完整版西工大計(jì)算方法精彩試題010含問題詳解

1、一、測試內(nèi)容線性方程組和非線性方程組的求解、矩陣特征值和特征向量的計(jì)算、微積分 的計(jì)算、微分方程定解問題的求解等,都是工程、科技、統(tǒng)計(jì)等實(shí)際問題中大量 碰到的數(shù)學(xué)問題,這些問題的精確解很難求出.而?計(jì)算方法?那么是一門適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算求解的數(shù)值方法,它簡單可行,能有效求出上述數(shù)學(xué)問題的近似 解.通過本課程的學(xué)習(xí),要求學(xué)生能掌握利用計(jì)算機(jī)求解根本數(shù)學(xué)問題常用的 數(shù)值計(jì)算方法,學(xué)會(huì)構(gòu)造根本的計(jì)算格式,并能作一定的誤差分析,使學(xué)生具備根本的科學(xué)計(jì)算水平.主要有：1. 了解計(jì)算方法的認(rèn)務(wù)和特點(diǎn)；2. 熟練掌握方程的的近似解法,包括二分法、迭代法、牛頓迭代法和弦割法3. 熟練掌握線性代數(shù)方程組的解法,直

2、接解法中的高斯消去法、矩陣的直接三 角分解法,平方根分解法,解三對(duì)角方程組的追趕法；解線性方程組的迭代法, 簡單迭代法,雅可比迭代法,賽德爾迭代法, SORT法及其收斂性4. 熟練掌握矩特征值和特征向量的計(jì)算,乘籍法與反籍法,古典雅可比方法, 雅可比過關(guān)法5. 熟練掌握插值法,拉格朗日插值法,牛頓插值法,等距節(jié)點(diǎn)插值法,埃爾米 特插值法,三次樣條插值法6. 熟練掌握最小二乘法與曲線擬合,掌握矛盾方程組與最小二乘法,數(shù)據(jù)的多 項(xiàng)式擬合,可化為線性擬合模型的曲線擬合7. 熟練掌握數(shù)值積分與數(shù)值微分,包括牛頓-柯特斯求積公式、復(fù)化求積公式、 龍貝格求積算法、高斯型求積公式和數(shù)值微分；8. 熟練掌握常

3、微分方程初值問題數(shù)值解法,包括歐拉法與梯形法、泰勒展開法 與龍格-庫塔法、線性多步法2006-2007 第一學(xué)期一.填空*1) 近似數(shù)x =1.253關(guān)丁真值x=1.249有,位有效數(shù)子；:f(x)dx q Akf(Xk)、 Ak2) 設(shè)有插值公式但 ,那么J =;(只算系數(shù))*er ( 土3) 設(shè)近似數(shù)xi =0.0235 , x2 =2.516.都是有效數(shù),那么相對(duì)誤差X24)E程x - cosx的根的牛頓迭代格式為 ；x +x2T2x十2x2 =2xi x2=1x1 x2 = 15)矛盾方程組x1 +2x2=-1與/ +2x21得最小二一乘解是否相同0二.用迭代法(方法不限)求方程x一x

4、e =1在區(qū)間(0,1)內(nèi)根的近似值,要求2先論證收斂性,誤差小丁 10時(shí)迭代結(jié)束 三.用最小二乘法y=ax2+bex中的常數(shù)a和b,使該函數(shù)曲線擬合與下面四個(gè)占 八、(1, -0.72 ) (1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)(結(jié)果保存到小數(shù)點(diǎn)后第四位)四.用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組五.設(shè)要給出f(x)=cosx的如下函數(shù)表xix0 - hx.x +hf (xi)f(x0 -h)f (x.)f (x +h)用二次插值多項(xiàng)式求f(x)得近似值,問步長不超過多少時(shí),誤差小丁10六.設(shè)有微分方程初值問題y = 2y -4x,0 x 0.2、y(0)=21

5、 寫出歐拉預(yù)估一校正法的計(jì)算格式；2取步長h=0.1 ,用歐拉預(yù)估一校正法求該初值問題的數(shù)值解計(jì)算結(jié)果保存4位小數(shù)1 dx-0I =七.設(shè)有積分“取11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)包括端點(diǎn)0和1,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 小 數(shù)點(diǎn)侯保存4位;用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值,并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小小數(shù)點(diǎn)侯保存4位對(duì)方程組P2一2、4a111 |x21221 J邑o1.用雅可比迭代法求解是否對(duì)任意初始向量都收斂為什么?(k 1)(k)x x：10； (i =1,2,3)2. 取初始向量x= 0,O,0T,用雅可比迭代法求近似解xz,試證實(shí)九.設(shè)fx在區(qū)間a , b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且fa=f

