深圳大學量子力學復習

1、量子力學總結量子力學總結顧顧 樵樵 (Qiao Gu)International Institute of Biophysics, Germany 聯(lián)系：聯(lián)系：gu-qiaogmx.de深圳大學電子學院深圳大學電子學院量子力學：量子力學：概率概率經(jīng)典的因果關系在物質的深處經(jīng)典的因果關系在物質的深處終結了，代替它的是一幅概率終結了，代替它的是一幅概率世界的畫面。世界的畫面。 基本內容基本內容1.1.德布羅意物質波德布羅意物質波2.2.薛定諤方程薛定諤方程3.3.玻恩：波函數(shù)的幾率解釋玻恩：波函數(shù)的幾率解釋4.4.海森堡測不準關系海森堡測不準關系5.5.狄拉克符號狄拉克符號6.6.泡利矩陣泡利矩陣

2、基本概念基本概念普朗克推出黑體輻射公式所作的基本假設普朗克推出黑體輻射公式所作的基本假設是什么？是什么？能量是以能量是以hv一份一份的，不是連續(xù)一份一份的，不是連續(xù)黑體輻射的光譜分布只依賴于黑體的什么？黑體輻射的光譜分布只依賴于黑體的什么？溫度溫度玻爾的原子量子理論的表達式為，玻爾的原子量子理論的表達式為， 說明每個量的含義。說明每個量的含義。（E2：高能態(tài)動態(tài)能量、E1：低能態(tài)、hv：高能態(tài)到低能態(tài)躍遷發(fā)出的光子的能量）hEE12德布羅意物質波理論的表達式是什么？德布羅意物質波理論的表達式是什么？ 康普頓散射的理論結果為：康普頓散射的理論結果為： 其中其中 各表示什么？各表示什么？ ，入射粒

3、子的原波長 ，受撞粒子的靜止質量 ，散射角)cos1 (0ch,0統(tǒng)計解釋對波函數(shù)的要求（即波函數(shù)的標統(tǒng)計解釋對波函數(shù)的要求（即波函數(shù)的標 準條件）是什么？準條件）是什么？單值、有限、連續(xù)、設微觀粒子的波函數(shù)為設微觀粒子的波函數(shù)為 寫出波函數(shù)的歸一化條件，它的物理意義寫出波函數(shù)的歸一化條件，它的物理意義是什么？是什么？ )()(xxA設微觀粒子的歸一化波函數(shù)為設微觀粒子的歸一化波函數(shù)為 ，則，則 表示什么？表示什么？概率密度概率密度)(x2)(x 微觀體系的薛定諤方程的一般形式為微觀體系的薛定諤方程的一般形式為 其中的其中的 代表什么？代表什么？哈密頓算符哈密頓算符 ( )( )itHttH寫

4、出哈密頓算符寫出哈密頓算符 的本征方程，并說明所的本征方程，并說明所有量的意義。有量的意義。H如果如果 和和 是微觀體系的狀態(tài)，則是微觀體系的狀態(tài)，則 是否為體系的狀態(tài)？是否為體系的狀態(tài)？是的是的122211cc一維無限深勢阱模型如圖所示，寫出波函一維無限深勢阱模型如圖所示，寫出波函數(shù)的邊界條件。數(shù)的邊界條件。mpExV20)(20 a x 寫出線性諧振子的量子化能量表達式，基寫出線性諧振子的量子化能量表達式，基態(tài)能量（即零點能）是什么？態(tài)能量（即零點能）是什么？氫原子能量量子化的條件為氫原子能量量子化的條件為 其中其中 分別為徑量子數(shù)，角量子數(shù)和分別為徑量子數(shù)，角量子數(shù)和 主量子數(shù)。試由此確

5、定各個量子數(shù)的取值主量子數(shù)。試由此確定各個量子數(shù)的取值 范圍。范圍。nlnr1nlnr,nr=0,1,2,3，n-1l =0,1,2,3n-1n=1,2,3無窮無窮 氫原子的電子云分布用角向幾率密度氫原子的電子云分布用角向幾率密度 表示，其中表示，其中 稱為什么函數(shù)？稱為什么函數(shù)？球諧函數(shù)球諧函數(shù)2),(mlY),(mlY 厄密算符滿足厄密算符滿足 ，還是，還是 第二個第二個 FF1 FF寫出動量算符寫出動量算符 的厄米共軛的厄米共軛它本身它本身 pix 厄密算符的本征值是厄密算符的本征值是實實數(shù)，這確保了數(shù)，這確保了力學量的期待值是力學量的期待值是實實數(shù)數(shù)兩個力學量兩個力學量 A 和和 B

