加速當位移達到最大值時，速度為零，加速度達到最大值度達到最大值；（3）當相角增加）當相角增加 時，振動完全重復其運時，振動完全重復其運動，如果相應的時間增加為動，如果相應的時間增加為 ，則，則 稱為系統的稱為系統的振動周期振動周期。2T11)(2TttnnkmTn22 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration系統的系統的振動頻率振動頻率系統的系統的振動圓頻率振動圓頻率可以看出，可以看出， 只與振動系統的彈簧常數只與振動系統的彈簧常數 和質量和質量 有關，而與運

13、動的初始條件無關。有關，而與運動的初始條件無關。因此，通常將頻率因此，通常將頻率 稱為稱為固有頻率固有頻率，將圓頻，將圓頻率率 稱為稱為固有圓頻率固有圓頻率。nf,kmkfn2mnfmkTfn2121 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration把把 代入代入 得得這是用這是用彈簧靜變形時的變形量表示自由振動彈簧靜變形時的變形量表示自由振動固有圓頻率的計算公式固有圓頻率的計算公式。 )sin(tAxnmknstmgkstng 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibr

14、ation例：如圖所示，分別求并聯彈簧與例：如圖所示，分別求并聯彈簧與串聯彈簧振動系統的固有頻率。已串聯彈簧振動系統的固有頻率。已知質量為知質量為 ，彈簧的彈簧常數分別，彈簧的彈簧常數分別為為 和和 。解：（解：（1）并聯彈簧）并聯彈簧假設振動系統在運動過程中，質量假設振動系統在運動過程中，質量始終作平行移動。取平衡位置時的始終作平行移動。取平衡位置時的質量為研究對象。質量受重力、彈質量為研究對象。質量受重力、彈性力作用處于平衡狀態(tài)。兩根彈簧性力作用處于平衡狀態(tài)。兩根彈簧的靜變形都是的靜變形都是 。彈性力分別。彈性力分別是是 ， 。m1k2kststkF11stkF22 1.1 1.1 系統的

15、簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration由平衡條件由平衡條件 ，得，得如果用一根彈簧常數為如果用一根彈簧常數為 的彈簧來的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產生的靜靜變形與原來兩根彈簧所產生的靜變形相等，則變形相等，則比較，得比較，得 稱為并聯彈簧的等效彈簧常數。稱為并聯彈簧的等效彈簧常數。0 xFstkkFFmg)(2121kstkmg21kkkk 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration可以看出，彈簧并聯后的等效彈簧

16、可以看出，彈簧并聯后的等效彈簧常數是各并聯彈簧的彈簧常數的算常數是各并聯彈簧的彈簧常數的算術和。彈簧并聯的特征是：所有彈術和。彈簧并聯的特征是：所有彈簧的變形相等。簧的變形相等。因此，系統的固有頻率是因此，系統的固有頻率是mkkmkf21212121kkk 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration（2）串聯彈簧）串聯彈簧 當質量在靜平衡位置時，它的靜位當質量在靜平衡位置時，它的靜位移移 等于兩根彈簧的靜變形之和，等于兩根彈簧的靜變形之和，即即因為彈簧是串聯的，兩根彈簧的受因為彈簧是串聯的，兩根彈簧的受力相等，即兩根彈簧所受

17、的拉力都力相等，即兩根彈簧所受的拉力都等于質量的重力等于質量的重力 。因此因此11kmgst22kmgststststst21mg 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration如果用一根彈簧常數為如果用一根彈簧常數為的彈簧來代替原來的兩根的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產生的與原來兩根彈簧所產生的靜變形之和相等，則靜變形之和相等，則 比較，得比較，得 稱為串聯彈簧的等效彈簧常數。稱為串聯彈簧的等效彈簧常數。 kmgstk21kmgkmgst2121kkkkkk 1.1 1.1

