注重數(shù)學的整體性,提升系統(tǒng)思維水平(朝陽)

1、注重數(shù)學的整體性，提升系統(tǒng)思維水平注重數(shù)學的整體性，提升系統(tǒng)思維水平人民教育出版社中學數(shù)學室人民教育出版社中學數(shù)學室章建躍章建躍一、關于數(shù)學的整體性一、關于數(shù)學的整體性 整體是事物的一種真實存在形式。整體是事物的一種真實存在形式。 數(shù)學是一個整體。數(shù)學是一個整體。 數(shù)學的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等數(shù)學的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時也體各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關系現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關系上上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系?？v向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。 學生的學習是循序漸進、逐步深入的，概學生的學習是循序漸進、逐步深入的，概

2、念要逐個學，知識要逐步教。如何處理好念要逐個學，知識要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學中的核心問題。這種矛盾，是教學中的核心問題。例例1 從數(shù)及其運算看數(shù)學的整體性從數(shù)及其運算看數(shù)學的整體性 在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺一致，天經(jīng)地義。然而，一致，天經(jīng)地義。然而，0、負整數(shù)、分數(shù)、負整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)、復數(shù)取得、無理數(shù)、復數(shù)取得“合法合法”地位，都經(jīng)地位，都經(jīng)歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學生返歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學生返璞歸真地擇要經(jīng)歷這個過程，對他們理解璞歸真地擇要經(jīng)歷這個過程，對他們理解數(shù)學的整體性、感受數(shù)學研究的數(shù)學的整體性、感受數(shù)

3、學研究的“味道味道”很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學生的數(shù)很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析學素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力的極好和解決問題的能力的極好途徑途徑。數(shù)系擴充中的基本思想數(shù)系擴充中的基本思想 數(shù)學推廣過程的一個重要特性是：使得在數(shù)學推廣過程的一個重要特性是：使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。然成立。 數(shù)系的擴充：引入一種新的數(shù)，就要定義數(shù)系的擴充：引入一種新的數(shù)，就要定義其運算；定義一種運算，就要研究其運算其運算；定義一種運算，就要研究其運算律。律。 擴充的基本原則是：使算術

4、運算的運算律擴充的基本原則是：使算術運算的運算律保持不變。保持不變。 運算是代數(shù)中的核心問題。運算是代數(shù)中的核心問題。數(shù)系擴充的整體結構數(shù)系擴充的整體結構 背景引入（現(xiàn)實、數(shù)學內(nèi)部）、定義和表背景引入（現(xiàn)實、數(shù)學內(nèi)部）、定義和表示（抽象的過程）示（抽象的過程）分類、性質(zhì)、運算分類、性質(zhì)、運算（推理活動）（推理活動）聯(lián)系及其應用（建?；盥?lián)系及其應用（建?；顒樱?。動）。 研究一個數(shù)學新對象的基本研究一個數(shù)學新對象的基本套路套路。數(shù)列課程內(nèi)容的設計思路數(shù)列課程內(nèi)容的設計思路 學生將通過對日常生活中大量實際問題的學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)分析，建立等差數(shù)列

5、和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應用，關系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。并利用它們解決一些實際問題。內(nèi)容和要求內(nèi)容和要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法）數(shù)列的概念和簡單表示法 通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列）等差數(shù)列、等比數(shù)列 通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。通過實例，

6、理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。 探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公項和公式。式。 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系或等比關系，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。并能用有關知識解決相應的問題。 體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關系。體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關系。對內(nèi)容的理解對內(nèi)容的理解 數(shù)列的概念和表示數(shù)列的概念和表示注意從函數(shù)的研究注意從函數(shù)的研究中得到啟發(fā)；中得到啟發(fā)； 等差數(shù)列：概念、表示（通項公式）、性等差數(shù)列：概念、表示（通項公式）、性質(zhì)（等

7、差中項），等差數(shù)列的質(zhì)（等差中項），等差數(shù)列的“原型原型”就就是自然數(shù)列是自然數(shù)列n； 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式：從概念和性質(zhì)中項和公式：從概念和性質(zhì)中推出的自然結果；推出的自然結果； 應用應用作為知識的聯(lián)結點。作為知識的聯(lián)結點。等差數(shù)列的概念和通項公式等差數(shù)列的概念和通項公式 如何教概念？如何教概念？ 問題問題 觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1 1）0 0，5 5，1010，1515，；（2 2）5.55.5，7.57.5，9.59.5，11.511.5，；（3 3）0 0，2.52.5，5.05.0，7.57.5， 追問：是相鄰兩項的差嗎？從第二項起追