6、能被同時測定的條能被同時測定的條件是什么？件是什么？A A和和B B對易對易如果兩個算符如果兩個算符 A 和和 B 有共同的本征函數(shù)，有共同的本征函數(shù)，則算符則算符 A 和和 B 対易対易。),(mlY球諧函數(shù)球諧函數(shù) 是哪兩個算符的共同的是哪兩個算符的共同的本征函數(shù)？本征函數(shù)？ 能量與時間的測不準關系為能量與時間的測不準關系為 寫出坐標算符的本征方程，指出相應的本寫出坐標算符的本征方程，指出相應的本征值。征值。一個本征值對應一個以上本征函數(shù)的情況一個本征值對應一個以上本征函數(shù)的情況稱為稱為簡并簡并 動量的本征函數(shù)為動量的本征函數(shù)為 它在全空間的它在全空間的“正交歸一化正交歸一化”表達式是什么

7、？表達式是什么？ )exp(21)(pxixp寫出一維自由粒子的波函數(shù)寫出一維自由粒子的波函數(shù)),(tx)(),(tEiAetrpr一維自由粒子的波函數(shù)是哪兩個算符的共同一維自由粒子的波函數(shù)是哪兩個算符的共同的本征函數(shù)？的本征函數(shù)？)(),(tEiAetrpr算符算符 稱為什么算符？它是厄密的嗎？稱為什么算符？它是厄密的嗎？投影算符投影算符 是是nn狄拉克符號狄拉克符號 表示態(tài)矢量表示態(tài)矢量 向向 的的 投影投影在抽象態(tài)空間，分立態(tài)的正交完備集在抽象態(tài)空間，分立態(tài)的正交完備集 的正交歸一化表達式是什么？的正交歸一化表達式是什么？完備性關系完備性關系式是什式是什么？么？ n在一維無限深勢阱中，量

8、子效應約化為在一維無限深勢阱中，量子效應約化為 經(jīng)典效應的條件是：量子數(shù)經(jīng)典效應的條件是：量子數(shù) ，還，還 是是 ？量子數(shù)量子數(shù)n0nn在勢阱模型中，粒子可以穿過高勢能的在勢阱模型中，粒子可以穿過高勢能的 勢壘而逸出的效應稱為什么？或什么？勢壘而逸出的效應稱為什么？或什么？勢壘貫穿勢壘貫穿 隧道效應隧道效應微觀粒子的海森堡測不準關系可以表示微觀粒子的海森堡測不準關系可以表示為為 ，其中，其中 ， ， 各表示什么？各表示什么？分別為：坐標變化范圍 ，動量的變化范圍 ，表示普朗克常數(shù)hpxxph設厄密算符的本征方程是設厄密算符的本征方程是 在狀態(tài)在狀態(tài) 中測量力學量中測量力學量F，所得測量值是，所

9、得測量值是什么？什么？ F設一個量子體系的任意態(tài)可以按照該系統(tǒng)設一個量子體系的任意態(tài)可以按照該系統(tǒng)的哈密頓算符的哈密頓算符 的本征態(tài)展開：的本征態(tài)展開： 其中展開系數(shù)的物理意義是什么？其中展開系數(shù)的物理意義是什么？表示粒子波函數(shù)的幾率幅nnnxcxf)()(H設一個量子體系的任意態(tài)可以按照該系統(tǒng)設一個量子體系的任意態(tài)可以按照該系統(tǒng)的哈密頓算符的哈密頓算符 的本征態(tài)展開：的本征態(tài)展開： 設設 ，在，在 態(tài)中，能量態(tài)中，能量 出現(xiàn)出現(xiàn)的概率有多大？的概率有多大？nnnxcxf)()(nnnHE( )f x1EH|Cn|2寫出坐標算符和動量算符的對易關系，即寫出坐標算符和動量算符的對易關系，即?,x

10、pxih 設厄密算符設厄密算符A和和B的對易關系為的對易關系為iCBAAB?A B 問問C/2 對于氫原子的主量子數(shù)對于氫原子的主量子數(shù)n，能級的簡并度是，能級的簡并度是多少？多少？ N N平方平方重要問題重要問題牛頓力學的因果關系牛頓力學的因果關系牛頓力學的研究思路是非常明牛頓力學的研究思路是非常明確的：只要知道了質點的初始確的：只要知道了質點的初始位移位移 和初始動量和初始動量 ，通過求解微分方程，就可以得通過求解微分方程，就可以得到任意時刻的位移到任意時刻的位移 ，并進，并進而得到任意時刻的動量而得到任意時刻的動量 。 牛頓力學的圖像是質點的牛頓力學的圖像是質點的軌道，反映在哲學上，則是

