大連理工大學(xué)信號2傅里葉級數(shù)與傅里葉變換

1、2022-6-11大連理工大學(xué)1第第2章章傅里葉級數(shù)與傅里葉變換傅里葉級數(shù)與傅里葉變換大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程信號處理與數(shù)據(jù)分析信號處理與數(shù)據(jù)分析電子信息與電氣工程學(xué)部電子信息與電氣工程學(xué)部邱天爽邱天爽2013年年9月月2022-6-11大連理工大學(xué)2 內(nèi)容概要內(nèi)容概要 2.1 2.1 概述概述 2.2 2.2 周期性連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)周期性連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù) 2.3 2.3 周期性離散時間信號的傅里葉級數(shù)周期性離散時間信號的傅里葉級數(shù) 2.4 2.4 連續(xù)時間信號的傅里葉變換連續(xù)時間信號的傅里葉變換 2.5 2.5 離散時間信號的傅里葉變換離散

2、時間信號的傅里葉變換2022-6-11大連理工大學(xué)32022-6-11大連理工大學(xué)32.1 概述概述2022-6-11大連理工大學(xué)4 1.1.傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的作用傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的作用 把時間把時間信號信號 頻譜頻譜，以便進行，以便進行頻域頻域分析和處分析和處理。理。 是一種是一種正交正交分解方法：三角函數(shù)集，復(fù)指數(shù)函數(shù)集分解方法：三角函數(shù)集，復(fù)指數(shù)函數(shù)集等。等。 ( )x t 2022-6-11大連理工大學(xué)5 2.2.傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的分類傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的分類 （1）連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)）連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)（FS） （2）離散周期信號的離散傅里葉級數(shù)）離

3、散周期信號的離散傅里葉級數(shù)（DFS） （3）連續(xù)非周期信號的傅里葉變換）連續(xù)非周期信號的傅里葉變換（FT） （4）離散非周期信號的離散時間傅里葉變換）離散非周期信號的離散時間傅里葉變換（DTFT） （5）離散非周期信號的離散傅里葉變換）離散非周期信號的離散傅里葉變換（DFT） （6）離散非周期信號的快速傅里葉變換）離散非周期信號的快速傅里葉變換（FFT） 其他傅里葉變換（其他傅里葉變換（STFT，F(xiàn)RFT，）2022-6-11大連理工大學(xué)6 3.3.傅里葉生平與傅里葉理論的發(fā)展傅里葉生平與傅里葉理論的發(fā)展 Joseph Fourier，法國科學(xué)家，工程師（，法國科學(xué)家，工程師（1768-183

4、0） 1768年年3月月21生于歐塞爾，生于歐塞爾，1830年年5月月16卒于巴黎。卒于巴黎。 9歲父母雙亡，歲父母雙亡，17歲回鄉(xiāng)教書（數(shù)學(xué)）。歲回鄉(xiāng)教書（數(shù)學(xué)）。 1794年法國高等師范學(xué)校首批學(xué)員，次年到巴黎綜年法國高等師范學(xué)校首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校任教。合工科學(xué)校任教。 1798年隨拿破侖遠征埃及；年隨拿破侖遠征埃及；1801年回國，任伊澤爾年回國，任伊澤爾省地方長官。省地方長官。 1817年當(dāng)選科學(xué)院院士。年當(dāng)選科學(xué)院院士。 1822年任科學(xué)院終身秘書，后任法蘭西學(xué)院理工科年任科學(xué)院終身秘書，后任法蘭西學(xué)院理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。大學(xué)校務(wù)委員會主席。 2022-6-11大

