第4章機(jī)械振動(dòng) 湘潭大學(xué) 大學(xué)物理 期末復(fù)習(xí)

1、孟利軍孟利軍第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)1 1、振動(dòng)和波動(dòng)是物質(zhì)的基本運(yùn)動(dòng)形式，是自然界中的普遍現(xiàn)象。、振動(dòng)和波動(dòng)是物質(zhì)的基本運(yùn)動(dòng)形式，是自然界中的普遍現(xiàn)象。2 2、從物理學(xué)角度看，振動(dòng)和波動(dòng)是唯一一個(gè)橫跨物理學(xué)所有學(xué)科，既、從物理學(xué)角度看，振動(dòng)和波動(dòng)是唯一一個(gè)橫跨物理學(xué)所有學(xué)科，既與經(jīng)典物理緊密聯(lián)系，又與現(xiàn)代物理融為一體的概念。與經(jīng)典物理緊密聯(lián)系，又與現(xiàn)代物理融為一體的概念。3 3、振動(dòng)和波動(dòng)在各分支學(xué)科中，具體內(nèi)容不同、本質(zhì)不同，但描述形、振動(dòng)和波動(dòng)在各分支學(xué)科中，具體內(nèi)容不同、本質(zhì)不同，但描述形式卻具有相似性，并且都具有干涉、衍射等波動(dòng)特征。式卻具有相似性，并且都具有干涉、衍射等波動(dòng)特

2、征。如：機(jī)械波和電磁波：如：機(jī)械波和電磁波： 物質(zhì)波：物質(zhì)波： )(),(uxtiAetxy)(0),(rpEtietr振動(dòng)（振動(dòng)（Vibration） ：任何一個(gè)：任何一個(gè)具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)都會(huì)發(fā)生振動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)都會(huì)發(fā)生振動(dòng)波動(dòng)：如果空間某處發(fā)生波動(dòng)：如果空間某處發(fā)生的振動(dòng)，以有限的速度向的振動(dòng)，以有限的速度向四周傳播，這種傳播著的四周傳播，這種傳播著的振動(dòng)稱為波動(dòng)。振動(dòng)稱為波動(dòng)。如：機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播；如：機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播；電磁波：電磁振動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳播；電磁波：電磁振動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳播；物

3、質(zhì)波：和實(shí)物粒子相聯(lián)系的波。物質(zhì)波：和實(shí)物粒子相聯(lián)系的波。廣義地說(shuō)，任何一個(gè)物理量廣義地說(shuō)，任何一個(gè)物理量在某一量值附近隨時(shí)間做周在某一量值附近隨時(shí)間做周期性變化都可以叫做振動(dòng)。期性變化都可以叫做振動(dòng)。如如彈簧振子、單擺、復(fù)擺彈簧振子、單擺、復(fù)擺等。等。如位移，電流，電場(chǎng)，磁場(chǎng)，溫度等如位移，電流，電場(chǎng)，磁場(chǎng)，溫度等機(jī)械振動(dòng)：物體在某固定位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)；機(jī)械振動(dòng)：物體在某固定位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)；非線性振動(dòng)：不能用線性微分方程描述的運(yùn)動(dòng)。非線性振動(dòng)：不能用線性微分方程描述的運(yùn)動(dòng)。如：忽略空氣阻力的情況下，彈簧振子、單擺、復(fù)擺的小幅度振動(dòng)；如：忽略空氣阻力的情況下，彈簧振子、單擺、復(fù)擺的小幅度

4、振動(dòng)；地震儀地震儀原因：原因：a)a)內(nèi)部：出現(xiàn)非線性回復(fù)力；內(nèi)部：出現(xiàn)非線性回復(fù)力；b)b)外部：存在非線性影響，如非線性阻尼力。外部：存在非線性影響，如非線性阻尼力。線性振動(dòng)：能用線性微分方程描述的運(yùn)動(dòng)；線性振動(dòng)：能用線性微分方程描述的運(yùn)動(dòng)；4-1 4-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)是自然界中最簡(jiǎn)單最基本的振動(dòng)形式簡(jiǎn)諧振動(dòng)是自然界中最簡(jiǎn)單最基本的振動(dòng)形式. .任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成若干個(gè)或無(wú)限多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成若干個(gè)或無(wú)限多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解為若干個(gè)或無(wú)限多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解為若干個(gè)或無(wú)