8、問：是相鄰兩項的差嗎？從第二項起 這個問題能引出等差數(shù)列的概念嗎？這個問題能引出等差數(shù)列的概念嗎？ 問題不恰當：問題不恰當：（1 1）對概念理解不到位）對概念理解不到位“等差等差”是由運是由運算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，“考察特例考察特例”是一種是一種“基本套路基本套路”；（2 2）對教材不理解）對教材不理解教材是這樣開頭的：教材是這樣開頭的：初中學了實數(shù)及其運算、性質(zhì)?，F(xiàn)在我們初中學了實數(shù)及其運算、性質(zhì)?，F(xiàn)在我們面對一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實面對一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實數(shù)一樣，研究它的項與項的關系、運算和數(shù)一樣，研究它的項與項的關系、

9、運算和性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；（3 3）對學生不理解）對學生不理解這些數(shù)列的共同特征這些數(shù)列的共同特征不只是不只是“等差等差”，沒有從關系、運算等作，沒有從關系、運算等作必要引導，學生的觀察沒有方向。必要引導，學生的觀察沒有方向。如何教通項公式？如何教通項公式？ 什么叫什么叫“通項公式通項公式”？ 研究一個數(shù)學對象的研究一個數(shù)學對象的“基本套路基本套路”是是：獲得對象（下定義）：獲得對象（下定義）表示對象表示對象研究研究性質(zhì)性質(zhì)建立與相關知識的聯(lián)系。建立與相關知識的聯(lián)系。 “通項公式通項公式”等差數(shù)列的一種表示，等差數(shù)列的一種表示，就像函數(shù)的解析

10、式一樣，要回答的是就像函數(shù)的解析式一樣，要回答的是“第第n項項an與序號與序號n的關系的關系”。 “求通項公式求通項公式”從定義出發(fā)。從定義出發(fā)。等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 運算中出現(xiàn)的規(guī)律性運算中出現(xiàn)的規(guī)律性有了運算，數(shù)的有了運算，數(shù)的力量無限。力量無限。 最簡單的等差數(shù)列：三項最簡單的等差數(shù)列：三項“等差中項等差中項”； 如何看如何看“等差中項等差中項”？平均數(shù)！平均數(shù)！ 當當m+n=p +q時，時，am+ an= ap +aq ； 前前n項和公式的教學設計項和公式的教學設計 作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化將將a1=1，d=1一般化。一般化。 如何看

11、如何看1+2+3+n= ？ 有多種角度：有多種角度：“平均數(shù)平均數(shù)”，不同數(shù)求和化歸為，不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，等；相同數(shù)求和，等； “平均數(shù)平均數(shù)”本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：am+ an= ap +aq ，當，當m+n=p +q時時這是這是“倒序求和倒序求和”技巧的源頭。技巧的源頭。21nn教學設計思路教學設計思路 總體思想：希望學生領悟到總體思想：希望學生領悟到“倒序求和倒序求和”技巧的技巧的來源。來源。 問題問題1高斯是如何求出高斯是如何求出1+2+100的？的？ 問題問題2如果從數(shù)列的角度看，你認為他利用了數(shù)列如果從數(shù)列的角度看，你認為他利用了數(shù)列1，2，3，

12、的什么特性？的什么特性？ 問題問題3你能用高斯的方法求你能用高斯的方法求1+2+101嗎？嗎？ 問題問題4如何用高斯的方法求如何用高斯的方法求1+2+n？ 問題問題5一般地，設公差為一般地，設公差為d的等差數(shù)列的等差數(shù)列an，你能，你能求出求出Sn=a1 +a2 +an嗎？（什么叫求嗎？（什么叫求Sn？）？） 回到概念去，回到基本性質(zhì)去回到概念去，回到基本性質(zhì)去返璞歸真，返璞歸真，至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙。至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙。 “倒序求和倒序求和”是雕蟲小技！是雕蟲小技！二、關于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)二、關于系統(tǒng)思維的培養(yǎng) 數(shù)學是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學知識需數(shù)學是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)

13、學知識需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認識對象作要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。系統(tǒng)思維考察認識對象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對事物的認知。系統(tǒng)思能極大地簡化人們對事物的認知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。思維是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。例例 “三角形三角形”研究中的系統(tǒng)思維研究中的系統(tǒng)思維 定義定義“三角形三角形”，明確它的構成要

