第2章單純形法的幾種特殊情況

1、管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)14幾種特殊情況 . 0,40,30,1501033020max212112121xxxxxxxxxz約束條件目標(biāo)函數(shù)一、無可行解一、無可行解 例例1、用單純形表求解下列線性規(guī)劃問題、用單純形表求解下列線性規(guī)劃問題解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量、剩余變量、人工變量得到：解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量、剩余變量、人工變量得到： 121121121231121231max2030310150,30,40,0.zxxMaxxsxsxxsax x s s s a目標(biāo)函數(shù)約束條件 填入單純形表計(jì)算得：填入單純形表計(jì)算得：管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)24幾種特殊

2、情況迭迭代代次次數(shù)數(shù)基變基變量量CBx1 x2 s1 s2 s3 a1b比值比值20 30 0 0 0 -M0s1s2a100-M3 10 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 0 0 -1 11503040150/1040/1zjcj-zj-M -M 0 0 M -M20+M 30+M 0 0 -M 0-40M1x2s2a1300-M3/10 1 1/10 0 0 0 1 0 0 1 0 07/10 0 -1/10 0 -1 115302515/(3/10)30/125/(7/10)zjcj-zj9-7/10M 30 3+M/10 0 M -M11+7/10M 0 -3-M/10 0

3、-M 0 450-25M2x2x1a13020-M0 1 1/10 -3/10 0 01 0 0 1 0 00 0 -1/10 -7/10 -1 1 6304zjcj-zj20 30 3+M/10 11+7M/10 M -M0 0 -3-M/10 -11-7M/10 -M 0780-4M管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)34幾種特殊情況 從第二次迭代的檢驗(yàn)數(shù)都小于零來看，可知第從第二次迭代的檢驗(yàn)數(shù)都小于零來看，可知第2次迭代所得的基本可次迭代所得的基本可行解已經(jīng)是最優(yōu)解了，其最大的目標(biāo)函數(shù)值為行解已經(jīng)是最優(yōu)解了，其最大的目標(biāo)函數(shù)值為780-4M。我們把最優(yōu)解。我們把最優(yōu)解x1=30,x2=6,s1=

4、0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三個約束方程得代入第三個約束方程得x1+x2-0+4=40,即有：即有：x1+x2=3640. 并不滿足原來的約束條件并不滿足原來的約束條件3，可知原線性規(guī)劃問題無可行解，或者說，可知原線性規(guī)劃問題無可行解，或者說其可行解域?yàn)榭占?，?dāng)然更不可能有最優(yōu)解了。其可行解域?yàn)榭占?，?dāng)然更不可能有最優(yōu)解了。 像這樣只要求線性規(guī)劃的像這樣只要求線性規(guī)劃的最優(yōu)解里有人工變量大于零最優(yōu)解里有人工變量大于零，則此線性規(guī)劃，則此線性規(guī)劃無可行解無可行解。二、無界解二、無界解 在求目標(biāo)函數(shù)最大值的問題中，所謂無在求目標(biāo)函數(shù)最大值的問題中，所謂無界解是指在約束條件下目標(biāo)函數(shù)值可

5、以取界解是指在約束條件下目標(biāo)函數(shù)值可以取任意的大。下面我們用單純形表來求第二任意的大。下面我們用單純形表來求第二章中的例子。章中的例子。例例2 2、用單純形表求解下面線性、用單純形表求解下面線性規(guī)劃問題。規(guī)劃問題。 12121212max1,326,0.zxxxxxxx x目標(biāo)函數(shù)約束條件管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)44幾種特殊情況 迭迭代代次次數(shù)數(shù)基基變變量量CBx1 x2 s1 s2b比比值值1 1 0 00s1s2001 -1 1 0-3 2 0 1161zjcj-zj0 0 0 0 1 1 0 001x1s2101 -1 1 0 0 -1 3 119zjcj-zj1 -1 1 00 2

