第二章點(diǎn)、線、面的投影

1、第二章 投影與基本立體的三視圖2.1 2.1 投影法的基本概念投影法的基本概念物體在光源的照射下會(huì)出現(xiàn)影子。物體在光源的照射下會(huì)出現(xiàn)影子。 投影的方法就是從這一自然現(xiàn)象投影的方法就是從這一自然現(xiàn)象抽象出來(lái)，并隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而抽象出來(lái)，并隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的。發(fā)展起來(lái)的。 投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法 常用的投影法有常用的投影法有兩大類(lèi)兩大類(lèi)： 中心投影法中心投影法和和平行投影法。平行投影法。平行投影的投影特性：平行投影的投影特性： 投影大小與物體和投影面之間投影大小與物體和投影面之間的距離無(wú)關(guān)。的距離無(wú)關(guān)。度量性較好度量性較

2、好。 工程圖樣大多數(shù)采用工程圖樣大多數(shù)采用平行投影平行投影法的正投影法法的正投影法。光源光源承影面承影面光線光線物體物體影子影子投射中心投射中心S投射線投射線投影面投影面形體形體圖圖2.12.1 產(chǎn)生影子的自然現(xiàn)象產(chǎn)生影子的自然現(xiàn)象圖圖2.22.2 投影的構(gòu)成要素（中心投影法投影的構(gòu)成要素（中心投影法）2.1.1 2.1.1 投影法的形成及分類(lèi)投影法的形成及分類(lèi)投影投影( (圖圖) )投影面投影面H投射線投射線BAC大寫(xiě)字母表示空間點(diǎn)大寫(xiě)字母表示空間點(diǎn);小寫(xiě)字母表示相應(yīng)空間小寫(xiě)字母表示相應(yīng)空間點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。中心投影法中心投影法投影特性：投影特性： 如改變?nèi)绺淖傾BC與與投射中心或投影面之

3、投射中心或投影面之間的距離，則其投影間的距離，則其投影abc的大小也隨之改的大小也隨之改變，度量性較差。變，度量性較差。在投射中心確定的在投射中心確定的情況下，空間的一個(gè)點(diǎn)情況下，空間的一個(gè)點(diǎn)在投影面上只存在唯一在投影面上只存在唯一一個(gè)投影。一個(gè)投影。 中心投影法中心投影法abc投影投影投射中心投射中心S 如果把中心投影法的投射中心移至無(wú)窮如果把中心投影法的投射中心移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，則各投射線成為相互平行的直線，這遠(yuǎn)處，則各投射線成為相互平行的直線，這種投影法稱為種投影法稱為平行投影法平行投影法。SS正投影法正投影法投射方向投射方向S 垂直于垂直于投影面投影面H2.1.2 平行投影法平行投影法斜投

4、影法斜投影法投射方向投射方向S 傾斜于傾斜于投影面投影面H形體形體投影面投影面投射方向投射方向投射線投射線投影投影( (圖圖) )投投射射方方向向形體形體投影面投影面投射線投射線投影投影( (圖圖) )a) 斜投影法斜投影法b) 正投影法正投影法圖圖2.3 平行投影法平行投影法投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法平行投影法平行投影法平行投影的投影特性：平行投影的投影特性： 投影大小與物體和投影面之間投影大小與物體和投影面之間的距離無(wú)關(guān)。的距離無(wú)關(guān)。度量性較好度量性較好。 工程圖樣大多數(shù)采用工程圖樣大多數(shù)采用平行投影平行投影法的正投影法法的正投影法