5、連理工大學(xué)7 傅里葉的主要貢獻傅里葉的主要貢獻 任何周期信號可以用成任何周期信號可以用成諧波關(guān)系諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級數(shù)表的正弦函數(shù)級數(shù)表示。示。 2022-6-11大連理工大學(xué)8 傅里葉理論的發(fā)展歷程傅里葉理論的發(fā)展歷程 傅里葉之前周期性現(xiàn)象的研究傅里葉之前周期性現(xiàn)象的研究 古代巴比倫（古代巴比倫（Babylonians）時代，利用這一理論來）時代，利用這一理論來研究天體運動。研究天體運動。 1748年，年，歐拉歐拉（Euler）用于研究弦的振動，其）用于研究弦的振動，其結(jié)結(jié)論論為：為： 如果某一時刻，振動弦的形狀是這些標準振蕩模式如果某一時刻，振動弦的形狀是這些標準振蕩模式的線性組合，則其后

6、任何時刻，振動的弦的形狀也的線性組合，則其后任何時刻，振動的弦的形狀也都是這些振蕩模式的線性組合。都是這些振蕩模式的線性組合。2022-6-11大連理工大學(xué)9 傅里葉理論的出現(xiàn)傅里葉理論的出現(xiàn) 1807年，年，F(xiàn)ourier完成有關(guān)完成有關(guān)Fourier級數(shù)的論文，由級數(shù)的論文，由4位科位科學(xué)家評審。學(xué)家評審。 同意發(fā)表的：同意發(fā)表的：S. F. Lacroix；G.Monge； P.S.Laplace 強烈反對的：強烈反對的： J. L. Lagrange 結(jié)果論文未能發(fā)表。結(jié)果論文未能發(fā)表。 15年后（年后（1822年），有關(guān)傅里葉級數(shù)的理論才在其著作年），有關(guān)傅里葉級數(shù)的理論才在其著作中

7、發(fā)表：中發(fā)表： “Theorie Analytique de la Chaleur” 熱分熱分析理論析理論， 后由后由Dirichlet給出若干給出若干精確條件精確條件。 2022-6-11大連理工大學(xué)10 傅里葉理論的意義傅里葉理論的意義 在數(shù)學(xué)、科學(xué)、工程上產(chǎn)生巨大影響，在數(shù)學(xué)、科學(xué)、工程上產(chǎn)生巨大影響，是電子信息是電子信息與通信技術(shù)的基石之一與通信技術(shù)的基石之一。 有了傅里葉理論，才有：有了傅里葉理論，才有： 信號的頻域分析處理；信號的頻域分析處理； 通信的頻率劃分與復(fù)用；通信的頻率劃分與復(fù)用； 其他科學(xué)與工程問題的分析與解決。其他科學(xué)與工程問題的分析與解決。 近年來，傅里葉理論有新發(fā)展

8、：近年來，傅里葉理論有新發(fā)展： 本部分介紹本部分介紹4種：種：FS，DFS，F(xiàn)T，DTFT 近年來近年來：STFT與與WT （第（第V部分介紹），部分介紹），F(xiàn)RFT2022-6-11大連理工大學(xué)112022-6-11大連理工大學(xué)112.2 周期性連續(xù)時間信號的周期性連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)2022-6-11大連理工大學(xué)12 1. 1. 定義（定義（FSFS） 式中：式中： ：信號周期；：信號周期； ：基波角頻率；：基波角頻率； ：周：周期性連續(xù)時間信號；期性連續(xù)時間信號； ：傅里葉級數(shù)的系數(shù)：傅里葉級數(shù)的系數(shù)002jjj( )ee1( )edktktTkkkkktkTx taaax

9、 ttTT0( )x tka正變換正變換逆變換逆變換2022-6-11大連理工大學(xué)13 2.2.傅里葉級數(shù)的計算傅里葉級數(shù)的計算 【例例2.1】：已知已知 ，求，求 。 【解解】：方法：利用逆變換公式方法：利用逆變換公式 。 與逆變換的定義式比較，有：與逆變換的定義式比較，有：0( )sinx ttka0j( )ektkkx ta00jj01sin(ee)2jttt 1111,02j2jkaaa 其余2022-6-11大連理工大學(xué)14 【例例2.2】：信號信號 如圖，如圖， 基波周期為基波周期為T，且，且 。 【解解】：由傅里葉級數(shù)正變換定義式，有：由傅里葉級數(shù)正變換定義式，有：( )x t1

