thermal6玻爾茲曼分布律

1、第三章第三章 速率和能量的統(tǒng)計分布律速率和能量的統(tǒng)計分布律分子射線束實驗驗證分子射線束實驗驗證Maxwell222()3/22zd()eddd2xyzm vvvkTxyNmvvvNkT 3 / 2222d( )d4()ed2m vkTNmf vvvvNkT 21/22d()()d()ed2xmvxkTxxxN vmf vvvNkT 在多方面的應用在多方面的應用14nv （ ）14nv 氣體從氣體從薄壁薄壁容器很小的小孔中逸出稱為瀉流。容器很小的小孔中逸出稱為瀉流。 處于平衡態(tài)的氣體，在處于平衡態(tài)的氣體，在dt時間內(nèi)，從時間內(nèi)，從A 面積小孔逸面積小孔逸出的分子數(shù)出的分子數(shù)N 1d4NnvA t

2、 只要很短時間只要很短時間dt內(nèi)內(nèi), ,逸出的氣體分子數(shù)與容器中總分子逸出的氣體分子數(shù)與容器中總分子數(shù)相比小得多，則數(shù)相比小得多，則n和平均速率在和平均速率在 t 時刻有確定數(shù)值。時刻有確定數(shù)值。瀉流瀉流14nv 具體求出分子束速率分布。具體求出分子束速率分布。 dt 時間內(nèi)從時間內(nèi)從dA 面積的小孔逸出的分子數(shù)可寫為，面積的小孔逸出的分子數(shù)可寫為，011dd( )ddd44Nnv Atnvf vvAt 其中速率為其中速率為v 到到v +dv 范圍內(nèi)的分子數(shù)是范圍內(nèi)的分子數(shù)是14()dddnvfvAtv dvN1d( )ddd4vNnvf vvAt d( )dvNF vvN ( )dvf vv

3、v 44( )d ddddnvf vv A tnv A t 1d4NnvA t 利用氣體分子平均速率公式，分子束速率分布利用氣體分子平均速率公式，分子束速率分布F(v)dv可表示為可表示為22322( )dd2()m vkTmF vvevvkT 23/ 232( )d4 ()d82mvkTmmF vvevvkTkT ( )dF vv ( )dvf vvv 2948 kTkTvvmm 束束束束22322( )dd2()m vkTmF vvevvkT （ ） 若令沿金屬表面法向向外的方向定若令沿金屬表面法向向外的方向定為為x正方向，則正方向，則只有只有速度分量速度分量vx為正，且為正，且滿足滿足v

4、xvxmin條件的自由電子條件的自由電子“碰碰”到金屬表面上時才能逸出金屬表面。到金屬表面上時才能逸出金屬表面。 其中其中vxmin 與脫出功與脫出功W 之間有如下關(guān)系之間有如下關(guān)系 2/)(2minxevmW 金屬表面的金屬表面的自由電子受到自由電子受到晶格離子的吸引力晶格離子的吸引力 熱電子發(fā)射強度熱電子發(fā)射強度Je。 若設金屬自由電子數(shù)密度為若設金屬自由電子數(shù)密度為n，則在，則在 dt 時間內(nèi)碰撞時間內(nèi)碰撞在在 dA 面積上的所有速度分量在面積上的所有速度分量在 vx 到到 vx + dvx 范圍內(nèi)范圍內(nèi)而而vy vz 為任意的分子數(shù)為為任意的分子數(shù)為d()()dd dxxxxNvnf

5、vvvt A min()dxexxxvJnf vvv d()xN v假定金屬中自由電子遵從麥克斯韋分布假定金屬中自由電子遵從麥克斯韋分布,可以得到可以得到min()dxexxxvJnf vvv 1/2()e2WkTekTJnm 李查遜李查遜( (Richardson）公式。）公式。21/22()()e2xmvkTxmf vkT 1/2()e2WkTekTJnm min 2()2exm vW 在離地球中心距離為在離地球中心距離為 h 的高層大氣中，必有某的高層大氣中，必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的最小速率逃逸的最小速率vmin, 2m

6、in12EGM mmvh 2minEGMvh （ ）+500km 以上的以上的， 這稱為地球大氣逃逸。這稱為地球大氣逃逸。2minEGMvh 上世紀上世紀70年代初美國太陽神年代初美國太陽神16號宇宙飛船登上月球表號宇宙飛船登上月球表面時拍攝的照片。面時拍攝的照片?？梢钥匆娍梢钥匆? ,雖然陽光很強雖然陽光很強, ,但是天空是黑色的但是天空是黑色的? ?原始月球也有大氣，但由于月球表面的重力加速度僅原始月球也有大氣，但由于月球表面的重力加速度僅為地球表面的為地球表面的1/6。 月球表面氣體分子的最小逸出速率僅為地球表面最小逸月球表面氣體分子的最小逸出速率僅為地球表面最小逸出速率的出速率的0.4