14、素；用，明確它的構成要素；用符號表示三角形及其構成要素；以要素為符號表示三角形及其構成要素；以要素為標準對三角形進行分類；標準對三角形進行分類；明確研究對明確研究對象象 基本性質(zhì)，即研究要素之間的關系，得到基本性質(zhì)，即研究要素之間的關系，得到 “三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180” 等；等； 研究研究“相關要素及其關系相關要素及其關系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；等； 三角形的全等（反映空間的對稱性，三角形的全等（反映空間的對稱性，“相相等等”是重要的數(shù)學關系，也可以看成是重要的數(shù)學關系，也可以看成“確確定一個三角形的條件定一個三角形的條

15、件”）；）； 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）； 三角形的變換（如相似三角形等）；三角形的變換（如相似三角形等）； 直角三角形的邊角關系（銳角三角函數(shù)）直角三角形的邊角關系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；，解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作為一個系統(tǒng)進行研究把三角形作為一個系統(tǒng)進行研究 明確研究對象（定義、表示、分類）明確研究對象（定義、表示、分類） 性質(zhì)（要素、相關要素的相互關系）性質(zhì)（要素、相關要素的相互關系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系；聯(lián)系； 定性研究（

16、相等、不等、對稱性等）定性研究（相等、不等、對稱性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學生養(yǎng)成全面思培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學生養(yǎng)成全面思考問題的習慣，避免考問題的習慣，避免“見木不見林見木不見林”，進，進而使他們在面對數(shù)學問題時，能把解決問而使他們在面對數(shù)學問題時，能把解決問題的目標、實現(xiàn)目標的過程、解決過程的題的目標、實現(xiàn)目標的過程、解決過程的優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，整體進行研究。這樣，“使學生學會思考使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的

17、人才，成為善于認識和解決問題的人才”就能就能落在實處。落在實處。什么叫性質(zhì)？什么叫性質(zhì)？ 性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。穩(wěn)定的聯(lián)系。 問題：這里的問題：這里的“事物內(nèi)部事物內(nèi)部”指什么？指什么？“穩(wěn)穩(wěn)定的聯(lián)系定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系聯(lián)系”？ 從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之兩邊之和大于第三邊和大于第三邊”、“大邊對大角大邊對大角”、“等等邊對等角邊對等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ “內(nèi)部內(nèi)部”可以是可以是“三角形的組成要素三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的

18、聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是指是指“三角形要素之間確三角形要素之間確定的關系定的關系”。 幾何對象組成要素之間確定的關系就是性幾何對象組成要素之間確定的關系就是性質(zhì)。質(zhì)。 從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三三條高交于一點條高交于一點”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關要素，這些形的相關要素，這些“相關要素相關要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部”。 要素、相關要素間確定的關系也是性質(zhì)。要素、相關要素間確定的關系也是性質(zhì)。 兩個幾何事物所

19、形成的某種位置關系所體兩個幾何事物所形成的某種位置關系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位同位角相等角相等”、“內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等”以及以及“同旁內(nèi)同旁內(nèi)角互補角互補”可以想到，這時的可以想到，這時的“性質(zhì)性質(zhì)”是借是借助助“第三條直線第三條直線”構成一些角，然后看由構成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系所決定的這些兩條直線平行這一位置關系所決定的這些角之間有什么確定的關系。角之間有什么確定的關系。 研究兩個幾何事物的某種位置關系下具有研究兩個幾何事物的某種位置關系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關系下的什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關系下的兩個幾何事

20、物與其他幾何事物之間是否形兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關系入手。成確定的關系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì) 要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角；要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角； 相關要素：弦、圓周角相關要素：弦、圓周角 你認為可以怎樣引導學生發(fā)現(xiàn)和提出值得你認為可以怎樣引導學生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？研究的命題？ 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何一條弦；一條弦； 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條??；所對的兩條??； 在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相等在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相

21、等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對的弦較大（弦心距較?。?；逆定理弧所對的弦較大（弦心距較?。?；逆定理也成立。也成立。 切線垂直于過切點的半徑。切線垂直于過切點的半徑。 過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關的定理嗎？你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關的定理嗎？如何引導學生觀察幾何體的結構特征如何引導學生觀察幾何體的結構特征棱柱棱柱 要素、相關要素：面、棱、頂點、面對角要素、相關要素：面、棱、頂點、面對角線、體對角線、高線、體對角線、高 要素、相關要素之間的關系：面與面、棱要素、相關要素之間的關系：面與面

