量子力學(xué)(周世勛)課后答案-第一二章

1、量子力學(xué)課后習(xí)題詳解第一章 量子理論基礎(chǔ)1.1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解 根據(jù)普朗克的黑體輻射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于與+d之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求 對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的的值，記作。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下： 如果令x= ，則上述方程為這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解是

2、平庸的；另外的一個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=4.97，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來(lái)判定溫度的高低。1.2 在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。解：根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知。所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（動(dòng)能），滿足，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量動(dòng)量關(guān)系式，有在這里，利用了，。最后，對(duì) 作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的

3、波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來(lái)的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來(lái)說(shuō)，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。自然單位制： 在粒子物理學(xué)中，利用三個(gè)普適常數(shù)（光速c，約化普朗克常數(shù),玻耳茲曼常數(shù)k）來(lái)減少獨(dú)立的基本物理量的個(gè)數(shù)，從而把獨(dú)立的量綱減少到只有一種（能量量綱，常用單位eV）。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，電子質(zhì)量m=0.51MeV. 核子（氫原子）質(zhì)量M=938MeV，溫度.1.3 氦原子的動(dòng)能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1

4、K時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。解：根據(jù) ，知本題的氦原子的動(dòng)能為顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，便有 這里，利用了。最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為kT，這樣，其相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就為 據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就不能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布玻色分布或費(fèi)米公布。1.4 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；解：玻爾索末菲的量子化條件為： 其

5、中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為m，于是有這樣，便有 這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái)回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)諧振子在最大位移處p=0，可解出 。這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換：這樣，便有 。能量間隔 最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。1.5 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的

6、波長(zhǎng)最大是多少？解：關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問(wèn)題，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具體到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)所需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有此外，還有 于是，有 盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)

7、涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問(wèn)題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來(lái)越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波 函數(shù)和薛定諤方程2.1證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令，得 可見無(wú)關(guān)。2.2 由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： 說(shuō)明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。解：在球坐標(biāo)中所以，。 同向，表示向外傳播的球面波。 反向，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。補(bǔ)充：設(shè)已知t=0時(shí)刻波函數(shù)為，求 。解：無(wú)

8、關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S方程 在各區(qū)域的具體形式為 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)?令，得 其解為 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A、B，由連續(xù)性條件，得 由歸一化條件 得 由三角函數(shù)正交性 可見E是量子化的。對(duì)應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 補(bǔ)充：粒子的一般含時(shí)波函數(shù)為，在t=0時(shí)刻所以，綜上得任意時(shí)刻粒子波函數(shù)為 2.4. 證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是 證： 2.6-14）由歸一化，得 歸一化常數(shù) 2.5 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。解：一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù) ，。得幾率密度為 對(duì)其微

9、分得 由極值條件，令 ， 可得 由的表達(dá)式可知，時(shí)，。顯然不是最大幾率的位置。而 即 可見是所求幾率密度最大的位置。 #2.6在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為 將式中的代換，得 利用，得 比較、式可知，滿足同樣的S-方程，都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。如果體系不存在簡(jiǎn)并，它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此之間只能相差一個(gè)常數(shù)。方程、可相互進(jìn)行空間反演 而得其對(duì)方，由經(jīng)反演，可得， 由再經(jīng)反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。 乘 ，得 可見，即 當(dāng)時(shí)，具有偶宇稱，當(dāng)時(shí)，具有奇宇稱。 如果

10、體系存在簡(jiǎn)并，對(duì)做線性組合：根據(jù)疊加原理，也滿足S-方程，且滿足，具有偶宇稱，具有奇宇稱。S-方程的定態(tài)波函數(shù)可以表達(dá)為（偶宇稱）和（奇宇稱）的疊加形式。綜上，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#2.7 一粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)， 求束縛態(tài)()的能級(jí)所滿足的方程。補(bǔ)充：取電子質(zhì)量，勢(shì)阱深20eV，a=0.5nm，給出基態(tài)（和第一激發(fā)態(tài)）能級(jí)的數(shù)值結(jié)果并作波出函數(shù)和概率密度的圖。解法一：粒子所滿足的定態(tài)S-方程為 按勢(shì)能的形式分區(qū)域的具體形式為 ： ： ： 整理后，得 ： ：. ： 令 則 ： ：. ： 各方程的解為 由波函數(shù)的有限性，有 因此 由波函數(shù)的連續(xù)性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得 解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F，進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式。注意，系數(shù)依賴于未定常數(shù)E，即該方程為數(shù)學(xué)上的本征方程。要方程組有非零解，必須系數(shù)矩陣的行列式為零 即 為所求束縛態(tài)能級(jí)(E)所滿足的方程。注意 都依賴于E，做出函數(shù)的圖，其中束縛態(tài)要求0E