第三章運(yùn)動方程求解

1、第三章第三章 動量傳遞方程的若干解動量傳遞方程的若干解 本章討論重點(diǎn)流體作簡單層流流動時，動量傳遞方程的典型求解。主要包括：1.兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流；2.圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流；3.無限大平板在黏性流體中的突然運(yùn)動；4.極慢黏性流動（爬流）；5.勢函數(shù)與理想流體的流動。動量傳遞方程的分析動量傳遞方程的分析 動量傳遞方程組：()+0u21()3BDpD ufuu0u當(dāng)流體不可壓縮時，=常數(shù)2BDpD ufu變量數(shù)：ux，uy，uz，p；方程數(shù)：4222222()1xxxxxxxxyzuuuupuXxxyzuuuuuxyz0yxzuuuxyz222222()1yyyyyyyxyzuuuupuYy

2、xyzuuuuuxyz222222()1zzzzzzzxyzuuuupuZzxyzuuuuuxyz動量傳遞方程的分析動量傳遞方程的分析 動量傳遞方程組的特點(diǎn)：（1）非線性偏微分方程；方程組的求解目的獲得速度與壓力分布( , , , )xxuux y z ( , , , )zzuux y z ( , , , )pp x y z ( , , , )yyuux y z 動量傳遞系數(shù) CD（或 f ）等。（2）質(zhì)點(diǎn)上的力平衡，僅能用于規(guī)則的層流求解。動量傳遞方程的分析動量傳遞方程的分析 方程組求解的分類： （1）對于非常簡單的層流，方程經(jīng)簡化后，其形式非常簡單，可直接積分求解解析解； （2）對于某些簡

3、單層流，可根據(jù)流動問題的物理特征進(jìn)行化簡。簡化后，積分求解物理近似解； （3）對于復(fù)雜層流，可采用數(shù)值法求解；將方程離散化，然后求差分解； （4）對于湍流，可先進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，再根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)，求半理論解。動量傳遞方程的分析動量傳遞方程的分析 3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流一、方程的簡化二、方程的求解三、平均流速與流動壓降第三章第三章 動量傳遞方程的若干解動量傳遞方程的若干解 物理模型：流體在兩平壁間作平行穩(wěn)態(tài)層流流動，例如板式熱交換器、各種平板式膜分離裝置等。y流向xzy0oy0設(shè)=常數(shù)；穩(wěn)態(tài)；遠(yuǎn)離流道進(jìn)、出口；流體僅沿 x方向流動：0yzuu一、方程的簡化一、方程的簡化（1）連續(xù)性方程

4、的簡化0yxzuuuxyz0 xux（2）運(yùn)動方程的簡化xx 方向：2222221()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXxyz xxyz22()xupxy一、方程的簡化一、方程的簡化z 方向：2222221()yyyyyyyxyzuuuuuuupuuuYxyz yxyz2222221()zzzzzzzxyzuuuuuuupuuuZxyzzxyz0pzy 方向：pYgy 一、方程的簡化一、方程的簡化22()xupxy0pzpYgy (b)(c)（a)（b）對 y 積分得 ( , )( )p x ygyk x ( )( )pdk xf xxdx對x 微分得/0 xux /0 xuz 因x

5、u僅是 y 的函數(shù)221xd updyx常數(shù) 一、方程的簡化一、方程的簡化二、方程的求解二、方程的求解邊界條件（B.C.）：0,0;xyyu0,0 xyydudy（1）（2）速度分布為 2201()2xpuyyx拋物線形2max012puyx 當(dāng)0y 時速度最大2max01 () xyuuy三、平均流速與流動壓降三、平均流速與流動壓降021,Ay在流動方向上，取單位寬度的流通截面則通過該截面的體積流率為0022000122()2yysxpVu dyyydyx3023spVyx 320000212323ssbVVyppuyAyxyx max23buu平均流速：y01m203fbpuppLxLy

6、壓降：范寧摩擦因子（推導(dǎo)過程？）：201212/2sbbfuy uRe0(2)byuRe=三、平均流速與流動壓降三、平均流速與流動壓降3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理第三章第三章 動量傳遞方程的若干解動量傳遞方程的若干解 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 流體在圓管中的流動問題許多工程科學(xué)中遇到。 設(shè)：不可壓縮流體在水平圓管中作穩(wěn)態(tài)層流流動，所考察的部位遠(yuǎn)離管道進(jìn)、出口，流動為沿軸向的一維流動。zr柱坐標(biāo)連續(xù)性方程的簡化11()0zruururr