18、系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration彈簧串聯后的彈簧常數的彈簧串聯后的彈簧常數的倒數等于各串聯彈簧的彈倒數等于各串聯彈簧的彈簧常數的倒數的算術和?；沙档牡箶档乃阈g和。由此可知，彈簧串聯后的由此可知，彈簧串聯后的等效彈簧常數是降低了，等效彈簧常數是降低了，而且比原來任一根彈簧的而且比原來任一根彈簧的彈簧常數都要小。彈簧常數都要小。 因此，系統的固有頻率是因此，系統的固有頻率是)(21212121kkmkkmkf2121kkkkk 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibrat

19、ion例：質量例：質量 從高度為從高度為 的地方自由落下，與一根的地方自由落下，與一根抗彎剛度為抗彎剛度為 、長為、長為 的簡支梁作塑性碰撞，如的簡支梁作塑性碰撞，如圖所示，不計梁的質量，圖所示，不計梁的質量，求該系統自由振動的頻率、求該系統自由振動的頻率、振幅和最大撓度。振幅和最大撓度。解：當梁的質量可以略去解：當梁的質量可以略去不計時，梁可以用一根彈不計時，梁可以用一根彈簧來代替，因此這是一個簧來代替，因此這是一個單自由度系統。單自由度系統。hmlEI 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration如果知道系統的靜變如果知道

20、系統的靜變形形 ，則可求出系統的，則可求出系統的固有頻率固有頻率由材料力學可知，簡支梁由材料力學可知，簡支梁受集中載荷作用時，其中受集中載荷作用時，其中點的靜撓度是點的靜撓度是 EImglst483st34821mlEIfstgf21因此可以求出系統因此可以求出系統的固有頻率是的固有頻率是 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration以梁承受重物時的靜平衡以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點位置為坐標原點 ， 建建立坐標系，如圖所示，并立坐標系，如圖所示，并以撞擊時刻為零瞬時，則以撞擊時刻為零瞬時，則時，有時，有 代入代入自由

21、振動的振幅是自由振動的振幅是 o33max961148mglEIhEImglAst梁的最大撓度是梁的最大撓度是 0tstx0ghx202020nxxAststhA22 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration計算固有頻率的能量法計算固有頻率的能量法計算振動系統的固有頻率，是研究振動系統計算振動系統的固有頻率，是研究振動系統的重要任務之一。前面介紹了在建立振動系的重要任務之一。前面介紹了在建立振動系統的運動微分方程的基礎上，確定固有頻率統的運動微分方程的基礎上，確定固有頻率的方法。下面介紹計算固有頻率的能量法。的方法。下面介

22、紹計算固有頻率的能量法。能量法的理論基礎是能量法的理論基礎是機械能守恒定律機械能守恒定律。應用。應用能量法能夠比較容易地求出能量法能夠比較容易地求出保守系統保守系統的固有的固有頻率。頻率。 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration在圖示的無阻尼單自由度振動系統中，在圖示的無阻尼單自由度振動系統中，作用在該系統上的重力和彈性力都是作用在該系統上的重力和彈性力都是保守力。根據保守力場中的機械能守保守力。根據保守力場中的機械能守恒定律，該系統在振動過程中，其勢恒定律，該系統在振動過程中，其勢能與動能之和保持不變。即能與動能之和保

23、持不變。即式中式中 是動能，是動能， 是勢能。如果取是勢能。如果取平衡位置平衡位置 為勢能的零點，則系統為勢能的零點，則系統在任一位置時的動能和勢能分別是在任一位置時的動能和勢能分別是constVTTVo222121kxVxmT 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration當系統在平衡位置時，當系統在平衡位置時， ，速度為，速度為最大，勢能為零，動能具有最大最大，勢能為零，動能具有最大值值 ；當系統在最大偏離位置時，；當系統在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而勢能具有最速度為零，動能為零，而勢能具有最大值大值 。由于系統的

