微積分微分方程

1、12022-6-1522022-6-15微分方程：微分方程：例如例如2dyxdx 2()0yx dyxdx23xyyyezxyx 含有未知函數(shù)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分導(dǎo)數(shù)或微分等式叫等式叫都是微分方程都是微分方程.未未知知函函數(shù)數(shù)為為一一元元函函數(shù)數(shù)微微分分方方程程叫叫常常微微分分方方程程.未未知知函函數(shù)數(shù)為為多多元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分方方程程叫叫偏偏微微分分方方程程最后一個是偏微分方程，將重點研究常微分方程。最后一個是偏微分方程，將重點研究常微分方程。32022-6-15微分方程的階微分方程的階: : 未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為2()0yx dyxdx23xyyye

2、zxyx 2dyxdx 一階和二階微分方程一階和二階微分方程:未未知知函函數(shù)數(shù)及及未未知知函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或微微分分微微的的分分方方程程的的次次數(shù)數(shù)最最高高次次數(shù)數(shù). .線性與非線性微分方程：線性與非線性微分方程：52yy 2()20 x yyyx 42022-6-15微分方程的解：微分方程的解：能使方程左右兩邊相等能使方程左右兩邊相等函數(shù)函數(shù)212120.2,stC tCC C 例例如如，為為常常數(shù)數(shù)。220.4d sdt 是是解解；20.220stt 220.4d sdt 也也是是的的解解通解：通解：相互獨立任意常數(shù)的個數(shù)與階數(shù)相同相互獨立任意常數(shù)的個數(shù)與階數(shù)相同52022-6-15特解

3、特解: : 通解中任意常數(shù)確定以后的解通解中任意常數(shù)確定以后的解2220.2200.4d ssttdt 是是的的特特解解。定解條件定解條件: : 用來確定通解中任意常數(shù)條件用來確定通解中任意常數(shù)條件62022-6-1572022-6-15( )( )g y dyf x dx 形形如如4252dyx ydx 例例4252ydyx dx 變變?yōu)闉榭煽煞址蛛x離變變量量為為微微分分方方程程。( )( )g y dyf x dx 積積分分得通解得通解82022-6-151 2.dyxydx 例例求求通通解解解：分離變量解：分離變量12dyxdxy 兩端積分兩端積分2dyxdxy 2lnlnyxc為為通通

4、解解2xyce 92022-6-15 0,1.yxyxy 例例2 2 求求通通解解，并并求求的的特特解解dyxdxy 分分離離變變量量得得212122ycx 兩兩端端積積分分得得24yxC通通解解為為244.yx 所所求求特特解解為為dyxydx 解解：原原方方程程為為0,1C=4xy由由得得102022-6-15 y tt解解：設(shè)設(shè)人人口口數(shù)數(shù)量量為為，是是時時間間 函函數(shù)數(shù)由由題題設(shè)設(shè)得得方方程程00ty 時時，人人口口數(shù)數(shù)量量為為dydt人人口口增增長長率率 ()dykykdt 為為常常數(shù)數(shù)0302ty 時時，人人口口數(shù)數(shù)量量應(yīng)應(yīng)為為dykdty 分分離離變變量量112022-6-15l

5、n2300tyy e 特特解解為為3002kttyyyce 將將代代入入ln230k 得得30ln3tln2 得得時時，人人口口是是原原人人口口的的三三倍倍。00kttyyyce 將將代代入入0Cy 得得llnn yktc 兩兩邊邊積積分分得得ktyce 通通解解為為dykdty 分分離離變變量量122022-6-15)()(xQyxPdxdy 標準形式標準形式( ) 0Q x 稱為稱為齊次齊次方程方程稱為稱為非齊次方程非齊次方程( )0Q x 2dyyxdx如如2sindxxttdt, 32 xyyy, 1cos yy是一階線性非齊次微分方程是一階線性非齊次微分方程不是不是. . ,P xQ x 連連續(xù)續(xù)21dxxydyy132022-6-15故一階線性非齊次微分方程通解為故一階線性非齊次微分方程通解為( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e 142022-6-151sin xyyxx 求求方方程程的的通通解解1( ),P xx 解解：,sin)(xxxQ ( )(