dsp6_有限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

1、第6章 無限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法6.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟6.2 模擬濾波器的數(shù)字化設(shè)計IIR數(shù)字濾波器6.3 頻率變換設(shè)計IIR數(shù)字濾波器模擬域頻率變換法6.4 頻率變換設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字域頻率變換法6.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟6.1.1 理想數(shù)字濾波器的性能特性數(shù)字濾波器按頻率特性分類，可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通。它們的理想幅度響應(yīng)特性如圖所示。20()jH e(a) 低通20()jH e(b) 高通20()jH e(c) 帶通20()jH e(d) 帶阻20()jH e(e) 高通說明： (1)頻率變量以數(shù)字頻率 表示， 為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔； (

2、2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)以 為周期； (3)頻率特性只限于 范圍，這是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。22/s6.1.2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標單位沖激響應(yīng)為h(n)的數(shù)字濾波器，其頻率響應(yīng) 為：()jH e()( )( )jjj nz enH eH zh n e或表示為：()()()jjjH eH ee式中， 稱為濾波器的幅度響應(yīng)， 成為相位響應(yīng)。()jH e()通常情況下，濾波器的技術(shù)指標要求由幅度響應(yīng) 給出，相位響應(yīng) 一般不作要求，頻率響應(yīng)由通帶、過渡帶、阻帶三個范圍組成。()jH e()通帶阻帶過渡帶111)(1 ,jceH2)(,jsteH,stcc:通帶截至頻率1:

3、通帶容限st2:阻帶容限:阻帶截至頻率11 )e (Hj0cst211 低通濾波器的幅度特性6.1.3 數(shù)字濾波器設(shè)計的一般步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計一般由以下步驟完成：(1)根據(jù)要求，確定濾波器的性能指標。(2)用一因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能指標。(3)用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)（其中包括濾波器結(jié)構(gòu)的選擇，有限字長效應(yīng)的處理方法等）(4)利用計算機軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件的實際技術(shù)實現(xiàn)。6.2 模擬濾波器的數(shù)字化設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 通常模擬濾波器的數(shù)字化設(shè)計IIR數(shù)字濾波器由以下幾步完成：(1)根據(jù)給定的數(shù)字濾波器指標要求，確定模擬濾波器的技術(shù)指標。(2)按照模擬濾波

4、器的性能指標要求，設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。(3)用適當?shù)臄?shù)字化方法（如沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法等），將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 轉(zhuǎn)化成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。( )aHs( )aHs6.2.1 沖激響應(yīng)不變法1.變換原理沖激響應(yīng)不變法的基本原理是將模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) 加以等間隔的抽樣（抽樣周期為T），使數(shù)字濾波器( )ah t的單位沖激響應(yīng)h(n)正好等于 的抽樣值乘T，即( )()ah nTh nT( )ah t使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) 。( )ah t如果令 是 的拉普拉斯變換 ，H(z)為h(n)的z變換 ，則沖激響應(yīng)不變法的實現(xiàn)流程圖如下：

5、( )aHs( )ah t( )( )aaHsL h t( ) ( )H zL h n( )aHs( )ah t( )h n( )H z拉普拉斯反變換tnTz變換抽樣序列的z變換與模擬信號的拉普拉斯關(guān)系的關(guān)系：2( )()sTaz ekH zHsjkT可見，沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的s平面變換映射成數(shù)字濾波器的z平面，其變換關(guān)系：sTze說明：s平面上的每一條寬度為 的橫條都重疊映射到整個z平面上，而每一橫條的左半邊映射到z平面單位圓內(nèi)，右半邊映射到z平面單位圓外。S平面虛軸映射到z平面單位圓上，虛軸上每一段長為 1. 的線段都映射到z平面單位圓上一周。2T2TIm jzRe zz平面j3

6、/T3 /T/T/T2.模擬濾波器的數(shù)字化方法設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只有單極點，且假定分母的階次，因此可將 展開成部分分式：( )aHs1( )NkakkAHsss該模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) 為N1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hk( )ah t其中u(t)是連續(xù)時間的單位階躍函數(shù)。由于沖激響應(yīng)不變法要求數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)等于 的抽樣，所以得：( )ah tN1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H對h(n)求z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：0nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn

7、1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak(1)s平面的單極點 變?yōu)閦平面單極點 (2)H(z)的部分分式的系數(shù)是 的(3)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)包含單位圓，數(shù)字濾波器 也是穩(wěn)定的。(4)s平面的極點與Z平面的極點一一對應(yīng)，但兩平面并不結(jié)論：kssks Tze( )aHskTA一一對應(yīng)。例如，零點就沒有這種對應(yīng)關(guān)系。例6-1 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ，試利用沖激響應(yīng)不變法是設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。 21( )21aHsss解：由于模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為：210.70710.7071( )0.70710.70710.70710.707121ajjHssjsjss1(0.7071

8、0.7071 )1(0.7071 0.7071 )0.70710.7071( )11j Tj Tj Tj TH zz ez e21()( )21aasjHjHsj 20.318()( )1 0.74970.2431jjjjjz eeH eH zee3. 沖激響應(yīng)不變法的實現(xiàn)步驟(1)確定數(shù)字濾波器的性能指標（ )和( )(2)利用 ，將數(shù)字濾波器的性能指標變換成模擬濾波器的性能指標( )和( )。(3)利用成熟的模擬濾波器設(shè)計方法設(shè)計模擬濾波器，求出(4)將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) 轉(zhuǎn)變成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù),pp ,ss T ,pp,ss( )aHs( )aHs( )H z4.沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺

9、點優(yōu)點：一個線性相位的模擬濾波器可以映射成為一個線性相位的數(shù)字濾波器。缺點：根據(jù)奈奎斯特抽樣定理，沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器，即只適用低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計，否則會出現(xiàn)混疊，而且這種頻率混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)不會因抽樣周期的減少而消失。6.2.2 雙線性變換法1.變換原理在s平面與z平面的映射關(guān)系中,我們知道，s平面中一條寬為 （如 到 ）的橫帶就可以變換到整個Z平面。因此，可先將整個S平面壓縮到一個中介的 平面的一條橫帶里，再通過 將此橫帶變換到整個Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關(guān)系。如下圖所示：T2TT1STSeZ1j0011jTT01-1Re

10、 zIm jz2.模擬濾波器的數(shù)字化方法首先，為了將s平面整個地變換到s1平面的橫帶 TT范圍，取頻率變換關(guān)系：)2(1TtgC 其中C為任意常數(shù)。由上式可知，當 由1TT經(jīng)過0變到將由經(jīng)過0變到CeeeejTjTjTjTj22221111可得：將上式關(guān)系延拓到整個s和 平面，則有：1sCeeSTSTS1111借助于 平面和z平面的映射關(guān)系： ，可以得到：1STSeZ1111111ZZCZZCS上式表示兩個線性函數(shù)之比，稱作線性分式變換，若用s表示z，可得：SCSCZ可見，也是線性分式變換（函數(shù)），這樣( )間的變 換是雙向的，故稱作雙線性變換。ZS 變換常數(shù)C的選擇：(1) 由于 ，所以只有

11、當 很小(一般）， 和 之間才存在線性關(guān)系，即：)2(1TtgCT13 . 01 T121TC21TC如果使模擬濾波器和數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，則選擇 TC2，(2)使數(shù)字濾波器的某一頻率與模擬濾波器的一個特定頻率c嚴格相對應(yīng) 即：1()()22cccTCtgCtg 2ccctgC3.雙線性變換法的實現(xiàn)步驟(1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標（通帶頻率 ，通帶最大衰減 、阻帶頻率 、阻帶最小衰減 等）(2)采用頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系 ，將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬濾器的技術(shù)指標。(3)按照模擬濾器的技術(shù)指標設(shè)計模擬濾波器，獲得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(4)將系統(tǒng)函數(shù)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字

12、濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即：1111( )( )azs czH zHs( )aHstan2c ppss例6-3 已知二階模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為其中， 為3dB帶寬。用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 ，并要求3dB帶寬為222( )2pppH sssp0.2p( )H z解：由 得預(yù)畸變后的模擬截止頻率為：tan0.32492ppcc 0.2p故模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：222222(0.3249 )( )0.4595(0.3249 )2pppcH sscscss經(jīng)雙線性變換法得：111212110.06740.13490.0674( )( )1 1.1430.4128zs czzzH zH szz

13、頻率響應(yīng)：220.06740.13490.0674()( )1 1.1430.4128jjjjjjz eeeH eH zee0.220lg()3jH edB 滿足設(shè)計要求。4.雙線性變換法的特點優(yōu)點：避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象缺點：模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間存在非線性變換關(guān)系，使一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到一個非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位。6.3 頻率變換法設(shè)計IIR濾波器模擬域頻率變換法設(shè)計原理：首先將所要設(shè)計數(shù)字濾波器的性能指標按照某種頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系，轉(zhuǎn)化成模擬低通濾波器的性能指標：然后利用模擬濾波器設(shè)計技術(shù)，設(shè)計出模擬低通濾波器，該濾波器稱為原型濾波器，最后按

