四年級(jí)趣味數(shù)學(xué)牛吃草問題

1、 小學(xué)小學(xué) 四四 年年 級(jí)級(jí) 牛吃草問題最先在牛頓的普牛吃草問題最先在牛頓的普通算術(shù)中出現(xiàn)，他提出一個(gè)通算術(shù)中出現(xiàn)，他提出一個(gè)非常有趣的問題：有一片牧場，非常有趣的問題：有一片牧場，已知有已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草吃盡；把草吃盡；如果有如果有2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。把草吃盡。如果有牛如果有牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃能把草吃盡？人們把這道題叫做盡？人們把這道題叫做“牛頓牛頓問題問題”，也稱作，也稱作“牛吃草問牛吃草問題題”。1 1、牛吃草問題、牛吃草問題牛頓牛頓2 2、牛頓牧場、牛頓牧場 牛頓牧場是理想牧場，在牛頓牧場是理想牧場，在這個(gè)牧場上草是勻速生長的。這個(gè)

2、牧場上草是勻速生長的。3 3、牛吃草問題三部曲、牛吃草問題三部曲（1 1）先算新生草量）先算新生草量（2 2）再算原有草量）再算原有草量（3 3）最后計(jì)算問題）最后計(jì)算問題有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草吃盡；把草吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。把草吃盡。如果有牛如果有牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？牧草總量不知道，牧草總量不知道，它隨著時(shí)間的增長而增長它隨著時(shí)間的增長而增長但原來草坪上有的但原來草坪上有的草的數(shù)量是永遠(yuǎn)不變的草的數(shù)量是永遠(yuǎn)不變的有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草吃盡；把草吃盡

3、；2323頭牛頭牛，9 9天天把草把草吃盡。如果有牛吃盡。如果有牛2121頭頭，幾天幾天能把能把草吃盡？草吃盡？把每頭牛每天的吃草量把每頭牛每天的吃草量看做看做一個(gè)單位一個(gè)單位，或者我們可以說是或者我們可以說是一份一份有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草把草吃盡；吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。如果有把草吃盡。如果有牛牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。276=162原草量原草量+6天的生長量天的生長量239=207原草量原草量+9天的生長量天的生長量有一片牧場，已知有有一片

4、牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草把草吃盡；吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。如果有把草吃盡。如果有牛牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：（207-162207-162）（）（9-69-6）=15=15原草量：原草量：162-15162-156=726=72或或207-15207-159=729=72276=162原草量原草量+6天的生長量天的生長量239=207原草量原草量+9天的生長量天的生長量草地上原草地上原有的草有的草162-15162-156=726=72新新草

5、地上原草地上原有的草有的草162-15162-156=726=72新新草地上原草地上原有的草有的草新新新新新新新新新新新新新新新新新新15156=96=90 0162-15162-156=726=72有一片牧場，已知有有一片牧場，已知有2727頭頭牛，牛，6 6天天把草把草吃盡；吃盡；2323頭牛頭牛，9 9天天把草吃盡。如果有把草吃盡。如果有牛牛2121頭頭，幾天幾天能把草吃盡？能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：（207-162207-162）（）（9-69-6）=15=15原草量：原草量：162-15162-156=726

6、=72或或207-15207-159=729=72假設(shè)假設(shè)1515頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的草，可吃天數(shù)：的草，可吃天數(shù)：7272（21-1521-15）=12=12（天）（天）276=162原草量原草量+6天的生長量天的生長量239=207原草量原草量+9天的生長量天的生長量例例1 牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供可供10頭牛吃頭牛吃20天，可供天，可供15頭牛吃頭牛吃10天。問：這片牧草天。問：這片牧草可供可供25頭牛吃多少天？頭牛吃多少天？ 解：假設(shè)解：假設(shè)1頭牛頭牛1天吃的草

