北京大學(xué)心理統(tǒng)計(jì)講義04

1、第四講 標(biāo)準(zhǔn)差和 Z分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)重點(diǎn)w 方差/標(biāo)準(zhǔn)差的邏輯步驟w 和方的定義公式和計(jì)算公式w 總體和樣本的方差w 總體和樣本的標(biāo)準(zhǔn)差w 自由度w 計(jì)算Z分?jǐn)?shù)w 根據(jù) Z分?jǐn)?shù)推知原始分?jǐn)?shù)w 標(biāo)準(zhǔn)分布及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差 (standard deviation)² 量度了分布中的每一個(gè)個(gè)體與某一標(biāo)準(zhǔn)偏移的距離，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是均值。² 最重要，最常用的差異量數(shù). ² 考慮了分布中的所有信息 方差/標(biāo)準(zhǔn)差的邏輯步驟1.離差X - m = 離差分?jǐn)?shù)（deviation score） 例: 全班男同學(xué)的體重 （公斤） 69, 67, 72, 74, 63, 67, 64, 61, 69,

2、 65, 70, 60, 75, 73, 63, 63, 69, 65, 64, 69, 65 mean = m = 67 S (X - m) = (69 - 67) + (67 - 67) + . + 65 - 67) = ?= 2+ 0 +5 +7+ -4 +0+ -3 +-6 +2 + -2 +3 + -7 + 8 +6 + -4 + -4 +2 + -2 + -3 +2 + -2 = 0 注意：如果分?jǐn)?shù)的值大于均值，離差是正數(shù) 如果分?jǐn)?shù)的值小于均值，離差是負(fù)數(shù)離差的和必定為0。因此，要去掉符號(hào). 將離差平方，再取其和的平方根。2 . 和方和方的操作定義：SS = S (X - m)2

3、xX -m (X -m)269246700S=362SS = 362 和方的計(jì)算公式為: SS = SX2 - (SX)2 N此二者為等價(jià)。計(jì)算公式的優(yōu)點(diǎn)為 可直接利用 X 值。上例中: XX2 1643876S X=S X2 =SS = SX2 - (SX)2 N注意：以下方差/標(biāo)準(zhǔn)差部分，總體和樣本有區(qū)別3總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差總體方差（Population Variance）： 和方的平均， 即和方除以總體的容量. 總體方差= s2 = SS/N 總體標(biāo)準(zhǔn)差:將總體方差求平方根。 standard deviation = sqroot(variance) = sqroot(SS/N) s =

4、sqroot(s) 上例中: s2 = ？s = ？求總體標(biāo)準(zhǔn)差步驟: step 1: 計(jì)算和方 SS- 可用定義公式或計(jì)算公式step 2: 確定方差 - 計(jì)算均方- 將 SS 除以 Nstep 3: 確定標(biāo)準(zhǔn)差 - 取方差的平方根4 樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 注意與總體標(biāo)準(zhǔn)差的不同: n s =樣本的標(biāo)準(zhǔn)差（sample SD）n 用 （不是 m） 來計(jì)算SS n 需要考慮樣本常常比其所屬的總體較少變異性，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算需做校正. - 如果樣本有代表性, 那么樣本與總體的就會(huì)非常近似, 兩個(gè)分布的形狀也應(yīng)該近似。但是, 樣本的變異程度仍然低于總體的變異程度. - 因此，樣本方差的分母是n - 1

5、而不是 n sample variance = s2 = _SS _ n - 1- 對(duì)于樣本標(biāo)準(zhǔn)差也是同樣sample standard deviation = s = sqroot(SS/(n - 1) 用n-1 作分母，意思是利用自由度來校正樣本離差，以利于對(duì)總體參數(shù)的無1偏差估計(jì)。 自由度n - 1意思是除了一個(gè)值，其余都可變化。 如: sample mean =5，如果前4 個(gè)分?jǐn)?shù)是: 5, 4, 6, 2 最后一個(gè)是什么?5 + 4 + 6 + 2 + X = 25X = 8 X必須固定在8。例1：求標(biāo)準(zhǔn)差: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 第一步: 計(jì)算和方列表：第二

6、步: 確定樣本方差 sample variance = s2 = _SS_ n - 1= 28/(8-1) = 28/7 = 4.0第三步: 確定樣本的標(biāo)準(zhǔn)差standard deviation = sqroot(SS/(n - 1) = sqroot(28/(8 - 1) = sqroot 4.0 = 2.0 n 粗略估計(jì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差m = ?s = ?標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì) 1) 對(duì)分布中的每一個(gè)分?jǐn)?shù)加上一個(gè)常數(shù)不會(huì)改變其標(biāo)準(zhǔn)差. 2) 對(duì)分布中的每一個(gè)分?jǐn)?shù)乘上一個(gè)常數(shù)，所得分布的標(biāo)準(zhǔn)差是原分布的標(biāo)準(zhǔn)差乘上這個(gè)常數(shù). 比較三種離中量數(shù) - 極端分?jǐn)?shù): 全距（range） 受影響最大, IQR 受影響

