第3章離散傅里葉變換(DFT)

1、第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.1 離散傅里葉變換的定義及物理意義離散傅里葉變換的定義及物理意義3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義及物理意義及物理意義 3.1.1 DFT （Discrete Fourier Transform）的定義）的定義 設(shè)設(shè)x(n)是一個長度為是一個長度為M的的有限長序列有限長序列，定義，定義x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn) 離

2、散傅里葉變換離散傅里葉變換為：為： =0, 1, , N-1 10( )( ) ( ),NknNnxX kDFT x nkn W 離散傅里葉逆變換離散傅里葉逆變換為：為： =0, 1, , N-1 10( )( )( )1,NknNkWNx nIDFT X kXnk (3.1.1)(3.1.2)式中，式中， ，N稱為稱為DFT變換區(qū)間長度變換區(qū)間長度, NM2NjNeW 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）證明證明IDFTX(k)的唯一性的唯一性: 把把(3.1.1)式代入式代入(3.1.2)式有式有()( )()()1100110011NNmkknNNkmNNk m nNmk

3、IDFT X kx m WWNx mWN 11,()0,01Nm n MNMk m nNm n MNMkWN 所以，在變換區(qū)間上滿足下式：所以，在變換區(qū)間上滿足下式： IDFTX(k)=x(n) 0nN-1 由此可見，由此可見， (3.1.2)式定義的離散傅里葉逆變換是唯一的式定義的離散傅里葉逆變換是唯一的為整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 例例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求，求x(n)的的4點(diǎn)、點(diǎn)、8點(diǎn)、點(diǎn)、16點(diǎn)點(diǎn)DFT 解：設(shè)變換區(qū)間解：設(shè)變換區(qū)間N=4，則，則( )( )sin(), ,sin()27388003820 178jknk

4、nnnj kX kx n Wekekk jj2j( )( )ee, ,eknknnnkkX kx n Wkk 23344002440101 2 31設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=8，則，則第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=16， 則則( )( )sin(), ,sin()215316160031640 11516jknknnnjkX kx n Wekekk 由此可見，由此可見，x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長度長度N的取值有關(guān)。的取值有關(guān)。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 3.1.2 DFT與傅里葉變

5、換（與傅里葉變換（DTFT）和）和Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 設(shè)序列設(shè)序列x(n)長度為長度為M，其，其Z變換和變換和N(NM)點(diǎn)點(diǎn)DFT分別為：分別為：( ) ( )( )( ) ( )( )=0,1,N-1MnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n Wk 1010比較上面二式可得關(guān)系式比較上面二式可得關(guān)系式( )( ),=0,1,N-1( )(),=0,1,N-1jkNz ejkNX kX zkX kX ek 22 (3.1.3)(3.1.4)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）序列序列 x(n) 的的 N 點(diǎn)點(diǎn) DFT（X(k)）是：是：u x(n

6、)的的Z變換變換在在單位圓單位圓上的上的N點(diǎn)點(diǎn)等間隔采樣等間隔采樣u x(n)的的傅里葉變換傅里葉變換在在區(qū)間區(qū)間0,20,2上的上的N點(diǎn)點(diǎn)等間隔采樣等間隔采樣=0,1,N-122( )( ),( )(),jkNjkz eNX kX zX kX ek ooooooooooo2X(ej)X(k)oRezjImzk1N00o第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 由此可見，由此可見，DFT的的變換區(qū)間長度變換區(qū)間長度N不同，表示對不同，表示對X(ej)在區(qū)間在區(qū)間0, 2上的上的采樣間隔采樣間隔和和采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)不同，所以不同，所以DFT的變換結(jié)果不同。的變換結(jié)果不同。 上例中，上

7、例中，x(n)=R4(n)，DFT變換區(qū)間長度變換區(qū)間長度N分別取分別取4、8、16時，時，X(ej)和和X(k)的幅頻特性曲線圖如圖的幅頻特性曲線圖如圖3.1.1所示。所示。 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）圖圖 3.1.1 X(k)與與X(e j)的關(guān)系的關(guān)系 00.81.8201234(a)R4(n)的幅頻特性圖|X(ej)|00.511.522.533.54012345(b)4點(diǎn)DFT的幅頻特性圖|X(k)|012345678012345(c)8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖|X(k)|0246810121416012345(d)16點(diǎn)D

8、FT的幅頻特性圖|X(k)|第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 3.1.3 DFT的隱含周期性的隱含周期性 前面定義的前面定義的DFT變換對中，變換對中，x(n)與與X(k)均為有限長均為有限長序列，但由于序列，但由于 的周期性，使離散傅里葉變換式中的的周期性，使離散傅里葉變換式中的x(n)與與X(k)隱含周期性，且周期均為隱含周期性，且周期均為N。對任意整數(shù)。對任意整數(shù)m， 總有總有()kk mNNNWW 所以所以 式中，式中， X(k)滿足滿足()()( )( )( )1010Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k knNWk，m為整數(shù)，為整數(shù)，