6、b=01.max f(x) -a(b -a) max f (x)a *為Oa :x _b參考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023xk -cosxkxk sin xkcosxk(4)*1*7=1 sinxk ,k=0,1,2,.q、,一 -xk2. 方程的等價(jià)形式為x=e,迭代格式為xf 一.收斂性證實(shí)；當(dāng)xW0,1時(shí),0乙共-e =1(x) = e T10 10 24.,回代求解得4 c1 ,Cx4 = = 2x3 = 6T x4=23 -03 1x4x2 = = 112 25 -0x2 2x3 0x4x1 = = 11方程組的解向量為x=1,1,2, 2.maxL 人Xk

7、1咚咚45.令一十f(3)O 、/、,、“可求得h 0.2498 (或(x A u)(x xk )(x xk) 10 3!0.2289)6. yi(0) =1.6, yi =1.62, y20) =1.256, y2 =1.27247. 0.6932R(f)1.3333k 10 58.(1) Jacobi迭代法的迭代矩陣為0-22 B j =-10-1譜半徑P(B J)-%1.此時(shí)Jacobi迭代法對(duì)任意初始向量都收斂(2)18、-6 x(3)r20(4)09. 以x0=a,xi=b為插值節(jié)點(diǎn),做 Lagrange 插值：1. .1.f(x) =Li(x)史 f ( )(x -a)(x -b)

8、 = f ( )(x -a)(x -b) 其中x)氣a,b.故maxf(x) maxf (9(xa)(xb)；maxf (x)max(x-a)(x-b) 4(ba)2maxf (x)ag棗a逐堂 2!2 a爻惑a逐注8a爻色2007-2021 第一學(xué)期1填空15分1 設(shè)近似數(shù)為如2270 , x；=0.80O9都是四舍五入得到的,那么相對(duì)誤差,* *、er(XiX2)2擬合三點(diǎn)A3,1, B1,3, C2,2的平行丁 y軸的直線方程為3近似數(shù)x* =0.0351關(guān)丁真值x = 0.0349有 位有效數(shù)字.f xdx ：Akf Xk4 插值型求積公式J 至少有次代數(shù)精確度.5Simpson辛浦生

9、求積公式有 代數(shù)精確度.2. 10分曲線y=x3+2.89與y = 2.4x2+0.51x在點(diǎn)1.6,6.9 附近相切, 試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值x,當(dāng)Xi -10誤差小丁 10時(shí)停 止迭代.3. 10分用最小二乘法確定y = ax2+blnx中的常數(shù)4和b,使得該函數(shù)曲線擬合丁下面四個(gè)點(diǎn)1 , 2.01, 2 , 7.3, 3,16.9, 4,30.6 計(jì)算結(jié)果保存 到小數(shù)點(diǎn)后4位4.10分用乘籍法求矩陣21033 23 46 1的按模最大的特征值 扁的第k次近似k值為及相應(yīng)的特征向量5. 10分設(shè)有方程組(k) xi.要求取初始向量u=1,2,1T,且?guī)r-Hk 0.1a13I x

10、I b1I(a=0)1a2x2= b2-3 2 dLxJ h 寫出與Jacobi迭代法對(duì)應(yīng)的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩陣為：當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時(shí),Jacobi方法對(duì)任意的初始向量都收斂.6. 10分四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y = fx的如下數(shù)據(jù):xi12f (xi)05f(xi)110試求滿足插值條件PXi= f Xi, PXi = f Xi的三次插值多項(xiàng)式px,并寫出截?cái)嗾`差Rx = f x -px的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式不必證實(shí)7. 15分設(shè)有積分=I 1火1 取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)包括端點(diǎn)1和2,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表 小數(shù)點(diǎn)后至少保存4位；2用復(fù)化simpso

11、n公式求該積分的近似值,并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小.8. 10分給定初值問題2yL=0,y(1)=1,1 ：x1.4x 寫出歐拉Euler預(yù)估-校正的計(jì)算格式;取步長h =0.2,求y1.4的近似值9. 10分用迭代法的思想證實(shí)：忡：2、2川2=2等號(hào)左邊有k個(gè)21: (1)6.78 X 10-5, (2) x=2 (3) 2(4) n-2 (5) 32.切線斜率相等:3x2 =4.8x+0.51 , 3x2-4.8x 0.51 = 023xn 4.8xn 0.51xn 1 F 牛頓迭代格式：6xn -4.8 取 x0 =1.6 得 x1 =1.70625,x2 =1.70002, x3 =

12、1.70000, x4 =1.70000% =2.014a +bln 2 =7.39a bln3 =16.93. 矛盾方程組：l16a+bln4=30.835434.84081%)672.91、正那么方程組： 釧.84081 3.60921火b廠6.04713； a ： 1.9997,b ： T.0042(k)V1(k -1)4. 取初始向量V(0)=d 2 1)T,用乘籍法公式進(jìn)行計(jì)算,且取% 昌1.0 x &V(4) = (13516,27032,20226)T譜半徑.由唯J)2此時(shí)Jacobi迭代法對(duì)任意初始向量都收斂.3f (4)( )22p(x) =x -2x 1,R(x) = f

13、(x) - p(x) = (x-1) (x-2) , (x) (1,2)6. 4!7. 20.2174 R(f) 0.00488. (1) Euler預(yù)-校法的計(jì)算格式為y3 = yn h f (xn , yn)h i 一(0) iYn 1 = Yn 2 f (xn,yn) f Jn 1,1)2h =0.2 , f (x, y)=、(2)將x代入,那么2Yn)1 =Yn 0.2 也Xnf 2/ (0) 、 2 、Yn 1% +o.1 也 +(!_Xn 1代入Xo =1,yo T得Xn1.2 J(1.2Y1=1.221(X)由2j2+x,1那么當(dāng)對(duì)0,2時(shí)也號(hào)哪=k1所以,由迭代格式 內(nèi)的根a.