24、機械能守恒，。由于系統的機械能守恒，因此因此這是用能量法計算固有頻率的公式。這是用能量法計算固有頻率的公式。 0 xmaxTmaxV222121kxVxmTmaxmaxVT 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration例：船舶振動記錄儀的原理例：船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物圖如圖所示。重物D連同桿連同桿BD對于支點對于支點B的轉動慣量的轉動慣量是是 ，求重物，求重物D在鉛直方向在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧的振動頻率。已知彈簧AC的的彈簧剛度常數是彈簧剛度常數是 。解：這是單自由度的振動系解：這是單自由度的振動系統。系

25、統的位置可由桿統。系統的位置可由桿BD自自平衡位置量起的平衡位置量起的 角來決定。角來決定。系統的動能是系統的動能是BIk221BIT 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration設系統作簡諧振動，則設系統作簡諧振動，則因此，角速度及系統的最大因此，角速度及系統的最大動能分別是動能分別是如取平衡位置為系統的勢能如取平衡位置為系統的勢能零點。該系統的勢能是零點。該系統的勢能是2221kbV )cos(tnn22maxmax2121nBBIIT)sin(tn該系統的最大勢能是該系統的最大勢能是222max2max2121kbkbV

26、 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration利用利用 ，即，即 可以求得固有頻率可以求得固有頻率 22maxmax2121nBBIIT222max2max2121kbkbVmaxmaxVT22222121kbInBBnIkb2 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration計算固有頻率的瑞利法計算固有頻率的瑞利法利用能量法，可以將一個復雜的系統簡化為利用能量法，可以將一個復雜的系統簡化為一個簡單的、質量等效和剛度等效的系統。一個簡單的、質量等效和剛度等效的系統

27、。等效系統與真實系統的位移是等效的，且它等效系統與真實系統的位移是等效的，且它們的動能和勢能都相同，因而兩者的固有頻們的動能和勢能都相同，因而兩者的固有頻率也相同。這種利用等效系統求真實系統的率也相同。這種利用等效系統求真實系統的固有頻率的方法叫做瑞利法或等效法。固有頻率的方法叫做瑞利法或等效法。 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration在一般情況下，一個真實系統的等效質量彈在一般情況下，一個真實系統的等效質量彈簧系統可以這樣來確定：首先簧系統可以這樣來確定：首先規(guī)定真實系統規(guī)定真實系統中某一個質點的位移作為等效系統中質量

28、的中某一個質點的位移作為等效系統中質量的位移位移（即等效位移），然后（即等效位移），然后根據真實系統的根據真實系統的動能和勢能分別與等效系統的動能和勢能相動能和勢能分別與等效系統的動能和勢能相等的條件求出等效系統的質量和彈簧剛度等的條件求出等效系統的質量和彈簧剛度（也就是說由動能等效求等效質量（也就是說由動能等效求等效質量 ，由勢，由勢能等效求等效剛度能等效求等效剛度 ），最后真實系統的固），最后真實系統的固有頻率是有頻率是 emekeenmk 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration例：求圖示系統的固有頻率。例：求圖示系

29、統的固有頻率。假設桿單位長度的質量是假設桿單位長度的質量是 ，彈簧的剛度常數是彈簧的剛度常數是 ，桿的，桿的長度是長度是 ，彈簧與簡支端之，彈簧與簡支端之間的距離是間的距離是 。 解：假設離簡支端解：假設離簡支端 處的垂處的垂向位移是向位移是 ，并以這個位移，并以這個位移作為等效系統的位移，作為等效系統的位移，即即 。真實系統的動能是真實系統的動能是 mkl1llwwqedxwlxmTl0221 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration等效系統的動能是等效系統的動能是由由 ，得，得 真實系統的勢能是真實系統的勢能是221w

30、mTeeeTT mldxlxmmle31022121wllkVdxwlxmTl0221 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration等效系統的勢能是等效系統的勢能是 由由 ，得，得 因此真實系統的固有頻率是因此真實系統的固有頻率是221wkVeeeVV 21llkke2121wllkV3213mlklmkeen 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration例：如圖所示，彈簧長度例：如圖所示，彈簧長度是是 ，其質量是，其質量是 。求彈。求彈簧的等效質量及系統的固

