題組9三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式、恒等變換

1、高考圈題（新課標(biāo)II數(shù)學(xué)文）題組9三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式、恒等變換一、考法解法命題特點(diǎn)分析2014年新課標(biāo)全國卷第一個(gè)解答題為數(shù)列題,且2014年數(shù)列題考查的放縮難度較大,2015年第一個(gè)大題為三角綜合問題的可能性極大.對本部分的考查,重點(diǎn)考查性質(zhì)、化簡求值、圖像變換、恒等變換.簡答題重視解三角形，特別是實(shí)際應(yīng)用問題，當(dāng)然，還得重視與其他知識(shí)的綜合，如平面向量。三角恒等變換是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,是三角函數(shù)的基礎(chǔ)常與解三角形以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)結(jié)合起來綜合考察少單獨(dú)考察.常見題型以選擇題、填空題為主，解答題.難度系數(shù)在0.6左右.解題方法薈萃計(jì)算轉(zhuǎn)化為主要解題方法.掌握化簡和

2、求值問題的解題規(guī)律和途徑,特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧,以優(yōu)化我們的解題效果,做到事半功倍. 和差公式,二倍角公式及降冪公式,輔助角公式是解高考題必用公式.二、真題剖析【題干】(2012高考真題全國卷7)已知為第二象限角，則 (A) （B） (C) (D)【解析】(命題意圖)本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用. (解題點(diǎn)撥)因?yàn)樗詢蛇吰椒降茫?，因?yàn)橐阎獮榈诙笙藿牵?，所?，選A.(點(diǎn)評)注意題目中的角的范圍, 結(jié)合平方關(guān)系與三角恒等變形來做,難度不大.這里要注意與之間的關(guān)系.【題干】（2013全國新課標(biāo)卷）設(shè)為第二象限角，若，則sin cos _.【答案】【解析

3、】 (命題意圖) 考查三角函數(shù)定義，兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)等4個(gè)知識(shí)點(diǎn).(解題點(diǎn)撥)由，得tan ，即sin cos .將其代入sin2cos21，得.因?yàn)闉榈诙笙藿牵詂os ，sin ，sin cos . (點(diǎn)評) 主要利用三角函數(shù)定義及化一公式求解;涉及方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.本題屬于中檔題，也是高考中的主要考點(diǎn)之一【題干】（2014全國新課標(biāo)卷）設(shè)，且，則 ( ). . . .【答案】B (命題意圖) 本題三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和切割化弦的技巧(解題點(diǎn)撥)解法1.選B（演繹推理），即解法2.選B（特殊角）取代入，可得，所以，通過四個(gè)選

4、項(xiàng)驗(yàn)證，只有選項(xiàng)B符合。 (點(diǎn)評)解法1采用了化弦為切，主要從復(fù)雜化簡單的思維模式出發(fā)的，但三角變換是基本的方向和方法，在確定角的關(guān)系式正弦函數(shù)的單調(diào)性起了關(guān)鍵作用。解法2根據(jù)題意提供的范圍選擇適當(dāng)?shù)奶厥饨莵眚?yàn)證，達(dá)到事半功倍的作用.夯實(shí)三角變換的基本功一直是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而不是一味的拓展半角公式，在求值、化簡、恒等式證明中,切化弦與弦化切是常用的三角變換技巧【題干】（2014全國新課標(biāo)卷）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在0,上的圖像大致為【答案】B【解析】(命題意圖) 本題主要考查三

5、角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查二倍角公式的運(yùn)用，是一道基礎(chǔ)題(解題點(diǎn)撥) 選B（圖象法）如圖：過M作MDOP于，則 PM=，OM=,在中，MD=，其周期為，最大值為，最小值為解法2.選B（特值排除法）在角運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，即時(shí)，則MD的長度為0，排除A、D兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)角的終邊不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，MD處于中，它的長度不可能等于1，排除C選項(xiàng)，所以選B(點(diǎn)評)解法1解題思路：在直角三角形OMP中，求出OM，注意長度、距離為正，再根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義即可得到的表達(dá)式，然后化簡，分析周期和最值，結(jié)合圖象正確選擇.解法2通過幾個(gè)端點(diǎn)值來分

