《電磁場(chǎng)理論》教案5

1、第五章 準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng) 麥克斯韋方程組描述了時(shí)變電磁場(chǎng)中時(shí)變電場(chǎng)與時(shí)變磁場(chǎng)相互依存又相互制約，并以有限速度在空間傳播，形成電磁波的普遍規(guī)律。此時(shí)，電磁場(chǎng)量的激勵(lì)與響應(yīng)不是同時(shí)發(fā)生的，場(chǎng)量的時(shí)間變量t與空間變量r相關(guān)。但在許多工程問(wèn)題中，尤其在電氣設(shè)備、電力傳輸、生命科學(xué)等領(lǐng)域，時(shí)變電磁場(chǎng)的頻率教低，因而在某些特定的情況下，可以忽略二次源 的作用，使場(chǎng)具有類同靜態(tài)電磁場(chǎng)的特點(diǎn)，這類場(chǎng)被稱之為準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng)。tDtB或5-1電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)與磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng) 準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng)考慮了電磁場(chǎng)隨時(shí)間緩慢變化的規(guī)律，具有靜態(tài)電磁場(chǎng)的某些特征。根據(jù)被忽略的 項(xiàng)，相應(yīng)的準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng)又分為電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)。tDtB或5.1.

2、1電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng) 時(shí)變電場(chǎng)由電荷q(t)和變化的磁場(chǎng) 產(chǎn)生，分別建立對(duì)應(yīng)的庫(kù)侖電場(chǎng)Ec和感應(yīng)電場(chǎng)Ei。在低頻電磁場(chǎng)中，如果感應(yīng)電場(chǎng)Ei遠(yuǎn)小于的庫(kù)侖電場(chǎng)Ec，則可以忽略 的作用，這時(shí)的電場(chǎng)呈現(xiàn)無(wú)旋性tBtB0cicEEEE）（5-1）這樣的電磁場(chǎng)稱為電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)（Electroquasistatic field，簡(jiǎn)記為EQS場(chǎng)）。其微分形式的基本方程組是00BDtDJHE 在EQS近似下，電場(chǎng)的方程與靜電場(chǎng)中對(duì)應(yīng)的方程完全一樣，兩種場(chǎng)的計(jì)算方法相同。與靜電場(chǎng)相仿，電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)也可以用隨時(shí)間變化的電位(t)的負(fù)梯度表示,即)(tE（5-2）（5-3）（5-4）（5-5）同時(shí),可導(dǎo)出電位滿足的泊松方程)(2

3、t 電力傳輸系統(tǒng)中的高壓電場(chǎng)，各種常用電子器件、設(shè)備以及天線近區(qū)的電場(chǎng)等均屬于電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)的工程應(yīng)用實(shí)例。5.1.2磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng) 時(shí)變磁場(chǎng)的激勵(lì)源是傳導(dǎo)電流密度 和位移電流密度 。在低頻電磁場(chǎng)中，如果 ，可以忽略位移電流，磁場(chǎng)按恒定磁場(chǎng)處理，即JtDJdJJdJtDJH（5-6）這樣的電磁場(chǎng)稱為磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)（Magnetoquasistatic field，簡(jiǎn)記為MQS場(chǎng)）。其微分形式的基本方程組是0BDtBEJH 在MQS近似下，磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)具有與恒定磁場(chǎng)類同的有旋無(wú)源性，因此兩種場(chǎng)的計(jì)算方法相同。與恒定磁場(chǎng)相仿，磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)也可以用隨時(shí)間t變化的矢量磁位A(t)的旋度表示，即ABtAE（5-7）（5

4、-8）（5-9）（5-10）（5-11）ABtAE同樣，A(t)滿足矢量泊松方程JA2 除了運(yùn)行于低頻(如工頻)情況下的各類電磁裝置中的磁場(chǎng)問(wèn)題，電工技術(shù)中的渦流問(wèn)題是這類磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)的典型應(yīng)用實(shí)例，它廣泛地伴隨在電機(jī)、變壓器、感應(yīng)加熱裝置、磁懸浮系統(tǒng)、電磁測(cè)量?jī)x表、磁記錄頭和螺線管傳動(dòng)機(jī)構(gòu)等工程問(wèn)題之中。 例例5-1：一平行板電容器如圖所示，極板間距d=0.5cm，電容器填充r=5.4的云母介質(zhì)，極板間外施電壓為Vttu)314cos(2110)(忽略邊緣效應(yīng)，試求極板間的電場(chǎng)與磁場(chǎng)。（5-12）d+u(t)rz 解解：極板間的電場(chǎng)由極板上的電荷q（t）和變化的電磁場(chǎng)產(chǎn)生。在工頻情況下忽略 的

