分子的擴散傳遞

1、上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-122.2.1 傳質(zhì)微分方程2.2.2 無化學反應的一維穩(wěn)態(tài)分子擴散1上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12分子擴散是指在靜止的系統(tǒng)中由于濃度梯度的存在而發(fā)生的傳遞現(xiàn)象，分子擴散過程與濃度分布和濃度梯度密切相關。分子擴散可以是一維的，也可以是二維和三維的。根據(jù)擴散過程是否隨時間而改變，又可分為穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)的分子擴散。工程中存在的分子擴散現(xiàn)象，有許多可以近似地簡化為濃度僅沿一個方向變化和不隨時間改變的一維穩(wěn)態(tài)分子擴散過程。據(jù)此，本節(jié)主要介紹一維穩(wěn)態(tài)擴散過程。2上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容

2、回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 在動量和熱量傳遞中，運用劃分控制體模型的方法建立微分方程。在傳質(zhì)問題上，可應用同樣的方法來建立傳質(zhì)微分方程。3上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12一、傳質(zhì)微分方程一、傳質(zhì)微分方程 在沿 方向擴散的位置上取一個微元控制面，控制面厚度為 ?？刂泼嬖?方向和 方向上為無限大。即擴散僅在 方向上進行。含有組分A的混合物通過該控制面，如圖2-1所示。圖圖2.1 一維傳質(zhì)控制體模型一維傳質(zhì)控制體模型上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 在分析控制面中組分A的質(zhì)量守恒時，必須計及化學反應這

3、一項，還必須考慮擴散隨時間變化而發(fā)生變化。因此，質(zhì)量守恒的般關系式用文字表述為： 流入控制體的質(zhì)量+因化學反應而生成組分A的生成率=流出控制體的質(zhì)量+組分A在控制體內(nèi)質(zhì)量局部變化率（2.2-1） 依據(jù)式（2.2-1），我們僅考慮一維方向上的質(zhì)量平衡A AAA AAA Auu dy rdxdyu dydxdydxdyx5上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 令 ，上式整理成（2.2-2） 對于三維質(zhì)量傳遞，方程為 （2.2-3） 這即是組分A的連續(xù)性方程。,m AAAu,0m AAArx,0Am Am Am AArxyz6上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主

4、目錄回主目錄返回返回2022-6-12 式（2.2-3）可寫成算符形式：（2.2-4） 同樣方法可導得組分B的連續(xù)性方程，即 （2.2-5）或 （2.2-6） 式中 是組分B在控制體內(nèi)化學反應的速率,0AmAAr ,0Bm Bm Bm BBrxyz,0BBBmr7上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 將式（2.2-4）和式（2.2-6）相加得 （2.2-7） 對于雙組分混合物，和 將這些關系式代入式（2.2-7）得,0ABm Am BABrr,m Am BAABBuuuABABrr 8上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-1

5、2 （2.2-8） 這即是混合物的連續(xù)性方程。 也可用摩爾單位來描述連續(xù)性方程，若 和 分別表示每單位體積組分A和組分B的摩爾生成率，則對于組分A，與式（2.2-4）等價的方程形式為 （2.2-9） 對于組分B （2.2-10）0u ,0An AAcR ,0Bn BBcR9上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 對于混合物 （2.2-11） 對于雙組分混合物和,0ABn An BABccRR,n An BAABBMc uc ucuABccc10上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 因此，連續(xù)性方程可寫為 （2.2-12）

6、 同樣，由于有 ，上式變成0MABccuRR0MccuABRR 11上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 在不同的擴散條件下，擴散方程可以蛻變成不同形式。以摩爾通量方程為例，考察式（2.1-59），按坐標選擇習慣，對一維擴散坐標方程中坐標變量更換為 ，即 此式右端第二項為整體流動形成的擴散項 ，并考慮總摩爾濃度 不變，上式變成（2.2-13）,An A xABAn A xn B xdycDydx ,An AABAdcDc udx 12上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 將式（2.2-9）改寫成一維形式 (2.2-14

7、) 將式（2.2-13）代入式(2.2-14)，得 整理后得(2.2-15),0An AAcRx220AAAABcccDuxx22AAAABcccuDxx13上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 它類比于傳熱微分方程(2.2-16) 這兩個方程是熱量傳遞與質(zhì)量傳遞相似的基礎。因此基于式(2.2-14)， 1假定 和 為常數(shù)， ，則可簡化為式(2.2-15)22pTTTc uaxxABD0AR 14上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 2假定 和 為常數(shù)； ； ，則可簡化成 (2.2-17) 這即是斐克第二擴散定律的表達

8、式。這方程是在假設 的情況下導得的，所以，此式僅適用于固體及靜止液體中擴散。ABDc0u 0AR 22AAA BccDx15上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 3假定 和 為常數(shù)； =0； ，又是穩(wěn)態(tài)過程， ，則可簡化成 (2.2-18) 式（2.2-18）即是用摩爾濃度表示的拉普拉斯方程。 在不同坐標系中，擴散方程的形式因坐標變量不同而異。例如，斐克第二擴散定律在直角坐標系中的形式為220Adcd x16上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 (2.2-19) 在圓柱坐標系中的形式為 (2.2-20) 在球坐標系中的

