概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、教材：教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程，魏宗舒 等編，高等教育出版社第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算 概率與頻率概率與頻率 古典概率與幾何概率古典概率與幾何概率 概率公理化的定義及其性質(zhì)概率公理化的定義及其性質(zhì) 條件概率、全概率公式和貝葉斯公式條件概率、全概率公式和貝葉斯公式 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 貝努里概型貝努里概型 1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算一些試驗(yàn)的例 E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況； E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù); E4:擲一顆骰

2、子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命; E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。一、隨機(jī)試驗(yàn)一、隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)試驗(yàn)”)1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.每次試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果; 3.一次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)可表為E 隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(p3) 1、樣本空間：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為(或S)=e； 2、樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為e. 3.由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為e.

3、EX EX 給出給出E1-E7的樣本空間的樣本空間二、樣本空間二、樣本空間(p3) (1).定義定義 (p4) 試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”, 簡(jiǎn)稱“事件”.記作A、B、C等 任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集. 稱事件事件A發(fā)生發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素 (2).兩個(gè)特殊事件兩個(gè)特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p4-5) 例：例： 對(duì)于試驗(yàn)E2 ，以下A 、 B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件: A“至少出一個(gè)正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B = “ 三次出現(xiàn)同一面” =HHH,TTT；

4、 C=“恰好出現(xiàn)一次正面” =HTT，THT，TTH 例：例：試驗(yàn)E6中，D“燈泡壽命超過1000小時(shí)” x:1000 xm),要求要求第第 i i 組恰有組恰有ni個(gè)球個(gè)球(i=1,m)，共有分法：共有分法：!.!1mnnn例例4:4:從從1 1到到200200這這200200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), ,(1)(1)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被8 8整除的概率整除的概率; ;(3)(3)求取到的數(shù)既能被求取到的數(shù)既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率。整除的概率。4 4 隨機(jī)取數(shù)問題隨機(jī)取數(shù)問題1.

5、4 幾何概率幾何概率 一、幾個(gè)例子一、幾個(gè)例子 例例1：某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待時(shí)間短于10分鐘的概率(半點(diǎn)報(bào)時(shí))。 例例2：如果在一個(gè)5萬平方公里的海域里有表面積達(dá)40平方公里的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假如在這海域里隨意選定一點(diǎn)鉆探，問鉆到石油的概率是多少？ 例例3：在：在40毫升自來水里有一個(gè)細(xì)菌，毫升自來水里有一個(gè)細(xì)菌，今從中隨機(jī)取出今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下毫升水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)細(xì)菌的概率。觀察，求發(fā)現(xiàn)細(xì)菌的概率。二、定義 若記A=在區(qū)域S中隨機(jī)地任取一點(diǎn)，而該點(diǎn)落在區(qū)域g中，則)()()(SmgmAP這一類概率稱為幾何概率。 例例1

6、.11：甲乙兩人約定在：甲乙兩人約定在6時(shí)到時(shí)到7時(shí)之間在某時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去。求兩人會(huì)面的概率時(shí)即可離去。求兩人會(huì)面的概率。 解：以解：以x和和y分別表示甲乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)分別表示甲乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件為間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件為15yx在平面上建立直角坐標(biāo)系如圖，在平面上建立直角坐標(biāo)系如圖， 167604560)()()(222SmAmAP則則 15601560Y=x+15Y=x-15三、幾何概率的基本性質(zhì)三、幾何概率的基本性質(zhì) （1）0 P(A) 1；（2）P(

7、S)1；P( )=0； （3 3）若，）若，A A1 1,A,A2 2, ,AnAn兩兩互不相容，則兩兩互不相容，則 （可列可加性）。（可列可加性）。 11)(nnnnAPAP）（1.5 概率的公理化定義概率的公理化定義1.定義定義(p29) 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間所對(duì)應(yīng)的樣本空間 中的每一事件中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)集合函數(shù)P(A)滿足條件：滿足條件：(1) P(A) 00；(2) P( )1； (3) 可列可加性：設(shè)可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不是一列兩兩互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j

8、1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率。的概率。2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) P(29-31) (1) 有限有限可加性可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，An , 是是n個(gè)兩兩互個(gè)兩兩互不相容的事件，即不相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n 則則有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3)事件差事件差 ：A、B是兩個(gè)事是兩個(gè)事件，則件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)(2) 單調(diào)不減性：?jiǎn)握{(diào)不減性：若事件若事件A B，則則P(A)P(B) (4) 加法公式：加法

