量子信息技術(shù)-第一章

1、 波函數(shù) 的絕對值的平方等于粒子在點 r 附近出現(xiàn)的概率 p：( ) r2( )( )( )( )p rrrr 代表在點 r 附近的小體積元 中找到粒子的概率概率，因此也稱 為概率波幅概率波幅。2( ) rx y z x y z ( ) r 著名物理學家費曼曾指出：量子力學的精妙之處在于引量子力學的精妙之處在于引入概率波幅入概率波幅(即量子態(tài)即量子態(tài))的概念的概念。 關(guān)于量子力學理論是否完備的EPR佯謬長期激烈爭論的焦點也在這個量子態(tài)上。 薛定諤于1932年提出的所謂“薛定諤貓薛定諤貓”佯謬佯謬和愛因斯坦等人在1935年提出的EPR佯謬佯謬。薛定諤貓的實薛定諤貓的實驗裝置巧妙地驗裝置巧妙地將微

2、觀放射源將微觀放射源和宏觀的貓聯(lián)和宏觀的貓聯(lián)系起來！系起來！容器里的貓是死還是活？既然放射性粒子是處于0和1的疊加態(tài)，那么這只貓理應處于死和活的疊加態(tài)。這只在特定狀態(tài)下的半死半活的貓就是著名的“薛定諤貓薛定諤貓”。 薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子微觀世界遵從量子疊加原理；那么，如果自然界確實按照量子力學運行的疊加原理；那么，如果自然界確實按照量子力學運行的話，宏觀世界也應遵從量子疊加原理話，宏觀世界也應遵從量子疊加原理。薛定諤的實驗裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓聯(lián)系起來，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結(jié)論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。然而，隨著量子光學的發(fā)

3、展，人們研究各種制備宏觀量子疊加態(tài)的方案，19971997年科學家終于在離年科學家終于在離子阱中觀察到這種子阱中觀察到這種“薛定諤薛定諤”貓態(tài)貓態(tài)，即一個被觀察的粒子在同一時間里處于兩個不同的狀態(tài)。 薛定諤的問題還可以進一步擴展為：宏觀世界中是否存宏觀世界中是否存在量子效應？在量子效應？事實上，大量實驗事實都肯定地回答了這個問題。最近幾年引起廣泛興趣的玻色愛因斯坦凝聚的實驗研究玻色愛因斯坦凝聚的實驗研究 進展更有力地證實了宏觀量子效應進展更有力地證實了宏觀量子效應。 “EPR佯謬”在近60多年的量子力學發(fā)展中起著重要的推動作用。這個實驗是愛因斯坦等人與量子力學創(chuàng)始人之一的玻爾就有關(guān)量子力學是否

4、自洽、是否完備量子力學是否自洽、是否完備的學術(shù)爭論而引發(fā)的一系列假想實驗中的一個著名的思想實驗。 1935年由愛因斯坦與波多爾斯基(B. Podolsky)、羅森(N. Rosen)聯(lián)名發(fā)表一篇論文，以思想實驗思想實驗結(jié)論的方式對量子力學的完備性提出了質(zhì)疑。量子力學量子力學是否自洽是否自洽是否完備是否完備愛因斯坦(A.Einstein )玻爾波多爾斯基(B. Podolsky)羅森(N. Rosen) 1)引入了物理實在物理實在的假定：如果一個系統(tǒng)，在不對其干擾的情況下能夠確定性地預言某一物理量的值，就說這個物理量是客觀實在，它對應一個物理實在的元素。 2)關(guān)于完備的物理理論完備的物理理論的假

5、定：一個完備的物理理論必定包含對所有的物理實在的描述。 3)關(guān)于定域性定域性的假定：對于兩個離得非常遠的系統(tǒng)，對其中一個系統(tǒng)的測量不能及時影響到另外的系統(tǒng)，即不存在超距的相互作用。12ABABAB 測量 ：z如果 ，那么 。1Az 1Bz測量 ：x如果 ，那么 。1Ax 1Bx112xAAABAB 112xBB 1Az1Bz 如果 ，那么 。 1Ax1Bx 如果 ，那么 。這場爭論的本質(zhì)這場爭論的本質(zhì)真實世界是遵從愛因斯坦的局域?qū)嵲谡?，還是玻爾的非局域理論？判定這場戰(zhàn)爭的依據(jù)判定這場戰(zhàn)爭的依據(jù)基于愛因斯坦的隱參數(shù)理論推到得到的貝爾不等式貝爾不等式！類似測量 ：y如果 ，那么 。1Ay 1By即

6、 、 、 都是物理實在要素，它們在(B粒子)測量之前客觀上都同時具有確定值。xyz而按照量子力學的觀點，由于B粒子的三個自旋算符彼此不對易，它們本來客觀上就是不能同時具有確定值的。1Ay1By 如果 ，那么 。12ABABAB 單次測量有 。 ,1A bB b ,P a bdA aB b 多次測量，在 、 兩個方向測量結(jié)果的關(guān)聯(lián)函數(shù)為ab類似的可以測量 、 ,P a c ,P b c,P a bP a c ( ),dA aB bA aB c ( ),dA aB bA aB c ( ),1,dA aA bA bB c 1.最初的最初的Bell不等式不等式( ),1,dA aA bA bB c ,