5、限多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)：一個(gè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移（角簡(jiǎn)諧振動(dòng)：一個(gè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移（角位移）隨時(shí)間按余弦（或正弦）規(guī)律變化，即：位移）隨時(shí)間按余弦（或正弦）規(guī)律變化，即： )cos(0tAx則這種振動(dòng)稱為則這種振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)（Simple Harmonic Motion ）。 一、彈簧振子模型（一、彈簧振子模型（Spring oscillator）平衡位置：物體所受合外力為零處。平衡位置：物體所受合外力為零處。022222xdtxdkxdtxdmmaF-運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程忽略摩擦阻力忽略摩擦阻力kxFmk21 1、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：、運(yùn)

6、動(dòng)學(xué)特征： xmka加速度與其位移大小成正比，而方向相反；加速度與其位移大小成正比，而方向相反； 2 2、動(dòng)力學(xué)特征：、動(dòng)力學(xué)特征： kxF物體所受合力大小與位移成正比，而方向相反。物體所受合力大小與位移成正比，而方向相反。 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和動(dòng)力學(xué)特征可以作為判斷一個(gè)物體是否做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的根據(jù)。運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和動(dòng)力學(xué)特征可以作為判斷一個(gè)物體是否做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的根據(jù)。二、兩類簡(jiǎn)諧振動(dòng)：?jiǎn)螖[、復(fù)擺二、兩類簡(jiǎn)諧振動(dòng)：?jiǎn)螖[、復(fù)擺1 1、單擺（、單擺（Simple pendulum）忽略空氣阻力的小角度擺動(dòng)忽略空氣阻力的小角度擺動(dòng) o5對(duì)對(duì)C點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩： mglmglMsin轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 222222

7、0ddmglJmglmldtdt lg22 2、復(fù)擺（、復(fù)擺（Physics pendulum) )：繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體忽略空氣阻力的小角度擺動(dòng)忽略空氣阻力的小角度擺動(dòng) o5運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： 222220ddmghJmghJdtdt 2mghJ4-2 4-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得：解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得：位移：位移： )cos(0tAx)cos(0tm速度：速度： )sin(0tAv加速度：加速度： )cos(02tAa物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其速度和加速度都

8、隨時(shí)間速度和加速度都隨時(shí)間做周期性變化做周期性變化. . 為積分常數(shù)，由初始條件決定，若初始條件：為積分常數(shù)，由初始條件決定，若初始條件： 0,A0t00cosAx 00sinvA 22020vxA1000tan ()vx（代回原式?jīng)Q定取舍）（代回原式?jīng)Q定取舍） 0222xdtxd二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)重要參量二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)重要參量1 1、振幅（、振幅（Amplitude）：）：作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體偏離平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體偏離平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。給出了振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)范圍，即給出了振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)范圍，即 Ax 反映振動(dòng)強(qiáng)弱，振幅越大，振

9、動(dòng)越強(qiáng)，平衡位置速度越大。反映振動(dòng)強(qiáng)弱，振幅越大，振動(dòng)越強(qiáng)，平衡位置速度越大。 2 2、周期、頻率、圓頻率（、周期、頻率、圓頻率（Period, Frequency, Circular frequency）：）：反映振動(dòng)的快慢。反映振動(dòng)的快慢。周期：物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間周期：物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間 2T彈簧振子：彈簧振子： kmT2單擺：?jiǎn)螖[： glT2復(fù)擺：復(fù)擺： 2JTmgh頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù)頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù) 21T圓頻率：圓頻率： 2時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù)時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù) 22T由于周期、頻率、圓頻

10、率都只與系統(tǒng)性質(zhì)有關(guān)，故稱為固有周期、固由于周期、頻率、圓頻率都只與系統(tǒng)性質(zhì)有關(guān)，故稱為固有周期、固有頻率、固有圓頻率，與系統(tǒng)處于什么振動(dòng)狀態(tài)及是否在振動(dòng)無(wú)關(guān)。有頻率、固有圓頻率，與系統(tǒng)處于什么振動(dòng)狀態(tài)及是否在振動(dòng)無(wú)關(guān)。如：可繞其一端轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)量為如：可繞其一端轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l的細(xì)直棍的周期為：的細(xì)直棍的周期為： glmglmlT3222322例例1 1：一質(zhì)量為：一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平界面積為的平底船，其平均水平界面積為S，吃水深度為，吃水深度為h，如，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期（水的密度為不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期（水的密度為）()fhy