31、有簧的等效質量及系統的固有頻率。頻率。 解：令解：令 表示彈簧右端的位表示彈簧右端的位移，也是質量移，也是質量 的位移。距的位移。距離左端為離左端為 處彈簧的位移處彈簧的位移是是 ，那么，那么mlxsmxlseqmm3120232121xmdxllmTslss彈簧的等效質量彈簧的等效質量 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration系統的總動能是系統的總動能是 系統的勢能是系統的勢能是 因此系統的固有頻率是因此系統的固有頻率是 22232132121xmmxmxmTss3snmmk221kxV 1.1 1.1 系統的簡化和單自

32、由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration例：如圖所示，假設有一均例：如圖所示，假設有一均質等截面懸臂梁，梁的端部質等截面懸臂梁，梁的端部有一集中質量有一集中質量 ，梁單位，梁單位長度的質量是長度的質量是 ，梁的抗彎，梁的抗彎剛度是剛度是 。若考慮梁的質。若考慮梁的質量，求梁的等效質量和系統量，求梁的等效質量和系統的固有頻率。的固有頻率。 解：假設懸臂梁在自由振動解：假設懸臂梁在自由振動時的動撓度曲線和懸臂梁在時的動撓度曲線和懸臂梁在自由端有集中載荷作用下的自由端有集中載荷作用下的靜撓度曲線一樣。靜撓度曲線一樣。 MmEI 1.1 1.1 系統的簡化和單自

33、由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration由結構力學可知，懸臂梁在由結構力學可知，懸臂梁在自由端有集中載荷自由端有集中載荷 作用作用時的靜撓度曲線是時的靜撓度曲線是當當 時，懸臂梁自由端時，懸臂梁自由端的撓度的撓度 是是 Mglx 3323332232)3(32233lxlxEIMgllxlxEIMglw0wEIMglw330因此因此03322)3(wlxlxw 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration梁的動能是梁的動能是式中式中 是梁的質量，因此是梁的質量，因此梁的等效質量是梁的等效

34、質量是 200232230021403321)3(22121wmldxxlxlwmdxwmTll033223wlxlxwml03322)3(wlxlxwmlme14033 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動Ship Vibration則等效系統的質量是則等效系統的質量是等效系統的彈簧剛度是等效系統的彈簧剛度是 因此，系統的固有頻率是因此，系統的固有頻率是 mlMmMMee14033303lEIwMgkmlme14033mlMlEIMken1403333 1.1 1.1 系統的簡化和單自由度系統的自由振動系統的簡化和單自由度系統的自由振動 1.2

35、 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship VibrationShip Vibration 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動在前述的自由振動中，在前述的自由振動中，振動的振幅是不變的，振動將無限地延續(xù)下去。振動的振幅是不變的，振動將無限地延續(xù)下去。但是，實際觀察到的結果并非如此。例如，質量但是，實際觀察到的結果并非如此。例如，質量-彈簧系統的質量在其平衡位置附近的自由振動并彈簧系統的質量在其平衡位置附近的自由振動并非無限地延續(xù)下去，隨著時間的推移，它的振幅非無限地延續(xù)下去，隨

36、著時間的推移，它的振幅將逐漸衰減，最后趨于零而停止振動。這說明，將逐漸衰減，最后趨于零而停止振動。這說明，在振動過程中，質量除了受到彈簧恢復力的作用在振動過程中，質量除了受到彈簧恢復力的作用外，還受到阻力的作用。振動過程中的阻力通稱外，還受到阻力的作用。振動過程中的阻力通稱阻尼力。阻尼力。 )sin(tAxn2020nxxAShip Vibration由于在實際的振動系統中總是存在著阻尼的作用，由于在實際的振動系統中總是存在著阻尼的作用，所以在振動的研究和計算中必須考慮阻尼的影響。所以在振動的研究和計算中必須考慮阻尼的影響。按照阻尼力作用的性質按照阻尼力作用的性質來分類，阻尼力可分為外來分類，