9、公式：對(duì)任意兩事件對(duì)任意兩事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) 該公式該公式可推廣到可推廣到任意任意n個(gè)個(gè)事件事件A1，A2，An的的情形；情形；(5) 互補(bǔ)性互補(bǔ)性：P(A)1 P(A);(6) 可分性：可分性：對(duì)任意兩事件對(duì)任意兩事件A、B，有有 P(A)P(AB)P(AB ) . 例：某市有甲例：某市有甲,乙乙,丙三種報(bào)紙丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有其中有10%的人同時(shí)定甲的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙乙兩種報(bào)紙.沒有人同時(shí)訂沒有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人求從該市任選一人,他至

10、少訂他至少訂有一種報(bào)紙的概率有一種報(bào)紙的概率.1.6條件概率條件概率一般地，設(shè)一般地，設(shè)A、B是是S中的兩個(gè)事件中的兩個(gè)事件，P(A)0,則則稱為稱為事件事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條發(fā)生的條件概率。件概率。) 1 . 6 . 1 ()()()|(APABPABP 例例2.2.一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,舊乒乓球，各有舊乒乓球，各有紅、白兩色，分紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。新球的概率。二、乘法公式二、乘法公式 設(shè)設(shè)A、B，P（A）0,

11、則則 P(AB)P(A)P(B|A). (1.6.2)式式(1.6.2)就稱為事件就稱為事件A、B的概率的概率乘法公式乘法公式。 式式(1.6.2)還可推廣到三個(gè)事件的情形：還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.6.3) 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.6.4) 例例3 3 盒中有盒中有3 3個(gè)紅球，個(gè)紅球，2 2個(gè)白球，每次從袋中個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中

12、連續(xù)取球所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得紅球的概次取得紅球的概率率。解：設(shè)解：設(shè)A Ai i為第為第i i次取球時(shí)取到白球，則次取球時(shí)取到白球，則)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式 例例4.4.市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分

13、別為品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工廠的次品率分別為且三家工廠的次品率分別為 2 2、1 1、3 3，試求市場(chǎng)上，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。該品牌產(chǎn)品的次品率。 定義：定義： 事件組事件組A1，A2，An (n可為可為 )，稱為樣本空間稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：的一個(gè)劃分，若滿足：.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2AnB 定理定理1：設(shè)：設(shè)A1，, An是是S的一個(gè)劃分，的一個(gè)劃分，且且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)則對(duì)S的的任何任何事件事件B有有 ) 5 . 6 . 1 ()|(

14、)()(1niiiABPAPBP式式(1.6.5)就稱為全概率公式就稱為全概率公式 例例5 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？率？ 定理定理2 2 ：設(shè)：設(shè)A A1 1，, A, An n是是S S的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且P(AP(Ai i) 0) 0，(i (i1 1，n)n)，則對(duì)則對(duì)S S的的任何

15、事件任何事件B B，有有 )6 . 6 . 1 (),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj式(1.6.6)就稱為貝葉斯公式貝葉斯公式。 例：設(shè)某一工廠有例：設(shè)某一工廠有A、B、C三個(gè)車間，他們生產(chǎn)同一種三個(gè)車間，他們生產(chǎn)同一種螺釘，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占該廠生產(chǎn)螺釘總產(chǎn)量的螺釘，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占該廠生產(chǎn)螺釘總產(chǎn)量的25,35 ,40 ,每個(gè)車間的次品率分為每個(gè)車間的次品率分為5 ，4 ，2 。求（。求（1）從）從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得到次品的概率；（全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得到次品的概率；（2）如果從）如果從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得

16、到次品，那么它是車間全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得到次品，那么它是車間A生產(chǎn)生產(chǎn)的概率。的概率。解：解：A1=是是A車間生產(chǎn)的車間生產(chǎn)的，A2=是車間是車間B生產(chǎn)的生產(chǎn)的，A3= 是是C車間生產(chǎn)的車間生產(chǎn)的，B=從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得到次品到次品。（1）（2）)()()()(321BAPBAPBAPBP)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0345. 002. 040. 004. 035. 005. 025. 06925)|()()()|()()()|(311111iiiABPAPAPABPBPBAPBAP1.7事件的獨(dú)立性