22、、棱與棱、面與棱與棱、面與棱 特例：長方體特例：長方體正方體，平行六面體正方體，平行六面體 直線與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì) 位置關系：直線位置關系：直線l 平面平面； 其他事物：直線、平面；其他事物：直線、平面； 命題：命題：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）與）與“公理公理”相聯(lián)系，直線相聯(lián)系，直線l與平面與平面 內(nèi)任內(nèi)任

23、意一點意一點A確定一個平面確定一個平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 內(nèi)，內(nèi)，則或者則或者ml，或者，或者m與與l是異面直線。是異面直線。（11）直線）直線m與直線與直線l異面，則過直線異面，則過直線m有且有且只有一個平面與直線只有一個平面與直線l平行。平行。（12）l ， =l， =l1， =l2，那那么么l1l2。從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設計教學從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設計教學 以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學生的認知規(guī)律設計教學，使學生經(jīng)歷研究生的認知規(guī)律設計教學，使學生經(jīng)歷研究一個數(shù)學對象的基本過

24、程，提高發(fā)現(xiàn)和提一個數(shù)學對象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認識和解決問題的能力。識和解決問題的能力。數(shù)學化的過程數(shù)學化的過程關于正弦定理、余弦定理的教學關于正弦定理、余弦定理的教學 教學設計中，加強思想方法、解決問題的教學設計中，加強思想方法、解決問題的策略等方面的思考：策略等方面的思考： 如何發(fā)現(xiàn)問題；如何發(fā)現(xiàn)問題； 從定性到定量地研究問題；從定性到定量地研究問題； 將新問題化歸為舊問題；將新問題化歸為舊問題； 從知識的相互聯(lián)系性思考問題；等等。從知識的相互聯(lián)系性思考問題；等等。如何研究一個數(shù)學對象（問題）如何研究一個數(shù)學對象（

25、問題） 數(shù)學中，往往是在定性研究問題后，希望數(shù)學中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結果。一個三角形有六個要素得到定量的結果。一個三角形有六個要素，由全等三角形的，由全等三角形的“基本事實基本事實”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的問題？，你能提出什么新的問題？ 六個要素中，只要知道三個（其中至少有六個要素中，只要知道三個（其中至少有一個是邊），三角形就唯一確定。也就是一個是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個要素可以由這三個要素唯一說，其余三個要素可以由這三個要素唯一確定。從定量角度，由這三個要素可以求確定。從定量角度，由這三個要素可以求出其余三個要素。出

26、其余三個要素。 對于對于“解三角形解三角形”，你會哪些知識？，你會哪些知識？會解直角三角形，對于一般三角形，只有會解直角三角形，對于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理”。 給定兩邊一夾角，求其他邊、角給定兩邊一夾角，求其他邊、角化歸化歸為直角三角形。為直角三角形。 還有沒有其他方法？還有沒有其他方法？從知識的聯(lián)系性從知識的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關的知識還有哪些？出發(fā)，與解三角形相關的知識還有哪些？怎么用？怎么用？ 你還能提出哪些問題？你還能提出哪些問題？ 對于一個確定的三角形，其外接圓是唯一對于一個確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形確定的，因此外接圓的半徑可

27、以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？來表示它的外接圓半徑？ 對于一個確定的三角形，它的高、中線、對于一個確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？用三角形的邊、角來表示它們的度量？ 一個三角形包含的各種幾何量，如三邊的一個三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長、角平分線長等，這是三徑、高、中線長、角平分線長等，這是三角形這個整體中的各種要素。對它們之間角形這

28、個整體中的各種要素。對它們之間存在的各種函數(shù)關系的研究中，可以體現(xiàn)存在的各種函數(shù)關系的研究中，可以體現(xiàn)出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維、掌握維、掌握“認識、解決問題的方法認識、解決問題的方法”、提、提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力等方面都能發(fā)揮很好的作用。力等方面都能發(fā)揮很好的作用。二元一次不等式表示平面區(qū)域二元一次不等式表示平面區(qū)域 如何提出問題？如何獲得猜想？如何提出問題？如何獲得猜想？ 從具體到抽象、從特殊到一般從具體到抽象、從特殊到一般強調(diào)歸強調(diào)歸納的過程。納的過程。 直角坐標系中，方程直角坐標系中，

