電磁場與電磁波課件.

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運算法則二、矢量的運算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標(biāo)量場的梯度四、標(biāo)量場的梯度六、矢量場的旋度六、矢量場的旋度五、矢量場的散度五、矢量場的散度七、重要的場論公式七、重要的場論公式八、亥姆霍茲定理八、亥姆霍茲定理電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析場的基本概念 1.什么是場？ 重力場、溫度場、電磁場、 a.從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性。 比如：T

2、 是溫度場中的物理量，T 就是溫度場 b.從物理角度：場是遍及一個被界定的或無限擴展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.場的分類 a. 按物理量的性質(zhì)分： 標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。 矢量場：描述場的物理量是矢量。 b. 按場量與時間的關(guān)系分： 靜態(tài)場：場量不隨時間發(fā)生變化的場。 動態(tài)場：場量隨時間的變化而變化的場。 動態(tài)場也稱為時變場。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：|AA a所以：一

3、個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。| A a2.矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、電場 等FEv如：溫度 T、長度 L 等電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例1：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？6xa圖示法： 6xaGNFfFxy力的圖示法： FNfFFF電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析二、矢量的運算法則1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：ABBAb.滿足結(jié)合律：CAB

4、BACBAC()()()()ABCDACBD電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析zoyx三個方向的單位矢量用 表示。,xyzaaa根據(jù)矢量加法運算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:AxAyAzA其中：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量：xxyyzzAA aA aA a模的計算：222|xyzAAAA單位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐標(biāo)系中三個矢

5、量加法運算： ()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aABC aABC azoyxAxAyAzA電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.減法：換成加法運算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法：乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：0|00kkAk A akk方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小

6、為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a. 標(biāo)量積（點積）：| |cosA BABBA兩矢量的點積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐標(biāo)系中，已知三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有兩矢量點積：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA結(jié)論: 兩矢量點積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。A BB A

7、()ABCA BA C電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析推論1：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論2：服從分配律：()AB CA BA C推論3：不服從結(jié)合律：()()AB CA BC推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：| |sincABABa含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。BAca電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy

8、yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a兩矢量的叉積又可表示為：xyzo電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標(biāo)量與矢量相乘。()ABC標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a. 標(biāo)量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：|sincosA BCA B C()ABC含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。ABChB C 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析注意：先后輪換次序。

9、推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的標(biāo)量 a、b、c。解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )

10、xyzabc aabc aabc a 則：設(shè)213abc 22332235abcabcabc電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析已知A點和B點對于原點的位置矢量為 和 ，求：通過A點和B點的直線方程。例4： ab()cak ba其中：k 為任意實數(shù)。

11、(1)ck akbxyzCcABab解：在通過A點和B點的直線方程上， 任取一點C，對于原點的位置 矢量為 ，則c電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量微分元：線元、面元、體元例：d ,d ,dFlBSV其中： 和 稱為微分元。d ,dlSdV1. 直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：ddyylyaddddxyzlxayazadldSddxxlxaddzzlza面元：dd dxxSy za體元：dd d dVx y zdd dyySx zadd dzzSx ya電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2. 圓柱

12、坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。( , , )rz線元：ddddrzlrarazadd drrSrzadd dSr zadd dzzSrradd d dVr rz面元：體元：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。( , , )R 2dsin d dRRSRa dsin d dSRRadd dSR Radddsin dRlRaRaRa 線元：面元：體元：2dsin d d dVRR 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)

13、均為1， 即：1321hhh1, 1321hrhhb. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度， 其對應(yīng)的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：( , , )rzdrac. 在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為：( , , )R , sin, 1321RhRhh注意：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、面元和體元。123( ,)u u u123,h h h體元：123123dd ddVh h h u uu123112233

14、dddduuulh u ah u ah u a線元：112323ddduSh h uu a221313dd duSh hu u a331212dd duSh hu u a面元：正交曲線坐標(biāo)系：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、標(biāo)量場的梯度四、標(biāo)量場的梯度1. 標(biāo)量場的等值面可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。以溫度場為例：熱源等溫面電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析b.梯度定義：標(biāo)量場中某點梯度的大小為該點最大的方向?qū)?shù)， 其方向為該點所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達式：dgraddnan2. 標(biāo)量場的梯度a.方向?qū)?shù)：ddl