5、。2.1.3 2.1.3 正投影法的基本性質(zhì)正投影法的基本性質(zhì) 表表2.1 正投影的基本性質(zhì)正投影的基本性質(zhì)其其表2.1(續(xù))b VB1B2B3 僅有點(diǎn)的一個(gè)投影僅有點(diǎn)的一個(gè)投影不能確定點(diǎn)的空間位置。不能確定點(diǎn)的空間位置。2.2 2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影需要增加投影面。需要增加投影面。 點(diǎn)是最基本的幾何元素，下面用點(diǎn)的點(diǎn)是最基本的幾何元素，下面用點(diǎn)的投影說(shuō)明正投影的規(guī)律。投影說(shuō)明正投影的規(guī)律。 為了確定幾何元素的空間位置，需要為了確定幾何元素的空間位置，需要建立正投影的投影面體系。建立正投影的投影面體系。2.2.1 2.2.1 投影面體系與投影軸投影面體系與投影軸三投影面體系：三投影面體系：

6、用三個(gè)用三個(gè)相互相互垂直垂直的投影面構(gòu)的投影面構(gòu)成投影面體系。成投影面體系。正面投影面（正面投影面（V 面面）水平投影面（水平投影面（H 面面）側(cè)面投影面（側(cè)面投影面（W 面面）V H = OX 軸軸V W = OZ 軸軸H W = OY 軸軸 兩投影面相交，兩投影面相交，其交線稱為其交線稱為投影軸投影軸：VHWXYOZ三投影面體系：三投影面體系： 一、一、 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影a 點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影。的正面投影。a點(diǎn)點(diǎn)A的水平投影。的水平投影。a 點(diǎn)點(diǎn)A的側(cè)面投影。的側(cè)面投影。 規(guī)定：規(guī)定： 空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的三個(gè)投影都用同空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的三個(gè)投影都用同一個(gè)小寫(xiě)字母表示。其中一個(gè)

7、小寫(xiě)字母表示。其中H 投影投影不加撇不加撇，V 投影投影加加一撇一撇，W 投影加投影加兩撇兩撇。 OXYZWa aa AVH2.2.2 2.2.2 點(diǎn)的投影及影射規(guī)律點(diǎn)的投影及影射規(guī)律XZ投影面展開(kāi)投影面展開(kāi)HVWaaZaa yayaX YH YW O azxYOVHWAaa a xaa zay向右翻向右翻向下翻向下翻不動(dòng)不動(dòng) 在投影時(shí)，投影面的大小不受限在投影時(shí)，投影面的大小不受限制，通常不必畫(huà)出投影面的邊框。制，通常不必畫(huà)出投影面的邊框。Zaa XYH YWO axaazyaay2、V、W兩投影都反映兩投影都反映高標(biāo)，且投影連線垂直高標(biāo)，且投影連線垂直Z軸；軸；a a OZ軸。軸。二、二、

8、 點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律Zaa XYH YW a1、V、H兩投影都反映橫標(biāo)，且投影連線垂直兩投影都反映橫標(biāo)，且投影連線垂直X軸；軸；a aOX軸。軸。 其中其中W面上的一段垂直面上的一段垂直O(jiān)YW，H面上的一段面上的一段垂直垂直O(jiān)YH，中間可用折線、，中間可用折線、45。斜線或以斜線或以O(shè)為圓為圓心的圓弧聯(lián)系起來(lái)。心的圓弧聯(lián)系起來(lái)。 xa3、H、W兩投影都反兩投影都反映縱標(biāo)，投影連線是映縱標(biāo)，投影連線是一條折線。一條折線。azyaayOaax= a az= y = A 到到V 面的距離面的距離a ax= a ay= z = A 到到H 面的距離面的距離aay = a az= x = A 到到

