系統(tǒng)根軌跡分析

1、1、根軌跡的概念：系統(tǒng)中某參數(shù)變化時閉環(huán)極點的集合為根軌跡。例如：負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，閉環(huán)特征方程為特征根為當 變化時，特征根也隨之變化：)2() 1()()(sssksHsG0)2(2ksks24)2(222, 1kkks643131235 . 05 . 013121643131235 . 05 . 0135 . 00103244213245 . 0021jjjsjjjsk0由k2、根軌跡與性能關系：利用根軌跡可分析系統(tǒng)穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能。 例如：K2時，根軌跡都在左半平面，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 時為過阻尼和臨界阻尼，特征根為實根，階躍響應為單調衰減； 時為欠阻尼，特征根為共軛復根，

2、階躍響應為振蕩衰減。324 k3242 k3、為什么要研究根軌跡： 當系統(tǒng)參數(shù)變化特征根也隨之變化，可分析特征根變化對性能影響，因此可繪制根軌跡來分析系統(tǒng)性能；但根據(jù)閉環(huán)特征方程求特征根來繪制根軌跡只適用于一、二階系統(tǒng)、不適用于高階系統(tǒng)，有必要研究一般根軌跡的繪制法則，從而分析系統(tǒng)。4、幅相條件：負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：當 ，有則相角條件為：幅值條件為：njjmiipszsksHsG11)()()()(0由k0)()(1sHsG) 12()()(11lpszsnjjmii111miinjjszksp 1、概念：負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ， 由此畫出的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡為一般根軌跡。本質：由開環(huán)

3、傳函零極點確定閉環(huán)極點的分布。11()( )( )( )()miinjjkszP sGskQ ssp開0:k1、對稱性：以實軸為對稱軸；2、分支數(shù)：等于開環(huán)極點個數(shù)；3、起始點起始點：開環(huán)極點；終止點終止點：開環(huán)零點、“無窮零點”； 一一對應一一對應4、實軸上根軌跡：滿足“右奇”原則；5、分離點、會合點：實軸上根軌跡兩端若都為開環(huán)極點，則必存在分離點；若兩端都是開環(huán)零點（或一個開環(huán)零點一個無窮零點），則必有會合點；解 ，得到的值中取在根軌跡上的值。 分離或會合角為 為分離或會合根軌跡的分支數(shù)。0P QQ P180,dll6、平面上根軌跡的漸近線：漸近線與實軸交點為：漸近線與實軸正方向夾角為：1

4、1nmjijiapznma110),/() 12(mnlmnl、7、根軌跡與虛軸交點方法1：將 代入特征方程，然后令特征方程的實部和虛部為零，即可求得。方法2：利用Roth代數(shù)判據(jù)求得。8、平面上根軌跡的出射角、入射角出射角：入射角：實質：js 1,1(21)()()()()anmpajaijj ailpppz 11,(21)()()()()bnmzbjbijii blzpzz ) 12()()(11lpszsnjjmii1、根軌跡在左右方向上大體平衡，即有向左的軌跡則必有向右的軌跡，且從感官上軌跡長度大體相當；2、靠近虛軸和原點附近的根軌跡盡可能精確繪制，方法是：在草圖基礎上確定若干點，然后

5、對草圖修正；3、根軌跡的“圓”。（P87、P88）1、概念：負反饋系統(tǒng)當 時的根軌跡，或正反饋系統(tǒng) 時的根軌跡。2、繪制法則：與一般根軌跡對比，區(qū)別在于：（1）相角條件由180度變?yōu)?度；（2）實軸上根軌跡滿足“右偶”原則。其余完全相同。0 0度根軌跡與一般根軌跡呈度根軌跡與一般根軌跡呈“對稱性對稱性”。:0k 0:k例：負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為則閉環(huán)特征方程為整理，得再整理，得則可得等價開環(huán)傳遞函數(shù)為)()()()()(sNsMkssHsG0)()()(1sNsMks0)()()(sMkssN0)()()(1sNssMskM)()()()(sNssMskMsGH等價1、基本思路： 構造等價的開環(huán)傳遞函數(shù)，滿足：、其閉環(huán)特征方程與原系統(tǒng)相同；、其參變量與一般根軌跡相同，為根軌跡增益。 繪制等價的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)根軌跡。2、一般步驟： 首先求原系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，其次構造等價的開環(huán)傳遞函數(shù)，最后繪制等價的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的根軌跡即為原系統(tǒng)根軌跡。、得到的等價開環(huán)傳遞函數(shù)其根軌跡可能為一般根軌跡或零度根軌跡，需判定。、得到的等價開環(huán)傳遞函數(shù)可能分子最高次數(shù)比分母最高次數(shù)高，此時可根據(jù)分子、分