11、因軌道，反映在哲學上，則是因果關系。在這里初始條件與微果關系。在這里初始條件與微分方程同屬分方程同屬“因因”，二者是同等，二者是同等重要的。重要的。)0(r)0(r m)(tr)(tmr )0(r)0(r m)(tr)(tmr 22dtdmFr牛頓力學：質點的軌道牛頓力學：質點的軌道牛頓力學與量子力學的牛頓力學與量子力學的邏輯對應邏輯對應22d( )dtFmtr),(),(tHittrr( ) tr( , ) tr 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義 粒子在單位體積出現(xiàn)的幾率粒子在單位體積出現(xiàn)的幾率2( ) :r波函數(shù)的模方表示微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾波函數(shù)的模方表示微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度率

12、密度( (即單位體積的幾率即單位體積的幾率) )。這就是波函數(shù)這就是波函數(shù)的的 “統(tǒng)計解釋統(tǒng)計解釋”。 歸一化條件歸一化條件 2( ) d1VrrV系統(tǒng)占據(jù)的整個空間系統(tǒng)占據(jù)的整個空間一維無限深勢阱一維無限深勢阱0)()0(0222akx0sin, 0kaBmkE222數(shù)為負數(shù)給不出新的波函；無物理意義nn)(00), 3, 2, 1(22222nmanEnnka xanaxnsin2)(kxBkxAxcossin)(通解：通解：邊界條件要求：邊界條件要求：xanAxnsin)(本征值：本征值：1sin202dxxanAaaA2歸一化歸一化條件：條件：歸一化常數(shù)：歸一化常數(shù)：歸一化本征函數(shù)：歸

13、一化本征函數(shù)：幾率密度：基態(tài)幾率密度：基態(tài)-2e-44e-40.0010.0020.0020.0030.003-4-3-2-101234m2考察振子在考察振子在 處的勢能：處的勢能：勢能等于基態(tài)粒子的總能量，即勢能等于基態(tài)粒子的總能量，即 是基是基態(tài)粒子的振幅位置。按經(jīng)典理論振子不可能態(tài)粒子的振幅位置。按經(jīng)典理論振子不可能進入進入 區(qū)域。區(qū)域。但是按照量子理論但是按照量子理論，振子的波函數(shù)為，振子的波函數(shù)為在在 區(qū)域的幾率為：區(qū)域的幾率為：022222212121) 1(ExxmxV1x1x22/1021exp)(1%16)()(201201dd1x動能為零動能為零最大位置最大位置020)(x

14、特別是，最大幾率出現(xiàn)在特別是，最大幾率出現(xiàn)在 ，與經(jīng)典情況完，與經(jīng)典情況完全相反。全相反。01x 徑向幾率密度：徑向幾率密度：基態(tài)基態(tài)（n = 1，l = 0, m = 0） 電子幾率密度（在空間任意處的單位體積內的幾率）：電子幾率密度（在空間任意處的單位體積內的幾率）： 電子在電子在(r r+dr) 球殼內的幾率：球殼內的幾率：araaraYrRexp141exp2),()(2/32/30001001波函數(shù)：)(2exp132100球對稱分布aradWardardarardrarradrr)()/()2exp(4)2exp(42exp44222322001令41),(00Yrdr10得到由d

15、dWW 0.00.10.20.30.40.50.6012345ar 玻爾理論：電子處于玻爾理論：電子處于 的軌道的軌道量子理論：電子在整個空間（量子理論：電子在整個空間（ ）的幾率都不為）的幾率都不為零，但在玻爾半徑零，但在玻爾半徑 處有最大幾率。處有最大幾率。ar r0)2exp(4)(2W)2exp(2)2exp(22ddW狄拉克符號的優(yōu)點狄拉克符號的優(yōu)點所有運算過程能以所有運算過程能以非常便捷非常便捷的方式進行，比如的方式進行，比如 ( (期待值期待值) )nnnnmmmnmnnmmncccmmFnnmmFnnF2插入完備性關系式插入完備性關系式mmFm( (統(tǒng)計統(tǒng)計平均平均) )泡利矩

16、陣泡利矩陣泡利矩陣的定義：泡利矩陣的定義：應用非常廣泛應用非常廣泛： 角動量理論角動量理論 電子自旋電子自旋 二能級原子二能級原子 量子計算機量子計算機 zyxLiLL,1001000110zyxiizyxi2,求解求解 的本征態(tài)的本征態(tài) 矩陣矩陣 的本征方程的本征方程：zbaba100101001ba0)1 (000)1 (baba1時當10020000bababa1122aba時當1 bababa00000020)1 (00)1 (z01a10bz1122bbaba不能確定不能確定不能確定不能確定歸一化條件：歸一化條件：本征態(tài)：本征態(tài)：歸一化條件：歸一化條件：本征態(tài)：本征態(tài)：自旋態(tài)的應用自