9、形式為 (2.2-21)222222AAAAABccccDtxyz222222211AAAAAABcccccDtrrrrz222222111sinsinsinAAAAABccccDrtrrrrr17上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 一個傳質(zhì)過程可通過解某一個傳質(zhì)微分方程來說明，在解微分方程的過程中要運用邊界條件，對不穩(wěn)態(tài)擴散，還會涉及到初始條件，以此確定積分常數(shù)，在傳質(zhì)中所應用的初始條件或邊界條件類似于熱量傳遞中所利用的那些初始條件或邊界條件。 傳質(zhì)過程中的初始條件可用摩爾濃度或質(zhì)量濃度來表示。例如，在 時， ，或者，在 時， 。00AA00AAcc1

10、8上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 與動量方程和能量方程一樣，擴散微分方程也有三類邊界條件。 1規(guī)定了表面處的濃度。這個濃度可用摩爾濃度表示 ；也可用摩爾分數(shù)表示 ；或者用質(zhì)量濃度表示 ；也可用質(zhì)量分數(shù)表示 。 對由理想氣體組成的混合系，摩爾濃度與組分的分壓力有關，這時，濃度可用分壓來表示， 。,AAxcc,AAxyy,AAx,AAxww,AAAxppyp19上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 2規(guī)定了表面的質(zhì)量通量。例如， ， ?；蛘?，對質(zhì)量擴散形式， 3規(guī)定了邊界上介質(zhì)和周圍流體間的傳質(zhì)系數(shù) 和主流體的濃度

11、, 。例如，已知 ，式中 為主流體濃度； 為貼壁處的流體濃度； 為傳質(zhì)系數(shù)。,AAxJJ, ,n An AxAAABxxdwjDdz ck,Ac,1,n AcAAkcc,Ac,1Acck20上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12一、通過靜止空氣膜的擴散一、通過靜止空氣膜的擴散 這是工程上經(jīng)常遇到的一種典型的傳質(zhì)過程，如空氣加濕過程中，水蒸氣必須穿過聚集在水和空氣交界面上的靜止空氣層才能擴散到空氣中去。在去濕過程中，濕空氣中的水分也只有穿過此空氣層才能進入到水中。21上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 現(xiàn)取一容器，如圖2

12、-2所示。容器內(nèi)灌了部分純液體A，且保持恒溫恒壓，氣體B對液體A無化學作用，且掠過開口管端，在此忽略不計它在液體A中的溶解性，液體A蒸發(fā)并擴散進入氣相。現(xiàn)在來分析一下 平面，由于氣體不溶于液體A，并且認為 為零，組分B是不流動氣體。 按式（2.1-33），組分A在 方向上擴散的摩爾通量為,B zN,An AABAn An BdycDydz 22上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 由于組分B靜止，故 ，上式可整理為 （2.2-22） 邊界條件：在 處， ； 在 處， 。 由于 ，所以，擴散沿程上 為常數(shù)，分離變量并積分后解得,0n B,1A BAnAAc

13、Dd yyd z 1zz1AAyy2zz2AAyy2211,1AAzyAn AABzyAdydzcDy23上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12(2.2-23) 由于 ； ； ，代入式（2.2-23）得（2.2-24）2,2111ln1A BAnAAc Dyzzy111AByy 221AByy 1221AABByyyy21,1212212121,ln1BABBABn A zAAAABBB mycDycDyyyyzzyyzzy24上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 令 為組分B的對數(shù)平均摩爾分數(shù)，即(2.2-25) 此式

14、也可用組分A來表示 （2.2-26）21,21lnBBBmBByyyyy 2112,22111111lnln11AAAAB mAAAAyyyyyyyyy25上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 對于理想氣體， 又 所以，式（2.2-25）可表示成 （2.2-27） 這便是斯蒂芬（stephan）定律的表達式。AApyp12,21,ABAAn A zB mDpppRTzzpnpcVRT26上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 例題2.2-2 在一圓盤中盛有溫度為20的水層，盤子上方的干空氣的總壓力1bar，溫度為20。假

15、設蒸發(fā)是在15mm的氣層中以純分子擴散形式進行，并以一平方米的盤面積作為計算單位，每平方米水被蒸發(fā)的質(zhì)量m=3kg，試計算水分完全蒸發(fā)所需要的時間（小時）。 解 這是不通過靜止空氣的擴散問題。從附錄1查得 ，所以，2250.2634/ABCDcms3222202510.2568/ABCABCTDDcmsT27上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 每平方米水被蒸發(fā)的摩爾數(shù) ，單位時間內(nèi)單位面積上的擴散速率 式中 ；3kg0.167kmol18kg/kmolmnM, ,12,ABn A zAAB mDpppRTzp10.0234 barAp20Ap11-0.0