10、11 ( )02tTx tTTt，02T 10 10 110011jjjj00010112eeee=j2j2 sin(),0TkTkTTktktkTTadtTkTkTkTkkT 01/2a 2022-6-11大連理工大學(xué)15周期性連續(xù)時間信號的頻譜周期性連續(xù)時間信號的頻譜2022-6-11大連理工大學(xué)16 3.3.狄利赫萊條件（收斂問題）狄利赫萊條件（收斂問題） 在任何周期內(nèi)，在任何周期內(nèi)， 必須絕對可積，即滿足：必須絕對可積，即滿足： 在任意有限區(qū)間內(nèi)，在任意有限區(qū)間內(nèi)， 具有有限個起伏變化。具有有限個起伏變化。 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個不連續(xù)點，且在不只有有限個不連

11、續(xù)點，且在不連續(xù)點上，函數(shù)值有限。連續(xù)點上，函數(shù)值有限。 一般實際應(yīng)用中的信號，都滿足上述三個條件。一般實際應(yīng)用中的信號，都滿足上述三個條件。 ( )x t( ) dTx tt ( )x t( )x t2022-6-11大連理工大學(xué)17 4.4.傅里葉級數(shù)的含義傅里葉級數(shù)的含義 將周期性信號將周期性信號 分解為各次諧波的線性組合的形式。分解為各次諧波的線性組合的形式。加權(quán)系數(shù)為傅里葉級數(shù)的系數(shù)加權(quán)系數(shù)為傅里葉級數(shù)的系數(shù) 。 可得到信號的頻譜，包括幅度譜可得到信號的頻譜，包括幅度譜 和相位譜和相位譜 。( )x tkakaka2022-6-11大連理工大學(xué)18 5.5.傅里葉級數(shù)的性質(zhì)（略）傅里

12、葉級數(shù)的性質(zhì)（略） 線性；線性； 時移特性；頻移特性；時移特性；頻移特性； 共軛特性；共軛特性； 時間反轉(zhuǎn)特性；時域尺度變換；時間反轉(zhuǎn)特性；時域尺度變換； 微分性質(zhì)，積分性質(zhì)；微分性質(zhì)，積分性質(zhì)； 周期卷積；乘法性質(zhì)；周期卷積；乘法性質(zhì)； 帕色伐爾定理；帕色伐爾定理； 請自行閱讀相關(guān)教材。請自行閱讀相關(guān)教材。2022-6-11大連理工大學(xué)192022-6-11大連理工大學(xué)202022-6-11大連理工大學(xué)202.3 周期性離散時間信號的周期性離散時間信號的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)2022-6-11大連理工大學(xué)21 1. 1. 定義（定義（DFSDFS） 式中：式中： ：基波周期；：基波周期； ：基

13、波角頻率；：基波角頻率； ：周：周期性離散時間信號；期性離散時間信號； ：傅里葉級數(shù)的系數(shù)：傅里葉級數(shù)的系數(shù) 說明：說明： 是周期性的，即：是周期性的，即：N0( )x nka正變換正變換逆變換逆變換002jj2jj ee11 e eknknNkkkNkNknknNknNnNx naaax nx nNN011,NNkk Naaaaaaka2022-6-11大連理工大學(xué)22 2.2.計算計算 【例例2.32.3】：已知：已知： ，求：，求： 說明：說明：給定不同的給定不同的 值，值， 可能是周期的（有不同可能是周期的（有不同的周期），或者可能是非周期的。的周期），或者可能是非周期的。 【解解】：

