實(shí)變函數(shù) 對(duì)等與基數(shù)

1、第一章第一章 集合及其基數(shù)集合及其基數(shù)當(dāng)映射當(dāng)映射f使使y與與x對(duì)應(yīng)時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)，y稱為稱為x在映射在映射f下的像。下的像。像的全體組成值域。像的全體組成值域。對(duì)于某一固定的對(duì)于某一固定的y ，稱適應(yīng)關(guān)系，稱適應(yīng)關(guān)系y= f (x)的的x的全的全體是元素體是元素y在映射在映射f下的原像。下的原像。注：模糊集：參見：模糊集合、語言變量及模糊邏輯，L.A.Zadeh 1 , 0 :Xf2、 實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算+: ba1、 定積分運(yùn)算 為從a,b上的可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射。AxAxAx10)( 1 , 0:XA3、 集合A的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定） 稱 為集A的特征函數(shù)，對(duì)任意x,yX，如

2、果f(x)=f(y)，則x=yY對(duì)任意y，存在xX,使得f(x)=y既是單射又是滿射的映射稱為雙射或一一映射。1:,()() :(),1)()();2)()()(),()();3)()()(),()();fXYA B AXfxxAAfAABfAfBfABfAfBfAfAfABfAfBfAfA 定 理 ： 設(shè)是的 子 集 ，稱為的 像 集 ， 記 作則 有 ：一 般 地 有 ：一 般 地 有 ：011011()(),B ,()(B )()(B ).2)()(),()()()().()(),()()()()(fafAaAABafaffAffafAaAfafAfAfAfbfAbAfbfAfAfAfA

3、 證 明 ： ）由 于所 以從 而， 所 以必 存 在 某 個(gè)， 使 得很 顯 然 ， 所 以必 有使 得從 而， 所 以)11111111111112:, , ,() : ( )( )()1)( )( );2)()( )( ),()();3)()( )( ),()();f XY AX C D CYx f xCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理 ：設(shè)是 的子集，稱為 的原像集，記作不一定有逆映射，則有：一般地有：一般地有：注：6），7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為單射， 7）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為滿射;)()7);()6;)()()5);( )(

4、)()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;,)3;)2;) 1)2CACBBAABBAAA傳遞性：對(duì)稱性：自反性：性質(zhì)1）非空注：稱與A對(duì)等的集合為與A有相同的勢(shì)（基數(shù)），記作勢(shì)是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣ABA ZNNN) 1偶數(shù)奇數(shù)n2n-12n0122 +1,1,2,mmmmm2) ( 1,1) (,) )2(:xtgxf有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素?zé)o限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能。Galileo在17世紀(jì)最先考慮

5、自然數(shù)與自然數(shù)平方的多少,1870Cantor開始系統(tǒng)考慮.；則稱若BABA,) 1( 1,1) ( 1,1)(,) 如：12),ABBABA BBA若則稱；相當(dāng)于： 到 有一個(gè)單射，也相當(dāng)于 到 有一個(gè)滿射3),ABABABAB若且，則稱注：不能用 與 的一個(gè)真子集對(duì)等描述.,*BABABBABAABA則，使的子集及，使的子集是兩個(gè)集，若有設(shè),.AB BAAB即：若則單射。又滿的映射轉(zhuǎn)化找兩個(gè)；從而我們把找既單，只需找一個(gè)單射即可而要證射；間找一個(gè)既單又滿的映與，需要在注：要證BABABA例：由 可知 ，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。 1 , 1) 1 , 1() 1 , 1(),(

6、1 , 1) 1 , 1(么：中的集合兩兩不交，那兩兩不交中的集合而且指標(biāo)集，又是一個(gè)是兩個(gè)集族，引理：設(shè): ,:,:BABABABAABf.,*gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根據(jù)題設(shè)，存在*B*A*B*A1A*1 AAA 令2A)(12BgA 3A)(23BgA 3B)(33AfB 2B)(22AfB 1B)(11AfB 令*B*A1A1B2A3A2B3B不交與，故而知由21*1*12*,)()(AAAAAABgAABg不交的象在從而2121,BBfAA不交下的象在3221,AAgBB兩兩不交故不交與知由32131*3,AAAAAAA 123123,A A AfB B B從而在 下的象也兩兩不交，11321321), 2 , 1(,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而且也兩兩不交兩兩不交從而1111(1, 2,),ggkkkkkkBAkBA另 外 由可 知*111,ggkkkkBABBAA又所以111111*