9、W 面的距離面的距離aaZaa yayaXYH YWO azx1、點(diǎn)的投影連、點(diǎn)的投影連線垂直于相應(yīng)的線垂直于相應(yīng)的投影軸。投影軸。2、點(diǎn)的投影到投影、點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于空間點(diǎn)軸的距離等于空間點(diǎn)到投影面的距離。到投影面的距離。小小 結(jié)：結(jié)：Zaa XYH YWO axaazyaayXZ YOVHWAaa a xaa zayc 例例1已知點(diǎn)已知點(diǎn)C的兩個(gè)投影的兩個(gè)投影c和和c ，求作其水平投影求作其水平投影c。c ccz通過(guò)作通過(guò)作45轉(zhuǎn)寬線使轉(zhuǎn)寬線使c cz=ccxXZYHYwcywcyHocx 點(diǎn)的每個(gè)投影反映點(diǎn)的每個(gè)投影反映兩個(gè)坐標(biāo)兩個(gè)坐標(biāo)： V 投影反映高標(biāo)和橫標(biāo)投影反映高標(biāo)和橫

10、標(biāo)(aaX 和和aaZ )， H 投影反映縱標(biāo)和橫標(biāo)投影反映縱標(biāo)和橫標(biāo)(aaX 和和aaYH )， W 投影反映高標(biāo)和縱標(biāo)投影反映高標(biāo)和縱標(biāo)(aaYW 和和aaZ)。2.2.3 2.2.3 點(diǎn)的投影和坐標(biāo)點(diǎn)的投影和坐標(biāo)2.4.1 一般位置點(diǎn)（一般位置點(diǎn)（X、Y、Z） 1)投影面投影面上的點(diǎn)：上的點(diǎn)：V 面上點(diǎn)（面上點(diǎn)（X、0、Z） H 面上點(diǎn)（面上點(diǎn)（X、Y、0） W 面上點(diǎn)（面上點(diǎn)（0、Y、Z） 3)原點(diǎn)上的點(diǎn)原點(diǎn)上的點(diǎn): （0、0、0 ）2)投影軸投影軸上點(diǎn)上點(diǎn): X 軸上點(diǎn)（軸上點(diǎn)（X、0、0） Y 軸上點(diǎn)（軸上點(diǎn)（0、Y、0） Z 軸上點(diǎn)（軸上點(diǎn)（0、0、Z）注意注意: 點(diǎn)的各個(gè)投影一

11、定要寫(xiě)在它所屬的投影面區(qū)域內(nèi)。點(diǎn)的各個(gè)投影一定要寫(xiě)在它所屬的投影面區(qū)域內(nèi)。2.2.4 各種位置點(diǎn)的投影各種位置點(diǎn)的投影2.4.2 特殊位置點(diǎn)特殊位置點(diǎn)各種位置點(diǎn)的投影各種位置點(diǎn)的投影 兩點(diǎn)的相對(duì)位兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右上下、前后、左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法：X 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 Y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前Z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上一、一、 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置左左右右后后上上下下前前上上下下后后前前左左右右2.2.5 2.2.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)作圖步驟：作圖步驟： 1）在）在a左方左方12

12、mm ，上方上方8 mm 處確定處確定b； 2）作）作bbOX 軸，且在軸，且在a 前前10 mm 處確定處確定b ； 3）按投影關(guān)系求得）按投影關(guān)系求得b。例例2如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)A 的三投影，另一點(diǎn)的三投影，另一點(diǎn)B 在在 點(diǎn)點(diǎn)A 上方上方8 mm，左方，左方12 mm，前方，前方10 mm處，處， 求求:點(diǎn)點(diǎn)B 的三個(gè)投影。的三個(gè)投影。 ayayZaa axazXYH YWOa bybybxbzb bb 12810 當(dāng)空間兩點(diǎn)位于當(dāng)空間兩點(diǎn)位于對(duì)投影面的對(duì)投影面的同一條投影線上同一條投影線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，稱這兩點(diǎn)投影面上的投影重合，稱這兩點(diǎn)為對(duì)該投