7、rz0zuzN-S方程簡化r 分量: 22222221112()rrrrrzdrrruuuuuuuurrrzpuuururr rrrrz 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 z 分量: 0dpr22222111()zzzzrzdzzzuuuuuuurrzpuuurzrrrrz 1dzpurzrrr 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 分量: 2222221112()rrzdruuuuu uuuurrrzpuuururr rrrrz 0dp 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 0dpr0dp1dzpurzrrr ( , , )( )dddppr zpz/0zu /0

8、zuz ( )zzuu r11()dzdpdudrr drdr dz. .(1)0,0;zduBCrdr(2),0izrru 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 速度分布 221()4dzidpurr dz 管中心最大流速2max14didpur dz 2max1 ( ) ziruur平均流速2maxmax21112bziiAAuruu dAudAArr 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 28fdbipdpuLdzr 壓力降 范寧摩擦因子2281616sbibbfurudu Re 一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)

9、層流 流體在兩根同心套管環(huán)隙空間沿軸向的流動在物料的加熱或冷卻時經(jīng)常遇到，如套管換熱器。 設(shè)：不可壓縮流體在兩管環(huán)隙間沿軸向流過。設(shè)所考察的部位遠(yuǎn)離進(jìn)、出口，求解套管環(huán)隙內(nèi)的速度分布、主體流速以及壓力降的表達(dá)式。11dzdpdudrr drdr dz常數(shù)套管環(huán)隙中層流的變化方程與圓管相同，即B.C. 為1(I),0zrru2(II),0zrrumaxmax(III),0zzdurruudr 二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 max222111(ln)22zrrdprur dzrmax222221(ln)22zrrdprur dzr222121maxr -rr=2ln r r速度分布由B.C.+由B

10、.C.+聯(lián)立二式 二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 主體流速2122212rbzzrA1u =u dA=u rdrA(r -r )22221max1(2)8bdpurrr dz 壓力降22221max182bdpudzrrr 范寧摩擦因子?f 二、套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)層流 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理12 兩垂直的同軸圓筒，內(nèi)筒的直徑為a, 外筒的直徑為b, 在兩筒的環(huán)隙間充滿不可壓縮流體。當(dāng)內(nèi)筒以角速度 、外筒以角速度 旋轉(zhuǎn)時，將帶動流體沿圓周方向繞軸線作層流流動。若圓筒足夠長，端效應(yīng)可以忽略。 ab12連續(xù)性方程簡化 11()0z

11、ruururrrz00zru,u0,0rzuu0u運(yùn)動方程簡化 22222221112()rrrrrzrrrruuuuuuuurrrzuuupXrurr rrrrz21uprr 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理2222221 1112()rrzruuuuu uuuurrrzuuupXru rr rrrrz1()0rurrr 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理22222111()zzzzrzzzzzuuuuuuurrzuuupXrzrrrrz10pgzzXg 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理21uprr1()0rurrr10pgz0u0uz1()0d

12、drudrr drra1uarb2ubB.C. 通解： 122ccurr12222212() b acba2222122() a bcba122222222212()1 b a a burbabar 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理方向上的剪應(yīng)力與形變速率的關(guān)系： 1rruu rrrr 0ru rurrr 代入速度分布方程22221222r a bbar 10 通常，旋轉(zhuǎn)粘度計的內(nèi)筒固定不動（ ），故作用于外圓筒內(nèi)壁上的剪應(yīng)力為：22222rr b aba 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理 已知旋轉(zhuǎn)粘度計圓筒長為L，則作用于外筒內(nèi)壁上的摩擦力為222242srr

13、 b ba LFbLba外筒繞軸旋轉(zhuǎn)的力矩為222224ors b a LMF bba222224orMba b a L() 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理222224orMba b a L() 測定某未知粘度的液體時，規(guī)定外圓筒轉(zhuǎn)速 ，測定相應(yīng)的轉(zhuǎn)動力矩 ，可由上式計算待測液體的粘度。2orM 三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理三、旋轉(zhuǎn)黏度計的測量原理3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例一、方程的化簡二、方程的求解第三章第三章 動量傳遞方程的若干解動量傳遞方程的若干解 非穩(wěn)態(tài)流動的求解的例靠近平板的無限大流體當(dāng)平板突然運(yùn)動時的流動分布