29、方程xy6=0的解為坐標的解為坐標的點在直線的點在直線l上；同時，直線上；同時，直線l上的點的坐標上的點的坐標都是方程都是方程xy6=0的解的解由此你能提出由此你能提出什么新問題？什么新問題？ (x0 ,y0)不在直線不在直線l上，則上，則x0y060 x0y060或或x0y060。 坐標平面被直線坐標平面被直線xy6=0分成三個部分，分成三個部分，它們與它們與xy60， xy6=0 ，xy60有什么關系呢？有什么關系呢？ 任意取點，代入，找規(guī)律任意取點，代入，找規(guī)律發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)“同側同側同號同號”。如何證明如何證明“同側同號同側同號” 點點P0 (x0 ,y0 )在直線在直線Ax+By+C=0的

30、的“左上方左上方”、“右下方右下方”如何用數(shù)量關系表達？如何用數(shù)量關系表達？ y P(x0 ,y0 ) O x獲得證明思路的關鍵獲得證明思路的關鍵 對解析幾何的基本思想（坐標法）的理解對解析幾何的基本思想（坐標法）的理解深度；深度； 對對“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決法解決”的認識；的認識； 在直角坐標系中，幾何方位的代數(shù)化在直角坐標系中，幾何方位的代數(shù)化以坐標軸為基準，用不等式表示以坐標軸為基準，用不等式表示“上下左上下左右右”的關系。所以，歸根到底是對直角坐的關系。所以，歸根到底是對直角坐標系、點的坐標等概念的認識和應用。標系、點的坐標等概念的認識

31、和應用。 三、充分重視教育信息化三、充分重視教育信息化 信息技術對教育發(fā)展具有革命性影響，必須予信息技術對教育發(fā)展具有革命性影響，必須予以高度重視。要通過教育信息化體系的建設促以高度重視。要通過教育信息化體系的建設促進教育內(nèi)容、教學手段和教學方法的現(xiàn)代化。進教育內(nèi)容、教學手段和教學方法的現(xiàn)代化。要強化信息技術應用，提高教師應用信息技術要強化信息技術應用，提高教師應用信息技術水平，更新教學觀念，改進教學方法，提高教水平，更新教學觀念，改進教學方法，提高教學效果。鼓勵學生利用信息手段主動學習、自學效果。鼓勵學生利用信息手段主動學習、自主學習，增強運用信息技術分析解決問題的能主學習，增強運用信息技術

32、分析解決問題的能力。力。 國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（要（20102020年）年） 課堂教學中強化信息技術的應用，是建設課堂教學中強化信息技術的應用，是建設創(chuàng)新型國家的需要，與國家的未來發(fā)展、創(chuàng)新型國家的需要，與國家的未來發(fā)展、學生的未來前途命運高度相關。因為信息學生的未來前途命運高度相關。因為信息技術本質(zhì)上是技術本質(zhì)上是“數(shù)學技術數(shù)學技術”，所以在提高，所以在提高學生利用信息手段自主學習，增強運用信學生利用信息手段自主學習，增強運用信息技術分析解決問題的能力上，數(shù)學課程息技術分析解決問題的能力上，數(shù)學課程負有更大的責任。數(shù)學教學中使用信息技負有更大的責任。

33、數(shù)學教學中使用信息技術是天經(jīng)地義的，廣大中學數(shù)學教師應當術是天經(jīng)地義的，廣大中學數(shù)學教師應當對此作出積極回應。對此作出積極回應。如何理解如何理解“信息技術信息技術”？ 信息技術不同于信息技術不同于“人造工具人造工具”。 它是高科技產(chǎn)品，體現(xiàn)了人類強大的創(chuàng)造它是高科技產(chǎn)品，體現(xiàn)了人類強大的創(chuàng)造力，聚集了人類智力活動的最高成果，是力，聚集了人類智力活動的最高成果，是“人造工具人造工具”和和“智力技能智力技能”的綜合的綜合“硬件硬件”是人造工具，是人造工具，“軟件軟件”是智力技能是智力技能，只有在兩者綜合一起時，信息技術才能，只有在兩者綜合一起時，信息技術才能發(fā)揮作用。發(fā)揮作用。 人類是一種科技的動

34、物；人類是一種科技的動物； 人類社會進步以技術進步為標志；人類社會進步以技術進步為標志； 技術的進步使人類生活越來越容易技術的進步使人類生活越來越容易人人類為了使自己更省時省力且可靠地做事而類為了使自己更省時省力且可靠地做事而不斷地發(fā)明工具。不斷地發(fā)明工具。在數(shù)學教育中使用技術在數(shù)學教育中使用技術 從上世紀從上世紀70年代初開始，數(shù)學和數(shù)學教育年代初開始，數(shù)學和數(shù)學教育在不斷地引進信息技術：算術四則運算計在不斷地引進信息技術：算術四則運算計算器，然后是科學計算器、各種微機應用算器，然后是科學計算器、各種微機應用軟件、圖形計算器和軟件、圖形計算器和CAS的手持計算器等的手持計算器等。 目前，發(fā)達