14、假設(shè)假設(shè)1 1： ，則，則 為周期信號。為周期信號。 由歐拉公式，有，由歐拉公式，有， 則：則：0 sinx nnka0 x n02 /N x n22jj11 ee2j2jnnNNx n1111,0 (if1)2j2jkaaak且114(when =5)NaaaN2022-6-11大連理工大學(xué)23 假設(shè)假設(shè)2 2： ，且，且 和和 無公因子，則無公因子，則 可可確定一個基波周期為確定一個基波周期為N N的信號。將的信號。將 改寫為：改寫為： 則：則： mN02(1)mmN x n x n22jj11 ee2j2jmnmnNNx n11,022mmkaaajj 其余（在一個周期內(nèi)）332+221

15、11if =5,=3, then ,=,=;=2j2j11if =3,=2, then ,= ,=;=2j2jkN kkN kkN kkN kNmaaaaaaaNmaaaaaaa 2022-6-11大連理工大學(xué)24 離散傅里葉級數(shù)的頻譜離散傅里葉級數(shù)的頻譜2022-6-11大連理工大學(xué)25 3.3.離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)（略）離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)（略） 線性；線性； 時移特性；頻移特性；時移特性；頻移特性； 共軛特性；共軛特性； 時間反轉(zhuǎn)特性；時域尺度變換；時間反轉(zhuǎn)特性；時域尺度變換； 微分性質(zhì)，積分性質(zhì)；微分性質(zhì)，積分性質(zhì)； 周期卷積；乘法性質(zhì)；周期卷積；乘法性質(zhì)； 帕色伐爾定理；帕色伐爾定理

16、； 請自行閱讀相關(guān)教材。請自行閱讀相關(guān)教材。2022-6-11大連理工大學(xué)262022-6-11大連理工大學(xué)272022-6-11大連理工大學(xué)272.4 連續(xù)時間信號的傅里葉變換連續(xù)時間信號的傅里葉變換2022-6-11大連理工大學(xué)28 1.1.從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換：定義（從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換：定義（FTFT）對于周期性連續(xù)時間信號對于周期性連續(xù)時間信號 ，若令，若令 ，且保，且保持持 不變，則有：不變，則有：這樣，傅里葉級數(shù)就變?yōu)楦道锶~變換：這樣，傅里葉級數(shù)就變?yōu)楦道锶~變換： x tT 1T0,k 且002jjj( )ee1( )edktktTkkkkktkTx taaax ttTj

17、-1( )=(j )ed2(j )=( )edtj tx tXXx tt 2022-6-11大連理工大學(xué)29 FSFSFTFT的圖示的圖示2022-6-11大連理工大學(xué)30 2.2.計算計算 【例例2.32.3】：已知已知 ，求，求 ： 【解解】：由定義，有：由定義，有： 幅度譜和相位譜：幅度譜和相位譜： ( )e( )0atx tu ta，(j )Xj(j)0011(j )=eede,0jjattatXtaaa 1221(j )(j )=tanXXaa ，2022-6-11大連理工大學(xué)31 上例的頻譜上例的頻譜幅度譜幅度譜相位譜相位譜2022-6-11大連理工大學(xué)32 【例例2.4】：已知：

18、已知： ，求，求 。 【解解】：( ) e( )0atx tu ta，(j )X0jjj022(j )=eede edeed112 jjattattattXtttaaa 信號波形信號波形信號頻譜信號頻譜2022-6-11大連理工大學(xué)33 【例例2.5】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：(j )X( )( )x ttj(j)=( )ed1tXtt ( ) tt0(j)X0信號波形信號波形信號頻譜信號頻譜2022-6-11大連理工大學(xué)34 【例例2.6】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：(j )X信號波形信號波形信號頻譜信號頻譜11( )0tTx ttT，111111jjjj1112(

19、j )=edsin()jjTTTTttTTXteeeT 2022-6-11大連理工大學(xué)35 【例例2.7】：已知：已知： ，求，求 。 【解解】：( )x t信號波形信號波形信號頻譜信號頻譜1(j )0WXW ，jjjj1111( )=1 edsin()22j2jWWttWtWtWWx tteeeWtttt2022-6-11大連理工大學(xué)36 討論（比較討論（比較【2.6】和和【2.7】） 討論討論1： 在在【例例2.6】中，中， 為門函數(shù)，為門函數(shù)， 為為sinc()函數(shù)函數(shù); 在在【例例2.7】中，中， 為門函數(shù)，為門函數(shù)， 為為sinc()函數(shù)函數(shù); 這種關(guān)系稱為這種關(guān)系稱為對偶關(guān)系。對偶