13、影面的重影點(diǎn)。為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。二、二、 重影點(diǎn)重影點(diǎn) 點(diǎn)點(diǎn)A、B 在對(duì)在對(duì)H 面的同一條投射線上，面的同一條投射線上，它們?cè)谒鼈冊(cè)贖 面的投影重合，稱為對(duì)面的投影重合，稱為對(duì)H 面的重面的重影點(diǎn)。而點(diǎn)影點(diǎn)。而點(diǎn)C、A則稱為對(duì)則稱為對(duì)W 面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。 2.3 2.3 直線的投影直線的投影 一般情況下，直一般情況下，直線的投影仍為直線。線的投影仍為直線。 兩點(diǎn)確定一條直兩點(diǎn)確定一條直線，將直線上兩點(diǎn)的線，將直線上兩點(diǎn)的同面投影同面投影用直線用直線連接連接起來(lái)，就得到直線的起來(lái)，就得到直線的三個(gè)投影。三個(gè)投影。2.3.1 2.3.1 直線的投影直線的投影aa a b b bXZYH

14、YWo直線的投影規(guī)定用直線的投影規(guī)定用粗實(shí)線粗實(shí)線繪制。繪制。2.3.2 2.3.2 各種位置直線各種位置直線投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于正平線（平行于面）面）側(cè)平線（平行于側(cè)平線（平行于面）面）水平線（平行于水平線（平行于面）面）正垂線（垂直于正垂線（垂直于面）面）側(cè)垂線（垂直于側(cè)垂線（垂直于面）面）鉛垂線（垂直于鉛垂線（垂直于面）面）一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面一、一、 一般位置

15、直線一般位置直線 直線與直線與H、V 和和W 三投影面的夾角分別用三投影面的夾角分別用 、表示。表示。投影長(zhǎng)分別是：投影長(zhǎng)分別是：a b = AB cosa b = AB cosa b =AB cos一般位置直線投影特性一般位置直線投影特性各投影的長(zhǎng)度均各投影的長(zhǎng)度均小于小于直線本身的直線本身的實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)。直線的各投影均直線的各投影均不平行于各投影軸不平行于各投影軸。b aa b ba XZYHYWb a aba b XZYHYWba aa b b XZYW水平線水平線YH二、二、 投影面平行線投影面平行線1 1）在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映）在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)， 并反

16、映直線與另兩投影面的并反映直線與另兩投影面的真實(shí)傾角真實(shí)傾角。2 2）另兩個(gè)投影面上的投影）另兩個(gè)投影面上的投影平行于平行于相應(yīng)的相應(yīng)的投影軸投影軸。側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線投投 影影 特特 性性與與H面的夾角面的夾角:與與V 面的夾角面的夾角:與與W面的夾角面的夾角:實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)二、二、 投影面平行線投影面平行線投影面平行線投影面平行線名稱名稱立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性水平線水平線(H）正平線正平線(V )側(cè)平線側(cè)平線(W )(1)a b OX,a b OYW(2)ab=AB ；(3)反映夾角反映夾角 、 大小。大小。(1)abOX,a b OZ(2)a b =AB

17、(3)反映夾角反映夾角 、 大小。大小。(1)abOYH,a b OZ；(2)a b =AB(3)反映夾角反映夾角 、 大小。大小。三、三、 投影面垂直線投影面垂直線 （2 2） 另外兩個(gè)投影另外兩個(gè)投影, , 反映線段反映線段實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)，且且垂直于垂直于相應(yīng)的投影軸。相應(yīng)的投影軸。 （1 1） 在其垂直的投影面上，投影有在其垂直的投影面上，投影有積聚性積聚性。投投 影影 特特 性性側(cè)垂線側(cè)垂線e f efe (f )XZoYHYW正垂線正垂線c (d )cdd c XZoYHYW鉛垂線鉛垂線a b a(b)a b XZoYWYH名稱名稱立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性鉛垂線鉛垂線（ H

18、）正垂線正垂線（ V）側(cè)垂線側(cè)垂線（ W）(1) H 投影為一投影為一點(diǎn)，有積聚性；點(diǎn)，有積聚性；(2) a b OX , a b OYW ；(3) a b =a b =AB(1) V 影為一點(diǎn)，影為一點(diǎn)， 有積聚性；有積聚性；(2) ab OX , a b OZ ；(3) ab=a b =AB(1) W 投影為一投影為一點(diǎn)，有積聚性；點(diǎn)，有積聚性；(2) Ab OYH, a b OZ ；(3) Ab =a b =AB投影面垂直線投影面垂直線一、一、 點(diǎn)和直線的從屬關(guān)系點(diǎn)和直線的從屬關(guān)系 2.3.3 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn) 若點(diǎn)在直線上，則若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線

19、的同面投影上。如圖所的同面投影上。如圖所示，示，CAB ，則有則有c ab ，cab，cab。 反之，反之，如果點(diǎn)的各個(gè)如果點(diǎn)的各個(gè)投影均在直線的同面投投影均在直線的同面投影上，則點(diǎn)在直線上。影上，則點(diǎn)在直線上。從屬性從屬性 在圖中，在圖中，C點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線AB上，而上，而D、E兩點(diǎn)均不滿兩點(diǎn)均不滿足上述條件，所以都不在足上述條件，所以都不在AB直線上。直線上。 Z例例1判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)C是否在線段是否在線段AB上。上。a b c 因因c 不在不在a b 上，上，故點(diǎn)故點(diǎn)C不在不在AB上。上。應(yīng)用應(yīng)用簡(jiǎn)單比定理簡(jiǎn)單比定理abca b c 另一判斷法另一判斷法?XoYHYW二、二、 點(diǎn)分割線段成定

20、比點(diǎn)分割線段成定比AC/CB=ac/cb=a c /c b 直線上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即：直線上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即：定比定理定比定理abca b c XABCVHbcc b a aX例試在例試在AB 線段上取一點(diǎn)線段上取一點(diǎn)C ，使，使AC CB1 2 ， 求求 :分點(diǎn)分點(diǎn)C 的投影。的投影。 abca b c XC1B1分點(diǎn)分點(diǎn)C 的投影，必在的投影，必在AB 線段的同面投影上，且線段的同面投影上，且 ac cbac cb1 2 可用可用比例作圖法比例作圖法作圖。作圖。 1）過(guò)）過(guò)a(或或b)任作一直線任作一直線aB1（或（或 bB1) ；5）過(guò)）過(guò)c作作X軸的垂

21、線與軸的垂線與ab交于交于c 。則。則c 、c即所求分點(diǎn)即所求分點(diǎn)C 的投影。的投影。 2）在）在aB1上取上取C1，使使aC1 C1B11 2；3）連接）連接B1、b；4）過(guò)）過(guò)C1作作C1cB1b，與，與ab交于交于c ；作圖步驟：作圖步驟：分析：分析：e k f efX例例 已知直線已知直線EF 及點(diǎn)及點(diǎn)K 的二投影，的二投影，試判斷試判斷:點(diǎn)點(diǎn)K 是否在直線是否在直線EF 線上。線上。作圖步驟：作圖步驟：應(yīng)用應(yīng)用簡(jiǎn)單比定理簡(jiǎn)單比定理E1 k1。k 1）在）在H投影上，過(guò)投影上，過(guò)f（或（或e）任作一）任作一條直線條直線fE1 ;2 )在在fE1上取上取fK1=f k ,K1E1=k e

22、 ;3) 連接連接E1e，過(guò)，過(guò)K1作直線平行于作直線平行于E1e ，與與fe交于交于k 1 ；因?yàn)橐阎队耙驗(yàn)橐阎队?k 與與k 1不重合，不重合，所以點(diǎn)所以點(diǎn)K 不在直線不在直線EF 上。上。.K1空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為： 平行、相交、交叉平行、相交、交叉。1 1、兩直線、兩直線平行平行投影特性：投影特性： 空間兩直線平空間兩直線平行，則其各行，則其各同面投同面投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。2.4 2.4 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置aVHc bcdABCDb d a X例例4 4判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 對(duì)

