信號(hào)與系統(tǒng)-L15_CH5

1、 )j ()j ()j (zsXYH若n階連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為 )()( )()(01)1(1)(tyatyatyatyannnn)()( )()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbmmmm01110111zs)j ()j ()j ()j ()j ()j ()j ()j ()j (aaaabbbbXYHnnnnmmmm 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )與與沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)(je| )j (|)j (HH)()()()j ()j ()j (thFtFthFXYHzsH(j )一般一般由描述LTI系統(tǒng)的微分方程直接計(jì)算；由LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅里葉變換計(jì)算；由電路的零狀態(tài)頻域等效電

2、路模型計(jì)算。 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )的求解方法的求解方法解：解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為)j ()j (2)j (j3)j ()j (zszszs2XYYY由定義可求得)j ()j ()j (zsXYH2)j (3)j (12例例1 1 已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = x(t)， 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)。 已知某的為 h(t) = (ete2t) u(t)，求系統(tǒng)的。解：解： 利用H(j)與h(t)的關(guān)系)()j (thFH2j11j12)j (3)j (12例3 圖示RC電路系統(tǒng)，激勵(lì)電壓源為x(t)，輸出

3、電壓 y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)和沖激響應(yīng)h(t)。RC電路的頻域(相量)模型如圖，)j ()j ()j (XYHCRCj1j1RCRC/1j/1由Fourier反變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為)(e1)()/1 (tuRCthtRC由電路的基本原理有1/RC0j2/RC3/RC4/RC0 隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|不斷減小，說(shuō)明信號(hào)的頻率越高，信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把c=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器)(e)(jzsthtytd)(e)(jhtd)(eejj

4、ht)j (ejHt 若信號(hào)x(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號(hào)ejt(t)的線性組合表示，即de )j (21)(j tXtx 由系統(tǒng)的線性非時(shí)變特性，可推出信號(hào)x(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。x(t)de )j ()j (21j tHXde )j (21jtXTttHXXTjje )j ()j (21e )j (21由積分特性由均勻性ttHTjje )j (ede)j ()j (21)()(jzstHXtxTty即Yzs (j) 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系： 兩種分析方法實(shí)質(zhì)相同，只不過(guò)是表達(dá)信號(hào)的基本信號(hào)不同。Fourier變換的時(shí)域卷積定理是聯(lián)系

5、兩者的橋梁。)j ()j ()j (zsHXY)j ()j ()j ()(*)()(zszsHXYthtxtyF例例1 1 已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3x (t)+4x(t)，系統(tǒng)的輸入激勵(lì) x(t) = e3t u(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t)。解：解： 由于輸入激勵(lì)x(t)的頻譜函數(shù)為3j1)j (X系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得)2j)(1j (4)j ( 32)j ( 3)j (4)j ( 3)j (2H故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t)的頻譜函數(shù)Yzs (j)為) 3j)(2j)(1j (4)j ( 3)j ()j ()j

6、(zsHXY)(e25e2e21)j ()(32zs1zstuYFtyttttttx,sin)(0由Euler公式可得)ee (j21)()( j)( j00tttx 利用虛指數(shù)信號(hào)ejt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的線性特性，可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為)j(0)j(000e )j(e )j (j21)(ttHHty)(sin()j (000tH)(sin()j ()sin(0000tHtT同理)(cos()j ()cos(0000tHtT 結(jié)論：正、余弦信號(hào)作用于線性非時(shí)變系統(tǒng)時(shí)，其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號(hào)。 輸出信號(hào)的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j0)|確定 輸

7、出信號(hào)的相位相對(duì)于輸入信號(hào)偏移了(例例2 2 已知一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖所示， 輸入信號(hào)時(shí)， 試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(t)。 1033)j (H利用余弦信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，即 )(cos()j ()cos(0000tHtT可以求出信號(hào)x(t)作用在系統(tǒng)上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 tHtHHtxT4cos)4 j (2cos)2 j (3)0 j (5)(t 2cos5 ttttx4cos2cos35)(t)/2(e)(00j0TCtxtnnn利用虛指數(shù)信號(hào)ejt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點(diǎn)及線性特性可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為ntnnnHC0 j0e )j (e)(0jtnnnTCty將周期為T

8、0的周期信號(hào) 用Fourier級(jí)數(shù)展開為)(tx例例3 3 求圖示周期方波信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)H(j) = 1/(a+j) 的響應(yīng)y(t)。解：解： 對(duì)于周期方波信號(hào)，其Fourier系數(shù)為2Sa00nTACn可得系統(tǒng)響應(yīng)0j01jeRe2Sa2)(0aannTATAtytnnntnnnHCty0 j0e )j ()(優(yōu)點(diǎn)：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以直觀地體現(xiàn)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，解釋激勵(lì)與響應(yīng)時(shí)域波形的差異，物理概念清楚。不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 仍需按時(shí)域方法求解。 （2）若激勵(lì)信號(hào)不存在傅里葉變換，則無(wú)法利用頻域 分析法。 （3）頻域分析法中，傅里

9、葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換 若輸入信號(hào)為x(t)，則無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號(hào)y(t)應(yīng)為)()(dttxKtyK為正常數(shù)，td是輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的延遲時(shí)間。 時(shí)域特性)()(dttKth 頻域特性dje)j (tKH其幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為KH | )j (|d )(t應(yīng)滿足兩個(gè)條件：應(yīng)滿足兩個(gè)條件： 系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無(wú)窮大； 系統(tǒng)的相位響應(yīng)()在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比。KH | )j (|d )(t例例1 1 已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為j1j1)j (H(1) 求系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|和相位響應(yīng)()， 并判斷系統(tǒng)是否為無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2) 當(dāng)輸入為x(t)=sint+sin3t (t) 時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：解：(1) 因?yàn)?(arctan2 je)j (H所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為)arctan(2)(1)j (H 系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)()不是的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。)3(3sin)3 j ()1 (sin) 1 j ()(tHtHty)7952. 03sin()2/sin(tt(2)例例1 1 已知一LTI系