五邑大學(xué),近代物理,物理數(shù)學(xué),identical

1、2022-6-12151全同粒子系全同粒子系2022-6-12152交換對(duì)稱性在微觀世界中，一個(gè)重要的守恒量是全同粒子的交換。在微觀世界中，一個(gè)重要的守恒量是全同粒子的交換。在自然界中存在許多種類的粒子，同一類粒子的每一個(gè)在自然界中存在許多種類的粒子，同一類粒子的每一個(gè)粒子有相同的內(nèi)部屬性。粒子有相同的內(nèi)部屬性。具有相同內(nèi)部屬性的粒子被稱為全同粒子。具有相同內(nèi)部屬性的粒子被稱為全同粒子。由同類粒子組成的多粒子系統(tǒng)叫做全同粒子系。由同類粒子組成的多粒子系統(tǒng)叫做全同粒子系。當(dāng)全同粒子系中任意兩個(gè)粒子交換時(shí)，任何可觀測(cè)量都當(dāng)全同粒子系中任意兩個(gè)粒子交換時(shí)，任何可觀測(cè)量都不會(huì)改變。這種特性被稱為交換對(duì)

2、稱性。不會(huì)改變。這種特性被稱為交換對(duì)稱性。最簡(jiǎn)單的全同粒子系是由兩個(gè)不最簡(jiǎn)單的全同粒子系是由兩個(gè)不帶電的自由粒子組成的系統(tǒng)：帶電的自由粒子組成的系統(tǒng)：mpmpH222221如果這兩個(gè)粒子帶電，則要加如果這兩個(gè)粒子帶電，則要加上它們之間的電相互作用：上它們之間的電相互作用：122022214122rqmpmpH顯然，兩個(gè)粒子交換位置不會(huì)改變系統(tǒng)的哈密頓量。顯然，兩個(gè)粒子交換位置不會(huì)改變系統(tǒng)的哈密頓量。2022-6-12153波函數(shù)的對(duì)稱性稍微復(fù)雜一點(diǎn)的是氦原子中的兩個(gè)電子：稍微復(fù)雜一點(diǎn)的是氦原子中的兩個(gè)電子：122022012022214124124122rererempmpH兩個(gè)電子交換位置也

3、不會(huì)改變系統(tǒng)的哈密頓量。兩個(gè)電子交換位置也不會(huì)改變系統(tǒng)的哈密頓量。,1212HPHP01212HPHP0,12HP一般情況下，在全同粒子系中交換任意一般情況下，在全同粒子系中交換任意兩個(gè)粒子的算符與哈密頓算符對(duì)易。兩個(gè)粒子的算符與哈密頓算符對(duì)易。0,HPij此外，此外， 不顯含時(shí)間。這顯示所有不顯含時(shí)間。這顯示所有ijPijP都是守恒量。都是守恒量。既然交換任意兩個(gè)粒子不引起觀測(cè)結(jié)果的改變，交換前既然交換任意兩個(gè)粒子不引起觀測(cè)結(jié)果的改變，交換前后系統(tǒng)必定處于相同的量子態(tài)：后系統(tǒng)必定處于相同的量子態(tài)：CPij ijPijP2C1 C具有上述特性的波函數(shù)分別叫做對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)。具有上述特性的波

4、函數(shù)分別叫做對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)。2022-6-12154粒子交換算符的共同本征態(tài)對(duì)于一個(gè)任意系統(tǒng)，并不是所有對(duì)于一個(gè)任意系統(tǒng)，并不是所有ijP都彼此對(duì)易：都彼此對(duì)易：kjiPPijjk,kijPjk,jik ,kjiPPjkij,jkiPij,ikj,一般情況下，這意味著系統(tǒng)的波函數(shù)不一定是所有一般情況下，這意味著系統(tǒng)的波函數(shù)不一定是所有ijP的共同本征函數(shù)。的共同本征函數(shù)。但是，對(duì)于全同粒子系，由于每一個(gè)粒子都是全同的，但是，對(duì)于全同粒子系，由于每一個(gè)粒子都是全同的，因此，所有因此，所有ijP應(yīng)該是平等的。應(yīng)該是平等的。于是，唯一可能的選擇就是：系統(tǒng)的量子態(tài)必須是所有于是，唯一可能的選擇就是

