第2章_矩量法

1、矩矩 量量 法法 矩量法 根據(jù)線性空間的理論，根據(jù)線性空間的理論，N個線性方程的聯(lián)立方程組、微個線性方程的聯(lián)立方程組、微分方程、差分方程、積分方程都屬于希爾伯特空間中的算分方程、差分方程、積分方程都屬于希爾伯特空間中的算子方程，這類算子可化為矩陣方程求解。子方程，這類算子可化為矩陣方程求解。設有算子方程：設有算子方程：( )L fg=式中式中L為算子，可以是微分方程、差分方程或積分方程；為算子，可以是微分方程、差分方程或積分方程；g是已知函數(shù)如激勵源；是已知函數(shù)如激勵源；f為未知函數(shù)如電流。為未知函數(shù)如電流。2.1 矩量法原理矩量法原理假定上述方程的解存在且是唯一的，則有逆算子假定上述方程的解

2、存在且是唯一的，則有逆算子 的的存在，使存在，使 成立。成立。 互為逆算子?；槟嫠阕?。 1L)(1gLf1LL與 算子算子L的定義域為算子作用于其上的函數(shù)的定義域為算子作用于其上的函數(shù)f的集合。算的集合。算子子L的值域為算子在其定義域上運算而得的函數(shù)的值域為算子在其定義域上運算而得的函數(shù)g的集合。的集合。 矩量法 內(nèi)積：在希爾伯特空間內(nèi)積：在希爾伯特空間H中兩個元素中兩個元素f和和g的內(nèi)積的內(nèi)積是一個標量（實數(shù)或復數(shù)），記為，內(nèi)積的運算滿足是一個標量（實數(shù)或復數(shù)），記為，內(nèi)積的運算滿足下面的關系：下面的關系： 212*(1),(2)1,(3),00,00f gg faL fa g haf h

3、ag hf fff ff 若若對于所有算子對于所有算子L定義域中的定義域中的f，若有下面的關系成立，若有下面的關系成立 ：gLfgLfa,則則 稱為稱為L的伴隨算子。若，則的伴隨算子。若，則L叫做自伴算子。且有：叫做自伴算子。且有： aLLgfgLf,矩量法矩量法矩量法 假設有一算子方程為第一類假設有一算子方程為第一類Fredholm積分方程：積分方程： )() () ,(zgdzzfzzGba式中式中 為核，為核， 為已知函數(shù)，為已知函數(shù)， 為未知函數(shù)。為未知函數(shù)。 ) ,(zzG) (zf)(zg矩量法Nnnnzfazf1) () (首先用線性的獨立的函數(shù)來近似表示未知函數(shù)首先用線性的獨立

4、的函數(shù)來近似表示未知函數(shù)由于是用近似式表示，故有誤差，為：由于是用近似式表示，故有誤差，為： 其中其中 為待定系數(shù)（可為復數(shù)），為待定系數(shù)（可為復數(shù)）， 為算子域內(nèi)為算子域內(nèi)的基函數(shù)，的基函數(shù)，N為正整數(shù)。代入上式并整理得：為正整數(shù)。代入上式并整理得：na) (zfn)()(1zgzfLaNnnn)()()(1zgzfLazNnnn稱為殘數(shù)稱為殘數(shù)矩量法 現(xiàn)選取檢驗函數(shù)現(xiàn)選取檢驗函數(shù) ，將上表示式兩端與檢驗函，將上表示式兩端與檢驗函數(shù)求內(nèi)積：數(shù)求內(nèi)積： mw)(,)(,)(,1zgwzfLwazwmNnnmnm若令殘數(shù)矢量對檢驗函數(shù)的內(nèi)積為零：若令殘數(shù)矢量對檢驗函數(shù)的內(nèi)積為零： 0)(,zwm

5、這就意味著這就意味著 正交。隨著正交。隨著N的增加，誤差也趨于最小。的增加，誤差也趨于最小。矩量法是一種使誤差化為最小的方法。矩量法是一種使誤差化為最小的方法。 與mw矩量法內(nèi)積，則可寫出下列矩陣方程：內(nèi)積，則可寫出下列矩陣方程： I ZV= =式中式中 , ( ),mnmnmmmmZwL fzVWgIa= = = = = = 求解上矩陣方程。求解上矩陣方程。 矩量法對于電磁場問題，算子方程：對于電磁場問題，算子方程： iopEJL)(1.設基函數(shù)為設基函數(shù)為Jn (n=1,2,N)，則有：，則有： nnnJIJ基函數(shù)有全域基和子域基?；瘮?shù)有全域基和子域基。 3.代入第一式，并利用其線性特性