7、最小- 樣本大小: 全距（range） 可能隨n 的增加而增加 , IQR & s 不會(huì)- 樣本選?。簭耐豢傮w中多次取不同樣本，全距（range） 沒有穩(wěn)定的值, 但 IQR 和 S 是穩(wěn)定的，不應(yīng)波動(dòng)很大。- 對(duì)于有不確定值的分布, 全距 或 S 都無法求得, IQR (或SIQR) 是唯一的選擇。Z 分?jǐn)?shù)（Z-Scores）: 分?jǐn)?shù)的位置和標(biāo)準(zhǔn)分布Z 分?jǐn)?shù)的目標(biāo)：對(duì)分布中的每一個(gè)原始分?jǐn)?shù)，描述其在分布中的位置。參照點(diǎn)：均值u 用離差(x - m) 或 (x - )描述分?jǐn)?shù)的位置當(dāng)只涉及一個(gè)分布時(shí)， 用離差是簡(jiǎn)便易行的. 但當(dāng)我們需要比較兩個(gè)不同分布中的分?jǐn)?shù)的相對(duì)位置, 用離差就不

8、夠了. u 用Z 分?jǐn)?shù)描述分?jǐn)?shù)的位置例： 你參加了ACT和SAT 兩種測(cè)驗(yàn). ACT：26 SAT：620。 申請(qǐng)學(xué)校只需任選寄送其中一種，你會(huì)送哪一種？ 直接的比較不可能，因?yàn)閮蓚€(gè)分?jǐn)?shù)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同. 1) 看分布圖，將兩個(gè)分?jǐn)?shù)定位再試圖比較還是很困難 2) 計(jì)算百分位數(shù)等級(jí)（percentile ranks） 3) 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比較兩個(gè)分布，一個(gè)方法就是將兩個(gè)分布都轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分布。 標(biāo)準(zhǔn)分布（standardized distribution） 由轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)組成，m 和 s 已經(jīng)確定,而無論其原始分?jǐn)?shù)如何. 其作用是使不同的分布有可比性?？蓪⑵滢D(zhuǎn)換為Z分?jǐn)?shù). 這里需要做的是將每個(gè)分?jǐn)?shù)

9、轉(zhuǎn)換為z-score, 從而將整個(gè)分布標(biāo)準(zhǔn)化. 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standard score） is 是一種轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)提供其分布位置的信息. Z 分?jǐn)?shù)是標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的一種。 z-score 指出了每個(gè)X 值在分布中的精確位置。z-score 的符號(hào)(+ 或 -) 表明其比均值大或小. z-score 的數(shù)值部分用X 與 m.間標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)數(shù)的形式指出了其與均值的距離。 對(duì)于Z分?jǐn)?shù)分布， mean = 0，standard deviation =1. Z分?jǐn)?shù)為 1, 表示數(shù)據(jù)點(diǎn)恰位于均值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之上。Z分?jǐn)?shù)為 -1, 表示數(shù)據(jù)點(diǎn)恰位于均值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之下。如何轉(zhuǎn)換? population sample Z

10、= deviation= standard deviation = 如果總體/樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差已知，分布中的所有原始分?jǐn)?shù)都可轉(zhuǎn)換為 Z分?jǐn)?shù)。如果分布中的總體/樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差已知，Z分?jǐn)?shù)也可轉(zhuǎn)換回原始分?jǐn)?shù)。 Z = (X - m) -> (Z)( s) = (X - m) -> X = (Z)( s) + m s 如果某人說他的SAT 分?jǐn)?shù)高于均值 2 SD。他得了多少分? Z分?jǐn)?shù)分布的屬性形狀 - Z分?jǐn)?shù)分布的形狀與原始分?jǐn)?shù)分布完全相同。每個(gè)分?jǐn)?shù)所在的相對(duì)位置亦完全相同。 均值- 當(dāng)原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成Z分?jǐn)?shù), mean = 0. 標(biāo)準(zhǔn)差 -當(dāng)原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成Z分?jǐn)?shù), standar

11、d deviation = 1. 轉(zhuǎn)換程序?qū)嶋H上是對(duì)分布軸的一種重新標(biāo)定。- 將X 軸中心重新標(biāo)定為0，再將每個(gè)SD 間隔標(biāo)定為1. 例: 美國(guó)男人的身高和體重personheight weight166203 2711743742234691755701446742197731848692379692041075237sum7102000 height2 weight2 4356 41209 5041 30276 547649729 476130625 490020736 547647961 532933856 476156169 476141616 562556169 50,486 408

12、,346heightm = 710 / 10 = 71.0 SS = 50486 - (710)2 / 10 = 76.0s = 2.8 weightm = 2000 / 10 = 200.0SS = 408346 - (2000)2 / 10 = 8346.0s = 28.9 Z = (X - m) s Z1 = (66 - 71)/2.8 = -1.8 Z2 = (71 - 71)/2.8 = 0 Z3 = (74 - 71)/2.8 = 1.1 Z4 = (69 - 71)/2.8 = -0.7 Z5 = (70 - 71)/2.8 = -0.4 Z6 = (74 - 71)/2.8 =

13、 1.1 Z7 = (73 - 71)/2.8 = 0.7 Z8 = (69 - 71)/2.8 = -0.7 Z9 = (69 - 71)/2.8 = -0.7 Z10 = (75 - 71)/2.8 = 1.4 Z = (X - m) s Z1 = (203 - 200)/28.9 = 0.1 Z2 = (174 - 200)/28.9 = -0.9 Z3 = (223 - 200)/28.9 = 0.8 Z4 = (175 - 200)/28.9 = -0.9 Z5 = (144 - 200)/28.9 = -1.9 Z6 = (219 - 200)/28.9 = 0.7 Z7 = (184 - 200)/28.9 = -0.6 Z8 = (2