5、影響，極板間的電場(chǎng)近似為EQS場(chǎng)，在圖示設(shè)定的坐標(biāo)系下，仿照靜電場(chǎng)的計(jì)算，得tBmVetmVeteduEzzz/)(314cos(1011. 3/)(314cos(105 . 02110)(42磁場(chǎng)由全電流定律得出，即AlAdtDldH)()()314sin(3141011.32204zzreetHAlAdtDldH故極板間磁場(chǎng)mAeteteHH/)(314sin(1033. 2)()314sin(1085. 84 . 53141011. 3214124 若考慮因變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)，則有tHtBE0)314cos(1033. 231440tEz)/)(314cos(10537. 428m

6、VtEz由此得可見(jiàn)，在工頻時(shí)，由變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)遠(yuǎn)小于庫(kù)侖電場(chǎng)。因此，忽略 的影響是符合工程分析要求的。tB5-2 磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和電路 第二章中曾講過(guò)，由電流連續(xù)性方程可以推導(dǎo)出基爾霍夫第一定律，由（恒定電場(chǎng)中）電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路線積分可以推導(dǎo)出基爾霍夫第二定律?，F(xiàn)在進(jìn)一步說(shuō)明磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)方程是交流電路的理論基礎(chǔ)。 對(duì)于方程式：兩邊取散度JH JH得0J(利用了書(shū)p.335最后一式)相應(yīng)的積分形式是0SSdJ把它應(yīng)用到交流電路的任一節(jié)點(diǎn)上，即得基爾霍夫第一定律：由電路中任一節(jié)點(diǎn)流出的總電流恒等于零，即0i（5-13）（5-14） 考慮磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)中的RLC串聯(lián)電路，如圖5-1所示。由于在MQS近

7、似中傳導(dǎo)電流是連續(xù)的，所以電路中任一時(shí)刻t的電流i(t)處處相等。電路中任一點(diǎn)的傳導(dǎo)電流密度是ABCRL圖5-1Ee)(eEEJEe是電源內(nèi)部的局外場(chǎng)EJEe由tAE得JtAEe沿著導(dǎo)線由A到B積分ldJldldtAldEBABABABAe（5-15）（5-16）（5-17）ldJldldtAldEBABABABAe 由于局外場(chǎng)只存在于電源中，等式左端一項(xiàng)是電源電動(dòng)勢(shì)； 右端第一項(xiàng)忽略電容器極板間的距離近似于閉合積分，而m=lAdl是磁鏈，因而這一項(xiàng)是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。磁鏈又主要集中在電感線圈中，故該項(xiàng)應(yīng)等于Ldi/dt。 右端第二項(xiàng)是標(biāo)位梯度的線積分，積分?jǐn)?shù)值與路徑無(wú)關(guān)，可在電容器內(nèi)部積分，所以這

8、一項(xiàng)等于極板間的瞬時(shí)電壓：idtCCqu1 右端第三項(xiàng)的被積函數(shù)可寫(xiě)為 ，S是電流穿過(guò)的橫截面積。沿線的電流i處處相等，線積分應(yīng)等于包括電源內(nèi)阻Ri，導(dǎo)線電阻r和電阻器電阻R在內(nèi)的總電阻與i的乘積，即i（Ri+r+R）因此有SiJ）（）（RrRiidtCdtdiLti1RCLuuut）（ 例例5-2 用磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)的方法處理同軸電纜內(nèi)的電磁問(wèn)題。書(shū)P.191例5-2,ab圖5-2 解解：如圖所示，假設(shè)同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體是理想導(dǎo)體，電源到負(fù)載的距離遠(yuǎn)小于六分之一波長(zhǎng)，忽略邊緣效應(yīng)，同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度分別是eUabEln（5-18）eIH2式中 是內(nèi)外導(dǎo)體間的復(fù)電壓， 是沿導(dǎo)體流過(guò)的