20、關(guān)系。 討論討論2 2： 定義定義sinc()函數(shù)：函數(shù)： 這樣，這樣，【例例2.6】中，中， 【例例2.7】中，中，( )x t(j )X(j )X( )x t sinsinc1112(j )=sin()2 sinc()TXTT1( )=sin()sincWWtx tWtt2022-6-11大連理工大學(xué)37 討論討論3： 若若 中的中的 若若 中的中的(j )X( )x t(j )( )WXx t變寬,的主峰變窄 If , then ( )Wx tt 1( ),(j )Tx tX變寬的主峰變窄 1If , then (j)2TX 2022-6-11大連理工大學(xué)38 3. 傅里葉變換（傅里葉變

21、換（FT）的性質(zhì)）的性質(zhì) 【線性性質(zhì)線性性質(zhì)】 若若 則則 【時移性質(zhì)時移性質(zhì)】 若若 則則( )(j ), and( )(j )x tXy tY ( )( )(j )(j )ax tby taXbY ( )(j )x tX 0j0()e(j )tx ttX 2022-6-11大連理工大學(xué)39 【共軛對稱性質(zhì)共軛對稱性質(zhì)】 若若 則則 討論：討論：若若 ，則由于，則由于 有：有： 此外，有：此外，有：( )(j )x tX *( )( j)x tX ( )*( )x txt( )(j ), and *( )*( j )x tXxtX *(j )( j ), or (j )( j )XXXX R

22、e(j )Re( j ) , Im(j )Im( j ) , *(j )( j )(j ), *(j )( j ) (j ), XXXXXXXXXX 實部為偶虛部為奇模為偶相位為奇2022-6-11大連理工大學(xué)40 【時域微分與積分性質(zhì)時域微分與積分性質(zhì)】 若若 則則 【時間與頻率的尺度變換時間與頻率的尺度變換】 若若 則則1()(j),|x atXaaa 為常數(shù)( )(j )x tX d ( )d( )j(j );(j )(j )ddnnnx tx tXXtt 1( )d(j ) (0) ()jtxXX ( )(j )x tX 2022-6-11大連理工大學(xué)41 【對偶性質(zhì)對偶性質(zhì)】 對于任

23、何傅里葉變換對，在時間和頻率變量交換之對于任何傅里葉變換對，在時間和頻率變量交換之后，都有一種對偶關(guān)系，例如后，都有一種對偶關(guān)系，例如：2022-6-11大連理工大學(xué)42 【頻域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)】 若若 則則 【頻域位移性質(zhì)頻域位移性質(zhì)】 若若 則則( )(j )x tX d (j )j ( )dXtx t ( )(j )x tX 0j0( )(j()tex tX 2022-6-11大連理工大學(xué)43 【頻域積分性質(zhì)頻域積分性質(zhì)】 若若 則則 【帕色伐爾定理帕色伐爾定理】 若若 則則( )(j )x tX 1( )d(j )(0) ( ), j1( )d( )(0) ( ), jtxXXXx

24、 txtt 時域積分頻域積分( )(j )x tX 221( ) d(j) d2x ttX 2022-6-11大連理工大學(xué)44 【卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)】 若若 則則 作用：將時域卷積運算簡化為頻域的乘積運算。作用：將時域卷積運算簡化為頻域的乘積運算。 【例例2.82.8】理想低通濾波器理想低通濾波器 用途：去除信號頻譜中高于用途：去除信號頻譜中高于 的頻率分量。的頻率分量。 缺點：非因果系統(tǒng)；缺點：非因果系統(tǒng)；sinc()有波動。有波動。( )(j ), and( )(j )x tXh tH ( )* ( )(j )(j )x th tXH 1, |sin(),( )0, |cctH jh tt

