有限元1彈性力學(xué)簡(jiǎn)介

1、有限元分析有限元分析第一章第一章 彈性力學(xué)簡(jiǎn)介彈性力學(xué)簡(jiǎn)介1-1 材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué)1-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念1-3 位移及應(yīng)變，幾何方程，剛體位移位移及應(yīng)變，幾何方程，剛體位移1-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程1-5 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程1-6 兩種平面問題兩種平面問題1-1 材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué) 有限單元法有限單元法 本課程中所指的是有限單元法在彈本課程中所指的是有限單元法在彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力性力學(xué)問題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)單

2、介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。限單元法的預(yù)備知識(shí)。彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 1、研究的內(nèi)容：研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別?；旧蠜]有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對(duì)象：研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于

3、寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 3、研究的方法：研究的方法：有較大的區(qū)別。有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來建立這些條件的，

4、因而材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，可以用彈性力學(xué)的解

5、答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。并確定它們的適用范圍。材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yx圖 1-1ax xq qy yx0 0圖 1-1b材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yx圖 1-2ayx xq qy yy圖 1-2bqyxxq圖 1-2c材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)圖 1-3a圖 1-3b彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別?？傊?，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性

6、力學(xué)比材料力學(xué)，它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算問題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：料性質(zhì)的假

7、定：彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定 (1) 物體是連續(xù)的，物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。(2) 物體是完全彈性的，物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變

8、時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。(3) 物體是均勻的，物體是均勻的，也就是說整個(gè)物體是由同一種材料組成也就是說整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和泊松系數(shù)彈性模量和泊松系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。才不隨位置座標(biāo)而變。彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(4) 物體是各向同性的，物體是各向同性的，也

9、就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方也就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 (5) 物體的變形是微小的，物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積

10、項(xiàng)都并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。程。1-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念 作用于彈性體的外力作用于彈性體的外力(或稱荷載或稱荷載)可能有兩種：可能有兩種： 表面力，表面力，是分布于物體表面的力，如靜水是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào)分，用記號(hào) 來表示。來表示。 體力，體力，是分布于物體體

11、積內(nèi)的外力，如重力、是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)個(gè)成分，用記號(hào)X、Y、Z表示。表示。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。、1-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念彈性體內(nèi)微小的平行六面體彈性體內(nèi)微小的平行六面體PABC，稱為體素稱為體素PA=dx,PB=dy,PC=dz正應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力圖 1-4每一個(gè)面上的應(yīng)力每一個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行行1-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念為了

12、表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力 是作用在垂直于是作用在垂直于x軸的面軸的面上同時(shí)也沿著上同時(shí)也沿著x軸方向作用的。軸方向作用的。x正應(yīng)力正應(yīng)力xy加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力 是作用在垂直于是作用在垂直于x軸的面上軸的面上而沿著而沿著y軸方向作用的。軸方向作用的。剪應(yīng)力剪應(yīng)力1-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念應(yīng)力的正負(fù)應(yīng)力的正

13、負(fù) 如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。為正，沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。1-2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。交線的剪應(yīng)

14、力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相大小相等，正負(fù)號(hào)也相同同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。由力矩平衡得出由力矩平衡得出02ddd22ddd2zyxyzxzyyz簡(jiǎn)化得簡(jiǎn)化得zyyz1)-(1 xzzxzyyzyxxy，剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等應(yīng)力分量應(yīng)力分量 可以證明：如果可以證明：如果 這六個(gè)量這六個(gè)量在在P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)力分量

15、。 一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。的函數(shù)。六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：來表示：zxyzxyzyx、 2)-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx1-3 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 彈性體在受外力以后，還將發(fā)生彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形變形。物體的變。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：形狀態(tài)，一般