9、縱向復(fù)電流（相量）。UI 內(nèi)外導(dǎo)體之間的坡印亭矢量是zabeIUHESln22同軸線傳輸?shù)钠骄β蕬?yīng)是坡印亭矢量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的橫截面S上的面積分，即RelnReln2Re2IUdIUdSIUPbaabSab（5-19）RelnReln2Re2IUdIUdSIUPbaabSab可見(jiàn)，用磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)的理論計(jì)算同軸線傳輸功率與應(yīng)用電路理論計(jì)算的結(jié)果一致。5-3 電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)與電荷馳豫 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，自由電荷體密度隨時(shí)間衰減的過(guò)程稱為電荷的馳豫過(guò)程5.3.1電荷在均勻?qū)w中的馳豫過(guò)程 在電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，考慮到J=E和D=E，對(duì)于電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)的微分方程tDJH兩邊取散度0DtEH將ED

10、代入上式得0t（5-20）（5-21）這是一階常微分方程，其解為etezyx/0),(式中0(x,y,z)為t=0時(shí)的電荷分布；e=/（單位為秒）稱為馳豫時(shí)間。一般情況下，良導(dǎo)體的介電常數(shù)0，電導(dǎo)率在107 S/m的數(shù)量級(jí)上，所以e非常小。這表明，在導(dǎo)體內(nèi)部，體電荷很快衰減至零，這個(gè)衰減過(guò)程就是自由電荷的馳豫過(guò)程。所以一般可認(rèn)為良導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)自由電荷積累，電荷馳豫過(guò)程的電磁場(chǎng)可近似認(rèn)為EQS場(chǎng)。E 在EQS近似下，由于 ，因此可引入電位函數(shù)0 E進(jìn)而得到2考慮到 ， 則有 etezyx/0),(（5-22）（5-23）ete/02在同一種導(dǎo)電媒質(zhì)的無(wú)限空間中，其解為eetVtezyxdVeRtz

11、yx/0/0),(4),(dVRzyxV4),(00式中 為t=0時(shí)的電位分布。這個(gè)結(jié)果表明，導(dǎo)體中的電位分布隨時(shí)間也按指數(shù)規(guī)律衰減，其衰減的快慢同樣決定于馳豫時(shí)間。對(duì)于點(diǎn)電荷情況，有 ， 而磁場(chǎng)處處、時(shí)時(shí)均為零。eteRq/04（5-24）（5-25）5.3.2電荷在分片均勻?qū)w中的馳豫過(guò)程 在分片均勻?qū)щ娒劫|(zhì)的分界面上，電場(chǎng)切向分量連續(xù)：2121ttEE電位移矢量的法向分量滿足的關(guān)系：nnnnEEDD112212仍然成立。根據(jù)電荷守恒定律tJtqSdJS或不難導(dǎo)出012tJJnn以J1=1E1，J2=2E2，2E2n1E1n=代入上式，整理得0)()(11221122nnnnEEtEE（5

12、-26）（5-27）（5-28）（5-29）此式表明，在時(shí)變電磁場(chǎng)中，位于導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的全電流密度法向分量連續(xù)。現(xiàn)以雙層有損介質(zhì)的平板電容器為例，通過(guò)求解由上式給出的由電場(chǎng)法向分量對(duì)時(shí)間t的一階微分方程，即可分析在導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上自由電荷的積累過(guò)程。 例例5-3 研究具有雙層有損介質(zhì)的平板電容器接至直流電壓源的過(guò)度過(guò)程，如圖5-3所示。書(shū)p.195例5-42 21 1baSUox圖5-3 解：設(shè)電容器在t0-時(shí)處于零狀態(tài)，極板上沒(méi)有電荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)=0；t0+時(shí)，電容器的端電壓被強(qiáng)制躍變，即u(0+)=U。根據(jù)電容的伏安關(guān)系dtduCi 0)()(1122

13、1122nnnnEEtEE電路中將出現(xiàn)沖激電流，極板上的電荷將發(fā)生躍變。此時(shí)位移電流相對(duì)較大，但因電容器中漏電流很小，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化綠 可以忽略不計(jì)，故電容器中的電磁場(chǎng)可按EQS場(chǎng)分析。tB/ 在EQS場(chǎng)中，t0+時(shí))(21tubEaE再按前述分界面上的邊界條件得0)()(22112211EEdtdEE2 21 1baSUox圖5-3從上兩式中消去E2，則有dtduuEabdtdEab22121121)()(這是關(guān)于E1的一階非齊次微分方程，其通解形式為E1=齊次方程的解E1+穩(wěn)態(tài)解E1”（5-30）（5-31）（5-32）（5-33）將穩(wěn)態(tài)解代入（5-32），并因t時(shí)，uU，du/dt=

14、0，故有2121abUE（5-34）設(shè)E1=Aept，代入與式（5-32）對(duì)應(yīng)的齊次微分方程0)()(121121EabdtdEab0)()(2121ptptAeabdtdAeab0)()(2121ptptAeababAep得特征根eababp12121e為馳豫時(shí)間2121ababe（5-35）綜合以上結(jié)果（5-32）式的一般解是2121abUAeEetUabE2121)0(（5-36）為了得到E1的初始條件，將式（5-32）兩邊對(duì)時(shí)間t積分，取積分區(qū)間為0-0+，可得dudtudtEabdEab0020020012110021)()(由于E1(0-)=0，u(0-)=0，（b1+a2）E1與

15、2u為有限值，所以（5-37）這樣，由式（5-36），當(dāng)t=0+時(shí)可解得待定常數(shù)212212abUabUA因此，開(kāi)關(guān)閉合后，E1的過(guò)渡過(guò)程為eetteabUeabUE2122121)1 (（5-38）（5-37）將上式代入（5-30），即得eetteabUeabUE2112112)1 (所以，分界面上的自由電荷面密度為)1 (2112212211eteUabEE（5-38） 由此可見(jiàn)，開(kāi)始充電時(shí)，分界面上=0。隨著時(shí)間t增加，分界面上的面電荷逐漸積累，直至電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，=常數(shù)。 以上結(jié)論可以推廣到一般情況，即當(dāng)對(duì)多導(dǎo)體區(qū)域充電時(shí)，在不同導(dǎo)電媒質(zhì)的交界面上會(huì)產(chǎn)生自由面電荷的分布。由式（5-38

16、）可見(jiàn)，只有當(dāng)相鄰媒質(zhì)滿足21=12的條件時(shí)，交界面上面電荷=0，即不會(huì)有自由面電荷的積累。5-4集膚效應(yīng) 將導(dǎo)電媒質(zhì)放置在變化的磁場(chǎng)中，或在導(dǎo)電媒質(zhì)中通以交變電流時(shí)，由于交變磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)的作用，將使場(chǎng)量在導(dǎo)體表面分布密集，且沿其縱深方向衰減，呈現(xiàn)所謂集膚效應(yīng)。本節(jié)討論在交變情況下導(dǎo)體中電流的流動(dòng)及其電磁場(chǎng)的分布特性。5.4.1 E、H和J的微分方程 在MQS近似中，設(shè)相對(duì)于傳導(dǎo)電流可以忽略不計(jì)位移電流的影響，此時(shí)電磁場(chǎng)滿足方程組0BDtBEJH（5-7）（5-8）（5-9）（5-10） 將式（5-7）兩邊取旋度，并運(yùn)用恒等式FFF2)(將左邊展開(kāi)，得JHHH2)(再利用HBEJ，得：E

17、HB2)(1將（5-8）和（5-10）代入tHtBEH)(2tHH2即同理，可得tEE2（5-39）（5-40）式（5-40）推導(dǎo)過(guò)程：對(duì)（5-8）式兩邊取旋度tEHttHE)(運(yùn)用恒等式FFF2)(0ED及（良導(dǎo)體內(nèi)無(wú)自由電荷積累）EEEE22)(tEE2所以此式兩邊同乘以電導(dǎo)率，并考慮到J=E，得tJJ2（5-41）5.4.2集膚效應(yīng) 從能量的觀點(diǎn)很容易理解產(chǎn)生集膚效應(yīng)的原因。由于導(dǎo)體的電導(dǎo)率，即電阻率0，所以其中有能量損耗，即有一部分電磁能轉(zhuǎn)變成熱能。因此，當(dāng)電磁波進(jìn)入導(dǎo)體內(nèi)部時(shí)，隨著與表面距離的增大，能量逐漸減少，從而引起電磁能量的逐漸減弱。對(duì)平板來(lái)說(shuō)，場(chǎng)量按指數(shù)規(guī)律下降；對(duì)圓柱體來(lái)說(shuō)

18、，衰減的規(guī)律比較復(fù)雜；若頻率很高，電磁波透入導(dǎo)體的深度較圓柱體的曲率半徑小得多時(shí)，則可把圓柱體近似地看成平板，因而它內(nèi)部的電磁場(chǎng)量隨距離的變化，也可看成是按指數(shù)規(guī)律衰減的。 集膚效應(yīng)是由場(chǎng)量在導(dǎo)體內(nèi)部的衰減形成的，而場(chǎng)量在導(dǎo)體內(nèi)的衰減快慢又可用導(dǎo)體的透入深度d表示，因此，集膚效應(yīng)和透入深度之間有著密切的關(guān)系。 設(shè)在如圖5-4所示的半無(wú)限大導(dǎo)體（x0）中，正弦電流i沿y軸方向流動(dòng)，電流密度J只有y分量并在yoz平面上處處相等，即yyeJJ而且只是x的函數(shù)，所以方程（5-41）簡(jiǎn)化后的復(fù)數(shù)形式為（5-42）yyJjdxJd22,xyz圖5-4令： k2=j（5-44）（5-43）則上述二階常微分方

19、程的一般解是kxkxyeCeCJ21由于在x=+處電流密度為有限值，故應(yīng)取C2=0，并假設(shè)x=0時(shí)， ，則0JJ （5-45）xjxyeeJJ0式中)1 (2jjk電場(chǎng)強(qiáng)度的解為xjxxjxyyeeEeeJJE00（5-46）（5-47）（5-48）由式（5-8）可求得磁場(chǎng)強(qiáng)度的解為xjxzeeEjkH0（5-49）由以上各式可見(jiàn)，電流密度、電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的振幅沿導(dǎo)體的縱深都按指數(shù)規(guī)律ex衰減，相位也隨之改變。這說(shuō)明，當(dāng)交變電流流過(guò)導(dǎo)體時(shí)，靠近導(dǎo)體表面處電流密度大，愈深入導(dǎo)體內(nèi)部，它們愈小。當(dāng)頻率很高時(shí)，它們幾乎只在導(dǎo)體表面附近一薄層中存在，這種場(chǎng)量主要集中在導(dǎo)體表面附近的現(xiàn)象，稱為肌膚效

20、應(yīng)。 透入深度定義為場(chǎng)量振幅衰減到表面值的1/e時(shí)所經(jīng)過(guò)的距離由1eed得21d（5-50）這個(gè)結(jié)果表明,頻率越高,導(dǎo)電性能越好的導(dǎo)體,集膚效應(yīng)越顯著。下表是不同條件下，幾種導(dǎo)體中的透入深度。媒質(zhì) d（mm）f（Hz）銅鐵海水干燥土壤=5.8107西/米=102西/米=1西/米=107西/米=0=0=10000=05050104501099.350.0940.31030.7120.0071271.21030.7121037121037.121032.251052.2522 . 5關(guān)于透入深度，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：書(shū)上說(shuō)0.66m關(guān)于透入深度，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)： （1）透入深度d僅表示場(chǎng)強(qiáng)或電流密

21、度在該處已衰減到表面值的1/e，而在大于d的區(qū)域內(nèi)，場(chǎng)強(qiáng)和電流密度繼續(xù)衰減，但并不等于零。d愈小，表示電磁波衰減得愈快。 （2）投入深度與電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率及頻率的平方根成反比，所以、和值愈大，d愈小。從物理意義來(lái)看。、愈大，感應(yīng)電勢(shì)就愈大；而愈大，引起的感應(yīng)電流就愈大，從而消耗的功率愈大。所以電磁波不易深入到導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域。 （3）嚴(yán)格地講，式(5-50)只適用于表面積很大的平面導(dǎo)體。但只要計(jì)算出來(lái)的d值比表面的曲率半徑小得多，也可推廣應(yīng)用于其它形狀的導(dǎo)體。5-5渦流及其損耗5.5.1渦流的概念 位于交變磁場(chǎng)中的導(dǎo)體，在其內(nèi)部將產(chǎn)生與磁場(chǎng)交鏈的感應(yīng)電流，由于感應(yīng)電流自成閉合回路，稱為渦流。渦流具有

22、與傳導(dǎo)電流相同的熱效應(yīng)和磁效應(yīng)，在大多數(shù)電器設(shè)備中，力求減小渦流及其損耗，但同時(shí)，渦流也有廣泛的工業(yè)應(yīng)用，例如：感應(yīng)加熱、無(wú)損檢測(cè)、金屬淬火等。因此，研究渦流問(wèn)題具有重要的實(shí)際意義。 在MQS近似下，渦流問(wèn)題中的電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H和電流密度J同樣遵守上一節(jié)導(dǎo)出的微分方程：tHH2tEE2（5-39）（5-40）tJJ2（5-41）所以，通常也將這些方程稱為渦流方程，或磁擴(kuò)散方程。它們是研究渦流問(wèn)題的基礎(chǔ)。5.5.2薄導(dǎo)電平板中的渦流Il圖5-5 工頻、音頻(30Hz3KHz)變壓器和交流電器的鐵心通常均由相互絕緣的薄鋼片疊成，以減少渦流損耗，如圖5-5所示。以鐵心中一薄鋼片為例（如圖5-6

23、所示），為了分析其中的電磁場(chǎng)分布，假設(shè)： (1)由于ha，la，故鋼片截面內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度沿z軸方向，且是（x，t）的函數(shù)，與y和z無(wú)關(guān)； (2)由于外磁場(chǎng)B沿z方向，故薄片中的渦流無(wú)z分量，在平面內(nèi)呈閉合路徑，現(xiàn)忽略感應(yīng)電場(chǎng)沿x方向的分量（y方向兩端的邊緣效應(yīng)），則歸結(jié)為E和J僅有y分量Ey（x，t）和Jy（x，t）。BzahBhaoxyz圖5-6 設(shè)磁場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化，且對(duì)y軸呈對(duì)稱分布。忽略位移電流，鐵心疊片中的渦流場(chǎng)可近似為MQS場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足一維擴(kuò)散方程，即zzzHkHjdxHdtHH2222（5-51）通解為kxkxzeCeCH21（5-52）根據(jù)磁場(chǎng)的對(duì)稱性22aHaHzz顯然，

24、C1=C2=C/2，采用雙曲函數(shù)可表示為)()(0kxchBkxchCHz)(0kxchBBz式中 是x=0處的場(chǎng)強(qiáng)。0B由 和 ，有：EBEJ)(0kxshkBEy)(0kxshkBJy（5-56）（5-55）（5-54）（5-53） 和 的模值分別為參閱馮慈璋電磁場(chǎng)（第二版）p.256zByJ)2cos()2cosh(210KxKxBBz)2cos()2cosh(210KxKxJJyy（5-58）（5-57）式中 。Bz，Jy隨x的變化曲線如圖5-7所示。2K書(shū)p.202 圖5-7表示Bz和Jy在某一頻率下的空間分布，可以看出，在薄片的中心出現(xiàn)B的極小值，這是渦流的去磁效應(yīng)形成的，考慮到電

25、流的流向在薄板的兩邊是相反的，所以電流密度的分布對(duì)稱于原點(diǎn)。由圖5-7還可以看出，在導(dǎo)體內(nèi)部，電場(chǎng)及磁場(chǎng)的分布并不均勻，愈深入導(dǎo)體內(nèi)部，場(chǎng)量愈小。也就是說(shuō)，場(chǎng)的分布比較集中在導(dǎo)體表面附近，正是集膚效應(yīng)的體現(xiàn)。aBB0oxJ11876543212345602Kx0BB圖5-711876543212345602Kx0BB 應(yīng)用B/B0對(duì)2Kx的關(guān)系曲線可以說(shuō)明一些實(shí)際問(wèn)題。對(duì)電工鋼片來(lái)說(shuō)，一般=10000，=107S/m，a=0.5mm。設(shè)f=50Hz，則，mmd715.027 .0da ，集膚效應(yīng)不顯著，可認(rèn)為B還是沿截面均勻分布的。但當(dāng)工作頻率為f=2000zH時(shí)， ，其表面的磁通密度已達(dá)到其