6、析，結(jié)合選項(xiàng)作出排除，選出正確選項(xiàng).（3）本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，而單位圓在其中的作用往往被人們忽視，如果能充分利用單位圓，會(huì)起到事半功倍的效果。三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查難度仍以中、低檔題為主，有時(shí)也以小而活的選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，講究通性通法。三、高考圈題【題干】若，則A B C D【圈題理由】本題把同角三角函數(shù)關(guān)系,三角函數(shù)符號(hào),二倍角公式郵寄的結(jié)合在一起.是高考考查三角恒等變形的，每年多以選擇題的形式出現(xiàn)，題目基礎(chǔ)，但綜合性強(qiáng)，極有可能在高考中出現(xiàn)類似試題.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，所以?故選D【題干】已知tan()，則()A

7、. B. C D【圈題理由】本題考查三角函數(shù)求值，同角三角函數(shù)關(guān)系.利用利用所求式子分子和分母為正弦余弦的齊次式，利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為正切,在進(jìn)行求解.【解析】tan()，tan ，原式.選C【題干】sin220°+cos280°+cos20°cos80°= 【圈題理由】本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計(jì)算能力的要求較高.考生需要熟練掌握三角公式并能靈活應(yīng)用.解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，需認(rèn)真體會(huì). 解法二構(gòu)造三角形結(jié)合正余弦定理來解決, 使解法更簡單更精妙.【解析】解法一：sin220°+cos280

8、°+sin20°cos80°= (1cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°=1cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1cos40°+ (cos120°cos40°sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°sin60°sin20°)=1cos40°cos40°sin40

9、76;+sin40°sin220°=1cos40°(1cos40°)= 解法二：設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°,y=cos220°+sin280°cos20°sin80°，則x+y=1+1sin60°=，xy=cos40°+cos160°+sin100°=2sin100°sin60°+sin100°=0x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin

10、20°cos80°=.解法三：構(gòu)造單位圓內(nèi)接三角形,切三內(nèi)角分別為20°, 10°,150°.利用正弦定理和余弦定理得:sin2150°=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°= sin220°+cos280°+sin20°cos80°故原式= sin2150°=四、分層訓(xùn)練（10題）基礎(chǔ)過關(guān)（第15題）【題干】1已知，都是銳角，若sin ，sin ，則()A. B.C.和 D和【答案】 A【解析】因?yàn)?/p>

11、、都為銳角，所以cos ，cos .所以cos()cos ·cos sin ·sin ，所以，故選A.【題干】2已知sin cos ，(0，)，則tan ()A1 B C. D1【答案】 A【解析】利用輔助角公式求出，再求其正切值由sin cos sin，(0，)，解得，所以tan tan1.【題干】3已知(，)，tan，則sin()()A. BC. D【答案】 B【解析】由題意可知，由此解得sin2，又(，)，因此有sin，sin()sin，故選B.【題干】4已知2sintan3，則cos的值是()A7 BC. D.【答案】 D【解析】由已知得2sin23cos，2cos

12、23cos20，(cos2)(2cos1)0cos，選D.【題干】5已知sincos，且<<，則cossin的值為()A B.C D.【答案】 B【解析】 <<，cos>sin，cossin>0，又(cossin)212cossin，cossin.智能拓展（第610題）【題干】6在(0,2)內(nèi)，使sin >cos成立的的取值范圍為()A. BC. D 【答案】 C【解析】詳解：當(dāng)?shù)慕K邊在直線yx上時(shí)，直線yx與單位圓的交點(diǎn)為，此時(shí)和，如圖所示當(dāng) 時(shí)，恒有MP >OM.而當(dāng) 時(shí)，則有MP<OM，因此選C.本題亦可利用正余弦曲線來解決.【題干】

13、7已知cos，sin，且<<，0<<， cos()= 【答案】 .【解析】<<，0<<，cos，sin，<<，0<<.sin，cos，coscoscoscossinsin ××，cos()2cos21.【題干】8已知函數(shù)f(x)2sin，若，f，f(32)，則cos()= 【答案】【解析】由題設(shè)知：f2sin ，f(32)2sin2cos ，即sin ，cos .又，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.【題干】9已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的兩根均tan、tan，且，()，則tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2【答案】B【解析】a1，tan+tan=4a0