第五章頻率法(12學(xué)時)

1、第五章 頻率法（12學(xué)時）n本章主要與學(xué)習(xí)重點n第一節(jié) 頻率特性的基本概念n第二節(jié) 頻率特性的表示方法n第三節(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性n第四節(jié) 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制n第五節(jié) 用頻率法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性n第六節(jié) 系統(tǒng)暫態(tài)特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系n第七節(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性n第八節(jié) 系統(tǒng)暫態(tài)特性和閉環(huán)頻率特性的關(guān)系n小結(jié)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 本章介紹了控制系統(tǒng)頻率分析法的相關(guān)概念和基本原理。包括頻率特性的基本概念和定義、開環(huán)頻率特性的奈氏圖表示法、波特圖表示法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性、閉環(huán)頻率特性與時域性能的關(guān)系等。本章重點本章重點 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點掌握

2、頻率特性的概念與性質(zhì)、典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈氏圖和波特圖的繪制和分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析法、系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的概念和求法、閉環(huán)系統(tǒng)性能指標的頻域分析法等。第一節(jié) 頻率特性的基本概念tUusintjeUULjRZn例5.1 R-L串聯(lián)回路()22()jtUUIeRj LRLRLarctan211/1/( )11 ()jjIRReAeURj LT jTRLTTRA/,)(1/1)(2 arctanarctanLTR ()W j頻率特性jrceAjXjXjW)()()()(輸出的復(fù)數(shù)形式輸入的復(fù)數(shù)形式n頻率特性（頻率響應(yīng)）的定義式：jssWjW)()(n頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系：第二節(jié)

3、 頻率特性的表示方法n幅相頻率特性（奈氏圖）n對數(shù)頻率特性（Bode圖）n對數(shù)幅相特性（尼氏圖）n幅相頻率特性（奈氏圖） 幅相頻率特性可以表示成n代數(shù)形式n極坐標形式n代數(shù)形式 設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為nnnmmmasasabsbsbsW110110)(令s=j，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性 )()()()()()()(110110jQPajajabjbjbjWnnnmmm這就是系統(tǒng)頻率特性的代數(shù)形式，其中P()是頻率特性的實部，稱為實頻特性，Q()為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。 )()(22)()()()(jjeAeQPjW)()()(22QPA)()(arctan)(QP式中n極坐標形式將上

4、式表示成指數(shù)形式 :nA()復(fù)數(shù)頻率特性的模，即幅頻特性n()復(fù)數(shù)頻率特性的幅角或相位移，即相頻特性 奈氏圖n對數(shù)頻率特性（Bode圖）n對數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對數(shù)坐標中。 對上式兩邊取對數(shù)，得 )()(22)()()()(jjeAeQPjW()lg()lg ( )lg( )( )lglg( )0.434 ( )jW jAeAjeAj 上面就是對數(shù)頻率特性的表達式。習(xí)慣上，一般不考慮0.434這個系數(shù)，而只用相角位移本身。 ( )20lg( )( )( )LAdBrad ，或Bode圖n對數(shù)幅相特性（尼氏圖） 將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性繪在一個平面上，以對數(shù)幅值作縱坐標（單位為分貝）

5、、以相位移作橫坐標（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對數(shù)幅相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。 第三節(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性n1. 比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：KsXsXsWrc)()()(頻率特性：（1）（2）KjW)( ( )20lg20lg0LAK 奈 氏 圖Bode圖n2. 慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：( )1( )( )1crXsW sXsTs頻率特性：（1）（2）222211()111TW jjj TTTarctan2211jTeT22221( )20lg ( )20lg20lg 11( )arctanLATTT 奈 氏 圖Bode圖n3. 積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：( )1( )( )crXsW s

6、Xss頻率特性：（1）（2）211()0jW jje1( )20lg( )20lg20lg( )90LA 奈 氏 圖Bode圖n4. 微分環(huán)節(jié)n4.1 理想微分傳遞函數(shù)：( )( )( )crXsW ssXs頻率特性：（1）（2）21()jW jje1( )20lg( )20lg20lg( )90LA 奈 氏 圖Bode圖傳遞函數(shù)：( )( )1( )crXsW ssXs n4.2 一階/比例/實用微分頻率特性：（1）（2）21()jW jje2( )20lg( )20lg 1 ()( )arctan()LA 奈 氏 圖Bode圖n5. 慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：121)(22TssTsW頻率特性：（

7、1）221()12W jTjT222arctan()122221(1)(2)TTeTT （2）222222( )20lg( )20lg1 20lg(1)(2)2( )arctan1LATTTT 奈 氏 圖Bode圖n6. 時滯環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：sesW)(頻率特性：（1）（2）jejW)( )20lg( )0( )LAdB 奈 氏 圖Bode圖n7. 最小相位環(huán)節(jié) 凡在右半s 平面上有開環(huán)零點或極點的系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)。 “最小相位” 是指，具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)；后者常在傳遞函數(shù)中包