23、于對(duì)于一般位一般位置直線置直線，只要有，只要有兩個(gè)同面投影互兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩相平行，空間兩直線就平行。直線就平行。AB/CDabcdc a b d Xb d c a cbadd b a c 對(duì)于對(duì)于特殊位置特殊位置直線直線，只有兩個(gè)同，只有兩個(gè)同面面投影互相平行，投影互相平行，空間直線不一定平空間直線不一定平行。行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例5 5判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。XZoYHYWabcdb a c d kk X2 2、兩直線、兩直線相交相交判別方法：判別方法： 若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，若空

24、間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)共有點(diǎn)HVABCDKabcdka b c k d X 相交兩直線的相交兩直線的三面投影：三面投影： 若空間兩直線相交，則其若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，反之，若若兩直線的各同面投影相交，且交點(diǎn)符合一個(gè)點(diǎn)的投兩直線的各同面投影相交，且交點(diǎn)符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線在空間一定相交。影規(guī)律，則此兩直線在空間一定相交。 2 1 d b a abcdc

25、3 (4 )2(1)34X、 是是對(duì)對(duì)H 面的面的重影點(diǎn)，重影點(diǎn)，、 是是對(duì)對(duì)V 面的面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)。3、兩直線、兩直線交叉交叉AB情況情況立體圖立體圖投影圖投影圖投影特性投影特性平行兩直線平行兩直線相交兩直線相交兩直線交叉兩直線交叉兩直線 若空間兩直線相若空間兩直線相互平行，則其各同面互平行，則其各同面投影也一定相互平行。投影也一定相互平行。反之，若兩直線的各反之，若兩直線的各同面投影相互平行，同面投影相互平行，則此兩直線在空間一則此兩直線在空間一定相互平行。定相互平行。 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其各同面投影也一定則其各同面投影也一定相交，且交點(diǎn)一定符合相交，且交點(diǎn)一定符合

26、點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，若兩直線的各同面投影若兩直線的各同面投影相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線投影規(guī)律，則此兩直線在空間一定相交。在空間一定相交。 若兩直線既不平行若兩直線既不平行又不相交，為相錯(cuò)直線。又不相交，為相錯(cuò)直線。它可能有一個(gè)或兩個(gè)同它可能有一個(gè)或兩個(gè)同面投影相互平行；也可面投影相互平行；也可能有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)能有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)同面投影相交，但其交同面投影相交，但其交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，這些電都是重影點(diǎn)。這些電都是重影點(diǎn)。2.5.1 2.5.1 平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直線上的直線上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)

27、點(diǎn)直線及線直線及線外一點(diǎn)外一點(diǎn)兩平行兩平行直線直線兩相交兩相交直線直線平面平面圖形圖形一、一、 用用幾何元素幾何元素表示平面表示平面2.5 2.5 平面的投影平面的投影二、二、 用平面的用平面的跡線跡線表示平面表示平面 平面和投影面的交線，稱為平面和投影面的交線，稱為平面的跡線。平面的跡線。 平面和平面和H 面的交線，稱為面的交線，稱為水平跡線水平跡線PH ，和，和V 面的交線，面的交線，稱為稱為正面跡線正面跡線PV ，和，和W 面的交線，稱為面的交線，稱為側(cè)面跡線側(cè)面跡線PW。 兩相交跡線兩相交跡線兩平行跡線兩平行跡線 跡線上的點(diǎn)跡線上的點(diǎn): : 根據(jù)跡線的根據(jù)跡線的投影規(guī)律可知：投影規(guī)律可

28、知： 點(diǎn)點(diǎn)A、B 位于位于平面平面P上上， 而點(diǎn)而點(diǎn)C、D則則不在平面不在平面P上。上。投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面2.5.2 2.5.2 各種位置平面各種位置平面平面對(duì)于三投影面的位置可分為平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類(lèi)三類(lèi)：一、一、 一般位置平面一般位置平面