7、P a bP a c ( )1,dA bB c ( ) 1,dA bB c ,1,P a bP a cP b c 這就是根據(jù)隱變量理論得出的！,P a bP a c 根據(jù)量子力學，A、B兩個粒子組成一個統(tǒng)一的糾纏態(tài)，對A 粒子沿 方向和B 粒子沿 方向的測量所得的平均值為ab,cos,ABABABP a baba b cos,cos,1 cos,a ba cb c 這很容易破壞。比如，取三矢量共面，夾角為:1 1/ 2量子力學的結(jié)果量子力學的結(jié)果,/3a b,/3b c,2/3a c ，2.CHSH不等式不等式 CHSH不等式在推廣不等式在推廣Bell不等式中，考慮到這類不等式中，考慮到這類關(guān)

8、聯(lián)測量實驗中的一些失誤或誤差因素關(guān)聯(lián)測量實驗中的一些失誤或誤差因素。比如，對A(B)測量中儀器設(shè)備有時可能失效，這時按實驗規(guī)定，儀器裝置給出對A(B)的測量值為零；再比如，制備出的EPR對可能不純，因此同時沿同一方向測量A和B的自旋關(guān)聯(lián)并不嚴格相反等等。這樣1,1A aB b 關(guān)聯(lián)函數(shù) ,P a bdA aB b 注意：,1,1A aB b,P a bP a c ( ),( ),1,dA aB bA aB cdA aB bA dB c ( ),1,dA aB cA dB b ,P a bP a c ( ),1,dA aB bA dB c ( ),1,dA aB cA dB b ( )1,dA

9、dB c ( )1,dA dB b 2,P d cP d b 寫成對稱形式,P a bP a c ,2P d cP d b ,2P a bP a cP d cP d b 量子力學的結(jié)果2222ABABabdcI,0ABABABABabacdcdb 令 ABABabdb ABABdcac那么24,AABBIadbc 44ABIadbc244而22所以2 2例如,cos,ABABABP a baba badcb454545,2P a bP a cP d cP d b cos,cos,cos,cos,a ba cc db d 2 2與矛盾！3.無不等式的無不等式的Bell理論理論-GHZ定理定理 上

10、面都是借助于對各種不等式的破壞對各種不等式的破壞來揭示量子態(tài)的空間非定域性質(zhì)空間非定域性質(zhì)。由于實驗中測量的關(guān)聯(lián)函數(shù)均為態(tài)中的平均值，因此，關(guān)于破壞與否的論斷都是以統(tǒng)計方式作出的。事實上，也可以找到無不等式的無不等式的Bell定理定理，使得人們可以用一種確定的、非統(tǒng)計的方式來揭示量子態(tài)的這種非定域性。 對于三粒子GHZ態(tài)，存在一組相互對易的可觀測量，對于這組力學量的測量，量子力學將以確定的、非統(tǒng)計的方式給出與經(jīng)典定域?qū)嵲谡摬幌嗳莸慕Y(jié)果。GHZGHZGHZGHZGHZGHZGHZGHZABCxyyABCyxyABCyyxABCxxx 三粒子GHZ態(tài)1GHZ0 0 01 1 12ABC對GHZ態(tài)有

11、按照定域?qū)嵲谡撚^點，客觀上應該存在一組數(shù)滿足1,1,1ABCABCABCxyyyxyyyxm m mm m mm m m1ABCxxxm m m 和而前三個式子相乘得到 ，與最后一個矛盾與最后一個矛盾！1ABCxxxm m m 量子糾纏狀態(tài)量子糾纏狀態(tài)(entangled states)：指的是兩個或多個量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)狀態(tài)非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)狀態(tài)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學屬性。量子糾纏狀態(tài)是微觀世界物質(zhì)間的特有現(xiàn)象，因此也是量子信息理論中特有的概念。量子系統(tǒng)能夠糾纏是實現(xiàn)信息高速的不可破譯通信的理論基礎(chǔ)。一一) 兩體系統(tǒng)量子態(tài)分類兩體系統(tǒng)量子態(tài)分類1.可