16、有兩種方式來描述： 1、給出、給出各點(diǎn)的位移各點(diǎn)的位移；2、給出、給出各體素的變形各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移位移，用此位移在，用此位移在x、y、z三個(gè)三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為位移分位移分量量。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。應(yīng)應(yīng) 變變 體素的變形可以分為兩類：體素的變形可以分為兩類： 一類是長(zhǎng)度的變化，一類是角度的變化。一類

17、是長(zhǎng)度的變化，一類是角度的變化。 任一線素的長(zhǎng)度的變化與原有長(zhǎng)度的比值稱為任一線素的長(zhǎng)度的變化與原有長(zhǎng)度的比值稱為線應(yīng)變線應(yīng)變(或稱或稱正應(yīng)變正應(yīng)變)，用符號(hào)，用符號(hào) 來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用的角碼，分別用 來表示。當(dāng)線素伸長(zhǎng)時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)閬肀硎尽．?dāng)線素伸長(zhǎng)時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)檎７粗?，線素縮短時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)正。反之，線素縮短時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。規(guī)定相對(duì)應(yīng)。 任意兩個(gè)原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱任意兩個(gè)原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為為角應(yīng)變或剪應(yīng)變角應(yīng)變或剪

18、應(yīng)變，用符號(hào)，用符號(hào) 來表示。兩坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變，來表示。兩坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。規(guī)定當(dāng)夾角變來表示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。zyx、zxyzxy、xyxyvudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系A(chǔ)點(diǎn)在點(diǎn)在x方向的位移分量方向的位移分量為為u；B點(diǎn)在點(diǎn)在x方向的位移：方向的位移：ABC

19、D-ABCD求線素求線素AB、AD的正應(yīng)變的正應(yīng)變 ，用位移分量來表示：，用位移分量來表示：yx、xxuuuud線素線素AB的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋簒uxuxxuuxd)d(同理，同理，AD的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋簓vyvyyvvyd)d(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系求剪應(yīng)變求剪應(yīng)變 ，也就是線素，也就是線素AB與與AD之間的直角的改變之間的直角的改變線素線素AB的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)角為：xyx向線素向線素AB的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角A點(diǎn)在點(diǎn)在

20、y方向的位移分量方向的位移分量為為v；B點(diǎn)在點(diǎn)在y方向的位移分量：方向的位移分量：xxvvdBABB tgxuxvxxuxvxxvv1dd)d(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系同理，同理，y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角由于變形是微小的，所由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小以上式可將比單位值小得多的得多的 略去，得略去，得xuxvyu因此，剪應(yīng)變?yōu)椋阂虼?，剪?yīng)變?yōu)椋簓uxvxy應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系以上是考察了體素在以上是考察了體素

21、在xOy一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，yuxvxyxuxyvy同樣方法來考察體素在同樣方法來考察體素在xOz和和yOz平面內(nèi)的變形情平面內(nèi)的變形情況，可得：況，可得：zuxwywzvzwzxyzz，聯(lián)立得到聯(lián)立得到幾何方程幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量之間，表明應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。的關(guān)系。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，應(yīng)變分量矩陣應(yīng)變分量矩陣 可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意

22、方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，它們就稱為該點(diǎn)的的應(yīng)變狀態(tài)，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量應(yīng)變分量。 六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：來表示： 2)-3-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx剛體位移剛體位移 由幾何方程由幾何方程(1-3)可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量完全確時(shí)，應(yīng)

23、變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點(diǎn)，試的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點(diǎn)，試在在(1-3)中命：中命：有：有：積分后，得積分后，得式中的式中的 是積分常數(shù)是積分常數(shù)0zxyzxyzyx000000zuxwywzvxvyuzwyvxu，4)-(1 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy、zyxwvu000積分常數(shù)的幾何意義積分常數(shù)的幾何意義r rx xy yo oz zx xy yP Pxzyz圖 1-64)-(1 000

