第一章利息基本計算.

1、第一章第一章 利息基本計算利息基本計算1.2 1.2 利息基本計算利息基本計算1.3 1.3 實例分析實例分析1.1 1.1 利息基本函數(shù)利息基本函數(shù) 在經(jīng)濟活動中，資金的周轉使用會帶來在經(jīng)濟活動中，資金的周轉使用會帶來價值的增值，資金周轉使用時間越長，實現(xiàn)價值的增值，資金周轉使用時間越長，實現(xiàn)的價值增值越大。同時，等額的貨幣在不同的價值增值越大。同時，等額的貨幣在不同時間上由于受通貨膨脹等因素的影響，其實時間上由于受通貨膨脹等因素的影響，其實際價值也是不同的。因此，貨幣的使用者把際價值也是不同的。因此，貨幣的使用者把貨幣使用權轉讓給其他經(jīng)濟活動者，他應該貨幣使用權轉讓給其他經(jīng)濟活動者，他應該

2、獲得與放棄這個使用機會時期長短相應的報獲得與放棄這個使用機會時期長短相應的報酬。酬。 利息是一切金融活動的基礎利息是一切金融活動的基礎,任何金融任何金融活動都離不開利息活動都離不開利息. 從債權債務關系角度：利息是借貸關系從債權債務關系角度：利息是借貸關系中債務人（借款人中債務人（借款人borrowerborrower）為取得資金使）為取得資金使用權而支付給債權人（貸款人用權而支付給債權人（貸款人lenderlender）的報）的報酬，即：酬，即：借款人進行融資的成本。借款人進行融資的成本。 從簡單的借貸關系角度：從簡單的借貸關系角度：利息是一種補利息是一種補償償，由借款人支付給貸款人，因為前

3、者在一定，由借款人支付給貸款人，因為前者在一定時間內(nèi)占有和使用了后者的部分資金。時間內(nèi)占有和使用了后者的部分資金。 利息就是掌握和運用他人資金所付的利息就是掌握和運用他人資金所付的代價代價或轉讓貨幣使用權所得的或轉讓貨幣使用權所得的報酬報酬。 從投資的角度：利息是一定量的資本從投資的角度：利息是一定量的資本經(jīng)過一段時間的投資后產(chǎn)生的經(jīng)過一段時間的投資后產(chǎn)生的價值增值價值增值。 5 一般地，一筆金融業(yè)務可看成是投資一定數(shù)量的錢一般地，一筆金融業(yè)務可看成是投資一定數(shù)量的錢款以產(chǎn)生利息，初始投資的金額稱為款以產(chǎn)生利息，初始投資的金額稱為本金本金，而過一段，而過一段時間后收回的總金額稱為時間后收回的總

4、金額稱為累積值累積值。累積值累積值=本金本金+利息利息 假定假定：設一旦給定了原始投資的本金數(shù)額，則在以：設一旦給定了原始投資的本金數(shù)額，則在以后任何時刻累積值均可確定，且設在投資期間內(nèi)后任何時刻累積值均可確定，且設在投資期間內(nèi)不再不再加入或抽回加入或抽回本金。也就是說，資金數(shù)額的任何變化嚴本金。也就是說，資金數(shù)額的任何變化嚴格說都是由格說都是由利息效應利息效應產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。自融資假設自融資假設 1.1 1.1 利息基本函數(shù)利息基本函數(shù)本金本金(principal)(principal): :是指貸款、存款或投資在計算利息之前的是指貸款、存款或投資在計算利息之前的原始金額。原始金額。本利和本

5、利和( (累積值累積值accumulated valueaccumulated value）：本金投資于某個：本金投資于某個 業(yè)務中，經(jīng)過一段時間達到的新價值。業(yè)務中，經(jīng)過一段時間達到的新價值。利息利息：新價值與原始本金相比產(chǎn)生的價值增值：新價值與原始本金相比產(chǎn)生的價值增值. .利率利率(interest rate)(interest rate): :是在是在指定時期內(nèi)指定時期內(nèi)利息額同借貸資本利息額同借貸資本 總額的比率總額的比率, ,衡量了單位貨幣在單位時間內(nèi)的利息水平衡量了單位貨幣在單位時間內(nèi)的利息水平. . 假設在初始時刻假設在初始時刻0投資了投資了1個單位的本金，則在時刻個單位的本金

6、，則在時刻t的累積值記為的累積值記為 ，稱為累積函數(shù)。，稱為累積函數(shù)。 a t注注*：時間：時間t為從投資之日算起的時間，可以用不同為從投資之日算起的時間，可以用不同的單位來度量。的單位來度量。累積函數(shù)累積函數(shù) 是關于時間的函數(shù)，滿足：是關于時間的函數(shù)，滿足： 1) 2) 一般地，一般地， 關于時間嚴格單調(diào)遞增。關于時間嚴格單調(diào)遞增。即：當即：當 時，有時，有 a t 01a a t12tt 12a ta t如果在如果在t=0、1、2.等時刻觀察累積函數(shù)等時刻觀察累積函數(shù)a(t)得到一得到一系列累積值系列累積值a(0)=1、a(1)、a(2)，那么在時刻，那么在時刻0、1、2之間，累積函數(shù)之間