7、倍。倍。 因此在月球大氣分子因此在月球大氣分子中能逸出月球吸引力范圍中能逸出月球吸引力范圍的概率較地球大氣大得多。的概率較地球大氣大得多。月球最小月球最小逸出速率逸出速率地球最小地球最小逸出速率逸出速率2minmoonGMvR 。其表面大氣壓強僅。其表面大氣壓強僅310-10 Pa。故，雖然陽光很強故，雖然陽光很強, ,但是天空是黑色的。但是天空是黑色的。從太陽的高層大氣中逃逸出來的粒子流稱為太陽風。從太陽的高層大氣中逃逸出來的粒子流稱為太陽風。 氫原子核（質(zhì)子）為主的粒子流，其平均速率為氫原子核（質(zhì)子）為主的粒子流，其平均速率為400kms-1（在太陽活動期可高達（在太陽活動期可高達1000

8、 kms-1) )，這就是，這就是宇宙射線。宇宙射線。它對生物會產(chǎn)生巨大損害。它對生物會產(chǎn)生巨大損害。太陽風（質(zhì)子流，即電流）產(chǎn)太陽風（質(zhì)子流，即電流）產(chǎn)生的磁場和地球磁場相互作用生的磁場和地球磁場相互作用把地球磁場壓縮成為地球磁層。把地球磁場壓縮成為地球磁層。地球磁層能夠把太陽風抵擋在地球磁層能夠把太陽風抵擋在地球外面。使得地球上的生物地球外面。使得地球上的生物避免受到宇宙射線的危害。避免受到宇宙射線的危害。（ ）Maxwell分布律中分布律中e 指數(shù)項指數(shù)項 22m vkTe kTke 221mvk 221vmk k Te 第三章第三章分子射線束實驗驗證分子射線束實驗驗證Maxwellpk

9、 dvvv drrr dddxxxyyyzzzvvvvvvvvv dddxxxyyyzzz 3/20d()edddddd2kpkTxyzmNnvvvxyzkT 0n Ludwig Boltzman（1844-1906），），Stefan(斯忒藩斯忒藩)的學生和助手的學生和助手1876年任維也納物理研究所所長年任維也納物理研究所所長 在玻爾茲曼假設基礎(chǔ)上建立了分在玻爾茲曼假設基礎(chǔ)上建立了分子按能量的分布律子按能量的分布律kTe 玻爾茲曼因子玻爾茲曼因子3/20d()edddd d d2kpkTxyzmNnvvvx y zkT drrr dddxxxyyyzzz 0dedddpkTNnxyz 3/

10、20ded d d()eddd2pkkTkTxyzmNnx y zvvvkT 0dedddpkTNnxyz ddddVxyz 0dedpkTNnV kTpnzyxn e),(0p nkTpnn e0 對于處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分對于處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多粒子，一般都可應用玻耳茲曼分布，只要粒子，一般都可應用玻耳茲曼分布，只要粒子之間相互作用很小而可忽略粒子之間相互作用很小而可忽略. .kTpnn e03 / 20()e2kpkTxyzmdNndv dv dvdxdydzkT kTmgznn e0mgzp nz n

11、m nT nz0n1T2TkTpnn e0四四. . 等溫等溫壓強公式壓強公式.ginkTp kTmgznn e00m gzkTn e kTmgzep 00MgzRTp e pkT kTmgzepp 00MgzRTpp e kTRTHmgMg 0MgzRTpp e 0lnpzHp 0zHp e 第三章第三章分子射線束實驗驗證分子射線束實驗驗證Maxwell222()3/22zd()eddd2xyzm vvvkTxyNmvvvNkT 3/20zd()edddddd2kpkTxymNnvvvxyzkT 0epkTnn 3/2222d( )4()d2m vkTNmf v dvevvNkT 222()

12、3/22zd()eddd2xyzm vvvkTxyNmvvvNkT 212tmv 212tmv 3/20zd()edddddd2kpkTxymNnvvvxyzkT 32tkT 熱容量熱容量質(zhì)點質(zhì)點 x、y、z 質(zhì)心平動自由度質(zhì)心平動自由度 t=3 （x、y、z 三個獨立坐標）三個獨立坐標） 轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度 1 1 （ 一個獨立坐標）一個獨立坐標） f=t+r=6轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動r =3 質(zhì)心軸位置質(zhì)心軸位置 2 （二個獨立坐標）二個獨立坐標）f=t=3剛體剛體 f = =？能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理例如：例如：氫氣（氫氣（H2）在高溫下兩氫原子之間就有振）在高溫下兩氫原子之間就有振

