數(shù)學(xué)規(guī)劃及Lingo

1、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 實際問題中實際問題中的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型211, 2 , 1, 0)( , 2 , 1, 0)(. .),(),()(mjxhmixgtsxxxxfzMaxMinjiTn或x決策變量決策變量 f(x)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)gi(x) 0, hj(x)=0 約束條件約束條件數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃:目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性。目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性。非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少一個非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少一個非線性的。非線性的。整數(shù)規(guī)劃：決策變量取值為整數(shù)。整數(shù)規(guī)劃：決策變量取值為整數(shù)。多元函數(shù)多元函數(shù)條件極值條件極值 決策變量個數(shù)決策變量個數(shù)n和

2、約束條件個數(shù)和約束條件個數(shù)m1+m2較大；較大； 最優(yōu)解在可行域的邊界上取得。最優(yōu)解在可行域的邊界上取得。 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型重點在模型的建立、軟件求解及結(jié)果的分析。重點在模型的建立、軟件求解及結(jié)果的分析。數(shù)學(xué)軟件求解優(yōu)化模型包括：數(shù)學(xué)軟件求解優(yōu)化模型包括：LingoLingo、MatlabMatlab等。等。為了結(jié)合結(jié)果分析，這里我們主要介紹為了結(jié)合結(jié)果分析，這里我們主要介紹Lingo 11Lingo 11軟件。軟件。LINGO簡介簡介 LINGO 軟件有多種版本，如LINDO，GINO 和LINGO(包括LINGO NL)軟件。 LINGO 是一種專門用于求解數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的優(yōu)化計算軟

3、件包，版權(quán)現(xiàn)在由美國LINDO 系統(tǒng)公司所擁有。LINGO 軟件包的特點是程序執(zhí)行速度快，易于方便地輸入、修改、求解和分析一個數(shù)學(xué)規(guī)劃（優(yōu)化問題），因此LINGO 在教學(xué)，科研和工業(yè)界得到廣泛應(yīng)用。LINGO 11有兩種命令模式Windows 模式, 通過下拉式菜單命令驅(qū)動LINGO 運行。命令行(Command-Line) 模式,僅在命令窗口下操作。LINGO 軟件主要具有兩大優(yōu)點1、可用于求解非線性規(guī)劃問題，包括非線性整數(shù)規(guī)劃問題。還可以進行靈敏性分析。2、LINGO 包含了內(nèi)置的建模語言，允許以簡練、直觀的方式描述較大規(guī)模的優(yōu)化問題，模型中所需的數(shù)據(jù)可以以一定格式保存在獨立的文件中。說明

4、：說明：LPLP問題的數(shù)學(xué)模型及問題的數(shù)學(xué)模型及LINGOLINGO程序程序2132minxx 0,60021003502121121xxxxxxx s.t. min=2*x1+3*x2;x1+x2350;x1100;2*x1+x2600;（1）. 將目標(biāo)函數(shù)的表示方式從“min”變成了“min=”。（2）.“ST”在LINGO 模型中不再需要，所以被刪除了。（3） 每個系數(shù)與變量間增加了運算符“*”（即乘號不能省略）（4） 每行（目標(biāo)、約束和說明語句）后面均增加了一個分號“;”（7） 模型結(jié)束標(biāo)志“END”也被刪除了（LINGO 中只有當(dāng)模型以“MODEL：”開始時才能以“END” 結(jié)束）。

5、（5） LINGO中變量不區(qū)分大小寫；（6） 由于LINGO中已假設(shè)所以變量都是非負的，所以非負約束不必再輸?shù)接嬎銠C中；狀態(tài)窗口的參數(shù)解釋變量數(shù)量（其中包括變量總數(shù)、非線性變量數(shù)、整數(shù)變量數(shù)）非零系數(shù)數(shù)量（總數(shù)、非線性項的個數(shù)）內(nèi)存使用量、求解花費的時間約束數(shù)量（約束總數(shù)、非線性約束個數(shù)）狀態(tài)窗口的參數(shù)解釋用LINGO 來解二次規(guī)劃問題2221212123 . 027798maxxxxxxx為整數(shù)0,2100212121xxxxxx s.t. max=98*x1+277*x2-x12-0.3*x1*x2-2*x22;x1+x2100;x12*x2;gin(x1);gin(x2);1) 變量和行

