第二節(jié) 二重積分的計算法(1)

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束1一、 利用直角坐標計算二重積分二、 小結(jié) 思考題第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算法（一）二重積分的計算法（一）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束2【復習與回顧復習與回顧】(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積元素dxxAdV)( 體積為體積為 badxxAV)(在點在點x處的平行截面的面積為處的平行截面的面積為 )(xA(1)上節(jié)思考題上節(jié)思考題 ),(lim),(10 niiiiDfdyxf 0k代替代替0 ？不能

2、用不能用機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束3, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 【X型區(qū)域的特點】型區(qū)域的特點】 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. .1. 【預(yù)備知識預(yù)備知識】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束4,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域

3、)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D【Y型區(qū)域的特點】型區(qū)域的特點】穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x 軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束5(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如圖如圖3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別都在分割后的三個區(qū)域上分別都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )則必須分割則必須分割. .321 DDDD由二重積分積分區(qū)域的可加性得由二重積分積分區(qū)域的可加性得機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束6(1).若積分區(qū)域為若

4、積分區(qū)域為X型域：型域：, bxa ).()(21xyx 0),( yxf且且設(shè)設(shè)為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以則則),(),( yxfzDdyxfD 2. .【二重積分公式推導二重積分公式推導】【方法方法】根據(jù)二重積分的幾何意義根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算以及計算“平平行截面面積為已知的立體求體積行截面面積為已知的立體求體積”的方法來求的方法來求. .,0bax 0 xx 作作平平面面機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束7)(01x )(02x )()(000201),()(xxdyyxfxA badxxAV)( .),()

5、,()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 即得即得公式公式1 的的二二次次積積分分后后對對上上式式稱稱為為先先對對xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA ),()( )()(21 xxdyyxfxA ),( yxfzoyxz)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xyab0 x機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束8【幾點小結(jié)幾點小結(jié)】計計算算方方法法實實現(xiàn)現(xiàn)了了二二重重積積分分的的一一種種通通過過體體積積作作為為過過渡渡 , .)( 來求解來求解單積分單積分通過計算兩次定積分通過計算兩次定積分投影穿線法投影穿線法定限：

6、定限：二重積分的計算關(guān)鍵是二重積分的計算關(guān)鍵是 ).()(, :21xyxbxaDX baxxDdxdyyxfdxdyyxf),(),()()(21 aboxyDx)(1xy )(2xy abdx )(1x )(2x dy Ddyxf ),(),(yxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束9).()( , 21yxydyc xyoD yx1 yx2 cd:).2(型型域域若若積積分分域域為為 Yy Ddxdyyxf),( . 的二次積分的二次積分后對后對即化二重積分為先對即化二重積分為先對yx3.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】畫出積分域的圖形，標

7、出邊界線方程畫出積分域的圖形，標出邊界線方程根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)積分域特征，確定積分次序；根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。 )()(21),(yydxyxf dcdy公式公式2機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束10【說明說明】(1)使用公式使用公式1必須是必須是X型域，型域， 公式公式2必須是必須是(2) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便, ,可可選擇積分次序選擇積分次序, , 必要時還可必要時還可交換積分次序交換積分次序.

8、 .則有則有yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干X- -型域或型域或Y- -型域型域. . 321DDDDoxy1D2D3DY型域型域.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束114. 【例題部分例題部分】【例例1】.2, 1,所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域及及：由由其其中中計計算算xyxyDxydD 【解解】 看作看作X型域型域 xyxDX121: 21121212dxyxxydydxxydxxD 811)22(

9、213 dxxx12oxy y=xy=1Dx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束12【解解】看作看作Y型域型域 221:xyyDY 21222212dyxyxydxdyxydyyD 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2Dy12機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束13【例例2】. 1, 1,: ,122所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域和和由由計計算算 yxxyDdyxyD 【解解】 D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1 122111xdyyxydx上上式式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy

10、 y機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束14法法2 yxyDY111: ydxyxydy122111原式原式注意到先對注意到先對x 的積分較繁，故應(yīng)用法的積分較繁，故應(yīng)用法1 1較方便較方便111yoy=xD1xy注意兩種積分次序的計算效果！注意兩種積分次序的計算效果！機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束15【例例3】所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域及及：由由其其中中計計算算2,2 xyxyDxydD 【解解】 D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交點先求交點(4,2) (1,-1) 2 2或或由由 xyxy機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

11、 結(jié)束結(jié)束16法法1 221:2yxyyDY法法2 2212yyDxydxdyxyd 855 視為視為X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 則必須分割則必須分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 計算較繁計算較繁本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束17【小結(jié)小結(jié)】以上三例說明，在化二重積分為二次以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域序；既要考慮積分區(qū)域D的形

12、狀，又要的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性考慮被積函數(shù)的特性( (易積易積) )機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束18D【例例1】【解解】圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束195.【簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用】【例例4】 求兩個底圓半徑都等于求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的直交圓柱面所圍成的立體的體積的體積V.【解解】xyzRRo 設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個

13、直圓柱方程為,222Ryx 利用對稱性利用對稱性, , 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為 DyxxRVdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022 222Ryx222RzxD機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束20【例例5】 2, 2的的面面積積所所圍圍區(qū)區(qū)域域應(yīng)應(yīng)用用二二重重積積分分求求由由曲曲線線Dxyxy 【解解】 據(jù)二重積分的性質(zhì)據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）（幾何意義） Ddxdy 交點交點 22xyxy)

14、4 , 2( )1 , 1(， 221:2xyxxDX 212221)2( 2dxxxdydxxx 29 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束216.【補充補充】 改變二次積分的積分次序例題改變二次積分的積分次序例題【補例1】交換下列積分順序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI【解】【解】 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,020:2211 xyxDX822 yx2D22yxo21D221xy 2 2280222:xyxDX21DDD 將將 :D視為視為Y型區(qū)域型區(qū)域 , 則則282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dy