37、阻尼力可分為外阻尼力與內阻尼力兩類。阻尼力與內阻尼力兩類。外阻尼力外阻尼力是由于系統直是由于系統直接與外界接觸而產生的阻尼力，接與外界接觸而產生的阻尼力， 內阻尼力內阻尼力是由于是由于系統內部材料或結構上的原因而產生的阻尼力。系統內部材料或結構上的原因而產生的阻尼力。外阻尼力因外阻尼力因系統接觸外界介質的不同系統接觸外界介質的不同，一般又可，一般又可以分為三種：（以分為三種：（1）干摩擦阻尼力）干摩擦阻尼力 ；（2）粘性阻）粘性阻尼力尼力 ；（；（3）流體動力阻尼力）流體動力阻尼力 。 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship V

38、ibration（1）干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力：當系統在外界固體的表面：當系統在外界固體的表面上運動時所產生的阻尼力，也稱作庫倫阻尼力。上運動時所產生的阻尼力，也稱作庫倫阻尼力。干摩擦阻尼力的方向與系統相對運動速度的方向干摩擦阻尼力的方向與系統相對運動速度的方向相反，其大小取決于干摩擦系數和接觸面的法向相反，其大小取決于干摩擦系數和接觸面的法向反力，即反力，即 式中式中 是干摩擦系數，是干摩擦系數， 是接觸面的法向反力。是接觸面的法向反力。如圖所示。如圖所示。 | xxFFNdNF干摩擦系數取決于接觸面的材料與接觸面的粗糙程度。這種阻尼力的大小不依賴于質量的位移和速度。 1.2 1.2 阻尼和

39、有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration（2）粘性阻尼力粘性阻尼力：當系統以較低的速度在外界：當系統以較低的速度在外界粘性流體中運動時所產生的阻尼力。這種阻尼力粘性流體中運動時所產生的阻尼力。這種阻尼力在機械系統中最普遍。粘性阻尼力與接觸面的材在機械系統中最普遍。粘性阻尼力與接觸面的材料無關，而與系統的大小、形狀及流體的粘性有料無關，而與系統的大小、形狀及流體的粘性有關。粘性阻尼力的方向與系統的速度方向相反，關。粘性阻尼力的方向與系統的速度方向相反，其大小與系統的運動速度成正比，即其大小與系統的運動速度成正比，即 ，式中式中 是是粘

40、性阻尼系數粘性阻尼系數。這種粘性阻尼力又稱為。這種粘性阻尼力又稱為線性粘性阻尼力線性粘性阻尼力。 cxcFd 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration（3）流體動力阻尼力流體動力阻尼力：當系統以較髙的速度在：當系統以較髙的速度在外界粘性較小的流體中運動時所產生的阻尼力，外界粘性較小的流體中運動時所產生的阻尼力，也稱作也稱作非線性粘性阻尼力非線性粘性阻尼力。流體動力阻尼力的方。流體動力阻尼力的方向與系統相對運動速度的方向相反，其大小與系向與系統相對運動速度的方向相反，其大小與系統的運動速度的平方成正比，即統的運動

41、速度的平方成正比，即式中式中 是流體動力阻尼系數。是流體動力阻尼系數。 2|xxxbFdb 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration系統的系統的內阻尼力內阻尼力是由于系統內部的原因而產生的是由于系統內部的原因而產生的阻尼力，它可以分為阻尼力，它可以分為材料內阻尼力材料內阻尼力和和結構內阻尼結構內阻尼力力兩種。兩種。（1）材料內阻尼力材料內阻尼力：是由于實際的材料并不是：是由于實際的材料并不是完全彈性而引起的，所以又稱為完全彈性而引起的，所以又稱為材料的非彈性阻材料的非彈性阻尼力尼力。（2）結構內阻尼力結構內阻尼