9、N為自然數(shù)為自然數(shù)10( )( )NknNnX kx n W 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 任何周期為任何周期為N的周期序列的周期序列 都可以看作長度為都可以看作長度為N的有限長序列的有限長序列x(n)的周期延拓序列，而的周期延拓序列，而x(n)則是則是 的的一個周期，即一個周期，即( )x n( )()( )( )( )mNx nx nmNx nx nRn ( )x n上述關(guān)系如圖上述關(guān)系如圖3.1.2(a)和和(b)所示。所示。 周期序列中從周期序列中從n=0到到N1的第一個周期為的第一個周期為的的主值區(qū)間主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱為，而主值區(qū)間上的序列稱為 的

10、的主值序列主值序列。因此。因此 x(n) 與的關(guān)系可敘述為與的關(guān)系可敘述為： 是是 x(n) 的周期延拓序列的周期延拓序列 x(n)是是 的主值序列的主值序列)(nx)(nx)(nx( )x n( )x n)(nx第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 圖圖3.1.2 x(n)及其周期延拓序列及其周期延拓序列第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）設(shè)序列設(shè)序列 x(n) 長度為長度為M，當(dāng)當(dāng)NM時，時， 式可用如下形式表示：式可用如下形式表示： 式中式中 x(n)N ： x(n) 以以N為周期的周期延拓序列為周期的周期延拓序列 (n)N ：模模 N 對對 n 求余求余

11、即如果即如果 n=MN+n1 0n1N1, M為整數(shù)為整數(shù)則則(n)N = (n1) 例如，例如，, 則有則有( )( )Nx nx n 88, ( )( )Nx nx n88(8)(8)(0)(9)(9)(1)xxxxxx( )()mx nx nmN 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）？() 2186()()xx822()()( )xxx8226第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）)(nx 兩式僅對兩式僅對NM時成立。時成立。 圖圖3.1.2（a）中）中x(n)實(shí)際長度實(shí)際長度M=6，當(dāng)延拓周期，當(dāng)延拓周期N=4時，時， 如圖如圖3.1.2（c）所示。）所示

12、。 ( )()mx nx nmN 若若 x(n) 實(shí)際長度為實(shí)際長度為M，延拓周期為，延拓周期為N，則當(dāng)，則當(dāng)NM時，時，仍表示以仍表示以N為周期的周期序列，但為周期的周期序列，但( )( )( )Nx nx nRn( )( )Nx nx n 說明：說明：第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 圖圖3.1.2 x(n)及其周期延拓序列及其周期延拓序列第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 如果如果x(n)的長度為的長度為M，且，且，NM，則，則 的離散傅里葉級數(shù)：的離散傅里葉級數(shù)：( )( )( )NNknknNNkkx nX k WX k WNN 110011Nn

13、xnx)()()(nx( )( )( )( )NNNknknknNNNNnnnX kx n Wx nWx n W 111000 有限長序列有限長序列 x(n) 的的 N 點(diǎn)離散傅里葉變換點(diǎn)離散傅里葉變換 X(k) 正好是正好是x(n)的周期延拓序列的周期延拓序列 x(n)N 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列。的主值序列。( )( )( )NX kX k Rk ( )X k( )X k式中式中即即 X(k) 為的為的主值序列主值序列第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 周期延拓序列頻譜完全由其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)周期延拓序列頻譜完全由其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)確定，因此

14、：確定，因此：( )X k觀察觀察 DFT R4(n) 4= 4(k)。 根據(jù)根據(jù)DFT第二種物理解釋可知，第二種物理解釋可知，DFT R4(n) 4 表示表示R4(n)以以4為周期的周期延拓序列為周期的周期延拓序列R4(n)4的頻譜特性，因的頻譜特性，因?yàn)闉镽4 (n)4是一個直流序列，只有直流成分（即零頻率是一個直流序列，只有直流成分（即零頻率成分），所以，成分），所以， DFT R4(n) 4 = 4(k) 。 X(k) 實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上是是 x(n) 的周期延拓序列的周期延拓序列 x(n) N 的頻譜特性的頻譜特性第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.1.4 用用MATL

15、AB計(jì)算序列的計(jì)算序列的DFTMATLAB提供用快速傅里葉變換算法提供用快速傅里葉變換算法FFT計(jì)算計(jì)算DFT的函數(shù)的函數(shù) fft，調(diào)用格式如下，調(diào)用格式如下: Xk = fft (xn, N) xn：被變換的時域序列向量：被變換的時域序列向量 N：DFT變換區(qū)間長度變換區(qū)間長度 當(dāng)當(dāng)N大于大于 xn 的長度時，的長度時，fft自動在自動在xn后面補(bǔ)零后面補(bǔ)零 Xk：返回的：返回的 xn 的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT變換結(jié)果向量變換結(jié)果向量 當(dāng)當(dāng)N小于小于xn的長度時，的長度時，fft 函數(shù)計(jì)算函數(shù)計(jì)算xn的前面的前面N個元個元素構(gòu)成的素構(gòu)成的N長序列的長序列的N點(diǎn)點(diǎn)DFT，忽略，忽略xn后面的元素。后面

16、的元素。 ifft函數(shù)計(jì)算函數(shù)計(jì)算IDFT，其調(diào)用格式與，其調(diào)用格式與fft函數(shù)相同。函數(shù)相同。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）【例【例3.1.2】 設(shè)設(shè)x(n)=R4(n)，X(ej)=FTx(n)。分別計(jì)算。分別計(jì)算X(ej)在頻率區(qū)間在頻率區(qū)間0，2上的上的16點(diǎn)和點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣，點(diǎn)等間隔采樣，并繪制并繪制X(ej)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。解：解： 由由DFT與傅里葉變換的關(guān)系知道，與傅里葉變換的關(guān)系知道，X(ej)在頻率區(qū)間在頻率區(qū)間0，2上的上的16點(diǎn)和點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣，分別是點(diǎn)等間隔采樣，分別是x(n)的的16點(diǎn)點(diǎn)和

17、和32點(diǎn)點(diǎn)DFT。調(diào)用。調(diào)用 fft 函數(shù)的求解程序如下函數(shù)的求解程序如下:xn=1 1 1 1; %輸入時域序列向量輸入時域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn, 16); %計(jì)算計(jì)算xn的的16點(diǎn)點(diǎn)DFTXk32=fft(xn, 32); %計(jì)算計(jì)算xn的的32點(diǎn)點(diǎn)DFT %以下為繪圖部分以下為繪圖部分第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）k=0:15;wk=2*k/16; %產(chǎn)生產(chǎn)生16點(diǎn)點(diǎn)DFT對應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率對應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率(關(guān)于關(guān)于歸一化值歸一化值)subplot(2,2,1);h=stem(wk,abs(Xk16),o,fill); %繪制繪制16點(diǎn)點(diǎn)DF

18、T的幅頻特性圖的幅頻特性圖set(h,LineWidth,3)title(a)16點(diǎn)點(diǎn)DFT的幅頻特性圖的幅頻特性圖,fontsize,25);xlabel(/,fontsize,25);ylabel(幅度幅度,fontsize,25)subplot(2,2,3);h=stem(wk,angle(Xk16),o,fill); %繪制繪制16點(diǎn)點(diǎn)DFT的相頻特性圖的相頻特性圖set(h,LineWidth,3)line(0,2,0,0);title(b)16點(diǎn)點(diǎn)DFT的相頻特性圖的相頻特性圖,fontsize,25)xlabel(/,fontsize,25);ylabel(相位相位,fontsi

19、ze,25);axis(0,2,-3.5,3.5)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）k=0:31;wk=2*k/32; %產(chǎn)生產(chǎn)生32點(diǎn)點(diǎn)DFT對應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率對應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率(關(guān)于關(guān)于歸一化值歸一化值)subplot(2,2,2);h=stem(wk,abs(Xk32),o,fill); %繪制繪制32點(diǎn)點(diǎn)DFT的幅頻特性圖的幅頻特性圖set(h,LineWidth,3)title(c)32點(diǎn)點(diǎn)DFT的幅頻特性圖的幅頻特性圖,fontsize,25);xlabel(/,fontsize,25);ylabel(幅度幅度,fontsize,25)subplot(2,2,4);h

20、=stem(wk,angle(Xk32),o,fill); %繪制繪制32點(diǎn)點(diǎn)DFT的相頻特性圖的相頻特性圖set(h,LineWidth,3)line(0,2,0,0);title(d)32點(diǎn)點(diǎn)DFT的相頻特性圖的相頻特性圖,fontsize,25);xlabel(/,fontsize,25);ylabel(相位相位,fontsize,25);axis(0,2,-3.5,3.5)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）圖圖3.1.3 例例3.1.2程序運(yùn)行結(jié)果程序運(yùn)行結(jié)果 00.81.8200.511.522.533.54(a)16點(diǎn)DFT的

21、幅頻特性圖/幅度00.81.82-3-2-10123(b)16點(diǎn)DFT的相頻特性圖/相位00.81.8200.511.522.533.54(c)32點(diǎn)DFT的幅頻特性圖/幅度00.81.82-3-2-10123(d)32點(diǎn)DFT的相頻特性圖/相位第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）DFT的矩陣方程表示的矩陣方程表示(0)(0)(1)(1),(1)(1)XxXxX Nx NXxxWXN)1()1()1(2)1()1(2421111111111NNNNNNNNNNNNN

22、NNWWWWWWWWWNW =0, 1, , N-1 10( )( ) ( ),NknNnxX kDFT x nkn W 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）IDFT的矩陣方程表示的矩陣方程表示1001NmknkkNmnWWmnNNNNNW WIxW X第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.2.1 3.2.1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)若若x1(n)、x2(n)是兩個有限長序列，長度為是兩個有限長序列，長度為N1、N2，且，且y(n)=ax1(n)+bx2(n) a、b為常數(shù)，取為常數(shù)，取N=max N1, N2