35、國家在課堂中使用圖形計算器目前，發(fā)達國家在課堂中使用圖形計算器已成為常態(tài)，而且考試中也允許使用。已成為常態(tài)，而且考試中也允許使用。 計算機代數(shù)系統(tǒng)、統(tǒng)計分析系統(tǒng)和動態(tài)幾計算機代數(shù)系統(tǒng)、統(tǒng)計分析系統(tǒng)和動態(tài)幾何系統(tǒng)等技術，已變得越來越有用且便宜何系統(tǒng)等技術，已變得越來越有用且便宜，因而被不斷地應用到數(shù)學教學和學習中，因而被不斷地應用到數(shù)學教學和學習中?，F(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了許多功能強大、用途明?，F(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了許多功能強大、用途明確的數(shù)學應用軟件，包括確的數(shù)學應用軟件，包括Mathematica、Matlib、電子制表軟件、統(tǒng)計分析系統(tǒng)、電子制表軟件、統(tǒng)計分析系統(tǒng)、z+z超級畫板、動態(tài)幾何系統(tǒng)軟件（如超級畫

36、板、動態(tài)幾何系統(tǒng)軟件（如Cabri-Geomtre）、幾何畫板等。、幾何畫板等。 信息技術能給予教學全方位的支持，教師和學信息技術能給予教學全方位的支持，教師和學生可以利用技術的強大功能，做過去課堂中完生可以利用技術的強大功能，做過去課堂中完全做不到的事情。例如，全做不到的事情。例如，TI-nspire CAS計算計算器的功能設計具有如下特點：器的功能設計具有如下特點： 為數(shù)學學習提供為數(shù)學學習提供“應用套件應用套件”，形成數(shù)據(jù)、圖，形成數(shù)據(jù)、圖形、方程、模型（函數(shù)）等的聯(lián)動，真正實現(xiàn)形、方程、模型（函數(shù)）等的聯(lián)動，真正實現(xiàn)代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)處理等不同數(shù)學分支的融合代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)處理等不同數(shù)學

37、分支的融合，為學生的探究活動提供強大的技術支持，為，為學生的探究活動提供強大的技術支持，為有不同認知風格、不同表達習慣的學生提供數(shù)有不同認知風格、不同表達習慣的學生提供數(shù)學理解的機會；學理解的機會； 生成生成tns格式的文件，真實、完整地記錄作業(yè)格式的文件，真實、完整地記錄作業(yè)過程，給教師和學生自己分析學習過程提供了過程，給教師和學生自己分析學習過程提供了依據(jù)，也提供了方便；依據(jù)，也提供了方便； 利用局域網(wǎng)絡系統(tǒng)為數(shù)學課堂營造即時互動、利用局域網(wǎng)絡系統(tǒng)為數(shù)學課堂營造即時互動、共同學習的環(huán)境，幫助教師觀察學生的學習過共同學習的環(huán)境，幫助教師觀察學生的學習過程，為師生、生生交流互動提供了有力工具，

38、程，為師生、生生交流互動提供了有力工具，教師可以即時了解學生的學習情況，展示學生教師可以即時了解學生的學習情況，展示學生作業(yè)，有針對性地進行作業(yè)討論、評價，利用作業(yè)，有針對性地進行作業(yè)討論、評價，利用課堂生成的教學資源，啟發(fā)思維，促進理解課堂生成的教學資源，啟發(fā)思維，促進理解改變了課堂生態(tài)改變了課堂生態(tài)； 利用配套數(shù)據(jù)收集工具收集真實反映事物利用配套數(shù)據(jù)收集工具收集真實反映事物變化狀況的數(shù)據(jù)，即時傳導，并用圖形、變化狀況的數(shù)據(jù)，即時傳導，并用圖形、數(shù)據(jù)表等方式記錄和顯示，數(shù)據(jù)的收集和數(shù)據(jù)表等方式記錄和顯示，數(shù)據(jù)的收集和變化可以實現(xiàn)動態(tài)關聯(lián)，從而讓使用者能變化可以實現(xiàn)動態(tài)關聯(lián)，從而讓使用者能從多