24、xywwzxvvyzuuyxxzzy 代表彈性體沿代表彈性體沿x方向的剛方向的剛體移動(dòng)。體移動(dòng)。 及及 分別代表分別代表彈性體沿彈性體沿y方向及方向及z方向的方向的剛體移動(dòng)。剛體移動(dòng)。0u0v0w 代表彈性體繞代表彈性體繞z軸的剛軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣， 及及 分分別代表彈性體繞別代表彈性體繞x軸及軸及y軸軸的剛體位移。的剛體位移。zxy為了完全確定彈性體的位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件為了完全確定彈性體的位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來確定來確定 這六個(gè)剛體位移。這六個(gè)剛體位移。zyxwvu、0001-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程當(dāng)沿當(dāng)沿X軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均

25、勻軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定分布的正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變，而其在起角度的任何改變，而其在X方向方向的單位伸長(zhǎng)則可表以方程的單位伸長(zhǎng)則可表以方程 式中式中E為彈性模量。為彈性模量。彈性體在彈性體在X方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向收縮，即在向收縮，即在y和和Z方向的單位縮短方向的單位縮短可表示為：可表示為：式中式中 為泊松系數(shù)。方程為泊松系數(shù)。方程(1-5)和和(1-6)既可用于簡(jiǎn)單拉伸，也可用于簡(jiǎn)單既可用于簡(jiǎn)單拉伸，也可用于簡(jiǎn)單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情壓縮，且在彈性極限之內(nèi)

26、，兩種情況下的彈性模量和泊松系數(shù)相同。況下的彈性模量和泊松系數(shù)相同。 z zy yx x0 0 xxyyzz圖 1-7應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系-虎克定律虎克定律5)-(1 Exx6)-(1 EExzxy，1-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用(1-5)和和(1-6)式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。

27、得到合成應(yīng)變的分量。單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)理常數(shù)E及及 所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。z zy yx x0 0 xxyyzz圖 1-77)-(1 )(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE1-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用，如圖如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用，如圖1-4所示，任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平所示，任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到：行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到：式

28、中式中G稱為剪切模量，它與彈性模量稱為剪切模量，它與彈性模量E，泊松系數(shù)泊松系數(shù) 存在如下的關(guān)系：存在如下的關(guān)系：方程方程(1-7)中的正應(yīng)變與方程中的正應(yīng)變與方程(1-8)中的剪應(yīng)中的剪應(yīng)變是各自獨(dú)立的。因此，由三個(gè)正應(yīng)力分變是各自獨(dú)立的。因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得；即將變，可用疊加法求得；即將(1-7)和和(1-8)的的六個(gè)關(guān)系式寫在一起，得式六個(gè)關(guān)系式寫在一起，得式(1-10)，稱為，稱為彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義

29、虎克定律。圖 1-48)-(1 111zxzxyzyzxyxyGGG，9)-(1 )1(2EGzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(11-4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式式(1-10)改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，并將式改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，并將式(1-9)代入，代入，可得物理方程的第二種形式：可得物理方程的第二種形式：11)-(1 )1 (2)1 (2)1 (2)11()21)(1

30、 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE式式(1-11)可用矩陣的形式表示如下：可用矩陣的形式表示如下：12)-(1 )1 ( 221000000)1 ( 221000000)1 ( 221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE式式(1-12)可簡(jiǎn)寫為：可簡(jiǎn)寫為： 13)-(1 DD稱為稱為彈性矩陣彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)，它完全決定于彈性常數(shù)E和和 14)-(1 )1 ( 22100000)1 ( 2210000)1 ( 22

31、1000111111)21)(1 ()1 (稱對(duì)ED1-5 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程圖圖1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)點(diǎn)寫力矩平衡方程：寫力矩平衡方程：圖圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：的剛體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：式式(1-15)是以功的形式表述的。是以功的形式表述的。表明：圖表明：圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的的位移上作功時(shí)，功的總和必須位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做等于零。這就叫做虛功原理虛功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A圖 1-8abPPBAabABABBAabPP