23、，則，則 y(n) 的的 N 點(diǎn)點(diǎn)DFT為為Y(k) = DFT y(n) N = aX1(k)+bX2(k) 0kN1 其中其中 X1(k) 和和 X2(k) 分別為分別為 x1(n) 和和 x2(n) 的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.2.2 3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)1序列的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位 設(shè)設(shè)x(n)為有限長序列，長度為為有限長序列，長度為M，MN，則，則x(n)的循環(huán)的循環(huán)移位定義為移位定義為: y(n)=x(n+m) NRN(n) x(n) 的循環(huán)移位過程：的循環(huán)移位過程：（1）將）將 x(n) 以以N為周期進(jìn)行周期延拓得到

24、為周期進(jìn)行周期延拓得到（2）再將左移）再將左移 m 得到得到 ，（3）最后取）最后取 的主值序列的主值序列 x(n+m) NRN(n) 得到有限長序列得到有限長序列 x(n) 的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位序列 y(n)。( )( )Nx nx n ( )x n()x nm ()x nm 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）M=6, N=8, m=2時，時，x(n)及其循環(huán)移位過程如下圖。及其循環(huán)移位過程如下圖。 循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將 x(n) 左移左移m位，而移出主值區(qū)位，而移出主值區(qū)(0nN1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)?！把h(huán)

25、移位循環(huán)移位”由此得名。由此得名。由循環(huán)移位的定義可知，對同一序列由循環(huán)移位的定義可知，對同一序列 x(n) 和相同的位移和相同的位移m，當(dāng)延拓周期，當(dāng)延拓周期N不同時，不同時，y(n)=x(n+m)NRn(n)不同。不同。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）2時域循環(huán)移位定理時域循環(huán)移位定理 設(shè)設(shè) x(n) 是長度為是長度為M（MN）的有限長序列，）的有限長序列，y(n)為為 x(n) 的循環(huán)移位，即的循環(huán)移位，即y(n)=x(n+m)NRN(n) 則則 其中其中X(k)= DFT x(n) N 0kN1 即：即：時域位移，頻域相移時域位移，頻域相移( )DFT ( )( )

26、kmNNY ky nWX k 00 ()()j njFT x nneX e ZT00 ()( ),|nxxx nnzX zRz R 對照：對照：第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）nkNNWnx)(令令n+m=n，則有，則有由于上式中求和項(xiàng)由于上式中求和項(xiàng)以以N為周期，因此對其在為周期，因此對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)，則得值區(qū)，則得1100( )DFT ( )()( )()NNknknNNNNNNnnY ky nx nmRn Wx nmW11()( )( )( )NmNmk nmkmknNNNNNn

27、mnmY kx nWWx nW 1100( )( )( )( )NNkmknkmknkmNNNNNNnnY kWx nWWx n WWX k證明：證明：第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3 頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理如果如果 X(k) = DFT x(n) N 0kN1 Y(k) = X(k+l)NRN(k)則則即：即：頻域位移（頻譜搬移），時域調(diào)制。頻域位移（頻譜搬移），時域調(diào)制。IDFT( ) ( )( )nlNNy nY kWx n 對照：對照： 設(shè)設(shè) X(ej)=FTx(n)，那么那么00()()( )jjnIFT X eex n 第第3章章 離散傅里葉變換（離

28、散傅里葉變換（DFT）作作 業(yè)業(yè)第三章第三章習(xí)題與上機(jī)題習(xí)題與上機(jī)題課本第課本第105、106頁頁1、2、（題目有誤）、（題目有誤）第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.2.3 3.2.3 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理1 兩個有限長序列的兩個有限長序列的循環(huán)卷積循環(huán)卷積 設(shè)序列設(shè)序列 h(n) 和和 x(n) 的長度分別為的長度分別為 N 和和 M。h(n)與與x(n)的的L點(diǎn)循環(huán)卷積點(diǎn)循環(huán)卷積定義為：定義為：c( )() ()( )LLLmy nh m x nmRn 10 L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，LmaxN，M。用用 * * 表線性卷積：表線性卷積：用用

29、表循環(huán)卷積，用表表循環(huán)卷積，用表L點(diǎn)循環(huán)卷積：點(diǎn)循環(huán)卷積：計(jì)算機(jī)中采用矩陣相乘或計(jì)算機(jī)中采用矩陣相乘或FFT的方法計(jì)算循環(huán)卷積。的方法計(jì)算循環(huán)卷積。 對比對比 h(n) 與與 x(n) 的的線性卷積：線性卷積：( )() ()my nh m x nm ( )( )( )y nh nx n( )( )( )y nh nx n 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）當(dāng)當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時，由時，由x(n)形成的序列為形成的序列為:令令n=0, m=0, 1, , L1，由由x(n-m)L形成形成x(n)的循環(huán)倒相序列為：的循環(huán)倒相序列為：x(n)的循環(huán)倒相序列形成過