16、234 =0.9766 barBp21barBp28上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 所以， 又 ， 因此，521,52511 0.9766100.9981 10lnln0.9766 10BBB mBBpppbarpp8314 /RJkmol K0.015zm425252, ,520.2588 10/1 10/0.0234 10/8314/2930.0150.988 10/n A zmsN mN mN mkmol KKmN m621.66 10kmol/ m s29上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 水分蒸發(fā)所需

17、要的時間為2620.167/27.951.66 10/3600 /kmol mhkmolmss h30上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12二、通過不流動氣膜的準穩(wěn)態(tài)擴散二、通過不流動氣膜的準穩(wěn)態(tài)擴散 許多實際過程中，其中有一邊界是隨時間而移動的，但經(jīng)過某一段時間后擴散路 程變化很小，則可利用準穩(wěn)態(tài)概念處理擴散模型，如圖2-3所示。在這種條件下，仍可用式（2.2-24）來計算它的擴散通量?，F(xiàn)在來分析一下流體流過表面時的情況.現(xiàn)有兩個水平面，一個是在 時刻，另一個是在 時刻的，若在較長的時間間隔內(nèi)液面的距離變化較小，則在這個期間中任意瞬時的摩爾通量為 31上一

18、內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 式中 是 時間內(nèi)擴散路程的長度。 摩爾通量 與液體離開液面的數(shù)量有關， （2.2-31） 式中 為液相組中組分A的摩爾濃度。經(jīng)計算得 （2.2-32）12,ABAAn A zB mcDyyzy21zzz,A Ln AAdzMd,ALAM022,122A LB mAABAAzzyMDc yy32上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 例題2.2-333上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12三、等摩爾反方向擴散三、等摩爾反方向擴散 在工程中經(jīng)常遇到另一種典

19、型擴散現(xiàn)象，即兩組分作等摩爾反方向的擴散。當兩個組分的分子汽化潛熱相近時，一摩爾組分A擴散到液體表面且冷凝，其放出的熱量剛好使一摩爾組分B汽化，離開液體表面擴散到氣相進行等摩爾反方向擴散，即 在常溫、常壓下，雙組分系統(tǒng)中摩爾通量 為 ,n An B ,n A, ,An A zABAn An BdcDydz 34上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 將 代入上式得 （2.2-33） 利用邊界條件在 時， 時， 求得 （2.2-34）,n An B ,An A zABdcDdz 1zz1AAcc2zz2AAcc,1221ABn AAADcczz35上一內(nèi)容上一

20、內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 由于 所以 （2.2-35） 式（2.2-34和式（2.2-35）即是穩(wěn)態(tài)的等摩爾反方向擴散方程。 等摩爾反方向擴散過程的濃度分布可從式（2.2-33）代入 方向的傳質(zhì)微分方程式中導得。AAAnpcVRT,1221ABn AAADppRT zz36上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 因為 所以 根據(jù)邊界條件：在 時， ； 時， ， 求得濃度分布為 （2.2-36）,0n Addz220Adcd z1zz1AAcc2zz2AAcc111212AAAAcczzcczz37上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容

21、下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 例題2.2- 4 氣體A和B在容器中進行穩(wěn)態(tài)的等摩爾反方向擴散，擴散的路徑為 ，如圖2-4所示。點1處的分壓力分別為 和 ，點2處的分壓力分別為 和 ，且保持恒定，試推導濃度分布的關系式。 解 對于 和 為常數(shù)，又無化學反應（RA=0），作穩(wěn)態(tài) 的等摩爾反方向擴散滿足拉普拉斯方程cm1Ap1Bp2Ap2BpcABD0Ac20Ac38上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 又僅沿 方向進行擴散，所以 （a） 積分式（a）得 式中 為常數(shù)。再次積分得220Adcdz1Adckdz1k12Ack zk39上一內(nèi)容

22、上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 在z =0處， 。因此， 。 在 ， 和 。 所以，代入上式得 可見在此條件下濃度分布呈線性分布。,1AAcc21Akcz2AAcc211AAcck211AAAAcczcc40上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 例題2.2-5 根據(jù)例題2.2-4的條件，若是氣相A向靜止的氣相B進行擴散。試導出濃度分布的關系式。 解 根據(jù)已知條件得知 方向的擴散為 （a） 由于 ，所以， （b）,0nAzdd z, , , ,An A zABAn A zn B zdycDydz ,0B zN,1ABAn

23、A zAcDdyydz 41上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 將式（b）代入式（a），又令 和 為常數(shù)，則 （c） 積分一次得 式中 為常數(shù)，再次積分得01AAdydydz11AAdykydz1k12ln 1Ayk zk42上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12 在 z=0 處， ， 在 處， ， 求得 和 值，代入上式得 因此， 與 之間不是直線分布。1AAyyz2AAyy1k2k21111lnln11AAAAyyzyyAyz43上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2022-6-12設通過AB面的擴散質(zhì)量為m，則擴散速度為 ，它與濃度梯度和AB截面積A成正比。ddmt 如圖所