32、15)-(1 0BBAAPP虛功原理虛功原理 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和和 這兩個(gè)位移這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足斜，一定滿足(1-15)式的關(guān)系。式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，是否真正發(fā)生了位移，而假想

33、它發(fā)生了位移，(由于是假想，由于是假想，故稱為虛位移故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。功必定等于零。這就叫做這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。虛位移原理，也稱虛功原理。在圖在圖1-8a中的中的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)狀態(tài)a)的位移的位移上，上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位移因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)的的位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)位移上作的功?？梢姡@個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)亦即是狀態(tài)(a)假象的

34、位移。假象的位移。ABAPBP虛功原理虛功原理 必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來講，對(duì)于力來講，它必須它必須是在位移過程中處于平衡的力系；是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，對(duì)于位移來講，雖然是虛雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。合的微小的剛體位移。 還要注意，還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該

35、約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力被動(dòng)力。(如圖如圖1-8中的反力中的反力 ，由于支點(diǎn)，由于支點(diǎn)C沒有位移，故沒有位移，故 所作的虛功對(duì)于零所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖。反之，如圖1-8中的中的 和和 是在位移過程中作功的力，稱為是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力主動(dòng)力。因此，在平。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被

36、動(dòng)力是不作虛功的。cRcRAPBP虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程虛功原理虛功原理表述如下：表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代各力所作的功的代數(shù)和數(shù)和)恒對(duì)于零。恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是這就是虛功方程虛功方程，其中，其中P和和 相應(yīng)的代表力和虛位移。相應(yīng)的代表力和虛位移。16)-(1 0PW虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體

37、的情況 虛功方程虛功方程(1-16)是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程(1-15)或或(1-16)中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要要包括外力功包括外力功(T)和內(nèi)和內(nèi)力功力功(U)兩部分，即：兩部分，即： W = T - - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(- -U)前面有一負(fù)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生

38、的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - - U = 0 外力虛功外力虛功 T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功移上的虛功(外力功外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功內(nèi)力功)。虛功原理虛功原理-用于彈性

39、體的情況用于彈性體的情況i點(diǎn)外力分量點(diǎn)外力分量j點(diǎn)外力分量點(diǎn)外力分量外力分量用外力分量用 表示；表示；引起的應(yīng)力分量用引起的應(yīng)力分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9iiiWVU、jjjWVU、 F zxyzxyzyxjjjiiiWVUWVUF，虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況假設(shè)發(fā)生了虛位移假設(shè)發(fā)生了虛位移虛位移分量為虛位移分量為用用 表示；引起的虛表示；引起的虛應(yīng)變分量用應(yīng)變分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9*jjjiiiwvuwvu、 *

40、* *zxyzxyzyxjjjiiiwvuwvu，虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 在虛位移發(fā)生時(shí)，外力在虛位移上的虛功是：在虛位移發(fā)生時(shí)，外力在虛位移上的虛功是：式中式中 是是 的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。 同樣，在虛位移發(fā)生時(shí)，在彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛同樣，在虛位移發(fā)生時(shí)，在彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：應(yīng)變上的虛功是：因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：根據(jù)虛功原理得到：根據(jù)虛功原理得到： 這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之

41、間的關(guān)系。明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。 FwWvVuUwWvVuUTjjjjjjiiiiii* T* * Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx* dxdydzT* 17)-(1 *dxdydzFTT虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 應(yīng)該指出，在虛位移發(fā)生時(shí)，約束力應(yīng)該指出，在虛位移發(fā)生時(shí)，約束力(支座反力支座反力)是不做功是不做功的，因?yàn)榧s束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果的，因?yàn)榧s束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果解除了某一個(gè)約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生解除了某一個(gè)約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時(shí)，這個(gè)約束力就要在相應(yīng)的虛位移上做虛功，而