42、力：是由于系統內部結構的裝：是由于系統內部結構的裝配或連接而引起的。配或連接而引起的。 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration由于粘性阻尼在數學處理上比較方便，由于粘性阻尼在數學處理上比較方便，下面就下面就以粘性阻尼為例以粘性阻尼為例來討論阻尼對來討論阻尼對單自由度系統的自由振動的影響。對單自由度系統的自由振動的影響。對于非線性阻尼，可以利用在一個周期于非線性阻尼，可以利用在一個周期內能量耗散相等的條件把非線性阻尼內能量耗散相等的條件把非線性阻尼轉化成等效的粘性阻尼來處理。轉化成等效的粘性阻尼來處理。圖示為一

43、有粘性阻尼的單自由度質量圖示為一有粘性阻尼的單自由度質量-彈簧系統。彈簧系統。 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration質量的下部表示粘性阻尼器。仍質量的下部表示粘性阻尼器。仍以靜以靜平衡位置平衡位置 為坐標原點為坐標原點，選取，選取 軸向軸向下為正，則可以寫出質量的運動微分下為正，則可以寫出質量的運動微分方程方程 上述方程兩邊除以上述方程兩邊除以 ，并令，并令 其中其中 稱為稱為衰減系數衰減系數，它的單位是，它的單位是1/秒秒(1/s)。運動微分方程可以改寫成。運動微分方程可以改寫成 o0kxxcxm xmk

44、n2mmcn 2n022xxnxn 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration它是一個它是一個二階、常系數、線性、齊次二階、常系數、線性、齊次微分方程微分方程。由微分方程的理論可知，。由微分方程的理論可知，它的解具有如下形式它的解具有如下形式 把上式代入運動微分方程，得到系統把上式代入運動微分方程，得到系統的的特征方程特征方程是是特征方程的兩個根是特征方程的兩個根是 0222nnrrrtCex 222221nnnnrnnr022xxnxn 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的

45、單自由度系統的自由振動Ship Vibration由此可見，隨著由此可見，隨著 與與 值的不同，值的不同， 與與 也就具有不同的值，因而運動規(guī)也就具有不同的值，因而運動規(guī)律也就不相同。下面分律也就不相同。下面分 ， ， 三種情況進行討論。三種情況進行討論。 （1） 小阻尼的情況小阻尼的情況 （欠阻尼）（欠阻尼）這時特征方程有一對共軛復根這時特征方程有一對共軛復根 n222221nnnnrnnrnnn1r2rnnnnnndndninninrinninr222221其中其中 1i22nnd 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship V

46、ibration運動微分方程的通解是運動微分方程的通解是利用歐拉公式利用歐拉公式 于是于是式中式中 是兩個積分常數，由運動的初始條件是兩個積分常數，由運動的初始條件確定，假設確定，假設 時，時， ， ；可以得到可以得到)(21)(2)(12121titinttintintrtrddddeCeCeeCeCeCeCxtiteddtidsincos21,CC)sincos(21tCtCexddnt0tddinrinr210)0(xx0)0(xxdnxxCxC00201 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration運動微分

47、方程的通解也可以寫成下述形式運動微分方程的通解也可以寫成下述形式 式中式中可以看出，質量在平衡位置附近作往復運動，具有振動的可以看出，質量在平衡位置附近作往復運動，具有振動的性質。但它的振幅不是常數，隨著時間的增加而衰減。因性質。但它的振幅不是常數，隨著時間的增加而衰減。因此，有阻尼的自由振動并不是按同樣的條件循環(huán)往復的周此，有阻尼的自由振動并不是按同樣的條件循環(huán)往復的周期振動，習慣上把它稱作期振動，習慣上把它稱作準周期振動準周期振動，或，或衰減振動衰減振動。)sin(tAexdnt00020020arctannxxxnxxxAdd)sincos(21tCtCexddntdnxxCxC0020

