探索勾股定理

1、一棵奇妙的樹(shù)一棵奇妙的樹(shù)也許有人會(huì)問(wèn)：也許有人會(huì)問(wèn)：“它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？”仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹(shù)干和樹(shù)枝上，整棵樹(shù)仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹(shù)干和樹(shù)枝上，整棵樹(shù)都是由下方的這個(gè)基本圖形組成的：都是由下方的這個(gè)基本圖形組成的：一個(gè)直角三角形一個(gè)直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形 圖形有什么作用呢？不要小看它哦！它體現(xiàn)了一圖形有什么作用呢？不要小看它哦！它體現(xiàn)了一個(gè)古老的定理個(gè)古老的定理勾股定理勾股定理 ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖1-1圖1-2（

2、1）觀察圖）觀察圖1-1 正方形正方形A中含有中含有 個(gè)個(gè)小方格，即小方格，即A的面積是的面積是 個(gè)單位面積。個(gè)單位面積。 正方形正方形B的面積是的面積是 個(gè)單位面積。個(gè)單位面積。正方形正方形C的面積是的面積是 個(gè)單位面積。個(gè)單位面積。99918你是怎樣得到上面的結(jié)你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同伴交流交流。果的？與同伴交流交流。123（2）（3）ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖1-1圖1-2cS正方形143 3182 分割成若干個(gè)直角邊分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形為整數(shù)的三角形（單位面積）（單位面積）ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單

3、位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖1-1圖1-2cS正方形216218（單位面積）（單位面積）把把C看成邊長(zhǎng)為看成邊長(zhǎng)為6的的正方形面積的一半正方形面積的一半ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖圖1-1圖1-2（2）在圖）在圖1-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少個(gè)小方格？它有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)圖）你能發(fā)現(xiàn)圖1-1中三個(gè)正方形中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么的面積之間有什么關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？ SA+SB=SC 即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于即：兩條直角邊上的正方形

4、面積之和等于 斜邊上的正方形的面積斜邊上的正方形的面積ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4（1）觀察圖）觀察圖1-3、圖、圖1-4，并填寫下表：并填寫下表： A的面積的面積（單位面積）（單位面積） B的面積的面積（單位面積）（單位面積） C的面積的面積（單位面積）（單位面積）圖圖1-3圖圖1-4169254913你是怎樣得你是怎樣得到表中的結(jié)到表中的結(jié)果的？與同果的？與同伴交流交流。伴交流交流。做一做做一做幻燈片 9ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4分割成若干個(gè)直角邊為分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形整數(shù)的三角形cS正方形25144 3 12 （面積單位）（面積單位）幻燈片 7ABC圖圖1-3ABC

5、圖圖1-4（2）三個(gè)）三個(gè)正方形正方形A，B，C的面的面積之間有什積之間有什么關(guān)系？么關(guān)系？SA+SB=SC即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于 斜邊上的正方形的面積斜邊上的正方形的面積幻燈片 7ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4（1）你能用三）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？與同么關(guān)系嗎？與同伴進(jìn)行交流。伴進(jìn)行交流。（3）分別以）分別以5厘米、厘米、12厘米為直角邊作出一厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度。（個(gè)直角三角形

6、，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度。（2）中）中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？議一議議一議勾勾股股勾勾股股弦弦 我國(guó)早在三千多年就知道了這個(gè)定理我國(guó)早在三千多年就知道了這個(gè)定理, ,人們?nèi)藗儼褟澢芍苯堑氖直鄣纳习氩糠址Q為把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾勾”，下，下半部分稱為半部分稱為“股股”，我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形，我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為較短的直角邊稱為“勾勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股股”，斜邊稱為，斜邊稱為“弦弦”. .因此就把這一定理稱因此就把這一定理稱為勾股定理為勾股定理. .輝煌發(fā)現(xiàn)輝煌發(fā)現(xiàn) 勾股定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平

7、方和等于斜邊的平方。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。222abcabc勾勾股股弦弦在西方又稱畢達(dá)在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！如果用如果用a、b和和c，分別表示直角三角形的直角，分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么邊和斜邊，那么cabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為c2 該圖2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)示意圖，取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作勾股圓方圖。abab214)(2證明證明1：abab214)(2勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的驗(yàn)證ca

8、bcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為(a+b)224abC2證明證明2：24abC2勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的驗(yàn)證1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談

9、論著什么，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？只地上畫著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？只?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：見(jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為條直角邊分別為3和和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？

10、”伽菲爾德答到：伽菲爾德答到：“是是5呀呀”小男孩又問(wèn)道：小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為如果兩條直角邊分別為5和和7，那么，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答伽菲爾德不加思索地回答到：到：“那斜邊的平方一定等于那斜邊的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又小男孩又說(shuō)道：說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)無(wú)語(yǔ)，伽菲爾德一時(shí)無(wú)語(yǔ)，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味無(wú)法解釋了，心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探

11、討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，下的難題他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法美國(guó)第二十任美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法aabbccADCBE勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的驗(yàn)證基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：已知直角三角形兩邊，求第三邊已知直角三角形兩邊，求第三邊.1 1 求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .z z3548181144144X 2 直角三角形的兩直角邊為直角三角形的兩直角邊為5、12，則三角形，則三角形 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 . 3

12、 在在ABC中中,C=90,如果如果c=10, a=6， 那么那么ABC的面積是的面積是 .3024y y16914414422525基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用 例例 1 如圖所示，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈如圖所示，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面臺(tái)風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，樹(shù)頂米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根落在離樹(shù)根24米處米處. 大樹(shù)在折斷之前高多大樹(shù)在折斷之前高多少米？少米？ 2 2、如圖，為得到池塘兩岸、如圖，為得到池塘兩岸A A點(diǎn)和點(diǎn)和B B點(diǎn)間的距離，點(diǎn)間的距離， 觀測(cè)者在觀測(cè)者在C C點(diǎn)設(shè)樁，使點(diǎn)設(shè)樁，使ABCABC為直角三角形，并測(cè)得為直角三角形，并測(cè)得 AC AC為為100100米，米，BCBC為為8080米米. .求求A A、B B兩點(diǎn)間的距離是多少？?jī)牲c(diǎn)間的距離是多少？ABC解：如圖，根據(jù)題意得解：如圖，根據(jù)題意得t ABC中，中，90AC=100米米, BC=80米米 由勾股定理得由勾股定理得:AB+BC =ACAB2 =AC2BC2 =1002 802=602 AB=60（米）（米）答答:A、B兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)間的距離是60米米.3 3、如圖，將長(zhǎng)為、如圖，將長(zhǎng)為1010米的梯子米的梯子ACAC斜靠斜靠 在墻上，在墻上，BCBC長(zhǎng)為長(zhǎng)為6 6米。米。 （1）求梯子上端）求梯子上端A到墻到墻的底端的底端B的距離的距離AB。（2）若梯子