11、SgmgSgykSg 2kSgghTmmhg3 3、位相、初位相、位相差（、位相、初位相、位相差（Phase, Initial phase, Phase difference）從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以看到，對(duì)于振幅和圓頻率都已知的諧振從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以看到，對(duì)于振幅和圓頻率都已知的諧振動(dòng)中，任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)完全取決于物理量動(dòng)中，任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)完全取決于物理量. .位相：確定振動(dòng)系統(tǒng)任意時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。位相：確定振動(dòng)系統(tǒng)任意時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。 初位相：初位相：T=0 時(shí)刻的位相。時(shí)刻的位相。 000tanxv0t如：彈簧振子如：彈簧振子00t2,0,xA vaA 0

12、2t0,0 xvAa 0t2,0,xA vaA 032t0,0 xvAa可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)不同的位相表示不同的振動(dòng)狀態(tài)，不同周期內(nèi)凡位可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)不同的位相表示不同的振動(dòng)狀態(tài)，不同周期內(nèi)凡位移和速度都相同的振動(dòng)狀態(tài)，它們對(duì)應(yīng)的位相必然相差移和速度都相同的振動(dòng)狀態(tài)，它們對(duì)應(yīng)的位相必然相差2的整數(shù)倍的整數(shù)倍. .由此可見(jiàn)，相位反映了振動(dòng)的周期性特征。由此可見(jiàn)，相位反映了振動(dòng)的周期性特征。為了比較兩個(gè)相同或不同物理量振動(dòng)步調(diào)上的差異，引入為了比較兩個(gè)相同或不同物理量振動(dòng)步調(diào)上的差異，引入相位差相位差。位相差：兩振動(dòng)位相之差：位相差：兩振動(dòng)位相之差： 12討論：討論：1 1、同相（同相（in pha

13、se） k2 , 2, 1, 0k兩振動(dòng)同時(shí)達(dá)到位移的最大值，同時(shí)通過(guò)平衡位兩振動(dòng)同時(shí)達(dá)到位移的最大值，同時(shí)通過(guò)平衡位置且向同方向運(yùn)動(dòng)，它們的振動(dòng)步調(diào)完全一致。置且向同方向運(yùn)動(dòng)，它們的振動(dòng)步調(diào)完全一致。2 2、反相、反相 ) 12(k , 2, 1, 0k振動(dòng)步調(diào)完全相反。振動(dòng)步調(diào)完全相反。 0振動(dòng)振動(dòng)2 2超前振動(dòng)超前振動(dòng)1 1位相位相 或振動(dòng)或振動(dòng)1 1落后振動(dòng)落后振動(dòng)2 2位相位相 其時(shí)間差為：其時(shí)間差為： 2Tt3 3、其他、其他 如：比較位移、速度、加速度的位相。如：比較位移、速度、加速度的位相。0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt 200cos()cos()ma

14、Atat 故速度比位移超前位相故速度比位移超前位相/2/2，加速度比位移超前加速度比位移超前或落后或落后 ，加速度比速度超前，加速度比速度超前/2/2或落后或落后3/23/2三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法為了直觀形象的領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中為了直觀形象的領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中 0,A三個(gè)物理量的意義，并為后面討論簡(jiǎn)三個(gè)物理量的意義，并為后面討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成提供簡(jiǎn)潔的方法，引入諧振動(dòng)的合成提供簡(jiǎn)潔的方法，引入簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法。 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A的末端在的末端在x軸的投影點(diǎn)軸的投影點(diǎn) P點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)：點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)： )cos(0tAx t

15、x x 0 2 2、用旋轉(zhuǎn)矢量法表示位移、速度、加速度：、用旋轉(zhuǎn)矢量法表示位移、速度、加速度：)cos(0tAx)2cos(0tvvm)cos(0taam例例1:1:如圖如圖m=210-2kg, ,彈簧的靜止形變?yōu)閺椈傻撵o止形變?yōu)?l=9.8cmt=0時(shí)時(shí), , x0=-9.8cm, ,v0=0, ,1 1）取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，）取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出振動(dòng)方程；寫(xiě)出振動(dòng)方程；2 2）若?。┤羧0=0，v00為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出振動(dòng)方程出振動(dòng)方程, ,并計(jì)算振動(dòng)頻率。并計(jì)算振動(dòng)頻率。XOmx 確定平衡位置取為原點(diǎn)：確定平衡位置取為原點(diǎn)：k=mg/ l 0cos()xAt9.