30、程：的循環(huán)倒相序列形成過程： 將第一個序列值將第一個序列值x(0)不動，將后面的序列反轉(zhuǎn)不動，將后面的序列反轉(zhuǎn)180再放在再放在 x(0) 的后面。的后面。 ( ) , () , () , , () ( ), (), (), , ( )LLLLxxxxLxx Lx Lx 01210121用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積：用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積：c( )() ()( )LLLmy nh m x nmRn 10 ( ), ( ), ( ), , ()xxxx L 0121第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）令令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由由x(n-m)L形成的序列為形成的序列為上

31、式等號右端序列相當(dāng)于上式等號右端序列相當(dāng)于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移一位，即向右移移一位，即向右移1位，移出區(qū)間位，移出區(qū)間0, L1的序列值的序列值再從左邊移進(jìn)。再從左邊移進(jìn)。再令再令n = 2, m = 0, 1, , L1，此時得到的序列又，此時得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當(dāng)位。依次類推，當(dāng)n和和m均從均從0變化到變化到L-1時，得到一個關(guān)于時，得到一個關(guān)于x(nm)L的矩陣如下：的矩陣如下： ( ) , ( ) , () , , () ( ), ( ), (), , ( )LLLLxxxxLxxx Lx 10121

32、012c( )() ()( )LLLmy nh m x nmRn 10第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）(0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)xx Lx Lxxxx Lxxxxxx Lx Lx Lx上面矩陣稱為上面矩陣稱為x(n)的的L點(diǎn)點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣循環(huán)卷積矩陣”，特點(diǎn)，特點(diǎn):（1） 第第1行是序列行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)倒相序列。的循環(huán)倒相序列。如果如果x(n)的長度的長度ML，則需要在，則需要在x(n)末尾補(bǔ)末尾補(bǔ)LM個零后，個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。再形成第一行的循環(huán)倒相

33、序列。（2） 第第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。位形成的。（3） 矩陣的各主對角線上的序列值均相等。矩陣的各主對角線上的序列值均相等。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）cccc( )( )()()( )( )( )( )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )()()()()( )()yxx Lx Lxhyxxx Lxhyxxxxhy Lx Lx Lx Lxh L 001210110121221032112301 有了循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出上式的矩陣形式有了循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出上式的矩陣形式:c( )()

34、 ()( )LLLmy nh m x nmRn 10 按照上式可在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個序按照上式可在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個序列的循環(huán)卷積，關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。列的循環(huán)卷積，關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。 如果如果h(n)的長度的長度NL，則需要在，則需要在h(n)末尾補(bǔ)末尾補(bǔ)LN個零。個零。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）【例【例3.2.1】 計(jì)算下面給出的兩個長度為計(jì)算下面給出的兩個長度為4的序列的序列h(n)與與x(n)的的4點(diǎn)和點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。點(diǎn)循環(huán)卷積。 ( )(0), (1), (2), (3)1,2,3,4( )(0), (1), (2

35、), (3)1,1,1,1h nhhhhx nxxxx解：解： h(n)與與x(n)的的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣為：點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣為：cccc(0)1432110(1)2143110(2)3214110(3)4321110yyyy 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）cccccccc(0)1110000432(1)1321000043(2)1632100004(3)110432100000904321000(4)0043210007(5)00043210(6)0400004321(7)0yyyyyyyy 0h(n)與與x(n)的的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為：點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為：h(n)和

36、和x(n)及其及其4點(diǎn)和點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2所示所示可以證明：可以證明： 當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于大于等于y(n) = h(n)*x(n)的長的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 圖圖3.2.2 序列及其循環(huán)卷積波形序列及其循環(huán)卷積波形01234567800.511.522.533.544.55nx(n)(a) x(n)01234567800.511.5nh(n)(b) h(n)01234567801234567891011nyc(n)(c)

37、4點(diǎn)循環(huán)卷積01234567801234567891011nyc(n)(d) 8點(diǎn)循環(huán)卷積第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）2. 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理 有限長序列有限長序列x1(n)和和x2(n)的長度分別為的長度分別為N1和和N2，N=maxN1, N2，x1(n)和和x2(n)的的N點(diǎn)循環(huán)卷積為點(diǎn)循環(huán)卷積為（3.2.8）則則x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT為為其中其中2( )( )x nx nN 11210( )( )()( )NNNmx nx m xnmRn12( )DFT ( )( )( )NX kx nX kXk1122( )DFT( ) ,( )DFT( )NNX k

38、x nXkx n第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）證明證明 直接對直接對(3.2.8)式兩邊進(jìn)行式兩邊進(jìn)行DFT，則有，則有111200111200( )DFT ( )( )()( )( )()NNNknNNNnmNNknNNmnX kx nx m xnmRn Wx mxnmW 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）令令nm=n，則有，則有因?yàn)樯鲜街幸驗(yàn)樯鲜街惺且允且訬為周期的，所以對其為周期的，所以對其在任一個周期上求和的結(jié)果不變。因此在任一個周期上求和的結(jié)果不變。因此10121101)(21)()()()()(NmmNmnknNNkmNNmmNmnmnkNN