14、某種變化關(guān)系，再將原型濾波器數(shù)字化成各類數(shù)字濾波器。模擬歸一化低通濾波器1p 實際模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器實際數(shù)字低通高通、帶通、帶阻濾波器數(shù)字化模擬模擬頻帶變化模擬歸一化低通濾波器1p 數(shù)字低通濾波器實際數(shù)字低通高通、帶通、帶阻濾波器數(shù)字化數(shù)字數(shù)字頻帶變化變化類型頻率變換關(guān)系平面變化關(guān)系低通歸一化原型低通高通歸一化原型低通帶通歸一化原型低通帶阻歸一化原型低通p p 220B 220B pss pss220sssB220sBss表6-1 模擬濾波器系統(tǒng)的頻率與平面變換關(guān)系6.3.1 模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器例6-4 試用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一個巴特沃思數(shù)字低通濾波器，要求在通帶

15、頻率低于 時，允許幅度誤差衰減1dB以內(nèi)，在頻率 到 之間阻帶衰減在15dB。0.2 rad0.3 解：(1)數(shù)字濾波器的性能指標 通帶頻率 ，通帶最大衰減 阻帶頻率 ，阻帶最大衰減0.2prad0.3srad1pdB15sdB (2)模擬低通的技術(shù)指標 通帶頻率 ，通帶最大衰減 阻帶頻率 ，阻帶最大衰減/0.2/ppTrad s 1pdB/0.3/ssTrad s 15sdB(3)求模擬原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)0.10.1101lg1015.8842lgpspsN取整數(shù)N=6，則得到歸一化的傳輸系統(tǒng)函數(shù)為2221( )(0.51761)(1.41421)(1.93191)anHsssssss將

16、帶入到上式/css6222222( )(0.5176)(1.4142)(1.9319)caccccccHsssssss把上式展開成部部分式，并利用沖激響應(yīng)不變法得：1111212120.28710.44662.14281.14541.85580.6304( )10.12970.69491 1.06910.369910.99720.2570zzzH zzzzzzz6.3.2 模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器1.由歸一化模擬原型低通濾波器得到高通濾波器的變換歸一化原型低通濾波器與模擬高通濾波器的關(guān)系為：p 令 ，可導出歸一化模擬原型濾波器與實際模擬高通濾波器的平面轉(zhuǎn)換關(guān)系為可得到模擬高通濾波器的

17、系統(tǒng)函數(shù)為pss,sjsj ( )( )pHPHPssHsHs2. 模擬高通濾波器得到高通濾波器的數(shù)字化數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：1111( )( )HPHPzs czHzHs例6-5 利用雙線性變換法設(shè)計一個巴特沃思高通濾波器，其通帶截止頻率為 ，阻帶截止頻率 通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于14dB，抽樣頻率3pfkHz2sfkHz10cfkHz解：預(yù)畸變20.6 ,20.4pspsccffff 預(yù)畸變后模擬高通濾波器的通帶頻率和阻帶頻率分別為tantan(0.3 ),tantan(0.2 )22pspscccc 利用頻率變換關(guān)系，可求出歸一化原型低通濾波器的通帶頻率和阻帶頻率分別為

18、：1,1.8946ppss 求得N:0.10.1101lg1012.49092lgpspsN取N=3，查表得：321( )(221)anHssss33223( )( )22pHPHPspppssHsHssss 求得實際模擬高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為經(jīng)雙線性變換法得：1231230.098531 0.295590.295590.098531( )1 0.577240.421790.056297zzzH zzzz6.3.3 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器1.由歸一化模擬原型低通濾波器到模擬帶通濾波器的變換歸一化原型低通濾波器與模擬帶通濾波器的關(guān)系為：可得到模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,sjsj 2.

19、 模擬帶通濾波器得到帶通濾波器的數(shù)字化數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：1111( )( )HPHPzs czHzHs220B 令220sssB220( )( )HPHPsssBHsHs例6-6 利用雙線性變換法設(shè)計一個巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，通帶頻率從200Hz到250Hz，在此兩頻率處衰減不大于3dB，在100Hz和400Hz頻率處衰減不得小于20dB，抽樣頻率1sfkHz解：預(yù)畸變1212121220.4 ,20.520.2 ,20.8ppppssssssssffffffff 12121212tan,tan,tan,tan2222ppssppsscccc12220122026.988810.3

20、914ssssBB 0.10.1lg (101)/(101)1.18172lg/pspsN取N=2， 查表得：21( )(1.41421)anHsss求得實際模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為22022222001( )( )()1.41421BPansssBHsHssssBsB22012210.3249,0.6751ppppcBc 代入得：2 212340.020083(1)( )1 0.564011.64140.45040.64135zH zzzzz6.3.4 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器1.由歸一化模擬原型低通濾波器到模擬帶阻濾波器的變換歸一化原型低通濾波器與模擬帶阻濾波器的關(guān)系為：220

21、B 可得到模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,sjsj 令 可導出歸一化模擬原型濾波器與實際模擬帶阻濾波器的平面轉(zhuǎn)換關(guān)系為220sBss220( )( )BSansBssHsHs2. 模擬帶阻濾波器得到數(shù)字帶阻濾波器的變換數(shù)字帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：1111( )( )BSBSzs czHzHs例6-7 試設(shè)計一個巴特沃思帶阻濾波器，在-3dB衰減處的邊帶頻率分別為 ；在-14dB衰減處的頻率分別為 ，抽樣頻率為100sfkHz1210,35ppfkHz fkHz1218,25ssfkHz fkHz解：預(yù)畸變1212121220.2 ,20.720.36 ,20.5ppppssssssssffffff

22、ff 12121212tan,tan,tan,tan2222ppssppsscccc121220222011ppppBB 同理，12122022204.42364.5201ssssBB 0.10.1lg (101)/(101)1.07032lg/pspsN取N=2，查表得：21( )(1.41421)anHsss求得實際模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為22022222001( )( )()1.41421SPansBssHsHssBsBss22012210.6377,1.6377ppppcBc 代入得：123412340.292890.259190.643130.259190.29289( )10.4

23、42460.0573410.0759150.17157zzzzH zzzzz6.4 頻率變化法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 數(shù)字域頻率變換法數(shù)字域頻率變換法設(shè)計的思想是先將歸一化模擬原型低通濾波器變換成數(shù)字原型低通濾波器，然后在數(shù)字域、通過數(shù)字頻帶變換將數(shù)字原型低通濾波器變換成低通、帶通、帶阻或高通數(shù)字濾波器，以獲得性能技術(shù)指標要求的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)由歸一化模擬原型低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ，從數(shù)字原型低通濾波器變換到數(shù)字各型濾波器 的映射關(guān)系可寫為：( )LDHz( )GeHz11()( )( )GeLDzG zHzHz其中 為變換函數(shù)。11()zG zz平面和 平面之間的映射關(guān)系

24、必須滿足z 平面的單位圓必須映射到z平面的單位圓上 平面的單位圓內(nèi)部必須映射到z平面的單位圓內(nèi)， 平面的單位圓外必須映射到z平面的單位圓外部。zzz設(shè) 和 分別為 平面和z平面的數(shù)字頻率變量，即z,jjzeze，由頻率變換函數(shù)11()zG z可得：arg()()()jjjjjG eeG eG ee這要求 的幅度相應(yīng)和相位響應(yīng)滿足：()jG e()1,arg ()jjG eG e 頻帶變換函數(shù) 可以表示為全通函數(shù)的表達式為：11()zG z11111()1NiiizazG za z 1.數(shù)字原型低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器若N=1，則1111()1izazG za z其中a為實數(shù)，且 ，此時，

25、滿足G(1)=1，G(-1)=-11a 將,jjzeze代入得：sinarctan1cosaaa的大小可以由原型低通濾波器的截止頻率 和變換后對應(yīng)的截止頻率 確定。ccsin()2sin()2cccca則可由數(shù)字原型低通濾波器 變換得到實際低通濾波器得系統(tǒng)函數(shù)( )LDHz( )LPHz1111( )( )iLPLDzaza zHzHz2.數(shù)字低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器2111122121()1zd zdzG zd zd z1221,11dd 122121cos()/cos(),tan()cot()2222ppppppp數(shù)字原型低通濾波器 到實際帶通數(shù)字濾波器的變換公式 為( )LDHz( )BPHz2111221211( )( )BPLDzd zdzd zd zHzHz例6-8 試設(shè)計一個巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，通帶內(nèi)的衰減=-3dB， ，阻帶衰減=-15dB， 求此濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。0.450.5500.3 ,0.7解：預(yù)畸變12121212tantan(0.225 ),tantan(0.275 ),22tantan(0.15 ),tantan(0.35 )22ppppssssccccccc