8、含右半s平面的零點或極點。 第四節(jié) 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制n奈氏圖的繪制nBode圖的繪制n奈氏圖的繪制n幅相特性的低頻段 開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般形式為 NnjjNmiikKjTjjTKjW11) 1()() 1()(當(dāng) 時，可以確定特性的低頻部分，其特點由系統(tǒng)的類型近似確定，如下圖所示： 0 時的相位角為 )90(N0對于0型系統(tǒng)，當(dāng) 時，特性達到一點 。對于1型系統(tǒng)，特性趨于一條與虛軸平行的漸進線，這一漸進線可以由下式確定： )0,(jKk)(lim)(Relim00PjWKx0n幅相特性的高頻部分 一般，有 ，故當(dāng) 時，有 mn 90)(0)(limnmjWK即特性總是以順時針方向趨于點

9、，并按上式的角度終止于原點，如下圖所示。 n幅相特性與負實軸和虛軸的交點。0)()(ImQjWK特性與虛軸的交點的頻率由下式求出 0)()(RePjWK特性與負實軸的交點的頻率由下式求出n如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時間常數(shù)，則當(dāng)由0增大到過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時間常數(shù)，則視這些時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時，特性可能出現(xiàn)凹部。 nBode圖的繪制例5-1 一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為求得頻率特性為2121) 1)(1()(TTsTsTsKsWK，221212( )20lg( )20lg20lg20lg()120lg()1(

10、)0( 90 )arctan()arctan()LAKTTTT n繪制步驟：n確定交接頻率 標在角頻率軸上。n在1處，量出幅值20lgK，其中K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。（上圖中的A點） n通過A點作一條-20NdB/十倍頻的直線，其中N為系統(tǒng)的無差階數(shù)（對于例5-1，N=1），直到第一個交接頻率 (圖中B點）。如果 ，則低頻漸進線的延長線經(jīng)過A點。 12121211TT，在例5-1中,，111T11n以后每遇到一個交接頻率，就改變一次漸進線斜率。 每當(dāng)遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時， 漸進線斜率增加-20dB/十倍頻； 每當(dāng)遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時， 斜率增加+20dB/十倍頻； 每當(dāng)遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時

11、， 斜率增加-40dB/十倍頻。11jjT) 1(ijT2222)(nnnjjn繪出用漸進線表示的對數(shù)幅頻特性以后，如果需要，可以進行修正。通常只需在交接頻率出以及交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 對于一階項，在交接頻率處的修正值為3dB； 在交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的修正值為1dB。 對于二階項，在交接頻率處的修正值可由公式求出。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線，即 時的頻率 稱為穿越頻率。穿越頻率 是開環(huán)對數(shù)相頻特性的一個很重要的參量。 1)(或0)(ccALccn繪制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性時，可分環(huán)節(jié)繪出各分量的對數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標相加，就可以得到

12、系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。 n系統(tǒng)類型與開環(huán)對數(shù)頻率特性 不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對數(shù)幅頻特性顯著不同 。n0型系統(tǒng)n1型系統(tǒng) n2型系統(tǒng) n0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 njjmiikKTjTjKjW11) 1() 1()(對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點： 在低頻段，斜率為0dB/十倍頻； 低頻段的幅值為20lgKk，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。n1型系統(tǒng) 1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 111) 1() 1()(njjmiikKTjjTjKjW對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點： 在低頻段的漸進線斜率為-20dB/十倍頻； 低頻漸進線（或其延

13、長線）與0分貝的交點為k=Kk，由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv= Kk ； 低頻漸進線（或其延長線）在=1時的幅值為20lgKkdB。n2型系統(tǒng) 2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 2121) 1()() 1()(njjmiikKTjjTjKjW對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點： 低頻漸進線的斜率為-40dB/十倍頻； 低頻漸進線（或其延長線）與0分貝的交點為 ，由之可以確定加速度誤差系數(shù) ka= Kk ； 低頻漸進線（或其延長線）在=1時的幅值為20lgKkdB。 kkK第五節(jié) 用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性n奈氏穩(wěn)定判據(jù)n應(yīng)用舉例n系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量奈氏穩(wěn)定判據(jù) 如果開環(huán)系統(tǒng)是

14、穩(wěn)定的，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：當(dāng)由變到時，開環(huán)頻率特性在復(fù)數(shù)平面的軌跡不包圍（-1, j0）這一點。 如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，開環(huán)系統(tǒng)特征方程式有P個根在右半s平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由變到時，開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上應(yīng)逆時針圍繞(-1,j0)點轉(zhuǎn)N=P圈。否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5-1 一個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1,1)(KTsKsWK系統(tǒng)穩(wěn)定例5-2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)不穩(wěn)定0,) 1)(1()(21KsTsTsKsWK沒有極點位于右半s平面，P=0。 222142221221)(1)()(TTTTTTKP)(1 )1 ()(2

15、221422212212TTTTTTKQ121 2121 20(0)()(0)1( )( )0PK TTQKTTPQTTTT 在 時，在時，例5-3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 0,) 1)(1()(21KsTsTsKsWK沒有極點位于右半s平面，P=0。 222142221221)(1)()(TTTTTTKP)(1 )1 ()(2221422212212TTTTTTKQ121 2121 20(0)()(0)1( )( )0PK TTQKTTPQTTTT 在 時，在時，121 2( )1TTPKTT 時，達到穩(wěn)定邊界，這時121 2TTKTT時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量1.相位裕量2.增益裕量GM

16、 （幅值裕量）)(c)(180)(cc1111()()()jKjjGMAaWjP120lg20lg20lgjjGM dBaLPa ()180j 第六節(jié) 系統(tǒng)暫態(tài)特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系n開環(huán)對數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)n系統(tǒng)暫態(tài)特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系n開環(huán)對數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)n波德定理n波德第一定理指出，對數(shù)幅頻特性漸進線的斜率與相角位移有對應(yīng)關(guān)系。例如對數(shù)幅頻特性斜率為-20NdB/十倍頻，對應(yīng)于相角位移 。在某一頻率 時的相角位移，當(dāng)然是由整個頻率范圍內(nèi)的對數(shù)幅頻特性斜率來確定的，但是，在這一頻率 時的對數(shù)幅頻特性斜率，對確定時的相角位移，起的作用最大。離這一頻率 越遠的幅頻特性斜率，起的作

17、用越小。 )90(Nkkkn波德第二定理指出，對于一個線性最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系是唯一的。當(dāng)給定了某一頻率范圍的對數(shù)幅頻特性時，在這一頻率范圍的相頻特性也就確定了。反過來說，給定了某一頻率范圍的相角位移，那么，這一頻率范圍的對數(shù)幅頻特性也就確定了?？梢苑謩e給定某一個頻率范圍的對數(shù)幅頻特性和其余頻率范圍的相頻特性，這時，這一頻率范圍的相角位移和其余頻率范圍的對數(shù)幅頻特性也就確定了。 n開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜率和相頻特性的關(guān)系n低頻段和高頻段特性斜率的影響n低頻段特性n高頻段特性n放大系數(shù)的變化對相位裕量的影響之一n放大系數(shù)的變化對相位裕量的影響之二n放大系數(shù)的變化對相位裕量的影

18、響之三 結(jié) 論n穿過 的幅頻特性斜率以-20dB/十倍頻為宜，一般最大不超過-30dB/十倍頻。 n低頻段和高頻段可以有更大的斜率。低頻段有斜率更大的線段可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標；高頻段有斜率更大的線段可以更好地排除高頻干擾。 n中頻段的穿越頻率 的選擇，決定于系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)速度的要求。 n中頻段的長度對相位裕量有很大影響，中頻段越長，相位裕量越大。 ccn系統(tǒng)暫態(tài)特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系n相位裕量 和超調(diào)量 之間的關(guān)系 以二階系統(tǒng)為例二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準型式為 )(c%2222)(nnnBsssW二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 121(2)2()(2sssssWnnnnK) 121)(2)(

19、jjjWnnK開環(huán)頻率特性為 相位裕量 和超調(diào)量 之間的關(guān)系為 )(c%1422arctan)(42c100)(c%100%21e 與 的關(guān)系圖如下 )(c%n相位裕量 和超調(diào)量 之間的關(guān)系 )(cst142342cst)(tan6ccst 與 的關(guān)系圖如下 )(cst第七節(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性n諧振峰值Mp諧振峰值Mp是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值。通常，Mp越大，系統(tǒng)單位過渡特性的超調(diào)量%也越大。 n諧振頻率p 諧振頻率p是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時的頻率。 n頻帶寬BW閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值，由其初始值M(0)減小到0.707M(0)時的頻率（或由=0的增益減低3分貝時的頻率），稱為頻帶寬。頻帶越寬，上升時間越短，但對于高頻干擾的過濾能力越差。 n剪切速度剪切速度是指在高頻時頻率特性衰減的快慢。在高頻區(qū)衰減越快，對于信號和干擾兩者的分辨能力越強。但是往往是剪切速度越快，諧振峰值越大。 n閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系 1sin ()pcM n閉環(huán)系統(tǒng)等M、等圓及尼氏圖 等M園等圓尼氏圖線n例5-4 圖中， 在=35時與M=1.4dB的軌跡相切，所以閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值為Mp=1