25、c2022-6-11大連理工大學(xué)45 【乘法性質(zhì)乘法性質(zhì)】 若若 則則 【例例2.92.9】信號的調(diào)制信號的調(diào)制( )(j ), and( )(j )x tXp tP 1( ) ( )(j )* (j )2x t p tXP ( )cos()ccp tt2022-6-11大連理工大學(xué)462022-6-11大連理工大學(xué)462022-6-11大連理工大學(xué)472022-6-11大連理工大學(xué)472.5 離散時間信號的傅里葉變換離散時間信號的傅里葉變換2022-6-11大連理工大學(xué)48 1.1.離散時間傅里葉變換：定義（離散時間傅里葉變換：定義（DTFTDTFT）對于周期性離散時間信號對于周期性離散時間

26、信號 ，若令，若令 ，且保，且保持持 不變，則有：不變，則有：N 1N002jj2jj ee1 e eknknNkkkNkNknknNknNnNx naaax nx nNjj2jj1 =(e )ed2(e )= ennnx nXXx n離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù) x n2022-6-11大連理工大學(xué)49 2. 2. 計算計算 【例例2.102.10】已知已知 ，求：，求： 【解解】 ,1nx na u naj(e)Xjjjjj001(e ) eee1ennnnnnnnXa u naaa0a 0a 幅度譜幅度譜相位譜相位譜2022-6-11大連理工大學(xué)50

27、【例例2.112.11】已知已知 ，求：，求： 【解解】| | ,1nx naaj(e)X1jjjjjj001j2jj2(e )eeeee1e11e1e12 cosnmnnnnnnnnnnmXaaaaaaaaaaa信號信號頻譜頻譜2022-6-11大連理工大學(xué)51 3. 離散時間傅里葉變換（離散時間傅里葉變換（DTFT）的性質(zhì)）的性質(zhì) 【周期性周期性】 若若 則則 【線性性質(zhì)線性性質(zhì)】 若若 則則 【時移性質(zhì)時移性質(zhì)】 若若 則則jj (e ), and (e )x nXy nY jj (e )(e )ax nby naXbY j (e )x nX 0jj0e(e )tx nnX j (e )

28、x nX j(+2 )j(e)= (e )XX2022-6-11大連理工大學(xué)52 【共軛對稱性質(zhì)共軛對稱性質(zhì)】 若若 則則 討論：討論：若若 ，則由于，則由于 有：有： 此外，還有與連續(xù)傅里葉變換（此外，還有與連續(xù)傅里葉變換（FT）相似的奇偶性質(zhì)。）相似的奇偶性質(zhì)。j (e )x nX *j (e)x nX * x nxnjj (e ), and * *( e )x nXxnX j*j*jj(e )(e), or (e )(e)XXXX2022-6-11大連理工大學(xué)53 【時域差分與累加性質(zhì)時域差分與累加性質(zhì)】 若若 則則 【時間擴展時間擴展】 若若 則則j( )( ) / , (e), =0

29、, kkkx n knkxnXxnnk 為 的整數(shù)倍其中，不為 的整數(shù)倍j( )(e )x tX j( )(e )x tX jjjjj 1(e )e(e )(1e)(e )x nx nXXX jj0j1 (e ) (e )21emmx mXXk 2022-6-11大連理工大學(xué)54 【頻域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)】 若若 則則 【頻域位移性質(zhì)頻域位移性質(zhì)】 若若 則則j (e )x nX jd (e )j dXnx n j (e )x nX 00jj( -)e (e)nx nX 2022-6-11大連理工大學(xué)55 【帕色伐爾定理帕色伐爾定理】 若若 則則j( )(e )x tX 2j221| |(e) | d2nx nX 2022-6-11大連理工大學(xué)56 【卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)】 若若 則則 作用：將時域卷積運算簡化為頻域的乘積運算。作用：將時域卷積運算簡化為頻域的乘積運算。