12、分離態(tài)與糾纏態(tài)可分離態(tài)與糾纏態(tài)可分離態(tài)可分離態(tài)：是這樣一些純態(tài)和混態(tài)，它們的密度矩陣可以寫成一些未關(guān)聯(lián)態(tài)之和kkABkABkp1kkp 不可分離態(tài)不可分離態(tài)：又稱作糾纏態(tài)糾纏態(tài)(包括糾纏純態(tài)和糾纏混態(tài)包括糾纏純態(tài)和糾纏混態(tài))，是所有不能寫成上式形式的，即不能寫成可分離態(tài)形式的態(tài)不能寫成可分離態(tài)形式的態(tài)。(1)ABABABaa例如，下述混態(tài)當 均是糾纏的1/ 2a a=1/2時， 的可分態(tài)形式。AB第一題作業(yè)！2.Schmidt分解定理分解定理適用對象：二子系系統(tǒng)的純態(tài)適用對象：二子系系統(tǒng)的純態(tài)定理內(nèi)容：二粒子系統(tǒng) A、B，其Hilbert空間記為 ，該空間的任一純態(tài) ，能表示成如下的標準形式：

13、 。其中 為 中的一組正交歸一化態(tài)， 為 中的一組正交歸一化態(tài)。ABABiABip iiAiAHBHBiABHH說明：說明： 1) 和 可以是不同維數(shù)的； 2)對于 、 的非零本征值，如果不存在簡并的本征值，則Schmidt分解由 和 唯一確定； 3)如果 、 的本征值存在簡并，Schmidt分解AHBHABABAB的表示不唯一。3.GHJW定理定理混合態(tài)純化：對于任意一個混合態(tài)，總可以找到一個擴展的 Hilbert 空間的純態(tài)，該混合態(tài)可表示為該純態(tài)的約化態(tài)，則這個擴展的純態(tài)稱為該混合態(tài)的純化混合態(tài)的純化。iiABiip iip i iABABTr令iu iiiABABABiip i ip

14、i u iIuGHJW定理：定理：同一個混合態(tài)的兩個不同純化之間相差一個擴展空間（約化空間）的幺正變換。二二) 可分性判據(jù)可分性判據(jù)兩體態(tài)可分離性的兩體態(tài)可分離性的部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)-Peres判據(jù)判據(jù) 兩體雙態(tài)系統(tǒng)密度矩陣 是可分離態(tài)的充要條件充要條件為：對其任一體做部分轉(zhuǎn)置運算后所得矩陣 (或 )仍是半正定的(即不出現(xiàn)負本征值)。也即，對兩體中任一體做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣仍然是個密度矩陣。ABBTABATAB部分轉(zhuǎn)置部分轉(zhuǎn)置，比如對B做部分轉(zhuǎn)置 ，其含義是BT000100000001ABABABABAB020100ABAB030101ABAB000100000010BTABA

15、BABABAB020100ABAB030110ABAB 如果qubit列的疊加狀態(tài)無法用各qubit的張量乘積表示，這種疊加狀態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)量子糾纏狀態(tài)。三三) 量子糾纏狀態(tài)量子糾纏狀態(tài)例：量子態(tài)1111100100 01 001022222量子態(tài)11011022可分態(tài)可分態(tài)最初兩位最初兩位qubit是糾纏狀態(tài)，這個量子態(tài)也是糾纏態(tài)。是糾纏狀態(tài)，這個量子態(tài)也是糾纏態(tài)。再看量子態(tài)111010011100101011001222糾纏態(tài)糾纏態(tài)四個四個Bell態(tài)態(tài)4個貝爾態(tài)個貝爾態(tài)基都是糾纏基都是糾纏狀態(tài)！狀態(tài)！101102101102100112100112生成生成Bell態(tài)態(tài)的量子態(tài)的量子態(tài)

16、變換回路變換回路00011011貝爾狀態(tài)貝爾狀態(tài)是是qubit對對的一組正的一組正規(guī)直交基規(guī)直交基底。底。Bell態(tài)的性質(zhì)態(tài)的性質(zhì)100112得到00的概率22110000001122得到01的概率2210101001102得到10的概率2211010001102得到11的概率22111111001122注意：注意：當?shù)谝晃坏臏y定結(jié)果為0時，第二位也必定為0； 當?shù)谝晃坏臏y定結(jié)果為1時，第二位也必定為1。在量子糾纏狀態(tài)中，在量子糾纏狀態(tài)中，qubit對之間存在一種超強的作用力，對之間存在一種超強的作用力，即即“量子相關(guān)作用量子相關(guān)作用”的相干關(guān)系。的相干關(guān)系。四四) 糾纏度量糾纏度量1.兩體純態(tài)的部分熵糾纏度兩體純態(tài)的部分熵糾纏度兩體純態(tài) 的部分熵糾纏度定義為AB22TrlogTrlogEABAABBABSSS 2.兩體混態(tài)的形成糾纏度兩體混態(tài)的形成糾纏度兩體混態(tài) 的形成糾纏度 minFiEiiEp S 其中的最小取遍 的所有可能的分解iiiip 其物理意義是構(gòu)造 所需要的最小的糾纏。特例：特例： 112ABFCEh其中， 22log1log1h xxxxx 1234max 0,ABC而 是 的本征值的平方根的降序排列。1234, yyyy 對于兩量子比特系統(tǒng)兩量子比特系統(tǒng)，形成糾纏形成糾纏可以解析