5、：系統(tǒng)的量子態(tài)必須是所有ijP的共同本征態(tài)：即對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)。的共同本征態(tài)：即對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)。由此可見(jiàn)，全同粒子系的交換對(duì)稱性紿波函數(shù)很強(qiáng)的限由此可見(jiàn)，全同粒子系的交換對(duì)稱性紿波函數(shù)很強(qiáng)的限制：系統(tǒng)的波函數(shù)要么是對(duì)稱的，要么是反對(duì)稱的。制：系統(tǒng)的波函數(shù)要么是對(duì)稱的，要么是反對(duì)稱的。由于所有粒子對(duì)的交換算符都是守恒量，因此，波函數(shù)由于所有粒子對(duì)的交換算符都是守恒量，因此，波函數(shù)的交換對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。的交換對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。2022-6-12155玻色子與費(fèi)米子如果全同粒子系的波函數(shù)是對(duì)稱的，其成員粒子就被稱如果全同粒子系的波函數(shù)是對(duì)稱的，其成員粒子就被稱為玻色子，反之則被稱為費(fèi)米子

6、。為玻色子，反之則被稱為費(fèi)米子。在統(tǒng)計(jì)方法上，玻色子遵守玻色統(tǒng)計(jì)，費(fèi)米子遵守費(fèi)米在統(tǒng)計(jì)方法上，玻色子遵守玻色統(tǒng)計(jì)，費(fèi)米子遵守費(fèi)米統(tǒng)計(jì)。這是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)。這是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。實(shí)驗(yàn)顯示，全同粒子系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子的實(shí)驗(yàn)顯示，全同粒子系的波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子的內(nèi)部特性自旋有關(guān)。內(nèi)部特性自旋有關(guān)。自旋是一種類似于自轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是除了質(zhì)量和電荷外，自旋是一種類似于自轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是除了質(zhì)量和電荷外，用來(lái)標(biāo)記微觀粒子的重要物理量。用來(lái)標(biāo)記微觀粒子的重要物理量。微觀粒子的自旋的取值總是微觀粒子的自旋的取值總是 的整數(shù)倍。的整數(shù)倍。2凡是自旋等于凡是自旋等于 的偶數(shù)倍的粒子

7、，波函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)的偶數(shù)倍的粒子，波函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)粒子的交換總是對(duì)稱的，是玻色子。粒子的交換總是對(duì)稱的，是玻色子。2凡是自旋等于凡是自旋等于 的奇數(shù)倍的粒子，波函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)的奇數(shù)倍的粒子，波函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)粒子的交換總是反對(duì)稱的，是費(fèi)米子。粒子的交換總是反對(duì)稱的，是費(fèi)米子。22022-6-12156交換簡(jiǎn)并如何構(gòu)造滿足對(duì)稱或反對(duì)稱要求的波函數(shù)，是多粒子系如何構(gòu)造滿足對(duì)稱或反對(duì)稱要求的波函數(shù)，是多粒子系統(tǒng)理論的首要問(wèn)題。統(tǒng)理論的首要問(wèn)題。先考慮由兩個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)。忽略粒子之間的相先考慮由兩個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)。忽略粒子之間的相互作用，系統(tǒng)的哈密頓量：互作用，系統(tǒng)的哈密頓量： 212 , 1

8、hhH1 , 2H薛定諤方程：薛定諤方程：EH Ehh21分離變量：分離變量： ,212 , 1相乘的兩個(gè)函數(shù)形式相同相乘的兩個(gè)函數(shù)形式相同結(jié)果得到了兩個(gè)一模一樣的方程，是同一個(gè)單粒子方程結(jié)果得到了兩個(gè)一模一樣的方程，是同一個(gè)單粒子方程用到兩個(gè)粒子上去的結(jié)果：用到兩個(gè)粒子上去的結(jié)果： qqqh求解方程將得到單粒子波函數(shù)及其本征值：求解方程將得到單粒子波函數(shù)及其本征值： kkq,由此得到系統(tǒng)的波函數(shù)：由此得到系統(tǒng)的波函數(shù)： ,2121qqkk 1221qqkk這兩個(gè)態(tài)都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量本征值：這兩個(gè)態(tài)都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量本征值：2121kkkkE這種與交換粒子相聯(lián)系的簡(jiǎn)并叫做交換簡(jiǎn)并。這種與交換粒