16、810/0.098kgrad sml由初始條件得由初始條件得2200()0.098vAxm000()0,varctgx由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m可見(jiàn)，對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)可見(jiàn)，對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn) 不同，但不同，但 、A不變不變11.622gHzl固有頻率固有頻率XOmx例例2:如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的的 輕彈簧、一半徑為輕彈

17、簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為I的的 定滑輪和一質(zhì)量為定滑輪和一質(zhì)量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR取位移軸取位移軸ox，m在平衡位置時(shí)，在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為 l，則，則0 lkmg 當(dāng)當(dāng)m有位移有位移x時(shí)時(shí)maTmg RaJRxlkT )(聯(lián)立得聯(lián)立得2JkxmaR 0222 xRJmkdtxd 22RJmk kRJmT222 周期：周期：4-3 4-3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量彈簧振子：

18、彈簧振子：動(dòng)能：動(dòng)能： )(sin21)(sin212102202222tkAtAmmvEk勢(shì)能：勢(shì)能： )(cos21210222tkAkxEp總能量：總能量： 2222212121mpkmvAmkAEEE說(shuō)明說(shuō)明 1 1）動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間作周期性變化）動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間作周期性變化（周期減半），總機(jī)械能不變，如圖。（周期減半），總機(jī)械能不變，如圖。2 2）動(dòng)能和勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值）動(dòng)能和勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值相等，等于總能量的一半；相等，等于總能量的一半；EkATTkAdttkATdttETETTkk21412121)(sin211)(12200220EkAEp21412同樣：同

19、樣： 3 3）判斷實(shí)際系統(tǒng)是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只需證明其是否滿足簡(jiǎn)諧振）判斷實(shí)際系統(tǒng)是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只需證明其是否滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，即所受力是否為線性回復(fù)力。動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，即所受力是否為線性回復(fù)力。如：系統(tǒng)沿如：系統(tǒng)沿x軸振動(dòng)，軸振動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)為勢(shì)能函數(shù)為Ep(x) 如果勢(shì)能曲線存在一個(gè)極小值，則該位置就是系統(tǒng)平衡位置。如果勢(shì)能曲線存在一個(gè)極小值，則該位置就是系統(tǒng)平衡位置。證明：取該位置為證明：取該位置為x=0, , 將勢(shì)能在將勢(shì)能在x=0附近用級(jí)數(shù)展開(kāi)：附近用級(jí)數(shù)展開(kāi)： 20220)(21)()0()(xdxEdxdxdEExExpxppp若系統(tǒng)作微振動(dòng)，有若系統(tǒng)作微振動(dòng)，有 0)(0

20、 xpdxdEx3為高階無(wú)窮小，略去，得：為高階無(wú)窮小，略去，得： kxxdxEdFxdxEdExExpxppp0222022)()(21)0()(4 4）振動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，從力學(xué)觀點(diǎn)看，為保守系統(tǒng)。由）振動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，從力學(xué)觀點(diǎn)看，為保守系統(tǒng)。由能量守恒可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：能量守恒可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： 0021212222xmkdtxddtdxkxdtdvmvEkxmv通過(guò)能量守恒得到動(dòng)力學(xué)方程，有時(shí)會(huì)使我們的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。通過(guò)能量守恒得到動(dòng)力學(xué)方程，有時(shí)會(huì)使我們的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。例例1 1：在橫截面積為：在橫截面積為S的的U形管中有適量液體，液體形管中有適量液體，液體總長(zhǎng)度為總長(zhǎng)度為l

21、，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，密度為，密度為，求液面上下起伏，求液面上下起伏的振動(dòng)頻率。（忽略液體與管壁間的摩擦）的振動(dòng)頻率。（忽略液體與管壁間的摩擦）S y y- y0例例2 2：一物體質(zhì)量為：一物體質(zhì)量為0.25kg，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)倔強(qiáng)系數(shù)k=25Nm-1，如果起始振動(dòng)具有勢(shì)能，如果起始振動(dòng)具有勢(shì)能0.06J和動(dòng)能和動(dòng)能0.02J，求，求（1 1）振幅；（）振幅；（2 2）經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度。）經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度。（1 1）總能）總能221kAEEEpk（2 2）過(guò)平衡點(diǎn)時(shí)）過(guò)平衡點(diǎn)時(shí)x=0，此時(shí)動(dòng)能等于總能量，此時(shí)動(dòng)能等于總能