29、一般位置平面和三個(gè)投影面既不垂直也不一般位置平面和三個(gè)投影面既不垂直也不平行，與三個(gè)投影面都傾斜，所以，如用平面平行，與三個(gè)投影面都傾斜，所以，如用平面形形( (例如三角形例如三角形) )表示一般位置平面，則它的三表示一般位置平面，則它的三個(gè)投影均不是實(shí)形，但具有相仿性。個(gè)投影均不是實(shí)形，但具有相仿性。 二、投影面垂直面二、投影面垂直面 只垂直于一個(gè)投影面的平面，只垂直于一個(gè)投影面的平面，稱為投影面垂直面。稱為投影面垂直面。 根據(jù)其所垂直的投影面不同，根據(jù)其所垂直的投影面不同，可以分為可以分為三種三種： 1)1)鉛垂面鉛垂面垂直于垂直于H 面；面； 2)2)正垂面正垂面垂直于垂直于V 面；面；

30、 3)3)側(cè)垂面?zhèn)却姑娲怪庇诖怪庇赪 面。面。abca c b c b a XZoYHYW投影面垂直面投影面垂直面 1) 1)在其所垂直的投影面上，投影為斜直在其所垂直的投影面上，投影為斜直線，有線，有積聚性積聚性；該斜直線與投影軸的夾角反；該斜直線與投影軸的夾角反映該平面對(duì)相應(yīng)投影面的傾角；映該平面對(duì)相應(yīng)投影面的傾角； 2)2)如用平面圖形表示平面，則在另外兩如用平面圖形表示平面，則在另外兩個(gè)投影面上的投影不是實(shí)形，但有個(gè)投影面上的投影不是實(shí)形，但有類(lèi)似性類(lèi)似性。鉛垂面鉛垂面類(lèi)似性類(lèi)似性類(lèi)似性類(lèi)似性積聚性積聚性 投影面投影面垂直面的垂直面的投投影特性影特性是：是：名稱名稱立體圖立體圖投影圖投

31、影圖投影特性投影特性鉛垂面鉛垂面（ H）正垂面正垂面（ V）側(cè)垂面?zhèn)却姑妫?W）1)H投影為斜直線，投影為斜直線，有積聚性，且反有積聚性，且反映映 、 大小大小2)V、W投影不是投影不是實(shí)形，但有相仿實(shí)形，但有相仿性。性。1)V投影為斜直線，投影為斜直線，有積聚性，且反有積聚性，且反映映 、 大小大小2)H、W投影不是投影不是實(shí)形，但有相仿實(shí)形，但有相仿性。性。1)W投影為斜直線，投影為斜直線，有積聚性，且反有積聚性，且反映映 、 大小大小2)H、V投影不是投影不是實(shí)形，但有相仿實(shí)形，但有相仿性。性。 用用跡線跡線表示投影面平行面和投表示投影面平行面和投影面垂直面影面垂直面: :三、投影面平行

32、面三、投影面平行面 垂直于兩個(gè)投影面的平面，平行垂直于兩個(gè)投影面的平面，平行于第三個(gè)投影面。于第三個(gè)投影面。 根據(jù)其所平行的投影面不同，投影根據(jù)其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分為面平行面也可分為三種三種： 1)水平面水平面平行于平行于H 面；面； 2)正平面正平面平行于平行于V 面；面； 3)側(cè)平面?zhèn)绕矫嫫叫杏谄叫杏赪 面。面。a b c a b c abcXZoYHYW投影面平行面投影面平行面投影面平行面的投影面平行面的投影特性投影特性是：是： 1)1)如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上的投影，的投影，反映反映平面形的平面形的實(shí)形實(shí)形； 2)2)在另外兩個(gè)投影面上的投影均為直線段，有積聚在另外兩個(gè)投影面上的投影均為直線段，有積聚性，且性，且平行于相應(yīng)的投影軸平行于相應(yīng)的投影軸