14、。一、方程的化簡一、方程的化簡 考察位于平板（ xz 平面）上方的半無限大流體，流體初始靜止。在 t= 0 時刻，平板以恒速 u0 沿 x 正方向運(yùn)動，求流速分布。 設(shè) x 方向壓力梯度為零，流動為層流。xxxt0，流體靜止yyyt0，平板運(yùn)動t0，非穩(wěn)態(tài)流動u0u0 由于22xxuuy, )xxuuy （0yzu =u 由連續(xù)性方程和運(yùn)動方程化簡可得 I.C. 0，ux0；(所有 y) B.C. y = 0，uxu0；(所有 0)y = ，ux0；(所有 0)一、方程的化簡一、方程的化簡 令2xxxuuu= 4y14xxxuuuyy222214xxxxuyuuuyyyy2220 xxuu22

15、20 xxd ududd,0 xu 00,xuuB.C.（1），B.C.（2）二、方程的求解二、方程的求解200211()4xuyederfu 兩次積分得 速度分布( )erf 誤差函數(shù)。yu0二、方程的求解二、方程的求解 剪應(yīng)力 任一瞬時，壁面上的剪應(yīng)力為000 xxsyuuuyy二、方程的求解二、方程的求解3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例3.4 極慢黏性流動（爬流）一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程程二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律第三章第三章 動量傳遞方程的若干解動量傳遞方程的若干解一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程一、

16、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程21DpD BuFu慣性力粘性力重力壓力本節(jié)求運(yùn)動方程的物理近似解。流體流動時，起支配作用的是慣性力和黏性力。Re =慣性力/粘性力 本節(jié)討論 Re 0.1的流動，稱為爬流 ( Creeping flow) 。 （1）當(dāng)流動的Re很大，慣性力黏性力，慣性力起主導(dǎo)作用，黏性力是次要因素。 （2）當(dāng)流動的Re很小，慣性力黏性力，粘性力起主導(dǎo)作用，慣性力是次要因素。一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程2p u0u略去運(yùn)動方程中的慣性力和重力項(xiàng)： 方程的特點(diǎn)：線性偏微分方程組，4個方程，4個未知量，可直接求出解析解。一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程一、爬流的概念

17、與爬流運(yùn)動方程球粒子在流體中的沉降 半徑為r0的球粒子在靜止無界不可壓縮流體中以u0運(yùn)動。設(shè)流動 Re很小。二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律A(x , y, z)( , , )r r0 xyzu01.流體的速度分布；2.壓力分布；3.粒子沉降的阻力。r（1）方程簡化連續(xù)性方程：000u穩(wěn)態(tài)軸對稱cot210rruuuurrrr運(yùn)動方程222222222212cot22cotrrrrruuuuuupurrrrrrrrr222222222112cot2sinruuuuuuprrrrrrrrB.C.000rr= r (u = , u =球面上），000cossinrr=, u =u, u =-u,p

18、= p二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律（2）速度及壓力分布300031cos122rrruurr300031sin144rruurr 200003cos2rppurr二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律球坐標(biāo)本構(gòu)方程2rrrupr 1rruuurrr1sinrruuurrr（3）流動阻力二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律A(x , y, z)( , , )r rrrr0 xyzu00u00r0ru =u0ru0u0rur故球面上則球面上代入本構(gòu)方程rrp ruurr代入速度和壓力分布方程0003cos2rrupr003sin2rur 本構(gòu)方程用于球面上二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律流動阻力（斯托克

19、斯方程）rrrA20rrr0000d(cossin )2(cossin )sin24d0fdsFdArdr uruFF 阻力系數(shù)D24CRe適用條件Re 0.1二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律例：根據(jù)粒子沉降的終端速度測定流體粘度：根據(jù)粒子沉降的終端速度測定流體粘度。解：球粒子在粘性流體中降落時，它將一直加速，直至獲得一球粒子在粘性流體中降落時，它將一直加速，直至獲得一恒定的終端速度為止。當(dāng)達(dá)到這一狀態(tài)時，作用于粒子上恒定的終端速度為止。當(dāng)達(dá)到這一狀態(tài)時，作用于粒子上的合力必為零。因此的合力必為零。因此033s00 044gg633rru r式中，式中，r r0 0為球粒子半徑，為球粒子半徑，

20、s s 為球粒子密度，為球粒子密度，為流體密度。為流體密度。則可解得則可解得20s02()g 9ru當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)Re 慣性力，慣性力起主導(dǎo)作用，除壁面附近的流體層外，大部分區(qū)域可按理想流體考慮。 研究理想流體流動的學(xué)科稱為理論流體動力學(xué)，在航空、航天、水利工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。如研究流體繞過沉浸物體的流動的問題時，理想流體的理論可以用來解決壓力分布等問題。一、理想流體的運(yùn)動方程一、理想流體的運(yùn)動方程xxxxxyzuuuu1 puuu+= X -xyz x1yyyyxyzuuuupu+u+u+=Y -xyz yzzzzxyzuuuu1 pu+u+u+= Z -xyz z0 xxxuuu+xyz