6、：代入第一式，并利用其線性特性： 2.權函數(shù)為權函數(shù)為Wm（m=1,2,N）；）； inopnnEJLI 用權函數(shù)對上式兩邊取內(nèi)積（內(nèi)積為兩矢量的用權函數(shù)對上式兩邊取內(nèi)積（內(nèi)積為兩矢量的點積在表面積分所得到的標量）：點積在表面積分所得到的標量）： imnopmnnEWJLWI,矩量法4.矩陣方程為：矩陣方程為： VIZ NopNopNopNNopopopNopopopJLWJLWJLWJLWJLWJLWJLWJLWJLW,212221212111Z NIIII21 iNiiEWEWEWV,21廣義阻廣義阻抗矩陣抗矩陣 廣義電流廣義電流 廣義電壓廣義電壓 用求逆方法求解，可利用用求逆方法求解，可

7、利用Z的對稱性，以節(jié)省計算時間：的對稱性，以節(jié)省計算時間： VZI1矩量法2.2 基函數(shù)與檢驗函數(shù)的選擇基函數(shù)與檢驗函數(shù)的選擇 1基函數(shù)：基函數(shù)： 對于給定問題，選取的基函數(shù)越接近實際解，則方對于給定問題，選取的基函數(shù)越接近實際解，則方程組的要求越簡單，計算量越小，收斂越快。程組的要求越簡單，計算量越小，收斂越快。 在天線問題中，在天線問題中，基函數(shù)基函數(shù)Jn越接近于輻射體上的實際越接近于輻射體上的實際電流分布，那么方程組的收斂性越好，計算量越少，而電流分布，那么方程組的收斂性越好，計算量越少，而且在某些條件下，阻抗矩陣的條件且在某些條件下，阻抗矩陣的條件(穩(wěn)定性穩(wěn)定性)就越好就越好。 基函數(shù)

8、的選擇對阻抗矩陣的穩(wěn)定性有顯著的影響?；瘮?shù)的選擇對阻抗矩陣的穩(wěn)定性有顯著的影響。 基函數(shù)有兩大類：基函數(shù)有兩大類：第一類是第一類是全域基函數(shù)全域基函數(shù)(整域基函數(shù)整域基函數(shù))，即在整個定義域內(nèi)，即在整個定義域內(nèi)定義基函數(shù)。定義基函數(shù)。第二類是第二類是子域基函數(shù)子域基函數(shù)(分域基函數(shù)分域基函數(shù))，它在定義域內(nèi)的一，它在定義域內(nèi)的一部分定義，而在其它部分定義域內(nèi)為零。部分定義，而在其它部分定義域內(nèi)為零。 矩量法1) 全域基函數(shù)全域基函數(shù) 在在J所及的整個定義域內(nèi)定義并為非零的基函所及的整個定義域內(nèi)定義并為非零的基函數(shù)數(shù)Jn，則，則J為全域基函數(shù)為全域基函數(shù) 1nnnJIJ式中式中In 是待定系數(shù)

9、。是待定系數(shù)。優(yōu)點：收斂快。優(yōu)點：收斂快。缺點：未知函數(shù)的特性往往事先并不了解或很難用一缺點：未知函數(shù)的特性往往事先并不了解或很難用一個函數(shù)在全域上描述它，因此無法選擇合適的個函數(shù)在全域上描述它，因此無法選擇合適的全域基函數(shù)。有時即使找到了合適的全域基函全域基函數(shù)。有時即使找到了合適的全域基函數(shù)，由于算子本身很復雜，同時求內(nèi)積運算會數(shù)，由于算子本身很復雜，同時求內(nèi)積運算會使積分變得更復雜，大大的增加了計算量。使積分變得更復雜，大大的增加了計算量。 矩量法常見的全域基函數(shù)有：常見的全域基函數(shù)有： 付里葉級數(shù)：付里葉級數(shù)： 2/5cos2/3cos2/cos212cos3211xIxIxIxnIz

10、Inn冪級數(shù)冪級數(shù) ： 43221112xIxIIxIzINnnn切比雪夫：切比雪夫： xTIxTIxTIxTIzINnNN432201112勒讓德：勒讓德： xTPxTPxPIxPIzInnn432201112多項式：多項式： niinzIzI11對稱振子的電流分布接近正弦分布：對稱振子的電流分布接近正弦分布： NnnzLnkIzI12sin矩量法2) 子域基函數(shù)子域基函數(shù) 在在J所及的域內(nèi)存在但在該域的部分地方為零所及的域內(nèi)存在但在該域的部分地方為零的基函數(shù)的基函數(shù)Jn，則，則J為子域基函數(shù)為子域基函數(shù) 在其它地方以內(nèi)時在當0)(iizzIfzJ此方法適合于分段處理此方法適合于分段處理 ，