6、 -1 01填入單純形表計(jì)算得：填入單純形表計(jì)算得：解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量，得標(biāo)準(zhǔn)型如下：解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量，得標(biāo)準(zhǔn)型如下：121211221212max1,326,0.zxxxxsxxsx x s s目標(biāo)函數(shù)約束條件管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)54幾種特殊情況 12a 從單純形表中，從第一次迭代從單純形表中，從第一次迭代x2的檢驗(yàn)數(shù)等于的檢驗(yàn)數(shù)等于2，可知所得的基本可行，可知所得的基本可行解解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最優(yōu)解。同時(shí)我們也知道如果進(jìn)行第不是最優(yōu)解。同時(shí)我們也知道如果進(jìn)行第2次迭代，那次迭代，那么就選么就選x2為入基變量，但是在

7、選擇出基變量時(shí)遇到了問題：為入基變量，但是在選擇出基變量時(shí)遇到了問題： =-1, =-1,找找不到大于零的比值來確定出基變量不到大于零的比值來確定出基變量。事實(shí)上如果我們碰到這種情況就可以。事實(shí)上如果我們碰到這種情況就可以斷定斷定這個線性規(guī)劃問題是無界這個線性規(guī)劃問題是無界的，也就是說在此線性規(guī)劃的約束條件下，的，也就是說在此線性規(guī)劃的約束條件下，此目標(biāo)函數(shù)值可以取得無限大。從此目標(biāo)函數(shù)值可以取得無限大。從1次迭代的單純形表中，得到約束方程：次迭代的單純形表中，得到約束方程：22a 移項(xiàng)可得：移項(xiàng)可得：1212121,39.xxsxss121221211212121,39.,0,1,0,9.1

8、21.xxssxsxM sxMxMssMzxxMMM 不妨設(shè)可得一組解：顯然這是線性規(guī)劃的可行解，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)64幾種特殊情況 ij 由于由于M可以是任意大的正數(shù)，可知此目標(biāo)函數(shù)值無界?？梢允侨我獯蟮恼龜?shù)，可知此目標(biāo)函數(shù)值無界。 上述的例子告訴了我們在單純形表中識別線性規(guī)劃問題是無界的方法：上述的例子告訴了我們在單純形表中識別線性規(guī)劃問題是無界的方法：在某次迭代的單純形表中，如果在某次迭代的單純形表中，如果存在著一個大于零的檢驗(yàn)數(shù)存在著一個大于零的檢驗(yàn)數(shù) ，并且，并且該列該列的系數(shù)向量的每個元素的系數(shù)向量的每個元素aij(i=1,2,m)都小于或等于零都小于或等于零

9、，則此線性規(guī)劃問題，則此線性規(guī)劃問題是無界是無界的，一般地說此類問題的出現(xiàn)是由于建模的錯誤所引起的。的，一般地說此類問題的出現(xiàn)是由于建模的錯誤所引起的。三、無窮多最優(yōu)解三、無窮多最優(yōu)解例例3、用單純形法表求解下面的線性規(guī)劃問題。、用單純形法表求解下面的線性規(guī)劃問題。121212212max5050300,2400,250,0.zxxxxxxxx x目標(biāo)函數(shù)約束條件管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)74幾種特殊情況 解：此題我們用圖解法已求了解，現(xiàn)在用單純形表來求解。解：此題我們用圖解法已求了解，現(xiàn)在用單純形表來求解。123121211222312123,max5050300,2400,250,0.s

10、 sszxxxxsxxsxsx xs ss加入松弛變量，我們得到標(biāo)準(zhǔn)形：目標(biāo)函數(shù)約束條件填入單純形表計(jì)算得：填入單純形表計(jì)算得：管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)84幾種特殊情況迭迭代代次次數(shù)數(shù)基變基變量量CBx1 x2 s1 s2 s3b比值比值50 50 0 0 00s1s2s30001 1 1 0 02 1 0 1 00 1 0 0 1300400250300/1400/1250/1zjcj-zj0 0 0 0 050 50 0 0 001s1s2x200501 0 1 0 -12 0 0 1 -10 1 0 01150/2zjcj-zj0 50 0 0 5050 0

11、 0 0 0125002x1s2x2500501 0 1 0 -10 0 -2 1 10 1 0 0 1505025050/1250/1zjcj-zj50 50 50 0 00 0 -50 0 015000管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)94幾種特殊情況 124, 這樣我們求得了最優(yōu)解為這樣我們求得了最優(yōu)解為x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此線性規(guī)劃的此線性規(guī)劃的最優(yōu)值為最優(yōu)值為15000。這個最優(yōu)解是否是惟一的呢？由于在第。這個最優(yōu)解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的檢驗(yàn)數(shù)次迭代的檢驗(yàn)數(shù)中除了基變量的檢驗(yàn)數(shù)中除了基變量的檢驗(yàn)數(shù) 等于零外，等于零外，非基變量非基變量s3的

12、檢驗(yàn)數(shù)也等的檢驗(yàn)數(shù)也等于零于零，這樣我們可以斷定此線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。不妨我們把檢，這樣我們可以斷定此線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。不妨我們把檢驗(yàn)數(shù)也為零的非基變量選為入基變量進(jìn)行第驗(yàn)數(shù)也為零的非基變量選為入基變量進(jìn)行第3次迭代?？汕蟮昧硪粋€基本次迭代?？汕蟮昧硪粋€基本可行解，如下表所示：可行解，如下表所示：迭代迭代次數(shù)次數(shù)基基變變量量CBx1 x2 s1 s2 s3b50 50 0 0 03x1s3x2500501 0 -1 1 00 0 -2 1 10 1 2 -1 010050200zjcj-zj50 50 50 0 00 0 -50 0 015000 從檢驗(yàn)數(shù)可知此基本可行解從檢

13、驗(yàn)數(shù)可知此基本可行解x1=100,x2=200,s1=0,s2=0,s3=50,也是最優(yōu)解也是最優(yōu)解管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)104幾種特殊情況 四、退化問題四、退化問題 在單純形法計(jì)算過程中，確定出基變量時(shí)有時(shí)存在兩個以上的相同的在單純形法計(jì)算過程中，確定出基變量時(shí)有時(shí)存在兩個以上的相同的最小比值，這樣在下一次迭代中就有了一個或幾個基變量等于零，這稱之最小比值，這樣在下一次迭代中就有了一個或幾個基變量等于零，這稱之為退化。為退化。例例4.用單純形表，求解下列線性規(guī)劃問題。用單純形表，求解下列線性規(guī)劃問題。解：加上松馳變量解：加上松馳變量s1,s2,s3化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，填入單

14、純形表計(jì)算得：填入單純形表計(jì)算得：1312131231233max222,24,3,0.zxxxxxxxxxx x x目標(biāo)函數(shù)約束條件管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)114幾種特殊情況迭迭代代次次數(shù)數(shù)基基變變量量CBx1 x2 x3 s1 s2 s3b比值比值2 0 3/2 0 0 00s1s2s30001 -1 0 1 0 02 0 1 0 1 01 1 1 0 0 12432/14/23/1zjcj-zj0 0 0 0 0 02 0 3/2 0 0 001x1s2s32001 -1 0 1 0 0 0 2 1 -2 1 00 2 1 -1 0 12010/21/2zjcj-zj2 -2 0 0

15、 0 00 2 3/2 -2 0 042x1x2s32001 0 1/2 0 1/2 00 1 1/2 - 1 1/2 00 0 0 1 -1 1 2012/(1/2)0/(1/2)zjcj-zj2 0 1 0 1 00 0 1/2 0 -1 04管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)124幾種特殊情況 在以上的計(jì)算中可以看出在在以上的計(jì)算中可以看出在0次迭代中，由于比次迭代中，由于比值值b1/a11=b2/a21=2為最小比值，導(dǎo)致在第為最小比值，導(dǎo)致在第1次迭代中出次迭代中出現(xiàn)了退化，基變量現(xiàn)了退化，基變量s2=0。又由于在第。又由于在第1次迭代出現(xiàn)了次迭代出現(xiàn)了退化，基變量退化，基變量s2=0，又

16、導(dǎo)致第，又導(dǎo)致第2次迭代所取得的目標(biāo)次迭代所取得的目標(biāo)函數(shù)值并沒有得到改善，仍然與第函數(shù)值并沒有得到改善，仍然與第1次迭代的一樣都次迭代的一樣都等于等于4。像這樣繼續(xù)迭代而得不到目標(biāo)函數(shù)的改善，。像這樣繼續(xù)迭代而得不到目標(biāo)函數(shù)的改善，當(dāng)然減低了單純形算法的效率，但一般來說還是可當(dāng)然減低了單純形算法的效率，但一般來說還是可以得到最優(yōu)解的。像本題繼續(xù)計(jì)算如下：以得到最優(yōu)解的。像本題繼續(xù)計(jì)算如下：管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)134幾種特殊情況迭迭代代次次數(shù)數(shù)基基變變量量CBx1 x2 x3 s1 s2 s3b比值比值2 0 3/2 0 0 03x1x3s323/201 -1 0 1 0 00 2 1

17、 - 2 1 00 0 0 1 -1 1 2012/11/1zjcj-zj2 1 3/2 -1 3/2 00 -1 0 1 -3/2 044x1x3s123/201 -1 0 0 1 -10 2 1 0 -1 20 0 0 1 -1 1 221zjcj-zj2 1 3/2 0 1/2 10 -1 0 0 -1/2 -15管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)144幾種特殊情況 得到了最優(yōu)解得到了最優(yōu)解x x1 1=1=1，x x2 2=0=0，x x3 3=2=2，s s1 1=1=1，s s2 2=0=0，s s3 3=0=0，其最優(yōu)值為，其最優(yōu)值為5 5。 但有時(shí)候當(dāng)出現(xiàn)退化時(shí)，即使存在最優(yōu)解，而迭

18、代過程總是重復(fù)解的但有時(shí)候當(dāng)出現(xiàn)退化時(shí)，即使存在最優(yōu)解，而迭代過程總是重復(fù)解的某一部分迭代過程，出現(xiàn)了計(jì)算過程的循環(huán)，目標(biāo)函數(shù)值總是不變，永遠(yuǎn)某一部分迭代過程，出現(xiàn)了計(jì)算過程的循環(huán)，目標(biāo)函數(shù)值總是不變，永遠(yuǎn)達(dá)不到最優(yōu)解。達(dá)不到最優(yōu)解。 下面一個是由下面一個是由E.Beale給出的循環(huán)的例子。給出的循環(huán)的例子。例例5 5 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) ：min f =min f =（3/43/4）x x4 4+20 x+20 x5 5（1 12 2）x x6 6+6x+6x7 7. . 約束條件：約束條件：x x1 1+ +（1 14 4）x x4 48x8x5 5x x6 6+9x+9x7 7=0=0， x x2 2+ +（1 12 2）x x4 412x12x5 5（1 12 2）x x6 6+3x+3x7 7=0=0， x x3 3+x+x6 6=1=1， x x1 1，x x2 2，x x3 3，x x4 4，x x5 5，x x6 6，x x7 70.0.管管 理理 運(yùn)運(yùn) 籌籌 學(xué)學(xué)154幾種特殊情況 這個例題的確存在最優(yōu)解，但用一般單純形表法，經(jīng)過這個例題的確存在最優(yōu)解，但用一般單純形表法，經(jīng)過6 6次迭代后得到的單純形表與第次迭代后得到的單純形表與第0 0次單純形表一樣，而目標(biāo)函數(shù)次單純形表一樣，而目