21、1DpDBufN-S方程連續(xù)性方程一、理想流體的運(yùn)動方程一、理想流體的運(yùn)動方程 方程特點(diǎn)：非線性偏微分方程組，4個方程，4個變量。為求解析解，可將方程轉(zhuǎn)化為線性方程。為此，引入勢函數(shù)的概念。一、理想流體的運(yùn)動方程一、理想流體的運(yùn)動方程二、流體的旋度與速度勢函數(shù)二、流體的旋度與速度勢函數(shù)yyxxzzuuuuuuyzzxxyuurotijk流體的旋度urot0當(dāng) ， 為無旋流動； ，為有旋流動。urot0速度勢函數(shù) 0,0zuz以二維流動（x，y方向）為例討論：無旋流動時，yyxxzzuuuuuuyzzxxy uurotijk00yxuuxyurotk00yxuuxy二、流體的旋度與速度勢函數(shù)二、

22、流體的旋度與速度勢函數(shù),x x yux()2yxuuyx yx 令0yuxyyuCy積分 ,y x yuy()令C=0, x y(),xyu u 引入勢函數(shù)的目的是將速度變量 用一個變量 代替，從而使方程的求解得以簡化。定義xuxyuy二、流體的旋度與速度勢函數(shù)二、流體的旋度與速度勢函數(shù) 速度勢函數(shù)存在的唯一條件是：流動無旋。因此，在三維流動中，也存在相應(yīng)的速度勢函數(shù)xuxyuyzuzu與 關(guān)系：xyzuuuxyzuijijkk k二、流體的旋度與速度勢函數(shù)二、流體的旋度與速度勢函數(shù)三、勢流的速度與壓力分布三、勢流的速度與壓力分布 勢流理想流體的無旋流動。 勢流的求解：0 xxxuuu+xyz

23、2222220 xyzB.C. x,y,z, （),xyzu u u1.速度分布2.壓力分布2221(2)(2)(2)xxxxyzxxxyyzzyyyxxxxyzzyzzzyzuuuuuuuuuxyzuuuuuuuuuuuuuxxxyxzxuuxyzpuuuuuxxxxXxx 方向的歐拉方程：三、勢流的速度與壓力分布三、勢流的速度與壓力分布 2222xyzuuuu令221yxxzyzuuuuupuuXxyxzx x()x 方向:y 方向:z 方向:221yyxzxzuuuuupuuYyxyzy y()221yxzzxyuuuuupuuZzzxyzz()無旋流動三、勢流的速度與壓力分布三、勢流的

24、速度與壓力分布 221upx x ()221upy y ()221upgzz ()21()2Bupf取坐標(biāo) x，y 水平，z垂直向下BXYZg ijkkf 重力場為有勢場，令單位質(zhì)量流體所具有的勢能為dgdz dddgdzdzdz ijk kk k22up0 0()三、勢流的速度與壓力分布三、勢流的速度與壓力分布 22up 0 0()22up常數(shù)積分 gz 常數(shù)22upgz常數(shù)Bernoulli equation 理想流體作無旋流動時，動能、位能與壓力能之和為常數(shù)，不產(chǎn)生流動阻力。三、勢流的速度與壓力分布三、勢流的速度與壓力分布 3.2 圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)層流3.3 非穩(wěn)態(tài)流動求解的例3.

25、4 極慢黏性流動（爬流）3.5 理想流體的勢流流動3.6 平面流與流函數(shù)的概念一、平面流一、平面流 二、流函數(shù)二、流函數(shù) 3.1 兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流第三章第三章 動量傳遞方程的若干解動量傳遞方程的若干解一、平面流一、平面流 許多流動體系，其一個方向的尺度要比另外兩個方向的尺度大得多，例如矩形管道、流體在一個很寬的平壁面的流動等。對于這類問題，由于流體的物理量在一個方向上無變化或變化很小，可將其按二維流動處理。 穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體的平面流的變化方程：0yxuuxy22221xxxxxyuuuupuuXxyxxy()22221yyyyxyuuuupuuYxy yxy()一、平面流一、平面流 二、流函數(shù)二、流函數(shù) 不可壓縮流體的平面流動的連續(xù)性方程為 0yxuuxy,x x yuy()令2( , )yxuu x yxyy x 0yuyxyuCy積分 令C = 0 ,y x yux ()定義,x x yuy(),y x yux (), x y()流函數(shù)流函數(shù)滿足連續(xù)性方