22、量221mvEEEpkmkEEApk08. 0/ )(2smmEEvpk/8 . 0/ )(24-4 4-4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成如：兩列聲波同時(shí)傳到空氣中某點(diǎn)，該處空氣質(zhì)點(diǎn)將如何振動(dòng)呢？如：兩列聲波同時(shí)傳到空氣中某點(diǎn)，該處空氣質(zhì)點(diǎn)將如何振動(dòng)呢？一、同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：)cos(1011tAx)cos(2022tAx合成后：合成后： )cos()cos()cos(020210121tAtAtAxxx一個(gè)物體它同時(shí)參與兩個(gè)或多個(gè)振動(dòng)，情況會(huì)怎么樣一個(gè)物體它同時(shí)參

23、與兩個(gè)或多個(gè)振動(dòng)，情況會(huì)怎么樣呢？顯然，此時(shí)物體應(yīng)該是兩個(gè)振動(dòng)在該點(diǎn)的合成。呢？顯然，此時(shí)物體應(yīng)該是兩個(gè)振動(dòng)在該點(diǎn)的合成。用旋轉(zhuǎn)矢量法我們?nèi)菀椎玫剑河眯D(zhuǎn)矢量法我們?nèi)菀椎玫剑?)cos(0tAx2021012021010coscossinsintanAAAAcos2)cos(22122211020212221AAAAAAAAA可見(jiàn)，合成振動(dòng)的振幅與兩振動(dòng)可見(jiàn)，合成振動(dòng)的振幅與兩振動(dòng)位相差位相差有關(guān)：有關(guān)：1 1）同相（同相（in phase） k2 , 2, 1, 0kmax21AAAA這是合成振幅可能達(dá)到的最大值，這時(shí)合這是合成振幅可能達(dá)到的最大值，這時(shí)合成的結(jié)果使振動(dòng)加強(qiáng)，稱為成的結(jié)果使振

24、動(dòng)加強(qiáng)，稱為振動(dòng)相長(zhǎng)振動(dòng)相長(zhǎng)；2 2）反相（）反相（in opposition） ) 12(k , 2, 1, 0kmin21AAAA， 這是合成振幅可能達(dá)到的最小值，這時(shí)合成的結(jié)果使振動(dòng)減弱，這是合成振幅可能達(dá)到的最小值，這時(shí)合成的結(jié)果使振動(dòng)減弱，稱為振動(dòng)相消；稱為振動(dòng)相消；3 3）正交）正交 k2 , 2, 1, 0k2221AAA4 4）其他）其他 minmaxAAA如：兩諧振動(dòng)振動(dòng)方程分別為：如：兩諧振動(dòng)振動(dòng)方程分別為：cmtx)610cos(31cmtx)3210cos(42求它們的合成振動(dòng)。求它們的合成振動(dòng)。cmtgttAx)34610cos(5)10cos(10例例3 3：N N

25、個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初位相分別為個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初位相分別為，2 ，3 ，依次相差為，依次相差為 ，振動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)成：，振動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)成：求它們合成振動(dòng)的振幅和初相。求它們合成振動(dòng)的振幅和初相。1233cos,cos(),cos(2 ),cos(1) xatxatxatxatN2sin22cos2NRANRA2sin2Ra 2sin2sinNaA )(21NCOM)(21COP) 1(21NMOP振幅振幅初相初相二、同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成二、同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（初位相相同）：設(shè)質(zhì)點(diǎn)

26、同時(shí)參與兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（初位相相同）：)cos(11tAx)cos(22tAx合成后：合成后： )2cos()2cos(21212ttAx第一個(gè)因子第一個(gè)因子 )2cos(212tA可看作振幅，作長(zhǎng)周期緩慢變化；可看作振幅，作長(zhǎng)周期緩慢變化； 第二個(gè)因子為頻率等于第二個(gè)因子為頻率等于 212因此，合成結(jié)果可看作振幅作周期性變化的準(zhǔn)周期振動(dòng)。因此，合成結(jié)果可看作振幅作周期性變化的準(zhǔn)周期振動(dòng)。 的準(zhǔn)諧振動(dòng)。的準(zhǔn)諧振動(dòng)。拍拍( (Beat) )：振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象。合振幅每變化一個(gè)周期稱為一拍，：振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象。合振幅每變化一個(gè)周期稱為一拍，單位時(shí)間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)稱為拍頻。單位時(shí)間