48、1 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration阻尼對周期的影響阻尼對周期的影響 衰減振動即衰減振動即小阻尼自由振動的周期小阻尼自由振動的周期 是指質量由是指質量由最大偏離位置起經過一次振動循環(huán)又到達另一最最大偏離位置起經過一次振動循環(huán)又到達另一最大偏離位置所經過的時間。小阻尼自由振動的周大偏離位置所經過的時間。小阻尼自由振動的周期期 其中其中 是無阻尼自由振動是無阻尼自由振動 的周期；的周期；2211122TnTnndddTnT2 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度

49、系統的自由振動Ship Vibration 是是阻尼比阻尼比，它等于衰減系數，它等于衰減系數 與系統的與系統的無阻尼自由振動的固有頻率無阻尼自由振動的固有頻率 之比。阻尼比是振之比。阻尼比是振動系統中反映阻尼特性的重要參數，在小阻尼情動系統中反映阻尼特性的重要參數，在小阻尼情況下，況下， 。由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。通常由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。通常很小，阻尼對周期的影響不大。例如，當很小，阻尼對周期的影響不大。例如，當 時，時， ，周期，周期 僅增加了僅增加了0.125%。當。當阻尼比阻尼比 時，可以近似認為有阻尼自由振動時，可以近似認為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自

50、由振動的周期相等。的周期與無阻尼自由振動的周期相等。 2211122TnTnndd1nnnn05. 0TTd00125. 1dT1 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration阻尼對振幅的影響阻尼對振幅的影響 衰減振動的振幅隨時間按指數規(guī)律衰減衰減振動的振幅隨時間按指數規(guī)律衰減。假設。假設經過一個周期經過一個周期 ，在同方向的相鄰兩個振幅，在同方向的相鄰兩個振幅分別為分別為 和和 ，即，即兩振幅之比為兩振幅之比為 式中，式中， 稱為稱為振幅衰減率振幅衰減率。 )(1dmmTtnmntmAeAAeAmA1mAdnTm

51、meAA1dT 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration 如仍以如仍以 為例，算得為例，算得 ，質量，質量每振動一次，振幅就減少每振動一次，振幅就減少 27%。由此可見，。由此可見，在小在小阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著減卻非常顯著，它是按幾何級數衰減的。，它是按幾何級數衰減的。振幅衰減率的自然對數稱為振幅衰減率的自然對數稱為對數衰減率對數衰減率，用，用 表表示示 37. 1dnTednTmmeAA105. 02121ln22TnTnd 1.2

52、1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration（2） 大阻尼的情形大阻尼的情形 （過阻尼過阻尼）這時，特征方程的根是兩個不相等的這時，特征方程的根是兩個不相等的負實根負實根，運動微分方程的通解是運動微分方程的通解是其中其中 是兩個積分常數，由運動的初始條件是兩個積分常數，由運動的初始條件確定。隨著時間的增大，系統的運動將逐漸地趨確定。隨著時間的增大，系統的運動將逐漸地趨于平衡位置。這種運動不僅是非周期的，而且已于平衡位置。這種運動不僅是非周期的，而且已不再具有振動的性質。不再具有振動的性質。 )(222222222121)(

53、2)(121tntnnttnntnntrtrnnnneCeCeeCeCeCeCx21,CCnn222221nnnnrnnr 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration（3） 臨界阻尼臨界阻尼的情形的情形 這時特征方程的根是兩個相等的實根這時特征方程的根是兩個相等的實根 運動微分方程的通解是運動微分方程的通解是其中其中 是兩個積分常數，由運動的初始條件是兩個積分常數，由運動的初始條件確定。這種情形與大阻尼的情形相似，系統的運確定。這種情形與大阻尼的情形相似，系統的運動已沒有振動的性質。但它是大阻尼情形的下邊動已沒有

54、振動的性質。但它是大阻尼情形的下邊界，同一個系統，受到相同的運動的初始條件，界，同一個系統，受到相同的運動的初始條件，臨界阻尼情形的位移最大，而且返回平衡位置最臨界阻尼情形的位移最大，而且返回平衡位置最快。快。 )(21212121tCCeetCeCetCeCxntntnttrtr21,CCnnnrr21 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration值得注意的是，臨界阻尼情形是從衰減振動過渡值得注意的是，臨界阻尼情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀態(tài)。因此，這時系統的阻到非周期運動的臨界狀態(tài)。因此，這時系統的阻