15、空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。ddn為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的場函數(shù)為),(tzyx00dP1P2Pdndl電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析計算：dcosdndraddglddddddnlnlddnlaan在直角坐標(biāo)系中：ddddxyzxyzddddxyzlxayaza所以：gradxyzaaaxyz梯度也可表示：grad 00dP1P2Pdndl電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計算公式：在

16、直角坐標(biāo)系中：xyzaaaxyz電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、矢量場的散度五、矢量場的散度1. 1. 矢線（場線）：矢線（場線）： 在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢線。2. 2. 通量：通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。表達式：dSvS若曲面為閉合曲面：dSvS+- -電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析討論：討論：a. 如果閉合曲面上的總通量0 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b. 如果閉合曲面上的總通量0 說明穿入的通量

17、大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負源或稱溝。c. 如果閉合曲面上的總通量0說明穿入的通量等于穿出的通量。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 散度：散度：a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。 b.表達式：0ddivlimSVFSFV c.散度的計算： 在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場 表示為：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFSFSFSFS456456dddSSSFSFSFS電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢

18、量分析111d( )()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在 x方向上：計算穿過 和 面的通量為2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因為：221( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 則：在 x 方向上的總通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整個封閉曲面的總通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFS

19、FSx y zy 同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：3S4S電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示為：divFF4.4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析柱坐標(biāo)系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐標(biāo)系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR132231 21 31 23123()()1uuuF h hF hhF hhFhh huuu正

20、交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：yxzFFFFxyz常用坐標(biāo)系中，散度的計算公式電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量場的旋度六、矢量場的旋度1. 1. 環(huán)量環(huán)量： 在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。dlCFl可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。2. 2. 旋度旋度: :定義：一矢量其大小等于某點最大環(huán)量密度，方向為該環(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點矢量場的旋度。表達式：max01rotlimd nlSFaFlS 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析旋度計算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：()()()xxyyzzF

21、FaFaFa 10d()limlxSxFlFS xxyyzzFF aF aF a場矢量：1dddddabbccddaabbccddalllllFlFlFlFlFl其中： 為x 方向的環(huán)量密度。()xFxzy旋度可用符號表示：rotFF dcba電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析dd ()abzlza1dzylFlFzFy ()()yzzyFFFyzFzyyz ()yzxFFSyz其中：ddbcylyaddcdzlzadd ()daylya可得：()yzxFFFyz()xzyFFFzx()yxzFFFxy同理：xzydcba所以：10d()limlxSxFlFS yyxxz

22、zxyzFFFFFFFaaayzzxxy旋度公式：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:xyzxyzaaaFxyzFFF 類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計算公式： 對于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計算公式。1231231231 231231231uuuuuuhah ah aFhh huuuh Fh Fh F電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含義：物理含義： 一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲一個矢量場旋度的面積分等于

23、該矢量沿此曲面周界的曲線積分。線積分。() ddSlFSFl電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析七、重要的場論公式七、重要的場論公式(1)()0 1. 1. 兩個零恒等式兩個零恒等式 任何標(biāo)量場梯度的旋度恒為零。 (2)()0F 任何矢量場的旋度的散度恒為零。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在圓柱坐標(biāo)系中： 2222221)(1zrrrrr在球坐標(biāo)系中： 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR在廣義正交曲線坐標(biāo)系中： 2231 31 21 231112223331()()()h hhhhhhh huhuuhuuhu2. 2.

24、拉普拉斯算子拉普拉斯算子 2() 在直角坐標(biāo)系中：2222222zyx電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析)()AAA AAA)() ()()()()A BABBA ABBA ()A BBA AB ()()()A BAB BABAAB 3. 3. 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析8 8、 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：若矢量場若矢量場 在無限空間中處處單值，且其在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場由其散矢量場由其散度和旋度唯一確定度和旋度唯一確定，并且可以，并且可以表示表示為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度和一為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和個矢量函數(shù)的旋度之和， 即即 FA FGgF 證明：證明：假設(shè)在無限空間中有兩個矢量函數(shù)假設(shè)在無限空間中有兩個矢量函數(shù) 和和 ，它們具有，它們具有相同的散度和旋度。相同