9、子相聯(lián)系的簡(jiǎn)并叫做交換簡(jiǎn)并。2022-6-12157對(duì)稱與反對(duì)稱波函數(shù)如果要求波函數(shù)對(duì)于交換是對(duì)稱的，如果要求波函數(shù)對(duì)于交換是對(duì)稱的，:21kk 21,21qqSkk 211221121qqPkk 1221212121qqqqkkkk:21kkk 2121,qqqqkkSkk如果要求波函數(shù)是反對(duì)稱的，如果要求波函數(shù)是反對(duì)稱的，21,21qqAkk 211221121qqPkk 1221212121qqqqkkkk 2121221121qqqqkkkk不允許有兩不允許有兩個(gè)全同費(fèi)米個(gè)全同費(fèi)米子處于相同子處于相同的量子態(tài)。的量子態(tài)。泡利不相容原理2022-6-12158泡利不相容原理在量子力學(xué)發(fā)展

10、初期，泡利在早期量子論的框架下首先在量子力學(xué)發(fā)展初期，泡利在早期量子論的框架下首先提出不相容假說(shuō)。提出不相容假說(shuō)。后來(lái)，海森伯、費(fèi)米和狄拉克用波函數(shù)的反對(duì)稱性說(shuō)明后來(lái)，海森伯、費(fèi)米和狄拉克用波函數(shù)的反對(duì)稱性說(shuō)明了這條自然法則。了這條自然法則。泡利不相容原理是理解原子內(nèi)部電子的排布方式和元素泡利不相容原理是理解原子內(nèi)部電子的排布方式和元素周期表的理論基礎(chǔ)。周期表的理論基礎(chǔ)。元素周期表是門捷列夫于元素周期表是門捷列夫于1869年提出來(lái)的。年提出來(lái)的。1921年，玻爾首次從物理學(xué)的角度指出，元素性質(zhì)呈現(xiàn)年，玻爾首次從物理學(xué)的角度指出，元素性質(zhì)呈現(xiàn)的周期性可以用原子內(nèi)電子的軌道排布來(lái)解釋。的周期性可以

11、用原子內(nèi)電子的軌道排布來(lái)解釋。1925年，泡利提出不相容原理后，人們更深刻地認(rèn)識(shí)到，年，泡利提出不相容原理后，人們更深刻地認(rèn)識(shí)到，元素的物理化學(xué)性質(zhì)呈現(xiàn)的周期性來(lái)源于核外電子組態(tài)元素的物理化學(xué)性質(zhì)呈現(xiàn)的周期性來(lái)源于核外電子組態(tài)的周期性變化，是電子排布具有殼層結(jié)構(gòu)的反映。的周期性變化，是電子排布具有殼層結(jié)構(gòu)的反映。由多個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)，原則上也可用單粒子波函由多個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)，原則上也可用單粒子波函數(shù)做類似的排列組合構(gòu)造。但這將是一件繁瑣的工作。數(shù)做類似的排列組合構(gòu)造。但這將是一件繁瑣的工作。2022-6-12159不考慮交換對(duì)稱時(shí)的波函數(shù)考慮兩個(gè)全同自由粒子，它們考慮兩個(gè)全同自由粒子

12、，它們都處于動(dòng)量本征態(tài)，本征值為都處于動(dòng)量本征態(tài)，本征值為2121,kkpp當(dāng)波函數(shù)具有不同的對(duì)稱性時(shí)，兩個(gè)粒子的相對(duì)距離的當(dāng)波函數(shù)具有不同的對(duì)稱性時(shí)，兩個(gè)粒子的相對(duì)距離的概率分布具有不同的特點(diǎn)。概率分布具有不同的特點(diǎn)。如果不考慮交換對(duì)稱性：如果不考慮交換對(duì)稱性：21321iexp2,rkrkrrkk21rrr212rrR21rRr22rRrkkk2kkKkKk2kKk2rkRKrRkKiexp2,3RKei232rkei232 RK rk質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)2022-6-121510不考慮交換對(duì)稱時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)不考慮交換對(duì)稱性時(shí)不考慮交換對(duì)稱性時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)：