26、中間部分量值的4.5倍?？梢?jiàn)在4 .4da音頻時(shí)，已不適宜采用厚度為0.5mm的鋼片了，而應(yīng)代之以0.050.1mm的鋼片。在無(wú)線電頻率時(shí)，即使鋼片再薄，磁通沿鋼片厚度的分布還是極不均勻，必須考慮集膚效應(yīng)的影響。 下面計(jì)算鋼片中的渦流損耗。在體積V中消耗的平均功率為dVJPyV21當(dāng)頻率較低，即a/d較小時(shí)，經(jīng)計(jì)算得：VBaPzav222121（5-60）（5-59）式中Bzav是有效值的平均值，V是鋼片的體積。由此可見(jiàn)，鋼片的電導(dǎo)率及其厚度a愈大，損耗愈大。所以交流電器的鐵心都由彼此絕緣的硅鋼片組成。鋼片間的絕緣從電的角度看，相當(dāng)于使整塊鐵心變薄，而材料中加硅是為了增加材料的電阻率即減小其電

27、導(dǎo)率。此外，損耗隨頻率而增加，當(dāng)頻率高到一定程度以后，采用薄板形式就不適宜了，而應(yīng)采用由粉狀材料壓制而成的鐵心。5-6導(dǎo)體的交流內(nèi)阻抗 導(dǎo)電媒質(zhì)中時(shí)變電磁場(chǎng)的分布不同于恒定場(chǎng)的分布，因此，相應(yīng)的等效電路的參數(shù)值也不同。在正弦時(shí)變場(chǎng)的情況下，可通過(guò)復(fù)數(shù)形式的坡印亭向量的面積分計(jì)算導(dǎo)體的交流內(nèi)阻抗。)(2*jXRIIZI 設(shè)導(dǎo)體中通有總電流 ，它的等效交流電路參數(shù)為Z=R+Jx，則該導(dǎo)體消耗的復(fù)功率為I流入該導(dǎo)體的復(fù)功率，也使坡印亭向量的面積分dSHES)(*因此，得導(dǎo)體的等效交流電路參數(shù)的計(jì)算公式為2*)(IdSHEZS（5-61）2*)(IdSHEZS式中S為導(dǎo)體的表面，Z稱為等效交流阻抗，由

28、于交流阻抗只計(jì)算了導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)引起的阻抗，故稱Z為導(dǎo)體的交流內(nèi)阻抗。 例例 5-4 有一半無(wú)限大導(dǎo)體，如圖5-8所示。試求圖示斜線柱體體積（底面面積為ha）的交流內(nèi)阻抗。書(shū)p.204例5-5yEzHSIxyahz圖5-8 解解：導(dǎo)體位于x0的半無(wú)限大空間，其中電流、電場(chǎng)和磁場(chǎng)沿x方向的分布在5-4節(jié)中得到kxyeEJ0kxyeEE0kxzeEjkH0yEzHSIxyahz圖5-8流過(guò)寬度為a、在x方向無(wú)限深的截面上的總電流是kEadxeEadSJIkxSy000由圖可見(jiàn)，坡印亭向量沿x軸正向，并且其通量只在導(dǎo)體上底面（x=0處）才不為零。因此有20*2*)()(IahHEISdHEjXRZx

29、zyS20*2*)()(IahHEISdHEjXRZxzyS)1 (2jjk32200220kahjkEaeEjkahxkxk2=j)1()1(2)1(2)(2jdahjahjjahj故dahRdahXLi和（5-62）由此可見(jiàn)，隨著頻率的增大，該系統(tǒng)中的交流電阻也隨著增大，但內(nèi)阻卻減少。同時(shí)，這一結(jié)論還可用來(lái)說(shuō)明透入深度d的另一涵義，即當(dāng)交流電阻相當(dāng)于直流電流集中在某一范圍內(nèi)的直流電阻時(shí)，該范圍的長(zhǎng)度（縱深方向）便是透入深度。 例例5-5 求半徑為a的圓截面導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的交流電阻。假設(shè)半徑a遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于透入深度d。書(shū)p.205例5-6 解解：由于ad，所以可把導(dǎo)線看成是厚度無(wú)限大、寬度為導(dǎo)線截面周長(zhǎng)2a的平面導(dǎo)體，因此，圓導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的交流電阻是addaR21這相當(dāng)于厚度為d（da）的圓管導(dǎo)體的直流電阻.圓導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的直流電阻是2ahRd同一根圓導(dǎo)線的交流電阻與直流電阻的比值是daRRd2例如，當(dāng)a=2103 m，f=3108Hz，=5.8107S/m時(shí)，2.26dRR這說(shuō)明同一根導(dǎo)線的交流電阻比直流電阻大得多