39、角度開發(fā)和利用數(shù)據(jù)。從多角度開發(fā)和利用數(shù)據(jù)。教育技術的設計理念教育技術的設計理念 從學生學習需要出發(fā)，為學生提供內(nèi)容豐從學生學習需要出發(fā)，為學生提供內(nèi)容豐富、形象化、動態(tài)化的學習工具，幫助學富、形象化、動態(tài)化的學習工具，幫助學生理解數(shù)學，提高學習效率和效果。生理解數(shù)學，提高學習效率和效果。信息技術對數(shù)學教育發(fā)展的影響信息技術對數(shù)學教育發(fā)展的影響 信息技術不僅是工具，也是數(shù)學的一部分。信息技術不僅是工具，也是數(shù)學的一部分。 信息技術是一種認知工具。信息技術可以促進信息技術是一種認知工具。信息技術可以促進教學內(nèi)容的變革，可以減少與教學內(nèi)容的變革，可以減少與“體力勞動體力勞動”相相關的內(nèi)容，增加與關

40、的內(nèi)容，增加與“腦力勞動腦力勞動”相關的內(nèi)容；相關的內(nèi)容； 信息技術可以消除運算能力弱而帶來的學習差信息技術可以消除運算能力弱而帶來的學習差異；異； 信息技術可以讓學生有更多的時間用于理解數(shù)信息技術可以讓學生有更多的時間用于理解數(shù)學本質(zhì)，更有效地培養(yǎng)學生的想象力和創(chuàng)造力學本質(zhì)，更有效地培養(yǎng)學生的想象力和創(chuàng)造力； 信息技術可以在學習方式變革（獨立思考、自信息技術可以在學習方式變革（獨立思考、自主探究、合作交流等）中扮演重要角色。主探究、合作交流等）中扮演重要角色。 數(shù)學課程的設計，應該以數(shù)學課程的設計，應該以“純粹數(shù)學純粹數(shù)學”為載體為載體（數(shù)學課要教數(shù)學（數(shù)學課要教數(shù)學如果想讓學生學會數(shù)學如果

41、想讓學生學會數(shù)學，那么我們就必須在課堂上教真正的數(shù)學），那么我們就必須在課堂上教真正的數(shù)學），以培養(yǎng)學生的思維能力為核心，為學生構建有以培養(yǎng)學生的思維能力為核心，為學生構建有價值的（實用價值和精神價值）、富有挑戰(zhàn)性價值的（實用價值和精神價值）、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習過程。從學生的長期利益出發(fā)，為的數(shù)學學習過程。從學生的長期利益出發(fā)，為了使學生獲得信息化社會的生存技能和人生幸了使學生獲得信息化社會的生存技能和人生幸福，必須促使學生認識到數(shù)學在福，必須促使學生認識到數(shù)學在“信息技術社信息技術社會會”中的重要性，增強學生有效使用數(shù)學的思中的重要性，增強學生有效使用數(shù)學的思想、方法和技術處理問題的自信心

42、，使他們在想、方法和技術處理問題的自信心，使他們在利用技術學習數(shù)學的過程中，自然地、水到渠利用技術學習數(shù)學的過程中，自然地、水到渠成地掌握信息技術。成地掌握信息技術。 為什么要把使用信息技術作為一項數(shù)學活為什么要把使用信息技術作為一項數(shù)學活動？動？因為它已經(jīng)在深刻地影響著數(shù)學和數(shù)學因為它已經(jīng)在深刻地影響著數(shù)學和數(shù)學教育的發(fā)展進程；技術已成為數(shù)學的一部教育的發(fā)展進程；技術已成為數(shù)學的一部分；就像現(xiàn)在數(shù)學教師已經(jīng)習慣使用分；就像現(xiàn)在數(shù)學教師已經(jīng)習慣使用PPT、幾何畫板等一樣，借助信息技術以獲得、幾何畫板等一樣，借助信息技術以獲得結果也將成為數(shù)學教學和學習的一部分。結果也將成為數(shù)學教學和學習的一部分

