系統(tǒng)根軌跡分析

1、1、根軌跡的概念：系統(tǒng)中某參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的集合為根軌跡。例如：負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，閉環(huán)特征方程為特征根為當(dāng) 變化時(shí)，特征根也隨之變化：)2() 1()()(sssksHsG0)2(2ksks24)2(222, 1kkks643131235 . 05 . 013121643131235 . 05 . 0135 . 00103244213245 . 0021jjjsjjjsk0由k2、根軌跡與性能關(guān)系：利用根軌跡可分析系統(tǒng)穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能。 例如：K2時(shí)，根軌跡都在左半平面，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 時(shí)為過阻尼和臨界阻尼，特征根為實(shí)根，階躍響應(yīng)為單調(diào)衰減； 時(shí)為欠阻尼，特征根為共軛復(fù)根，

2、階躍響應(yīng)為振蕩衰減。324 k3242 k3、為什么要研究根軌跡： 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化特征根也隨之變化，可分析特征根變化對(duì)性能影響，因此可繪制根軌跡來分析系統(tǒng)性能；但根據(jù)閉環(huán)特征方程求特征根來繪制根軌跡只適用于一、二階系統(tǒng)、不適用于高階系統(tǒng)，有必要研究一般根軌跡的繪制法則，從而分析系統(tǒng)。4、幅相條件：負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng) ，有則相角條件為：幅值條件為：njjmiipszsksHsG11)()()()(0由k0)()(1sHsG) 12()()(11lpszsnjjmii111miinjjszksp 1、概念：負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ， 由此畫出的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡為一般根軌跡。本質(zhì)：由開環(huán)

3、傳函零極點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn)的分布。11()( )( )( )()miinjjkszP sGskQ ssp開0:k1、對(duì)稱性：以實(shí)軸為對(duì)稱軸；2、分支數(shù)：等于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；3、起始點(diǎn)起始點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)；終止點(diǎn)終止點(diǎn)：開環(huán)零點(diǎn)、“無窮零點(diǎn)”； 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)4、實(shí)軸上根軌跡：滿足“右奇”原則；5、分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)：實(shí)軸上根軌跡兩端若都為開環(huán)極點(diǎn)，則必存在分離點(diǎn)；若兩端都是開環(huán)零點(diǎn)（或一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)一個(gè)無窮零點(diǎn)），則必有會(huì)合點(diǎn)；解 ，得到的值中取在根軌跡上的值。 分離或會(huì)合角為 為分離或會(huì)合根軌跡的分支數(shù)。0P QQ P180,dll6、平面上根軌跡的漸近線：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為：漸近線與實(shí)軸正方向夾角為：1

4、1nmjijiapznma110),/() 12(mnlmnl、7、根軌跡與虛軸交點(diǎn)方法1：將 代入特征方程，然后令特征方程的實(shí)部和虛部為零，即可求得。方法2：利用Roth代數(shù)判據(jù)求得。8、平面上根軌跡的出射角、入射角出射角：入射角：實(shí)質(zhì)：js 1,1(21)()()()()anmpajaijj ailpppz 11,(21)()()()()bnmzbjbijii blzpzz ) 12()()(11lpszsnjjmii1、根軌跡在左右方向上大體平衡，即有向左的軌跡則必有向右的軌跡，且從感官上軌跡長度大體相當(dāng)；2、靠近虛軸和原點(diǎn)附近的根軌跡盡可能精確繪制，方法是：在草圖基礎(chǔ)上確定若干點(diǎn)，然后

5、對(duì)草圖修正；3、根軌跡的“圓”。（P87、P88）1、概念：負(fù)反饋系統(tǒng)當(dāng) 時(shí)的根軌跡，或正反饋系統(tǒng) 時(shí)的根軌跡。2、繪制法則：與一般根軌跡對(duì)比，區(qū)別在于：（1）相角條件由180度變?yōu)?度；（2）實(shí)軸上根軌跡滿足“右偶”原則。其余完全相同。0 0度根軌跡與一般根軌跡呈度根軌跡與一般根軌跡呈“對(duì)稱性對(duì)稱性”。:0k 0:k例：負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為則閉環(huán)特征方程為整理，得再整理，得則可得等價(jià)開環(huán)傳遞函數(shù)為)()()()()(sNsMkssHsG0)()()(1sNsMks0)()()(sMkssN0)()()(1sNssMskM)()()()(sNssMskMsGH等價(jià)1、基本思路： 構(gòu)造等價(jià)的開環(huán)傳遞函數(shù)，滿足：、其閉環(huán)特征方程與原系統(tǒng)相同；、其參變量與一般根軌跡相同，為根軌跡增益。 繪制等價(jià)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)根軌跡。2、一般步驟： 首先求原系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，其次構(gòu)造等價(jià)的開環(huán)傳遞函數(shù)，最后繪制等價(jià)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的根軌跡即為原系統(tǒng)根軌跡。、得到的等價(jià)開環(huán)傳遞函數(shù)其根軌跡可能為一般根軌跡或零度根軌跡，需判定。、得到的等價(jià)開環(huán)傳遞函數(shù)可能分子最高次數(shù)比分母最高次數(shù)高，此時(shí)可根據(jù)分子、分