39、WnxWmxWnxmxkX2)(knNNWnx第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）由于，由于，因此因此即循環(huán)卷積亦滿足交換律。即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 10)()() ()()(21101021NkkXkXWnxWmxkXNmNnknNkmN，1221( )DFT ( )( )( )( )( )X kx nX k XkXk X k1( )IDFT( )( )x nX kx n22( )( )x nx n1( )x n第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）頻域循環(huán)卷積定理頻域循環(huán)卷積定理:如果如果x(n)=x1(n)x2(n)，則，則11( )DFT ( )( )N

40、X kx nX kN2( )XkN 11201( )()( )NNNlX l XklRkN112101( )( )()( )NNNlX kXl XklRkN或或式中式中21( )( )X kXkNN 1122( )DFT( )01( )DFT( )NNX kx nkNXkx n第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.2.4 復(fù)共軛序列的復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)設(shè)x*(n)是是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為的復(fù)共軛序列，長度為N， X(k)=DFTx(n)N，則，則且且X(N)=X(0)。*DFT( )()01Nx nXNkkN(3.2.11)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變

41、換（DFT）又由又由X(k)的隱含周期性，有的隱含周期性，有X(N)=X(0)用同樣的方法可以證明用同樣的方法可以證明 11*()*()001*0()( )( )( )DFT( )NNN k nN k nNNnnNknNNnXNkx n Wx n Wx n Wx n*DFT()( )NxNnXk證明證明 根據(jù)根據(jù)DFT的唯一性，只要證明的唯一性，只要證明(3.2.11)式右邊等于式右邊等于左邊即可。左邊即可。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.2.5 DFTDFT的共軛對稱性的共軛對稱性 序列傅里葉變換（序列傅里葉變換（DTFT）滿足共軛對稱性，）滿足共軛對稱性，其對稱是關(guān)

42、于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo)對稱，其對稱是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo)對稱，DFT也有類也有類似的對稱性，是關(guān)于似的對稱性，是關(guān)于N/2點(diǎn)對稱。點(diǎn)對稱。1有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對稱為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對稱（或共軛反對稱）序列，用（或共軛反對稱）序列，用xep(n)和和xop(n)分別表示分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列，二者滿足有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列，二者滿足如下關(guān)系式：如下關(guān)系式：*epep( )() 01xnxNnnN*opop( )() 01xnxNnnN (3.2.13a)(3.2.13b

43、)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）當(dāng)當(dāng)N為偶數(shù)時，將上式中的為偶數(shù)時，將上式中的n換成換成N/2n，可得到：，可得到：可以清楚地看出有限長共軛對稱序列是關(guān)于可以清楚地看出有限長共軛對稱序列是關(guān)于n=N/2點(diǎn)對稱。點(diǎn)對稱。容易證明：容易證明： 任何有限長序列任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和共軛反對稱分量之和，即，即 *epep()()01222NNNxnxnn*opop()()01222NNNxnxnn 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）(3.2.14) 將上式中的將上式中的n換成換成Nn，并取

44、復(fù)共軛，再將，并取復(fù)共軛，再將(3.2.13a)式和式和(3.2.13b)式代入，得到：式代入，得到：(3.2.15)(3.2.14)式分別加減式分別加減(3.2.15)式，可得式，可得epop( )( )( )01x nxnxnnN*epopepop()()()( )( )xNnxNnxNmxnxn*ep1( ) ( )()2xnx nxNn*op1( ) ( )()2xnx nxNn(3.2.16a)(3.2.16b)第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）2 DFT的共軛對稱性的共軛對稱性(1) 如果將如果將x(n)表示為表示為x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中其中由由

45、(3.2.11)式和式和(3.2.16a)式可得式可得*r*i1( )Re ( ) ( )( )21j ( )jIm ( ) ( )( )2x nx nx nx nx nx nx nx n由由(3.2.11)式和式和(3.2.16b)式可得式可得*rep11DFT( )DFT ( )( )( )()( )22x nx nx nX kXNkXk*iop11DFTj ( )DFT ( )( )( )()( )22x nx nx nX kXNkXk第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）由由DFT的線性性質(zhì)即可得的線性性質(zhì)即可得其中：其中： Xep(k)=DFTxr(n)是是X(k)的共

46、軛對稱分量，的共軛對稱分量， Xop(k)=DFTjxi(n)是是X(k)的共軛反對稱分量。的共軛反對稱分量。epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXk第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）其中，其中，是是x(n)的共軛對稱分量，的共軛對稱分量， 是是x(n)的共軛反對稱分量的共軛反對稱分量, 那么，由式那么，由式 可得可得*ep1( ) ( )()2xnx nxNn*op1( ) ( )()2xnx nxNn*ep11DFT( )DFT ( )()( )( )Re( )22xnx nxNnX kXkX k*op11DFT( )DFT ( )()( )( )Im

47、( )22xnx nxNnX kXkjX k(2) 如果將如果將x(n)表示為表示為epop( )( )( )01x nxnxnnN*DFT()( )NxNnXk第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）因此因此其中其中RI( )DFT ( )( )j( )X kx nXkX kRep( )Re( )DFT( )XkX kxnIopj( )jIm( )DFT( )X kX kxn 綜上所述，綜上所述，DFT的共軛對稱性質(zhì)：的共軛對稱性質(zhì)：（1）如果序列）如果序列x(n)的的DFT為為X(k)，則，則x(n)的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部 （包括（包括j）的）的DFT分別為分別為X(k)的共