43、。信息技術的恰當使用信息技術的恰當使用 數(shù)學教學中使用信息技術有利有弊數(shù)學教學中使用信息技術有利有弊重重要的是了解信息技術對學生掌握數(shù)學知識要的是了解信息技術對學生掌握數(shù)學知識的影響方式，趨利避害。的影響方式，趨利避害。 信息技術的一個關鍵特征是它運用數(shù)字、信息技術的一個關鍵特征是它運用數(shù)字、圖形和符號，為抽象的數(shù)學理論構建了一圖形和符號，為抽象的數(shù)學理論構建了一個直觀、動態(tài)的模型。個直觀、動態(tài)的模型。 解題解題直接得到結果直接得到結果計算能力、推計算能力、推理能力下降（？）理能力下降（？）現(xiàn)實現(xiàn)實 觀念上認同，實施中不用觀念上認同，實施中不用高考不能用高考不能用！ 信息技術被廣泛地用于工作、

44、個人生活和信息技術被廣泛地用于工作、個人生活和教育情境中，已經(jīng)成為信息和知識的生產(chǎn)教育情境中，已經(jīng)成為信息和知識的生產(chǎn)、使用、存儲、評價、分析和交流的組成、使用、存儲、評價、分析和交流的組成部分。因此，掌握使用信息技術的技能，部分。因此，掌握使用信息技術的技能，就象學會說話一樣的重要。熟練掌握各種就象學會說話一樣的重要。熟練掌握各種信息技術意味著有更多的機會。信息技術意味著有更多的機會。 不是不是“用不用用不用”，而是，而是“如何用得更好如何用得更好”！使用技術的理由使用技術的理由（1）改善了傳統(tǒng)數(shù)學內(nèi)容的教學）改善了傳統(tǒng)數(shù)學內(nèi)容的教學例如，信息技例如，信息技術使對應關系變得術使對應關系變得“

45、可操作可操作”、“可視化可視化”，強大，強大的作圖和圖形變換功能使圖像的動態(tài)演示變得的作圖和圖形變換功能使圖像的動態(tài)演示變得“唾唾手可得手可得”，因此函數(shù)概念的教學變得容易了；，因此函數(shù)概念的教學變得容易了；（2）為數(shù)學內(nèi)容的重新選擇和組織提供了機會）為數(shù)學內(nèi)容的重新選擇和組織提供了機會如微積分、統(tǒng)計、概率等將大量進入，而傳統(tǒng)的初如微積分、統(tǒng)計、概率等將大量進入，而傳統(tǒng)的初等數(shù)學內(nèi)容將被精簡；等數(shù)學內(nèi)容將被精簡；（3）為由于過難而無法進行有效教學的重要數(shù)學思）為由于過難而無法進行有效教學的重要數(shù)學思想的教學提供了途徑想的教學提供了途徑例如在信息技術支持下，例如在信息技術支持下，“逼近逼近”的過

46、程得到直觀顯示，而使極限思想的教的過程得到直觀顯示，而使極限思想的教學變得容易了；學變得容易了；（4）是進行數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的）是進行數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的“催化劑催化劑”技術的強大數(shù)值運算、代數(shù)推理、統(tǒng)計分析、技術的強大數(shù)值運算、代數(shù)推理、統(tǒng)計分析、動態(tài)幾何等功能，使我們能做到動態(tài)幾何等功能，使我們能做到“一有想法就一有想法就試試看試試看”；（5）大大擴展了教學中可作為研究事例的范圍）大大擴展了教學中可作為研究事例的范圍例如我們可以選擇那些現(xiàn)實發(fā)生、包含復例如我們可以選擇那些現(xiàn)實發(fā)生、包含復雜數(shù)據(jù)的問題作為研究對象；雜數(shù)據(jù)的問題作為研究對象；（6）能為建立不同數(shù)學表達之間的聯(lián)系提供強）能為建立不同數(shù)

47、學表達之間的聯(lián)系提供強大支持大支持技術允許學生同時運用不同的數(shù)學技術允許學生同時運用不同的數(shù)學表達來進行數(shù)學探索；表達來進行數(shù)學探索；（7）為教師備課、編寫教案提供了有力的輔助）為教師備課、編寫教案提供了有力的輔助手段手段信息技術可以為教師提供隨心所欲地信息技術可以為教師提供隨心所欲地調(diào)用資料的教學資源包；調(diào)用資料的教學資源包；（8）在高中階段，借助技術可以提升概念和算）在高中階段，借助技術可以提升概念和算法的發(fā)展等級水平法的發(fā)展等級水平學生可以用更多精力專學生可以用更多精力專注于概念的理解和算法的設計；注于概念的理解和算法的設計；（9）技術代替手工進行冗長而復雜的計算）技術代替手工進行冗長而復雜的計算學生能將注意力集中在數(shù)學的概念方面，有更學生能將注意力集中在數(shù)學的概念方面，