55、尼系數是表征運動規(guī)律在性質上發(fā)生變化的重要尼系數是表征運動規(guī)律在性質上發(fā)生變化的重要臨界值。假設臨界值。假設 為為臨界阻尼系數臨界阻尼系數，由，由于于 ，則，則 可見，可見， 只取決于系統本身的質量與彈性常數。只取決于系統本身的質量與彈性常數。 是阻尼系數與臨界阻尼系數的比值，這就是是阻尼系數與臨界阻尼系數的比值，這就是 稱為阻尼比的原因。稱為阻尼比的原因。 1nncckmmnmcnc222ccnncnmnmcc22 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration具有臨界阻尼的系統與大阻尼系統相比較，它是具有臨界阻尼

56、的系統與大阻尼系統相比較，它是最小阻尼系統。因此質量最小阻尼系統。因此質量 將以最短的時間回到將以最短的時間回到靜平衡位置，并不作振動運動，臨界阻尼的這種靜平衡位置，并不作振動運動，臨界阻尼的這種性質有實際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時會出現反性質有實際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時會出現反彈，所以要求大炮發(fā)射炮彈后以最短的時間回到彈，所以要求大炮發(fā)射炮彈后以最短的時間回到原來的靜平衡位置，而且不產生振動，這樣才能原來的靜平衡位置，而且不產生振動，這樣才能既快又準確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界既快又準確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種要求。阻尼器才能滿足這種要求。 m 1.2 1.2

57、 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration例：設計一個小阻尼減振器，要求振動一個周期例：設計一個小阻尼減振器，要求振動一個周期后的振幅減小到第一幅值的后的振幅減小到第一幅值的1/16。已知質量。已知質量 kg，阻尼振動周期，阻尼振動周期 s。試求減振器的剛度系。試求減振器的剛度系數數 和阻尼系數和阻尼系數 。 解：由解：由則對數衰減率則對數衰減率 利用利用解出阻尼比解出阻尼比500m1dTkc4037. 02127726. 216lnln21AA16161121AA 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼

58、和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration求得固有頻率求得固有頻率 所以，剛度系數所以，剛度系數 和阻尼系數和阻尼系數 分別求得如下：分別求得如下： srad8677. 61212222dnTTkc4037. 0mNs49.27727 .68674037. 0cccmNs7 .68675008677. 622mcncmN65.23582500)8677. 6(22mkn 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration例：在小阻尼（例：在小阻尼（ ）的系）的系統中，在振幅衰減曲線的包統中，在振幅衰

59、減曲線的包絡線上，已測得相隔絡線上，已測得相隔 個周個周期的期的 兩點的幅值之兩點的幅值之比比 ，如圖所示，如圖所示，試求此振動系統的阻尼比試求此振動系統的阻尼比 。 解：解：NRP,1rAARP)(dPPNTtnRntPAeAAeAreAAAAddPPnNTNTtnntRP)(ee 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration當當 時時 rNln2rNTNnNTndln1212212Nr2lnreAAAAddPPnNTNTtnntRP)(ee 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻

60、尼的單自由度系統的自由振動Ship Vibration上式對于估算小阻尼系統的上式對于估算小阻尼系統的值是很方便的。例如，經過值是很方便的。例如，經過10個周期測得個周期測得 兩點的幅兩點的幅值比值比 ，將，將 ， 代入上式，得到該系統的阻代入上式，得到該系統的阻尼比尼比 RP,Nr2ln011. 0202ln10N2r2r 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動阻尼和有粘性阻尼的單自由度系統的自由振動 1.3 1.3 有粘性阻尼的單自由度系統的強迫振動有粘性阻尼的單自由度系統的強迫振動Ship VibrationShip Vibration 1.3 1.3 有粘性阻尼的單自