27、內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)稱為拍頻。由于由于 12拍易得：易得： 1212222拍拍可見(jiàn)，拍頻等于兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。可見(jiàn)，拍頻等于兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。1212用旋轉(zhuǎn)矢量法說(shuō)明：兩旋轉(zhuǎn)矢量同方向時(shí)，振動(dòng)加強(qiáng)，振幅最大；反用旋轉(zhuǎn)矢量法說(shuō)明：兩旋轉(zhuǎn)矢量同方向時(shí)，振動(dòng)加強(qiáng)，振幅最大；反方向時(shí)，振動(dòng)減弱，振幅最小。（類比時(shí)針和分針）方向時(shí)，振動(dòng)減弱，振幅最小。（類比時(shí)針和分針）音叉：一個(gè)套上橡皮，同時(shí)敲擊時(shí)可聽(tīng)到音叉：一個(gè)套上橡皮，同時(shí)敲擊時(shí)可聽(tīng)到“嗡嗡嗡嗡嗡嗡”的聲音。的聲音。注：拍現(xiàn)象只限于線性疊加，當(dāng)兩個(gè)不同頻率的振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)物理上非線性注：拍現(xiàn)象只限于線性疊加，當(dāng)兩個(gè)不同頻率的振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)物理上非線性耦合

28、時(shí)，可能出現(xiàn)耦合時(shí)，可能出現(xiàn)“同步鎖模同步鎖?！保磧蓚€(gè)振動(dòng)系統(tǒng)鎖定在同一頻率上。惠更，即兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)鎖定在同一頻率上?；莞故紫扔^察到同步鎖模現(xiàn)象（發(fā)現(xiàn)家中掛在同一木板墻壁上的兩個(gè)掛鐘因相斯首先觀察到同步鎖?，F(xiàn)象（發(fā)現(xiàn)家中掛在同一木板墻壁上的兩個(gè)掛鐘因相互影響而同步的現(xiàn)象）?；ビ绊懚降默F(xiàn)象）。激光未鎖模激光未鎖模激光鎖模激光鎖模不同縱模的振蕩不同縱模的振蕩可以彼此獨(dú)立地可以彼此獨(dú)立地發(fā)生，它們相互發(fā)生，它們相互之間的位相關(guān)系之間的位相關(guān)系對(duì)時(shí)間來(lái)說(shuō)是隨對(duì)時(shí)間來(lái)說(shuō)是隨機(jī)變化的，彼此機(jī)變化的，彼此之間不能產(chǎn)生持之間不能產(chǎn)生持續(xù)的相干作用續(xù)的相干作用 眾多縱模之間眾多縱模之間保持同步振蕩保持同

29、步振蕩和彼此之間相和彼此之間相互互“干涉干涉”作作用的結(jié)果，導(dǎo)用的結(jié)果，導(dǎo)致輸出激光呈致輸出激光呈現(xiàn)為一系列規(guī)現(xiàn)為一系列規(guī)則的脈沖系列則的脈沖系列 三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)合振動(dòng))(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振動(dòng)分振動(dòng))tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 討論討論合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第一、第三合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線象限內(nèi)的直線12AA斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移yx)tco

30、s(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線12AA 斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸為軸線的橢圓軸為軸線的橢圓)tcos(Ax101 質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。yx)tcos(Ay2101 2(4)1020 合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸為軸線的橢圓軸為軸線的橢圓)tcos(Ax101 )tcos(Ay2

31、101 質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。yx2(3)1020 12212 AyAx12212 AyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時(shí)，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。0 時(shí)，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。四、四、垂直方向不同頻率垂直方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1隨隨t 緩慢變化，合成運(yùn)動(dòng)軌跡將按緩慢變化，合成運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次緩慢變化。上頁(yè)圖依次緩慢變化。yxA1A2o o- -A2- -A1)()(xyxyt 4023