48、軛對稱分量和共軛的共軛對稱分量和共軛 反對稱分量；反對稱分量；（2）x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別分別 為為X(k)的實(shí)部和虛部乘以的實(shí)部和虛部乘以j。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）(1) X(k)共軛對稱共軛對稱: X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1(2) 若若x(n)是偶對稱，即是偶對稱，即 x(n) = x(Nn)，則，則 X(k)實(shí)偶對稱，即實(shí)偶對稱，即 X(k) = X(Nk)(3) 若若x(n)是奇對稱，即是奇對稱，即 x(n) = x(Nn)，則，則 X(k)純虛奇對稱，即純虛奇對稱，即

49、X(k) = X(Nk) 有限長實(shí)序列有限長實(shí)序列DFT的共軛對稱性：的共軛對稱性： 設(shè)設(shè)x(n)是長度為是長度為N的實(shí)序列，則的實(shí)序列，則:利用對稱性質(zhì)，可減少利用對稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。 當(dāng)當(dāng)N = 偶數(shù)時，只需計(jì)算偶數(shù)時，只需計(jì)算 X(k) 的前面的前面 N/2+1 點(diǎn)；點(diǎn)； 當(dāng)當(dāng)N = 奇數(shù)時，只需計(jì)算奇數(shù)時，只需計(jì)算 X(k) 的前面的前面 (N+1)/2 點(diǎn)，點(diǎn)， 其他點(diǎn)按照其他點(diǎn)按照 X(k) = X*(N-k) 式即可求得。式即可求得。 例如，例如，X(N1)=X*(1), X(N2)=X*(2), 第第3章章 離散傅里葉變換（離散

50、傅里葉變換（DFT）所以，由所以，由X(k)可以求得兩個實(shí)序列可以求得兩個實(shí)序列x1(n)和和x2(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT：epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXk*ep11( )DFT( )( )()2Xkx nX kXNk*op21( )DFTj( )( )()2Xkx nX kXNk)()(21)()(*11kNXkXnxDFTkX*221( )DFT( )j ( )()2Xkx nX kXNk 【例【例3.2.2】 利用利用DFT的共軛對稱性設(shè)計(jì)一種算法，通過計(jì)算的共軛對稱性設(shè)計(jì)一種算法，通過計(jì)算一個一個N點(diǎn)點(diǎn)DFT，就可計(jì)算出兩個實(shí)序列，就可計(jì)算出兩個實(shí)序列x1(n

51、)和和x2(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT解解:構(gòu)造新序列構(gòu)造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對，對x(n)進(jìn)行進(jìn)行DFT，得到：，得到：由由DFT的共軛對稱性可得：的共軛對稱性可得：第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）3.3 頻頻 率率 域域 采采 樣樣 時域采樣定理：時域采樣定理： 設(shè)連續(xù)信號設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為屬帶限信號，最高截止頻率為c，如果采樣角頻率如果采樣角頻率s2c，那么讓采樣信號通過一個增，那么讓采樣信號通過一個增益為益為T，截止頻率為，截止頻率為s/2的理想低通濾波器，可以唯一的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號地恢復(fù)出原連續(xù)

52、信號xa(t)。 問題問題： 能否由頻域離散采樣恢復(fù)原來的信號（或原連續(xù)頻能否由頻域離散采樣恢復(fù)原來的信號（或原連續(xù)頻率函數(shù)）？其條件是什么？內(nèi)插公式是什么？率函數(shù)）？其條件是什么？內(nèi)插公式是什么？ 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）上式表示在區(qū)間上式表示在區(qū)間0, 2上對上對x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換X(ej)的的N點(diǎn)等間隔采樣。將點(diǎn)等間隔采樣。將X(k)看做長度為看做長度為N的有限長序列的有限長序列xN(n)的的DFT，即，即目的：推導(dǎo)序列目的：推導(dǎo)序列 xN(n) 與原序列與原序列 x(n) 之間的關(guān)系之間的關(guān)系2jje( )( )|( )e( ) kNknknN

53、NznnX kX zx nx n WkN 201=( )IDFT( )01NxnX knN，設(shè)任意序列設(shè)任意序列x(n)的的Z變換為變換為且且X(z)的收斂域包含單位圓（即的收斂域包含單位圓（即x(n)存在傅里葉變換）。存在傅里葉變換）。在單位圓上對在單位圓上對X(z)等間隔采樣等間隔采樣N點(diǎn)點(diǎn), 得到：得到：nnznxzX)()(第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 由由DFT與與DFS的關(guān)系可知，的關(guān)系可知，X(k)是是xN(n)以以N為周期的周為周期的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列，即列，即( )x n)(kX1010(