42、這個(gè)約束時(shí)，這個(gè)約束力就要在相應(yīng)的虛位移上做虛功，而這個(gè)約束力的分量及其相應(yīng)的虛位移分量就應(yīng)當(dāng)作為列矩陣力的分量及其相應(yīng)的虛位移分量就應(yīng)當(dāng)作為列矩陣 及及 中的元素進(jìn)入虛功方程中的元素進(jìn)入虛功方程(1-17)。 * F1-6 兩種平面問題兩種平面問題 彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體

43、具有特殊應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。力分量即可。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面平面應(yīng)力應(yīng)力問題問題 厚度為厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為

44、以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即量，即 ，所以稱為，所以稱為平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題。x xy y0 0t/2t/2z zy y圖 1-10yxxyyx

45、、000yzzyxzzxz，0)(0)(0)(222tzzytzzxtzz，平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣(1-2)可以簡(jiǎn)化為：可以簡(jiǎn)化為： 2)-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx 18)-(1 xyyx平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題物理方程物理方程(1-10)中后兩式可見，這時(shí)的中后兩式可見，這時(shí)的剪應(yīng)變：剪應(yīng)變：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可見：中的第三式可見：一般一般 ， 并不一定等于零，但并不一定等于零，但可由可由 及及 求得，在分析問題時(shí)不求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮必考慮。于是只需要考慮 三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣三個(gè)應(yīng)變分量即可，于

46、是應(yīng)變矩陣(1-3-2)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(100zxyz，)(yxzE0zzxyxyyx、 19)-(1 xyyx平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題物理方程物理方程(1-10)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：20)-(1 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE21)-(1 211)1 (211222xyxyxyyxyyxxEEEE平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題將將(1-21)式用矩陣方程表示：式用矩陣方程表示：它仍然可以簡(jiǎn)寫為：它仍然可以簡(jiǎn)寫為：彈性矩陣彈性矩陣D則

47、簡(jiǎn)化為：則簡(jiǎn)化為：22)-(1 2100010112xyyxxyyxE D 23)-(1 2100010112ED平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題只有只有 三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程(1-3)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題彈性體的虛功方程彈性體的虛功方程(1-17)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為 17)-(1 *dxdydzFTT 25)-(1 *dxdytFTT平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 一縱向一縱向(即即Z向向)很長(zhǎng)，且沿橫截很長(zhǎng)，且沿橫截面不變

48、的物體，受有平行于橫截面面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力，而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖如圖1-11所示。所示。 由于物體的縱向很長(zhǎng)由于物體的縱向很長(zhǎng)(在力學(xué)上在力學(xué)上可近似地作為無限長(zhǎng)考慮可近似地作為無限長(zhǎng)考慮)，截面尺，截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任一橫截面為一橫截面為xy面，任一縱線為面，任一縱線為Z軸時(shí)，軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿位移分量都不沿Z方向變化，它們都方向變化，它們都只是只是x和和y的函數(shù)。此外，在這一情的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對(duì)稱況下，由于對(duì)稱(任

49、一橫截面都可以任一橫截面都可以看作對(duì)稱面看作對(duì)稱面)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有，所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和和y方向的位移而不會(huì)有方向的位移而不會(huì)有Z方向的位方向的位移，即移，即 w = 0 因此，這種問題稱為平面位移問因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱為題，但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題。0 0y yx x圖 1-11平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函數(shù)，由幾何方程的函數(shù)，由幾何方程(1-3-1)可見可見 。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 ，幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程(1-24)。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、0zxyzz平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題因?yàn)橐驗(yàn)橛晌锢矸匠逃晌锢矸匠?1-11)中后兩式可見中后兩式可見又由物理方程又由物理方程(1-11)中的第三式可見：中的第三式可見：在平面應(yīng)變問題中，雖然在平面應(yīng)變問題中，雖然 ，但但 一般并不等于零，不過它可以由一般并不等于零，不過它可以由 及及 求得，在分析問題時(shí)不必考求得，在分析問題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量 需要考慮。需要考慮。xy00zx