6、名可以超過8 個字符，但不能超過32 個字符，且必須以字母開頭;2) LINGO 已假定各變量非負（除非用函數(shù)free或sub 或slb 另行說明）;3) 變量可以放在約束條件的右端（同時數(shù)字也可放在約束條件的左端）。但為了提高效率，應(yīng)盡可能采用線性表達式定義目標(biāo)和約束（如果可能).說明：說明：求解結(jié)果：求解結(jié)果：6181minijijijxc8 , 2 , 1; 6 , 2 , 1, 06 , 2 , 1,8 , 2 , 1,8161jixiexjdxijijijjiijs.t. LINGO的編程對于復(fù)雜的優(yōu)化模型的求解時要涉及到LINGO編程，即，定義集合、使用循環(huán)語句和文件輸入輸出操作等

7、。如LINGO程序為：model:!6發(fā)點8收點運輸問題;sets: !集合段; warehouses/wh1.wh6/: capacity; vendors/v1.v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目標(biāo)函數(shù);!模型段; min=sum(links: cost*volume);!需求約束; for(vendors(J):sum(warehouses(I): volume(I,J)=demand(J);!產(chǎn)量約束; for(warehouses(I):sum(vendors(J): volume(I,J)=c

8、apacity(I); !下面是數(shù)據(jù);!數(shù)據(jù)段;data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;!text(r.txt)=volume; !cost=file(c.txt);Enddata!初始段 Init: endinit;end集部分是LINGO模型的一個可選部分。在LINGO模型中使用集之前，必須在集部分事

9、先定義。集部分以關(guān)鍵字“sets:”開始，以“endsets”結(jié)束。模型的集部分為了定義一個原始集，必須詳細聲明：集的名字可選，集的成員可選，集成員的屬性定義一個原始集，用下面的語法：setname/member_list/:attribute_list;原始集集可以分為兩類，即：原始集和派生集為了定義一個派生集，必須詳細聲明：集的名字父集的名字可選，集成員可選，集成員的屬性可用下面的語法定義一個派生集：setname(parent_set_list)/member_list/:attribute_list;例如：sets: product/A B/; machine/M N/; week/1

10、.2/; allowed(product,machine,week):x;endsets 派生集優(yōu)先級運算符最高#NOT# ，（負號）* ，/+，（減號）#EQ#，#NE#，#GE#，#GT#，#LE#，#LT#AND#，#OR#最低LINGO中有三類運算符：算術(shù)運算符，邏輯運算符和關(guān)系運算符。運算符的優(yōu)先級如下。abs(x)：返回x的絕對值。sin(x)：返回x的正弦值，x采用弧度制。cos(x)：返回x的余弦值。tan(x)：返回x的正切值。exp(x)：返回常數(shù)e的x次方。log(x)：返回x的自然對數(shù)。lgm(x)：返回x的gamma函數(shù)的自然對數(shù)。mod(x,y)：返回x除以y的余數(shù)

11、。 sign(x)：如果x=0時，返回不超過x的最大整數(shù)；當(dāng)x0時，返回不低于x的最大整數(shù)。smax(x1,x2,xn)：返回x1，x2，xn中的最大值。smin(x1,x2,xn)：返回x1，x2，xn中的最小值。LINGO提供了大量的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)：變量界定函數(shù)實現(xiàn)對變量取值范圍的附加限制，共4種：bin(x)：限制x為0或1；bnd(L,x,U)：限制LxU；free(x)：取消對變量x的默認下界為0的限制，即x可以取任意實數(shù)；gin(x)：限制x為整數(shù)。在默認情況下，LINGO規(guī)定變量是非負的，也就是說下界為0，上界為+。free取消了默認的下界為0的限制，使變量也可以取負值。bnd用于