11、即用，即用N個線段來逼近個線段來逼近 。優(yōu)點：簡單、靈活，不受未知函數(shù)特性的約束，使用方便。優(yōu)點：簡單、靈活，不受未知函數(shù)特性的約束，使用方便。缺點：收斂比效慢，欲得到同全域基一樣的精度，需要更缺點：收斂比效慢，欲得到同全域基一樣的精度，需要更多的分段數(shù)目。多的分段數(shù)目。 矩量法常見的子域基函數(shù)有：常見的子域基函數(shù)有： 分段均勻函數(shù)分段均勻函數(shù)（脈沖函數(shù)）：（脈沖函數(shù)）： 以外時在當以內(nèi)時在當iiizzzzIzJ0三角波函數(shù)：三角波函數(shù)： 以外時在當以內(nèi)時在當iiiiiiizzzzzzzIzzIzJ011分段正弦：分段正弦： 以外時在當以內(nèi)時在當iiiiiiizzzzzkzzkIzzkIzJ0

12、sinsinsin11二次插值法：二次插值法： 以外時在當以內(nèi)時在當iiiiiiizzzzzzCzzBAzJ02正弦插值法：正弦插值法： 以外時在當以內(nèi)時在當iiiiiiizzzzzzkCzzkBAzJ0sinsin2矩量法 對于一般的線天線，最重要的分域基近似是對于一般的線天線，最重要的分域基近似是分段常分段常數(shù)近似數(shù)近似，分段線性近似分段線性近似與與分段正弦近似分段正弦近似，其中后兩種近，其中后兩種近似有可能使構成的基函數(shù)在廣義導線的終端及連接連接似有可能使構成的基函數(shù)在廣義導線的終端及連接連接處自動滿足連續(xù)性方程。處自動滿足連續(xù)性方程。 對于三角形函數(shù)，為得到精度適宜的電流分布結果，對于

13、三角形函數(shù)，為得到精度適宜的電流分布結果，這種展開在一個波長的長度上約需十個未知量。這種展開在一個波長的長度上約需十個未知量。 對于正弦函數(shù)近似，在一個波長的長度上需對于正弦函數(shù)近似，在一個波長的長度上需四個未四個未知數(shù)知數(shù)（匹配點）。（匹配點）。 矩量法2檢驗函數(shù)檢驗函數(shù) 檢驗函數(shù)的選?。簷z驗函數(shù)的選?。?點匹配法：點匹配法： Wm = (sm) 伽略金法：伽略金法： Wm = Jm 最小二乘法：最小二乘法： Wm = Lop(J)注意：點匹配法有全域基點匹配法、脈沖基點匹配、注意：點匹配法有全域基點匹配法、脈沖基點匹配、分段基點匹配。分段基點匹配。矩量法伽略金法：伽略金法： 當檢驗函數(shù)的選

14、擇與基函數(shù)相同時，該表示當檢驗函數(shù)的選擇與基函數(shù)相同時，該表示法稱為伽略金法。即：法稱為伽略金法。即： mmJW則阻抗矩陣與電壓矩陣分別為：則阻抗矩陣與電壓矩陣分別為： NopNopNopNNopopopNopopopJLJJLJJLJJLJJLJJLJJLJJLJJLJZ,212221212111 其內(nèi)積為感應量其內(nèi)積為感應量 iNiiEJEJEJV,21矩量法伽略金法具有平穩(wěn)特性。伽略金法具有平穩(wěn)特性。 在用矩陣求逆的方法對其進行計算機求解時，在計在用矩陣求逆的方法對其進行計算機求解時，在計算中阻抗矩陣算中阻抗矩陣Z中的中的N2個阻抗元素時需要兩個積分，個阻抗元素時需要兩個積分，一個是一個

15、是LOP積分算子，另一個是內(nèi)積所要求的積分。因積分算子，另一個是內(nèi)積所要求的積分。因此計算量相當大。此計算量相當大。 矩量法點匹配法：檢驗函數(shù)選擇為狄拉克函數(shù)。即：點匹配法：檢驗函數(shù)選擇為狄拉克函數(shù)。即： )(mmSSW則有則有 NopNopNopNNopopopNopopopJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSJLSSZ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111 iNiiESSESSESSV),(),(),(21上式中上式中S是從基本一參考點算起的距離，而是從基本一參考點算起的距離，而Sm表示到施加邊界條表示到施加邊界條件的那點