17、旋態(tài)的應用01a10b電子自旋電子自旋二能級原子二能級原子 算符對易的條件算符對易的條件 定理：定理：如果兩個算符如果兩個算符A和和B有共同的本征函數(shù)有共同的本征函數(shù) 而且構成完備集而且構成完備集 ，則算符則算符A和和B對易對易。 證明：證明： 對于任意態(tài)對于任意態(tài)： )(nnnnnnnnnnnccnnnnnnnbBaA,0 BAAB,nnnnnnnnnnnnnABABcc a bBAc b a n由于由于 是任意的，故是任意的，故 （A和和B對易）對易）0,BABAAB算符對易的物理含義算符對易的物理含義物理含義：物理含義：如果兩個算符如果兩個算符A和和B對易對易, 則則它們它們有共同的本征

18、函數(shù)集有共同的本征函數(shù)集 ，則在本，則在本征態(tài)征態(tài) 中，力學量中，力學量A和和B同時有確定的同時有確定的期待值：期待值： 和和 ，即力學量，即力學量A和和B能被同時測定。能被同時測定。 nnnnnaAnnnbB典型的例子典型的例子1自由粒子的波函數(shù)自由粒子的波函數(shù) 是是 能量算符：能量算符： 動量算符：動量算符：的共同的本征函數(shù)。事實上：的共同的本征函數(shù)。事實上：)(),(tEiAetrprtiE ip),(),(tEttirr),(),(ttirpr 自由粒子的能量與動量能被同時測定自由粒子的能量與動量能被同時測定典型的例子典型的例子2 球諧函數(shù)球諧函數(shù):量子系統(tǒng)的角動量平方與角動量量子系統(tǒng)

19、的角動量平方與角動量 z 分量能被同時測定分量能被同時測定22222sin1sinsin1LzLi 22( , )(1)( , )l ml mL Yl lY ( , )( , )zl ml mL Ym Y 是角動量平方算符：是角動量平方算符： 角動量角動量 z 分量算符：分量算符：共同的本征函數(shù)：共同的本征函數(shù)：lmlemlmllYimmlml, 2, 1, 0, 2, 1, 0)(cos)!()!(412),(P典型的例子典型的例子3 氫原子的波函數(shù)：氫原子的波函數(shù)：lmnln, 2, 1, 01, 2, 1, 0, 3, 2, 1mln)()() 1()(222224：mmLlllLnne

20、Hmlnmlnzmlnmlnmlnmln),(22exp)!(2)!1(2),(1233lmllnlnlmYanranranrlnnlnnarLzLLH,2是算符是算符 共同的本征函數(shù)共同的本征函數(shù)zLLH,2氫原子的三個力學量氫原子的三個力學量 能被同時測定能被同時測定主量子數(shù)主量子數(shù)角量子數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)磁量子數(shù)兩個算符不對易兩個算符不對易現(xiàn)在考察兩個算符不對易的情況。現(xiàn)在考察兩個算符不對易的情況。 由上述討論得知，如由上述討論得知，如果算符果算符A和和B是不對易的是不對易的，則它們在同一個態(tài)則它們在同一個態(tài) 中不能中不能同時測定。那么它們在這個態(tài)中有怎樣的不確定行為？同時測定。那么它們

21、在這個態(tài)中有怎樣的不確定行為？測不準關系就是要對這種測不準關系就是要對這種不確定性進行不確定性進行“formulation”. .設厄密算符設厄密算符A和和B的對易關系為的對易關系為力學量力學量A和和B在該態(tài)的期待值在該態(tài)的期待值 定義定義“偏差偏差”算符算符： iCBAABBBAA,BBBAAA,（C是常數(shù)或算符）是常數(shù)或算符）一個特殊的積分一個特殊的積分 考察積分考察積分： 式中式中 是實參量，積分區(qū)域是變量變化的整個空是實參量，積分區(qū)域是變量變化的整個空 間。因為被積函數(shù)是絕對值的平方（在變量變化間。因為被積函數(shù)是絕對值的平方（在變量變化 的整個空間恒不小于零），故積分是非負值。的整個空間恒不小于零），故積分是非負值。0)()(2dBiAI2222222222222)()()()()()()()()(,)()()()()()()()(