32、xyyx,:兩分振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小若兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比若兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比合成的軌跡合成的軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線，稱為為穩(wěn)定的閉合曲線，稱為李薩如圖形李薩如圖形 x y2 13 13 2 x = 0： y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x0五、振動(dòng)的頻譜分析五、振動(dòng)的頻譜分析振動(dòng)的分解：把一個(gè)振動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)的分解：把一個(gè)振動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。諧振分析：諧振分析：若周期振動(dòng)的頻率為若周期振動(dòng)的頻率為 : : 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 ,

33、), )按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi))t(x)Tt(x 01( )(cossin)2nnnax tan tbn tT 22 任一周期性振動(dòng)可以分解為有限個(gè)諧振動(dòng)之和。任一周期性振動(dòng)可以分解為有限個(gè)諧振動(dòng)之和。任一非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限個(gè)頻任一非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和。率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和。分立頻譜分立頻譜連線頻譜連線頻譜方波的分解方波的分解x00 x10 x30 x50 x1+x3+x5+x0222sinsin3sin5235AAAAxttttttttxo ot t鋸齒波鋸齒波A 0 03 3 0 05 5 0 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖一個(gè)非周期性振動(dòng)可

34、分解為無(wú)限多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。xo ot t阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)頻譜圖阻尼振動(dòng)頻譜圖o o A一、一、 阻尼振動(dòng)（阻尼振動(dòng)（Damped harmonic motion）阻阻尼尼振振動(dòng)動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)（減幅振動(dòng)）。能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)（減幅振動(dòng)）。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向周圍振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向周圍輻射出

35、去。輻射出去。4-5 4-5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振如：音叉如：音叉, ,不僅因?yàn)槟Σ炼哪芰?，同時(shí)也因?yàn)檩椛渎暡ǘ鴾p少能量。不僅因?yàn)槟Σ炼哪芰浚瑫r(shí)也因?yàn)檩椛渎暡ǘ鴾p少能量。注：通常將輻射阻尼當(dāng)作某種等效的摩擦阻尼處理。注：通常將輻射阻尼當(dāng)作某種等效的摩擦阻尼處理。阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子運(yùn)動(dòng)學(xué)方程振子運(yùn)動(dòng)學(xué)方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd 弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)對(duì)物體的阻

36、力僅與速度的一次方成正比。對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比。 阻力系數(shù)阻力系數(shù)mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)弱阻尼弱阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期弱阻尼弱阻尼( )x tt臨界阻尼臨界阻尼t(yī))(tx臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來(lái)到平衡位置并停下來(lái)0 te )tcc(x 21

37、過(guò)阻尼過(guò)阻尼t(yī))(tx過(guò)阻尼過(guò)阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 在過(guò)阻尼和弱阻尼情況下，振動(dòng)物體都需要較長(zhǎng)時(shí)間才能靜止，在過(guò)阻尼和弱阻尼情況下，振動(dòng)物體都需要較長(zhǎng)時(shí)間才能靜止，而只有在臨界阻尼情況下，物體才能最快的回到平衡位置。而只有在臨界阻尼情況下，物體才能最快的回到平衡位置。 二、二、 受迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)（Forced oscillation）受迫振動(dòng)受迫振動(dòng): : 振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程弱阻尼

38、諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程202cosd xdxmkxFptdtdt tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 周期性外力周期性外力策動(dòng)力（策動(dòng)力（Driving force）ptcosFF0 2m00Ffm穩(wěn)定解穩(wěn)定解)ptcos(Ax (1)頻率頻率: : 等于策動(dòng)力的頻率等于策動(dòng)力的頻率p p (2)振幅振幅: :00022222 1/20(, )()4fAffppp(3)初相初相: :2202pptg 特點(diǎn)特點(diǎn): :穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化00(cos)cos()txA etApt阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)注：受迫振動(dòng)在穩(wěn)定之前一個(gè)周期內(nèi)，阻尼力總是注：受迫振動(dòng)在穩(wěn)定之前一個(gè)周期內(nèi)，阻尼力總是做負(fù)功，而策動(dòng)力有時(shí)做正功，有時(shí)做負(fù)功，但總做負(fù)功，而策動(dòng)力有時(shí)做正功，有時(shí)做負(fù)功，但總功肯定為正功，并且要大于阻尼力作功的絕對(duì)值。功肯定為正功，并且要大于阻尼力作功的絕對(duì)值。三、三、共振（共振（Resonance）在一定條件下在一定條件下, , 振幅出現(xiàn)極大值振幅出現(xiàn)極大值, , 振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。振