12、設(shè)定一個變量的上下界,它也可以取消默認下界為0的約束。變量界定函數(shù)集循環(huán)函數(shù)集循環(huán)函數(shù)遍歷整個集進行操作。其語法為function(setname(set_index_list)|conditional_qualifier:expression_list);1for該函數(shù)用來產(chǎn)生對集成員的約束?；诮ＵZ言的標(biāo)量需要顯式輸入每個約束，不過for函數(shù)允許只輸入一個約束，然后LINGO自動產(chǎn)生每個集成員的約model:sets:number/1.5/:x;endsetsfor(number(I): x(I)=I2);end例：產(chǎn)生序列1,4,9,16,252sum該函數(shù)返回遍歷指定的集成員的一個表

13、達式的和。例：求向量5，1，3，4，6，10前5 個數(shù)的和。model:data:N=6;enddatasets:number/1.N/:x;endsetsdata:x = 5 1 3 4 6 10;enddatas=sum(number(I) | I #le# 5: x);end3min和max例：求向量5，1，3，4，6，10前5 個數(shù)的最小值，后3 個數(shù)的最大值。model:data:N=6;enddatasets:number/1.N/:x;endsetsdata:x = 5 1 3 4 6 10;enddataminv=min(number(I) | I #le# 5: x);max

14、v=max(number(I) | I #ge# N-2: x);end輸入和輸出函數(shù)可以把模型和外部數(shù)據(jù)比如文本文件、數(shù)據(jù)庫和電子表格等連接起來。 輸入和輸出函數(shù)1file函數(shù) 該函數(shù)用從外部文件中輸入數(shù)據(jù)，可以放在模型中任何地方。該函數(shù)的語法格式為file(filename)。這里filename是文件名，可以采用相對路徑和絕對路徑兩種表示方式。2text函數(shù)該函數(shù)被用在數(shù)據(jù)部分用來把解輸出至文本文件中。它可以輸出集成員和集屬性值。其語法為text(filename) 用該命令產(chǎn)生當(dāng)前模型的靈敏性分析報告：研究當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的費用系數(shù)和約束右端項在什么范圍（此時假定其它系數(shù)不變）時，最優(yōu)基保持

15、不變。靈敏性分析是在求解模型時作出的，因此在求解模型時靈敏性分析是激活狀態(tài)，但是默認是不激活的。為了激活靈敏性分析，運行LINGO|Options，選擇General Solver Tab， 在Dual Computations 列表框中，選擇Prices and Ranges 選項。靈敏性分析耗費相當(dāng)多的求解時間，因此當(dāng)速度很關(guān)鍵時，就沒有必要激活它。靈敏性分析（Range，Ctrl+R） 加工奶制品的生產(chǎn)計劃加工奶制品的生產(chǎn)計劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 時間時間480小時小時 至多加工至多加工100公斤公斤A

16、1 制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？ 每天：每天：1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動時間勞動時間 4808

17、1221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負約束非負約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時間時間480小時小時 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型求解模型求解 軟件實現(xiàn)軟件實現(xiàn) LINGO 11 max =72*x1+64*x2；x1+x250；12*x1+8*x2480；3*x1100； Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Infeasibilities: 0.000000

18、Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤，利潤3360元。元。 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 原料無剩余原料

19、無剩余時間無剩余時間無剩余加工能力剩余加工能力剩余40三三種種資資源源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） max =72*x1+64*x2；x1+x250；12*x1+8*x2480；3*x1100； Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.00

20、0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000結(jié)果解釋結(jié)果解釋 最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增增加加1單位時單位時“效益效益”的的增量增量 原料增加原料增加1單位單位, 利潤增長利潤增長48 時間增加時間增加1單位單位, 利潤增長利潤增長2 加工能力增長不影響利潤加工能力增長不影響利潤影子價格影子價格 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48, 應(yīng)該買！應(yīng)該買！ 聘用臨時工人付出的工資最

21、多每小時幾元？聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？ 2元！元！ Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.00

22、0000 4 40.00000 0.000000RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000