13、動，氯氣（動，氯氣（Cl2）在常溫下便有振動。這時可以看）在常溫下便有振動。這時可以看作由兩質(zhì)點組成的彈性諧振子。作由兩質(zhì)點組成的彈性諧振子。 對雙原子分子對雙原子分子-6個自由度個自由度r=2 s=1對多原子系統(tǒng)（對多原子系統(tǒng)（n 3）3個平動自由度（個平動自由度（t=3）3個轉(zhuǎn)動自由度（個轉(zhuǎn)動自由度（r=3）（3n-6）個振動自由度（）個振動自由度（s）3n個自由度個自由度 3 tf2 r3 t5 rtf2 r3 t1 s6 srtf3n3 r3 t63 ns熱容量熱容量kTt23 212mv 222zyxvvv kTkT212331 213v 21 1()3 2mv222111222xy

14、zm vm vm v kTt23 kTvmvmvmzyx21212121222 kT23kT21kT212kTrr 2kTss kT213 tf2kTfk kTkTt232 523 rtf2kTfk kTkTrt252)( 6123 srtf2kTfk kTkTsrt262)( 熱容量熱容量kT21()22kkTkTftrs 2skkTs 2kTssp 22kTs 2)2(kTsrt 二二. . 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理3 tf23kTk 523 rtfk kTkTrt252)( 6123 srtfkspkTkTsrt272)2( (2 )2 =2kTtrsikT 依靠分子依靠

15、分子間的大量的無規(guī)碰撞間的大量的無規(guī)碰撞通過分子通過分子間很強的相互作間很強的相互作氣體分子是如何通過頻繁碰撞而發(fā)生不同粒子間、不同自氣體分子是如何通過頻繁碰撞而發(fā)生不同粒子間、不同自由度間能量的轉(zhuǎn)移的由度間能量的轉(zhuǎn)移的. . 一個非對心碰撞的例。一個非對心碰撞的例。熱容量熱容量AmUNM A(2 )2mkTNtrsM1(2 )2mtrs RTM(2 )2 =2kTtrsikT 1(2 )2mUtrs RTM1(2 )2mUtrs RT32mURT 52mURT 72mURT 熱容量熱容量熱容量熱容量Qcm T 11(J KgK )Cc m1(J K ) )(Tcc Cc M11(J Kmol

16、 ),p mC,V mCQ0limTQCT QT CddQT Qdu 0,dlimdV mTQuCTT ,ddV muCT 1(2 )2utrs RT,1(2 )2V mCtrs R ,32V mCR ,52V mCR ,72V mCR 119872. 1 KmolcalR,3V mC ,5V mC ,7V mC 熱容量熱容量單原子氣體單原子氣體 He單原子單原子N單原子單原子O 2.982.9793.286雙原子氣體雙原子氣體 H2 O2N2 CO4.849 5.0964.9684.970在在0時幾種氣體的實驗值時幾種氣體的實驗值,3V mC 5V ,mC 剛剛性性H2O2N2CO 0 4.

17、849 5.006 4.968 4.970 200 4.9985.053 5.0954005.035 5.838 5.317 5.412 600 5.130 6.183 5.638 5.753800 5.292 6.422 5.920 6.033 ,5V mC ,7V mC 在不同溫度時雙原子氣體在不同溫度時雙原子氣體 H2 的的 反常行為反常行為氫氣定體熱容反常和氫氣定體熱容反常和自由度凍結(jié)自由度凍結(jié)假說假說: :其解釋是氣體分其解釋是氣體分子的子的自由度會發(fā)自由度會發(fā)生凍結(jié)和解凍。生凍結(jié)和解凍。并且不是所有分并且不是所有分子同時凍結(jié)和同子同時凍結(jié)和同時解凍。時解凍。轉(zhuǎn)動自由度轉(zhuǎn)動自由度凍結(jié)

18、或解凍凍結(jié)或解凍振動自由度振動自由度解凍解凍H2分子：分子：T102 K， f=3 (平動平動)102 K T 103 K， f =6 (+振動振動) 至于為什么自由度會被至于為什么自由度會被“凍結(jié)凍結(jié)”，為什么，為什么隨溫度升高自由度會逐漸隨溫度升高自由度會逐漸“解凍解凍”，一切經(jīng)典，一切經(jīng)典理論對此都無法解釋理論對此都無法解釋。 這需借助量子理論，其關(guān)鍵是轉(zhuǎn)動動能與振動這需借助量子理論，其關(guān)鍵是轉(zhuǎn)動動能與振動能并不能連續(xù)變化，而是分能級的，即能量是能并不能連續(xù)變化，而是分能級的，即能量是量子化的。量子化的。1(2 )2mUtrs RT,ddmV mUCT 熱容量熱容量 ErU )(22薛定諤 (E.Schrodinger) 18871961 奧地利人創(chuàng)立波動力學理論2222121)(xmkxxU 2 .2 , 1 , 0 n ErU )(22 )21()21( nhnEs2222121)(xmkxxU 0 n1 n 3 10 k ErU )(22 )21()21( nhnEsTk .2 , 1 , 0 l0 n1 nkEr幾幾十十個個 22(1),8 0,1,2.rhEl lIl 3 tf2kTfk kTkTt232 523 rtf2kTfk kTkTrt252)(