16、的距離。這里，件的那點的距離。這里，Ei1表示匹配點是在點表示匹配點是在點“1”上進行的，上進行的，而而Ein表示匹配點是在點表示匹配點是在點“n”上進行的。上進行的。 矩量法由于狄拉克函數(shù)有：由于狄拉克函數(shù)有： mmmxfdxxfxf,因此選擇狄位克函數(shù)做權函數(shù)時，阻抗矩陣元素的計因此選擇狄位克函數(shù)做權函數(shù)時，阻抗矩陣元素的計算可以算可以減少減少一個一個積分運算積分運算。 狄拉克函數(shù)的這種應用，在物理問題中被理解為邊界狄拉克函數(shù)的這種應用，在物理問題中被理解為邊界條件只施于表面條件只施于表面S上的離散點上，而不是連續(xù)地施于整個上的離散點上，而不是連續(xù)地施于整個表面上。故稱此方法為點匹配法。同

17、時也可以看出此方法表面上。故稱此方法為點匹配法。同時也可以看出此方法求解的精確度不僅依賴于點的數(shù)目，同時還依賴于點的位求解的精確度不僅依賴于點的數(shù)目，同時還依賴于點的位置。用等間距的點能給出較好的結果。對于遠場計算較好，置。用等間距的點能給出較好的結果。對于遠場計算較好，但對于近場數(shù)據(jù)的計算時對匹配點的數(shù)目和位置則較為敏但對于近場數(shù)據(jù)的計算時對匹配點的數(shù)目和位置則較為敏感。感。矩量法2.3 算子的近似算子的近似 廣義矩陣中的元素很難用解析解求出，可用數(shù)值廣義矩陣中的元素很難用解析解求出，可用數(shù)值近似的方法近似。近似的方法近似。 若積分算子中有微分算子，可用有限差分近似。若積分算子中有微分算子，

18、可用有限差分近似。 積分當中奇異點的處理，如略去。積分當中奇異點的處理，如略去。 對算子的近似與對未知量的近似應相適應。對算子的近似與對未知量的近似應相適應。如當選取簡單的脈沖函數(shù)為基函數(shù)的情況下，采如當選取簡單的脈沖函數(shù)為基函數(shù)的情況下，采用精確的算子近似并不一定能提高計算精度。因用精確的算子近似并不一定能提高計算精度。因此，對所研究的問題，應預先考慮好采用什么樣此，對所研究的問題，應預先考慮好采用什么樣的基函數(shù)、檢驗函數(shù)與算子近擬方法相配合。的基函數(shù)、檢驗函數(shù)與算子近擬方法相配合。 矩量法2.4 線性方程組的解與解的穩(wěn)定性線性方程組的解與解的穩(wěn)定性 線性方程組的解：線性方程組的解： 矩陣方

19、程的求解方法：矩陣方程的求解方法：直接求逆法；直接求逆法；分解法；分解法；迭代法；迭代法；迭代法求解矩陣方程要進行迭代法求解矩陣方程要進行N2數(shù)量級的運算，數(shù)量級的運算，N為矩陣的階數(shù)，即未知量的個數(shù)。當改變源矢量時，為矩陣的階數(shù)，即未知量的個數(shù)。當改變源矢量時，迭代程序必須重復一次。大型矩陣常用。迭代程序必須重復一次。大型矩陣常用。直接求逆法是求取其逆矩陣，即導納矩陣。直接求逆法是求取其逆矩陣，即導納矩陣。分解法和直接求逆法都與源無關，因此求得的導分解法和直接求逆法都與源無關，因此求得的導納矩陣可以用于輻射問題和散射問題。納矩陣可以用于輻射問題和散射問題。利用利用Z矩陣的對稱性來節(jié)省計算機運算時間。矩陣的對稱性來節(jié)省計算機運算時間。 解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性對于矩陣，當對于矩陣，當V中值變化很小時，可引起中值變化很小時，可引起I中的值劇烈變中的值劇烈變化，則稱該矩陣為病態(tài)矩陣?；瑒t稱該矩陣為病態(tài)矩陣。 矩量法矩量法示例：矩量法示例： 1. 求下列微分方程的解：求下列微分方程的解： 222(14)(0)(1)0d fxdxff-=+-=+=其解為：其解為： 42312165)(xxxxf選擇基函數(shù)：選擇基函數(shù)： 11,2,.nnfxxnN+ +=