14、x.=0,xff 2 + Xk產(chǎn)生的序列收斂丁方程x=v2+x在0,2、日 lim xk 設(shè)k：k=otan ,即a2 =2+.解之得a=2,a=-1.舍去不合題意M =1.4681Y(1.4)期 y2 =1.497989. 證實(shí) 考慮迭代格式Xo =0, x=t2+xk,k =0,1L ,那么為 K , x2=(K,Xk=；2+h + /2+AE (3 2) 設(shè)中(x)Z2+x,那么當(dāng) xE0,2時(shí),申(x)企中(0),中(2)=很,2與0,2；的負(fù)根,lim xk =27 k ,lim 222,心2 2=2即 k-誠信保證本人知曉我?？紙鲆?guī)那么和違紀(jì)處分條例的有關(guān)規(guī)定,保證遵守考場規(guī)那么,

15、老實(shí)做人.本人簽字： 編號(hào)：學(xué)號(hào)：班號(hào)：4名：西北工業(yè)大學(xué)測試試題(卷)2021 2021學(xué)年第2學(xué)期成績開課學(xué)院：理學(xué)院課程：計(jì)算方法學(xué)時(shí)：322021年04月30日測試時(shí)間：2小時(shí) 閉卷(A卷)(共9道題,注意檢查)1.(每題3分,共15分)填空*_(1) 設(shè)近似數(shù)X1 =9.2270 , X2 =0.8009都是“四舍五入得來的,那么相對(duì)誤差 |e(x； X；)偉；(2) 擬合三點(diǎn) A (3 , 1) , B (1 , 3) , C (2 , 2)的平行于 y軸的直線 方程為;(3)近似數(shù)x =0.0351關(guān)于真值x = 0.0349 有_位有效數(shù)子；(4)1插值型求積公式堂f(x)dx

16、n-1Z Akf(xk)至少有_ k =1次代數(shù)精確度；(5)Simpson (辛浦生)求積公式有次代數(shù)精確度.2. (10分)曲線 y = x +2.89與_2一一 y = 2.4x0.51 x在點(diǎn)(1.6,6.9 )附近相- -一 _5切.試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值xn書,當(dāng)xn書- xn 10 時(shí)停止迭代.西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙3. (10分)用最小二乘法確定 y = ax?+blnx中的常數(shù)a和b,使該函數(shù)曲線擬合于以下四個(gè)點(diǎn)：(1 , 2.01) , (2,7.3) , (3,16.9) , (4,30.6)(計(jì)算結(jié)果保存到小數(shù)點(diǎn)后第4位).西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙4.( 10

17、分)用乘藉法求矩陣A =232、1034的按模最大的特征值知的第k次近似值z 1k)及相應(yīng)的特征向量x1k).要求取初始向量U0 = (1,2 ,1)T ,且所以：k),x1k) &t(1 ,)T ,t = 0西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙5 (10分)設(shè)有方程組r a13、lf xih、1a2 1x2b232a.x3Jlb3 j(1)寫出與Jacobi迭代法對(duì)應(yīng)的 Gauss-Seidel方法的迭代格式;(1) Jacobi方法的迭代矩陣為:(2)當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時(shí) Jacobi方法對(duì)任意初始向量都收斂?西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8頁 第4 頁6. (15分)四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y= f (x)的如下

18、數(shù)據(jù):xi12f(xi)05f 3)110試求滿足插值條件p( X ) = f ( Xi ) , p ( Xi ) = f ( X )的三次插值多項(xiàng)式 p(x), 并寫出截?cái)嗾`差 R(x)= f(x) - p(x)的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式(不必證實(shí)).西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8 頁 第5頁7. (15分)設(shè)有積分| = f x3exdx i(1)取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)(包括端點(diǎn) 1和2),列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表(小數(shù)點(diǎn)后至少保存4位)；(2)用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值,并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小.8. (10分)給定初值問題2y 匕=0 ,y(1) = 1 ,x(1) 將 y(Xn +)在 Xn 作二階 Taylor1 x 壬 1.4由此建立求解該初值問題的計(jì)算格式；(2) 取步長h =0.2 ,用上述方法求y(1.2)、y(1.4)的近似值.西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8 頁第7 頁9. (5分)用迭代法的思想證實(shí)lim2+2+& : kJPC=2(等號(hào)左邊有k個(gè)2)西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8頁第6 頁西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8 頁第8頁