13、 rkkeri232 32,rk在一個(gè)粒子附近半徑為在一個(gè)粒子附近半徑為rrrd, 的球殼層中的球殼層中找到另一個(gè)粒子的概率找到另一個(gè)粒子的概率 42ddrrrk322d4rr假定兩個(gè)粒子的相對(duì)距離取假定兩個(gè)粒子的相對(duì)距離取 r 的概率的概率分布為分布為 P(r)，則這個(gè)概率就應(yīng)該等于，則這個(gè)概率就應(yīng)該等于 rrPrd42于是得到兩個(gè)粒子的于是得到兩個(gè)粒子的相對(duì)距離的概率分布相對(duì)距離的概率分布 321rP它的意義是，在一個(gè)粒子附近半徑為它的意義是，在一個(gè)粒子附近半徑為 r 的球面上的單位的球面上的單位面積中，找到另一個(gè)粒子的概率面積中，找到另一個(gè)粒子的概率(密度密度)。當(dāng)不考慮交換對(duì)稱性時(shí)，兩

14、個(gè)粒子的相對(duì)距離取任意值當(dāng)不考慮交換對(duì)稱性時(shí)，兩個(gè)粒子的相對(duì)距離取任意值的概率密度是一個(gè)常數(shù)。的概率密度是一個(gè)常數(shù)。2022-6-121511交換反對(duì)稱的波函數(shù)對(duì)交換為反對(duì)稱的波函數(shù)：對(duì)交換為反對(duì)稱的波函數(shù)：2112321iexp12121,rkrkPrrAkkrkRKPrRAkKiexp12121,123RKei232rkrkeeii23221RKei232rksin22i23由此得到對(duì)兩個(gè)粒子交換為反對(duì)稱的相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)：由此得到對(duì)兩個(gè)粒子交換為反對(duì)稱的相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)： rkrAksin22i232022-6-121512交換反對(duì)稱時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)當(dāng)波函數(shù)滿足交換反對(duì)稱時(shí)：當(dāng)波函數(shù)滿足交換反對(duì)

15、稱時(shí)： rkrAk23sin22發(fā)現(xiàn)粒子的相對(duì)距離為發(fā)現(xiàn)粒子的相對(duì)距離為rrrd, 的概率的概率 42ddrrrAkrr d222342ddsincossinkr 0cosd1cos2cos21kr322d4rrkrkr22sin1相對(duì)距離的概率分布相對(duì)距離的概率分布 krkrrPAk22sin1213 0lim0rPAkr兩個(gè)全同費(fèi)米子相互靠攏的概率趨于零。兩個(gè)全同費(fèi)米子相互靠攏的概率趨于零。2022-6-121513交換對(duì)稱的波函數(shù)如果波函數(shù)對(duì)交換是對(duì)稱的：如果波函數(shù)對(duì)交換是對(duì)稱的：2112321iexp12121,rkrkPrrSkkrkRKPrRSkKiexp12121,123RKei

16、232rkrkeeii23221RKei232rkcos2223由此得到對(duì)兩個(gè)粒子交換為對(duì)稱的相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)：由此得到對(duì)兩個(gè)粒子交換為對(duì)稱的相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)： rkrSkcos22232022-6-121514交換對(duì)稱時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)當(dāng)波函數(shù)對(duì)交換為對(duì)稱時(shí)：當(dāng)波函數(shù)對(duì)交換為對(duì)稱時(shí)： rkrSk23cos22發(fā)現(xiàn)粒子的相對(duì)距離為發(fā)現(xiàn)粒子的相對(duì)距離為rrrd, 的概率的概率 42ddrrrSkrr d222342ddsincoscos kr 0cosd1cos2cos21kr322d4rrkrkr22sin1相對(duì)距離的概率分布相對(duì)距離的概率分布 krkrrPSk22sin1213 3022limrPSkr兩個(gè)全同玻色子相互靠攏的概率最大。兩個(gè)全同玻色子相互靠攏的概率最大。2022-6-121515三