17、事件的獨(dú)立性 一、兩事件獨(dú)立一、兩事件獨(dú)立 定義定義1： 設(shè)設(shè)A、B是兩事件，是兩事件，P(A) 0,若若 P(B)P(B|A) (1.7.1)則稱事件則稱事件A與與B相互相互獨(dú)立獨(dú)立。式式(1.5.1)等價(jià)于：等價(jià)于： P(AB)P(A)P(B) (1.7.2) 定理：以下四件事等價(jià)：定理：以下四件事等價(jià)：(1)事件事件A、B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(2)事件事件A、B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(3)事件事件A、B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(4)事件事件A、B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。證明證明：（：（1）推出（）推出（2）BABBA)()()()(ABPBPABBPBAP)()()(1)()()()()(BPAP

18、APBPBPAPBPBAP由由A與與B相互獨(dú)立，有相互獨(dú)立，有即即A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立二、多個(gè)事件的獨(dú)立二、多個(gè)事件的獨(dú)立定義定義2、( (p46)p46) 若三個(gè)事件若三個(gè)事件A、B、C滿足：滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.7.3)則稱事件則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 一般地，設(shè)一般地，設(shè)A1，A2，An是是n個(gè)事件，如果對(duì)個(gè)事件，如果對(duì)任意任意k (1 k

19、n), 任意的任意的1 i1 i2 ik n，具有等式具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.7.4) 則稱則稱n個(gè)事件個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。三、事件獨(dú)立性的應(yīng)用三、事件獨(dú)立性的應(yīng)用1、加法公式的簡(jiǎn)化加法公式的簡(jiǎn)化：若若事件事件A1，A2，An相互相互獨(dú)立獨(dú)立, 則則 (1.7.5)2、在可靠性理論上的應(yīng)用在可靠性理論上的應(yīng)用例例1：如圖，：如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn)表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至至R

20、是通路的概率。是通路的概率。)().(1).121nnAPAPAAAP例例2:2:一工人照看三臺(tái)機(jī)器，在一小時(shí)內(nèi)甲、一工人照看三臺(tái)機(jī)器，在一小時(shí)內(nèi)甲、乙、丙三個(gè)機(jī)器需照看的概率分別為乙、丙三個(gè)機(jī)器需照看的概率分別為0.90.9、0.80.8、0.850.85，求（，求（1 1）在一小時(shí)內(nèi)沒有一臺(tái)機(jī)器需照看）在一小時(shí)內(nèi)沒有一臺(tái)機(jī)器需照看的概率；（的概率；（2 2）至少有一臺(tái)機(jī)器不需照看的概率。）至少有一臺(tái)機(jī)器不需照看的概率。 1.81.8貝努里概型貝努里概型 一、貝努里試驗(yàn)一、貝努里試驗(yàn) AAqpAPpAP1)(,)() 10( p1 1、定義：如果試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果：、定義：如果試驗(yàn)只有兩個(gè)

21、可能結(jié)果： 及及且且 ， 則稱則稱E E為為貝努里試驗(yàn)。貝努里試驗(yàn)。 將貝努里試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)將貝努里試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n n次的試驗(yàn)，稱為次的試驗(yàn)，稱為n n重重貝努里試驗(yàn)。貝努里試驗(yàn)。 2 2、定理：在貝努里試驗(yàn)中，、定理：在貝努里試驗(yàn)中，A A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為 ，則在則在n n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，A A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k k次的概率為次的概率為) 10( ppknkknknkknnqpCppCkP)1 ()(nk, 1 , 0 二、應(yīng)用二、應(yīng)用 例例1.241.24（P49P49）：）：金工車間有金工車間有1010臺(tái)同類型的機(jī)床，臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率

22、為每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為1010千瓦，已知每臺(tái)機(jī)床千瓦，已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)1212分鐘，且開動(dòng)與否是分鐘，且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的?，F(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提相互獨(dú)立的?，F(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供供5050千瓦的電力給這千瓦的電力給這1010臺(tái)機(jī)床，問這臺(tái)機(jī)床，問這1010臺(tái)機(jī)床能夠正臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大？常工作的概率為多大？ 解：設(shè)解：設(shè)A=10A=10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作臺(tái)機(jī)床能夠正常工作 ，AiAi=第第i i臺(tái)機(jī)床開臺(tái)機(jī)床開動(dòng)動(dòng) ，X X表示表示1010臺(tái)機(jī)床中正在開動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)。臺(tái)機(jī)床中正在開動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)。則則 P(Ai)=12|60=1|5=0.2P(Ai)=12|60=1|5=0.2。 于是，有于是，有50)()5()(kkXPXPAP994. 08 . 02 . 0501010kkkkC 例例1.251.25：某大學(xué)校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉：