求不定積分的幾種基本方法

1、5.2 求不定積分的幾種基本方法求不定積分的幾種基本方法一、 第一類換元法（湊微分法）第一類換元法（湊微分法） .上一頁上一頁目錄目錄下一頁下一頁退退 出出先看下例：例例1 求解解設(shè)則3cosd .x x32cosdcoscos dx xxx xsin ,ux3231cosd(1)d3x xuuuuC22cosdsin(1 sin)dsinxxxx31sinsin.3xxC () d(),f uuF uC一般地，如果()F u是()f u的一個原函數(shù)，則而如果u又是另一個變量x的函數(shù) ,ux且 x可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有 ddd .Fxfxxfxxx由此得 ddfxxxfxx = d

2、.FxFxC (),F u是具有原函數(shù)()f u ux dddg xxfxxxfxx d() duxfxxxf uu于是有如下定理：定理定理1 設(shè)可導(dǎo)，則有換元公式 ().uxF uC（5-2）由此可見，一般地，如果積分 dg xx不能直接利用利用基本積分公式計算，而其被積表達(dá)式 dg xx能表示為的形式，且() df uu較易計算，那么可令 ,ux g x d() d.uxfxxf uu代入后有2cos2 d .x x ddg xxfxxx這樣就得到了的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法第一類換元法.由于在積分過程中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個積分因子 dd ,xxx因此第一類換元法也稱為湊微

3、分法湊微分法.例例2 求解解 2cos2 dcos22dx xxxx cosdsin.uuuC2ux再以代入，即得1d .23xx例例3 求 解解 被積函數(shù) 123x可看成 1u與 23ux構(gòu)成的復(fù)合 函數(shù)，雖沒有 2u這個因子，但我們可以湊出這個因子： 111112(23)23223223xxxx， 如果令 23ux便有 2cos2 dsin2.x xxC ， 111d(23)d232 23xxxxx11lnln 23.22uCxC一般地，對于積分 ()df axbx總可以作變量代換 uaxb，把它化為 1()d()d()f axbxf axbaxba111 1d(23)d2 232xuxu

4、( )1( )d.uxf uua， 22211d1(1) d2x xxxxx3211d23u uuC例例4 求 21d .x xx解解 令 21,ux則2211d(1)2xx3221(1).3xC ， 例例5 求 2d .xxex解解 令 2ux ,則 d2 d ux x,有 2211d( 2 )dd22 xxuxexexxeu湊微分與換元的目的是為了便于利用基本積分公式在比較熟悉換元法后就可以略去設(shè)中間變量和換元的步驟211.22 uxeCeC例例7 求 例例6 求 221dxax解解 2222d( )1ddarcsin.1 ( )1 ( )xxxaxCaxxaxaaa).0( a221d

5、.xax解解 2222111dd1( )xxxaxaa2111d( )arctan.1( )xxCxaaaaa解解 1d()1d()22axaxaaxaax11lnln22axaxCaa例例8 求 221d (0).x aax221111d()d2xxaxaaxax1ln.2axCaax例例9 求 tan d .x x解解 sindcostan ddcoscos xxx xxxx類似地可得 cot dln sin.x xxCln cos. xC例例10 求 2sind .x x解解 21 cos2sindd2xx xx11sin2.24xxC11cos2 d(2 )24xxx例例11 求 cs

6、c d .x x解解 21sincsc dddsinsinxx xxxxx類似地可得211cosdsin2.24x xxxC2dcos11 coslncos-121cosxxCxxln tan.2xC類似地可得sec dln sectan.x xxxC例例12 求 d.xexx解解 d2d2.xxxexexeCx例例13 求 4secd .x x解解 422secdsecdtan(1tan)dtanx xxxxx31tantan.3xxC第一類換元法有如下幾種常見的湊微分形式:1dd();xaxba11dd(1);1 xxx(1) (2) (3) (4) 1dd ln;xxx1dd;lnxxa

7、xaa(5) (6) (7) (8) sin ddcos ; x xxcos ddsin ;x xx2secddtan ;x xx2cscddcot ; x xx21ddarcsin ;1xxx21ddarctan .1xxx(9) (10) 二二、 第二類換元法第二類換元法 第一類換元法是通過變量代換 ( )ux，將積分 ( ( )( )dfxxx化為積分 ( )df uu第二類換元法是通過變量代換( )xt，將積分 ( )df xx化為積分 ( ( )( )d .fttt在求出后一個積分后,再以 ( )xt反函數(shù) 1( )tx代回去,這樣換元積分公式可表示為:1( )( )d( ( )(

8、)dtxf xxfttt上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊的不定積分要存在，即被積函數(shù) 的( ( )( )ftt有原函數(shù)；其次, ( )xt的反函數(shù) 1( )tx要存在.我們有下面的定理 定理定理2 設(shè)函數(shù) ( )f x連續(xù), ( )xt單調(diào)、可導(dǎo)，并且 ( )0t，則有換元公式1( )( )d( ( )( )dtxf xxfttt(5-3) 下面舉例說明公式(5-3)的應(yīng)用 例例14 求 3d.11xx解解 遇到根式中是一次多項(xiàng)式時，可先通過適當(dāng)?shù)膿Q元將被積函數(shù)有理化，然后再積分 令 31 xt,則 321,d3 dxtxtt，故 223d3 d1 13d1111 xttttttx

9、23333(1)313ln 11.2 xxxC213 (1)d3(ln 1)12 tttttCt例例15 求 1d .1exx解解 令 1 ext，則 222ln(1),dd1txtxtt,則有2d12d11xxtte22d (0).axx a例例16 求 解解 為使被積函數(shù)有理化利用三角公式 22sincos1tt令 sin ,(,),2 2 xat t 則它是 t的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，具有反函數(shù)arcsinxta,且 22cos ,dcos d ,axatxat t11 e1lnln.11 e1xxtCCt因而2222dcoscos dcosdaxxat at tat t2221(sin2 )s

10、in cos2222aaattCtttC2221arcsin.22axx axCa例例17 求 221d (0).x aax解解 令 tan ,(,),2 2 xat t 則 222sec ,dsecd ,xaatxat t于是 2221secddsec dsecat txt tatax21cos2d2tat1ln sectanttC221lnxaxCaa22ln.xaxC其中 1ln .CCa例例18 求 221d (0).x axa解解 被積函數(shù)的定義域?yàn)?(,)( ,)aa ,令 sec ,(0,)2xat t，這時22tan ,xaat故 221sec tan ddsec dtanat

11、t txt tatxa1ln sectanttCdsec tan dxatt t22221lnln,xxaCxxaCaa其中 1lnCCa,當(dāng) (,)xa 時,可令 sec ,xat類似地可得到相同形式的結(jié)果以上三例中所作的變換均利用了三角恒等式，稱之為三角代換，可將將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù)的有理因式一般地，若被積函數(shù)中含有 22ax時，可 作代換 sinxat(, ),2t或 cosxat；含有 22xa時，可作代換tanxat；含有 22xa時，可作代換 sec .xat利用第二類換元法求不定積分時，還經(jīng)常用到倒代換即1xt等 例例19 求 2d.1xx x解解 令 1xt,則

12、21dd , xtt因此22dd.11 ttxxxtt當(dāng) 1x 時， 01t ,有22d1d11 xtx xt1arcsinarcsin; tCCx1x 10t 當(dāng) 時， 有22d11darcsinarcsin.11xttCCxxxt綜合起來，得2d1arcsin.1 xCxx x在本節(jié)的例題中，有幾個積分結(jié)果是以后經(jīng)常會遇到的所以它們通常也被當(dāng)作公式使用這樣,常用的積分 公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(其中常數(shù)a0). tan dln cos x xxCcot dln sinx xxC(14) (15) (16) (17) (18) sec dln sectanx xxxCcs

13、c dln csccotx xxxC22d1arctanxxCaxaa22d1ln |2xxaCxaaxa22darcsinxxCaax(19) (20) (21) 2222dln().xxxaCxa例例20 求 2d.23xxx解解 222d1d(1),23(1)( 2)xxxxx利用公式(18)，可得2d11arctan.2322xxCxx例例21 求 2d.49xx解解 222d1d(2 ).249(2 )3xxxx利用公式(21)，可得22d1ln(249).249xxxCx三三 分部積分法分部積分法 .上一頁上一頁目錄目錄下一頁下一頁退退 出出一一、 分部積分公式的推導(dǎo)分部積分公式的

14、推導(dǎo)思考：d?xxex諸如此類的不定積分，用換元積分法都不能求解特點(diǎn)： 被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積.需要用到求不定積分的另一種基本方法分部積分法分部積分法設(shè)函數(shù) ( )uu x及 ( )vv x具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)那么， (),uvu vuv移項(xiàng)，得 ().uvuvu vsin d?,ln d?xx xxx x對這個等式兩邊求不定積分，得dd .uv xuvu v x（5-4）公式（5-4）稱為分部積分公式分部積分公式. 如果積分 d uv x不易求,而積分 du v x比較容易時,分部積分公式就可用了.為簡便起見,也可把公式（5-4）寫成下面的形式:dd .u vuvv u（5-5）現(xiàn)在通過

15、例子說明如何運(yùn)用這個重要公式.例例22 求 sin d .xx x解解 由于被積函數(shù) sinxx是兩個函數(shù)的乘積,選其中一, u那么另一個即為 , v如果選擇 ,uxsin ,vx則 個為ddcos , vx得 如果選擇 sin ,ux vx則 21dd(),2vx得 21sin dsin d()2xx xxx2211sincos d22xxxx xsin ddcoscoscos d xx xxxxxx xcossin. xxxC2211sindsin22xxxx上式右端的積分比原積分更不容易求出 由此可見，如果 u和 dv選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果 所以應(yīng)用分部積分法時，恰當(dāng)選取 udv和 是關(guān)

16、鍵，dv u一般以比 du v易求出為原則例例23 求 2d .xx ex解解 2222dddxxxxx exxex eex222d22dxxxxxx ex ex exeex222.xxxx exeeC22dxxx exex例例24 求 2secd .xx x解解 由上面的三個例子知道，如果被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為 .u經(jīng)過一次積分，就可以使冪函數(shù)的次數(shù)降低一次例例25 求 arctan d .xx x解解 2211arctandarctan22xxxx2sec ddtantantan dtanlncos.xx xxx x

17、xx x xxx C21arctan darctan d()2xx xxx2111arctanarctan.222xxxxC22111arctan(1)d221xxxx例例26 2ln d .xx x求解解 231ln dln d()3xx xxx32331111lndln.3339xxxxxxxC22211arctand22 1xxxxx3311lndln33xxxx例例27 求ln d .x x解解 ln dlndlnx xxxxx總結(jié)上面四個例子可以知道,如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并選擇反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為. u一般地,如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積, 在多數(shù)情況下,可按下列順序: 反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，將排在前面的那類函數(shù)選作u，后面的那類函數(shù)選作 . v2lndln.xxxxxxC下面兩例中使用的方法也是比較典型的.例例28 求 e cos d .xx x解解 cos dcos dcosdcosxxxxex xx eexexcossin dcossin dxxxxexex xexx ecossindsinxxxexexexcossi