7、的數(shù)量是天吃的草的數(shù)量是1份份1020=200原草量原草量+20天的生長量天的生長量1510=150原草量原草量+10天的生長量天的生長量草每天的生長量：草每天的生長量：（200-150）（20-10）=5原草量：原草量：200-205=100 或或150-105=1005頭頭 吃吃剩下剩下25-5=20頭頭100份份5份份+20頭牛吃頭牛吃100份草能吃幾天？份草能吃幾天？100（25-5）=5天天自主訓(xùn)練自主訓(xùn)練 牧場上長滿了青草，而且每天還在勻速生長，牧場上長滿了青草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供這片牧場上的草可供9頭牛吃頭牛吃20天，可供天，可供15頭牛吃頭牛吃10天，天，

8、如果要供如果要供18頭牛吃，可吃幾天？頭牛吃，可吃幾天？解：假設(shè)解：假設(shè)1頭牛頭牛1天吃的草的數(shù)量是天吃的草的數(shù)量是1份份920=180原草量原草量+20天的生長量天的生長量1510=150原草量原草量+10天的生長量天的生長量草每天的生長量：草每天的生長量：（180-150）（20-10）=3原草量：原草量：180-203=120 或或150-103=1203頭頭 吃吃剩下剩下18-3=15頭頭120份份3份份+15頭牛吃頭牛吃120份草能吃幾天？份草能吃幾天？120（18-3）=8天天例例2 2：有一塊牧場，可供：有一塊牧場，可供1010頭牛吃頭牛吃2020天，天，1515頭頭牛吃牛吃10

9、10天，則它可供多少頭牛吃天，則它可供多少頭牛吃4 4天？天？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。1020=200原草量原草量+20天的生長量天的生長量1510=150原草量原草量+10天的生長量天的生長量每天新生草量：每天新生草量：（200-150200-150）（）（20-1020-10）=5=5原草量：原草量：200-5200-520=10020=100或或150-5150-510=10010=100假設(shè)假設(shè)5 5頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的100100份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？1001004

10、=254=25（頭）（頭）共有多少頭牛呢？共有多少頭牛呢？25+5=25+5=3030（頭）（頭）【自主訓(xùn)練】【自主訓(xùn)練】有一塊牧場，可供有一塊牧場，可供5 5頭牛吃頭牛吃2020天，天，6 6頭牛吃頭牛吃1515天，則它可供多少頭牛吃天，則它可供多少頭牛吃6 6天？天？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。520=100原草量原草量+20天的生長量天的生長量615=90原草量原草量+15天的生長量天的生長量每天新生草量：每天新生草量：（100-90100-90）（）（20-1520-15）=2=2原草量：原草量：100-2100-220=6020=60或或90-290

11、-215=6015=60假設(shè)假設(shè)2 2頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的頭牛專吃每天新生長的草，剩下的牛吃原有的6060份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？60606=106=10（頭）（頭）共有多少頭牛呢？共有多少頭牛呢？10+2=1210+2=12（頭）（頭）例例3 3：有一片牧場，：有一片牧場，2424頭牛頭牛6 6天可以將草吃完，天可以將草吃完，或或2121頭牛頭牛8 8天可以吃完。要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，天可以吃完。要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？至多可以放牧幾頭牛？246=144原草量原草量+6天的生長量天的生長量218=168原草量原草量+8天的生長量天的生長量

12、每天新生草量：每天新生草量：（168-144168-144）（）（8-28-2）=5=5設(shè)：每頭牛每天的吃草量是設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1 1份。份。例例4 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)入了一些水，如果用現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)入了一些水，如果用12人舀水，人舀水，3小時(shí)舀小時(shí)舀完，如果只有完，如果只有5個(gè)人舀水，要個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完，現(xiàn)在想在小時(shí)才能舀完，現(xiàn)在想在6小時(shí)舀完，需要多少人？小時(shí)舀完，需要多少人？ 解：假設(shè)解：假設(shè)1人人1小時(shí)舀小時(shí)舀1份水份水123=36份份原水量原水量+3小時(shí)進(jìn)水量小時(shí)進(jìn)水量510=50

13、份份原水量原水量+10小時(shí)的進(jìn)水量小時(shí)的進(jìn)水量每小時(shí)的進(jìn)水量：每小時(shí)的進(jìn)水量：（50-36）（10-3）=2份份原水量：原水量：36-32=30份份 或或50-102=30份份30份份2份份+30份水需要幾個(gè)人份水需要幾個(gè)人6小時(shí)舀完？小時(shí)舀完？306=5（人）（人）2人人5+2=7（人）（人）復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 1 1、幾天把草吃完。、幾天把草吃完。 2 2、這片草地夠多少頭牛吃。、這片草地夠多少頭牛吃。自主訓(xùn)練自主訓(xùn)練 水庫水量定，河水均勻入庫，水庫水量定，河水均勻入庫，5臺(tái)抽水臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)機(jī)連續(xù)20天可抽干；天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽天可抽干若要求干若要求6天抽干，

14、需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?解：假設(shè)解：假設(shè)1臺(tái)抽水機(jī)臺(tái)抽水機(jī)1天抽天抽1份水份水520=100原水量原水量+20天進(jìn)水量天進(jìn)水量615=90原水量原水量+15天的進(jìn)水量天的進(jìn)水量每分鐘的進(jìn)水量：每分鐘的進(jìn)水量：（100-90）（）（20-15）=2原水量：原水量：100-202=60 或或90-152=60 60份份2份份+60份水需要幾臺(tái)抽水機(jī)份水需要幾臺(tái)抽水機(jī)6天抽完？天抽完？606=10（臺(tái)）（臺(tái)）2臺(tái)臺(tái)共需要共需要10+2=12（臺(tái)）（臺(tái)）例例5 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從

15、開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開開4 4個(gè)檢票口需個(gè)檢票口需3030分鐘，同時(shí)開分鐘，同時(shí)開5 5個(gè)檢票口需個(gè)檢票口需2020分鐘。如果分鐘。如果同時(shí)打開同時(shí)打開7 7個(gè)檢票口，那么需要多少分鐘？個(gè)檢票口，那么需要多少分鐘？ 假設(shè)每分鐘每個(gè)檢票口進(jìn)的人數(shù)為假設(shè)每分鐘每個(gè)檢票口進(jìn)的人數(shù)為1份份430=原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+30分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的人數(shù)520=原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+20分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)=（430-520）（30-20）= 2（份）（份）原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)=

16、 430-302=60（份）（份）專門安排專門安排2個(gè)檢票口檢新增加的人個(gè)檢票口檢新增加的人60（7-2）=12（分鐘）（分鐘）例例6 6：林子里有猴子喜歡吃的野果，：林子里有猴子喜歡吃的野果，2323只猴子只猴子可在可在9 9周內(nèi)吃光，周內(nèi)吃光，2121只猴子可在只猴子可在1212周內(nèi)吃光，周內(nèi)吃光，問如果有問如果有3333只猴子一起吃，則需要幾周吃光？只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）（假定野果生長的速度不變）例例7 7：有一片青草，每天的生長速度都是相同：有一片青草，每天的生長速度都是相同的，已知這片青草可供的，已知這片青草可供1515頭牛吃頭牛吃2020天，或者天

17、，或者是供是供7676頭牛吃頭牛吃1212天，如果一頭牛的吃草量等天，如果一頭牛的吃草量等于于4 4只羊的吃草量，那么只羊的吃草量，那么8 8頭牛與頭牛與6464只羊一起只羊一起吃，可以吃上多少天？吃，可以吃上多少天？1515頭牛頭牛2020天天7676頭牛頭牛1212天天8 8頭牛頭牛+64+64只羊只羊幾天？幾天？6464只羊只羊=16=16頭牛，相當(dāng)于求頭牛，相當(dāng)于求2424頭牛吃幾天的問題頭牛吃幾天的問題例例6 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20

18、頭牛頭牛吃吃5天，或可供天，或可供15頭牛吃頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃吃10天？天？ 解：假設(shè)解：假設(shè)1頭牛頭牛1天吃的草的數(shù)量是天吃的草的數(shù)量是1份份205=100份份原草量原草量-5天的減少量天的減少量156=90份份原草量原草量-6天的減少量天的減少量草每天的減少量：草每天的減少量： （100-90）（6-5）=10份份原草量：原草量：100+510=150份份90+610=150份份剩下剩下150-100=50份份150份份10份份-50份草可供多少頭牛吃份草可供多少頭牛吃10天？天？（150-1010）10=5頭頭10天減少天減少1010=100份

19、份自主訓(xùn)練自主訓(xùn)練 由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測算，牧場上的草可供勻的速度減少，經(jīng)測算，牧場上的草可供30頭牛吃頭牛吃8天，天，可供可供25頭牛吃頭牛吃9天，那么可供天，那么可供21頭牛吃幾天？頭牛吃幾天？ 解：假設(shè)解：假設(shè)1頭牛頭牛1天吃的草的數(shù)量是天吃的草的數(shù)量是1份份308=240份份原草量原草量-8天的減少量天的減少量259=225份份原草量原草量-9天的減少天的減少量量草每天的減少量：草每天的減少量： （240-225）（9-8）=15份份原草量：原草量：240+815=360份份 或或220+915=360份份21份

20、份15份份+每天吃每天吃21份份360（21+15）=10天天每天減少每天減少15份份例例5 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩分鐘到達(dá)樓上，女孩用了用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？ 205 = 自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-5分鐘減少的級(jí)數(shù)分鐘減少的級(jí)數(shù)156 =自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-6分鐘減少的級(jí)數(shù)分鐘減少的級(jí)

21、數(shù)男孩：男孩：女孩：女孩：每分鐘減少的級(jí)數(shù)每分鐘減少的級(jí)數(shù)=(205-156) (6-5)=10(級(jí)級(jí))自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)= 205+510=150（級(jí)）（級(jí)）自主訓(xùn)練自主訓(xùn)練 兩個(gè)頑皮孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，兩個(gè)頑皮孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走男孩每秒可走3級(jí)階梯，女孩每秒可走級(jí)階梯，女孩每秒可走2級(jí)階梯，結(jié)果從級(jí)階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了秒，女孩走了300秒。秒。問該扶梯共有多少級(jí)？問該扶梯共有多少級(jí)？3100=自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)+100秒新增的級(jí)數(shù)秒新增的級(jí)數(shù)2300=自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯

22、級(jí)數(shù)+300秒新增的級(jí)數(shù)秒新增的級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)=（2300-3100）（300-100）=1.5（級(jí)）（級(jí)）每秒新增的級(jí)數(shù)：每秒新增的級(jí)數(shù)：3100-1001.5=150（級(jí)）（級(jí)）自主訓(xùn)練自主訓(xùn)練 盛德美盛德美9時(shí)開門營業(yè)，開門前就時(shí)開門營業(yè)，開門前就有人有人等候入場，等候入場，如果第一個(gè)顧客來時(shí)起，每分鐘來的顧客人數(shù)同樣多，那如果第一個(gè)顧客來時(shí)起，每分鐘來的顧客人數(shù)同樣多，那么開么開4個(gè)個(gè)門門等候的人全部進(jìn)入商場要等候的人全部進(jìn)入商場要8分鐘，開分鐘，開6個(gè)門等候個(gè)門等候的人全部進(jìn)入商場只要的人全部進(jìn)入商場只要4分鐘，問第一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)是幾分鐘，問第一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)是幾時(shí)幾分？時(shí)幾分？ 假設(shè)每分鐘每個(gè)檢票口進(jìn)的人數(shù)為假設(shè)每分鐘每個(gè)檢票口進(jìn)的人數(shù)為1份份48= 原有等待的人數(shù)原有等待的人數(shù)+8分鐘新增的人數(shù)分鐘新增的