54、)( )DFS ( )( )( )( )( )( )IDFS( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kXkx nX kX k Rkx nxnX kX k WNX k WN第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）將式將式 代入上式得代入上式得式中式中()Nk m nNkmniNiWmN 10110， 為整數(shù)，其他 mNknmkNNkmknNkmNWNmxWWmxNnx10)(101)()(1)( )( ) knNnX kx n W 第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）因此因此所以所以( )()ix nx niN( )( )( )()( )NNNixnx

55、n Rnx niNRn上式說明：上式說明： X(z)在單位圓上的在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣點(diǎn)等間隔采樣X(k)的的N點(diǎn)點(diǎn)IDFT是原序列是原序列x(n)以以N為周期的周期延拓序列的主值序列。為周期的周期延拓序列的主值序列。 頻域采樣定理頻域采樣定理： 如果序列如果序列x(n)的長度為的長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM 時，才有時，才有xN(n)=IDFTX(k)= x(n)，即可由頻，即可由頻域采樣域采樣 X(k) 恢復(fù)原序列恢復(fù)原序列 x(n)，否則產(chǎn)生，否則產(chǎn)生時域混疊時域混疊現(xiàn)象。現(xiàn)象。第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）滿足頻域采樣定理時，頻域采

56、樣序列滿足頻域采樣定理時，頻域采樣序列X(k)的的N點(diǎn)點(diǎn)IDFT是原序列是原序列x(n)，所以必然可以由，所以必然可以由X(k)恢復(fù)恢復(fù)X(z)和和X(ej)。 用頻域采樣用頻域采樣X(k)表示表示X(z)和和X(ej)的的內(nèi)插公式內(nèi)插公式和和內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)： 設(shè)序列設(shè)序列x(n)長度為長度為M，在頻域，在頻域0, 2上等間隔采樣上等間隔采樣N點(diǎn)，點(diǎn)，NM，則有，則有1, 2, 1, 0| )()()()(2je10NkzXkXznxzXkNzNnn第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）因?yàn)闈M足頻域采樣定理，所以式中因?yàn)闈M足頻域采樣定理，所以式中將上式代入將上式代入X(z)的表

57、示式中，得到的表示式中，得到:(3.3.4a) 101( )IDFT( )( )NknNkx nX kX k WN1111000011011( )( )( )11 ( )1NNNNknnknnNNnkknkNNNNknnX zX k WzX kWzNNWzX kNWz第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）式中，因此式中，因此 (3.3.4b)令令 則則10111)(1)(NkkNNzWzkXNzX1111)(zWzNzkNNk10)()()(NkkzkXzX1kNNW上式上式 即為用即為用 X(k) 表示表示 X(z) 的的內(nèi)插公式內(nèi)插公式k(z)稱為稱為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)第第3章

58、章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 將將z=ej代入代入(3.3.4a)式，并進(jìn)行化簡，可得式，并進(jìn)行化簡，可得 (3.3.7) 在數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)中，我們將會看到，頻在數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)中，我們將會看到，頻域采樣理論及有關(guān)公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構(gòu)和域采樣理論及有關(guān)公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構(gòu)和濾波器設(shè)計(jì)途徑，濾波器設(shè)計(jì)途徑，(3.3.7)式有助于分析式有助于分析FIR濾波器頻率濾波器頻率采樣設(shè)計(jì)法的逼近性能。采樣設(shè)計(jì)法的逼近性能。10j)2()()e (NkkNkXX)21(je)2/sin()2/sin(1)(NNN(3.3.8)第第3章章 離散傅里葉變換（離散

59、傅里葉變換（DFT）【例【例3.3.1】 長度為長度為26的三角形序列的三角形序列x(n)如圖如圖3.3.1(b)所所示。編寫示。編寫MATLAB程序驗(yàn)證頻域采樣理論。程序驗(yàn)證頻域采樣理論。解：先計(jì)算解：先計(jì)算x(n)的的32點(diǎn)點(diǎn)DFT，得到其頻譜函數(shù)，得到其頻譜函數(shù)X(ej)在頻在頻率區(qū)間率區(qū)間0，2上等間隔上等間隔32點(diǎn)采樣點(diǎn)采樣X32(k)，再對，再對X32(k)隔點(diǎn)抽取，得到隔點(diǎn)抽取，得到X(ej)在頻率區(qū)間在頻率區(qū)間0，2上等間隔上等間隔16點(diǎn)采樣點(diǎn)采樣X16(k)。最后分別對。最后分別對X16(k)和和X32(k)求求IDFT, 得到：得到：繪制繪制x16(n)和和x32(n)波形

60、圖驗(yàn)證頻域采樣理論。波形圖驗(yàn)證頻域采樣理論。161616( )IDFT( )xnXk323232( )IDFT( )xnXk第第3章章 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）% 頻域采樣理論驗(yàn)證頻域采樣理論驗(yàn)證M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa, xb; %產(chǎn)生產(chǎn)生M長三角波序列長三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); %512點(diǎn)點(diǎn)FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32點(diǎn)點(diǎn)FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)點(diǎn)IFFTX32(k)得到得到x32(n)X16k=X32