7、，累積函數(shù)a(t)的取值是如何變化的？的取值是如何變化的？離散型離散型利息是跳躍產(chǎn)生的利息是跳躍產(chǎn)生的連續(xù)型連續(xù)型利息是連續(xù)產(chǎn)生的利息是連續(xù)產(chǎn)生的注注*：一般的，利息被認為是連續(xù)產(chǎn)生的。：一般的，利息被認為是連續(xù)產(chǎn)生的。例：考慮以下例：考慮以下3 3類特殊的累積函數(shù)類特殊的累積函數(shù)a(t)a(t) 1) 1) 常數(shù)常數(shù) a(t)=1 2) 2) 線性線性 a(t)=1+2.5%t 3) 3) 指數(shù)指數(shù)注注* *：檢查上面定義的：檢查上面定義的a(t)a(t)滿足累積函數(shù)的要求滿足累積函數(shù)的要求注注* *：學習使用：學習使用ExcelExcel進行金融計算進行金融計算 . %ta t 12 5總

8、量函數(shù)（總量函數(shù)（amount function） 當原始投資不是當原始投資不是1個單位的本金，而是個單位的本金，而是P個單位個單位金額的本金時，則把金額的本金時，則把P個單位金額本金的原始投資個單位金額本金的原始投資在時刻在時刻t的累積值記為的累積值記為A(t)，稱為總量函數(shù)。，稱為總量函數(shù)?？偭亢瘮?shù)總量函數(shù)A(t)具有如下的性質：具有如下的性質： 1) A(0)=P 2) A(t)=Pa(t)，P0, 0t 注注* *：總量函數(shù)總量函數(shù)A(t)A(t)的計算可以借助于的計算可以借助于 累積函數(shù)累積函數(shù)a(t)a(t)的計算。的計算。 /0 ,0a tA tAt注注*：利息（利息（ inte

9、rest rate ） 將從投資之日算起的第將從投資之日算起的第n個時期內(nèi)所獲得的利息金額個時期內(nèi)所獲得的利息金額記為記為 ，則有，則有nI 1 ,1nIA nA nn注注* *：利息金額利息金額 看作是在整個時期內(nèi)所產(chǎn)生的，看作是在整個時期內(nèi)所產(chǎn)生的，在最后時刻實現(xiàn)的（支付的、得到的）。在最后時刻實現(xiàn)的（支付的、得到的）。nI注注* *：更一般地，記總量函數(shù)更一般地，記總量函數(shù) 在時間段在時間段 內(nèi)所獲得的利息金額為內(nèi)所獲得的利息金額為 ，則有，則有 A t12,t t12,t tI 12,21t tIA tA t利率（利率（interest rate） 思考：假設有兩個儲戶，分別在銀行存入

10、了思考：假設有兩個儲戶，分別在銀行存入了1萬元、萬元、1千萬元的一年期定期儲蓄，如果到期后銀行都付給千萬元的一年期定期儲蓄，如果到期后銀行都付給他們同樣的利息金額他們同樣的利息金額20元，你認為合理嗎？元，你認為合理嗎？注注* *：假設所有的在期初投資的：假設所有的在期初投資的1 1個單位的本金都具個單位的本金都具有著同樣的產(chǎn)生利息的能力，則上述現(xiàn)象不合理。有著同樣的產(chǎn)生利息的能力，則上述現(xiàn)象不合理。為了表示單位貨幣價值的為了表示單位貨幣價值的相對相對變化幅度，度量利息變化幅度，度量利息的常用方法是計算所謂的的常用方法是計算所謂的利率利率，定義為：，定義為：利率利率等于一定的貨幣量在等于一定的

11、貨幣量在一段時間一段時間（計息期（計息期 measurement period）內(nèi)的變化量（）內(nèi)的變化量（利息利息）與與期初貨幣量期初貨幣量的比值。的比值。 利率的計算公式利率的計算公式 利率利率=利息利息/期初本金期初本金 利息的計算公式利息的計算公式 利息利息=利率利率期初本金期初本金注注* *：利率通常用百分數(shù)來表示，即：利率通常用百分數(shù)來表示，即： 利率利率=利息利息/期初本金期初本金100%注注* *：這里定義的利率被稱為實利率（這里定義的利率被稱為實利率（effective rate of interest），注意與后面定義的名義利率），注意與后面定義的名義利率（nominal r

12、ate of interest）相區(qū)別。）相區(qū)別。注注* *：通常計息期為標準時間單位，如：年、季、通常計息期為標準時間單位，如：年、季、月等，若無特別說明，實利率一般指年實利率。月等，若無特別說明，實利率一般指年實利率。 上的上的實利率實利率= 內(nèi)內(nèi) 總量函數(shù)總量函數(shù) 的變化量與的變化量與期初貨幣量的比值，記為期初貨幣量的比值，記為 ，即：，即： 12,t t12,t t A t12,t ti 1212,21,11t tt tIA tA tiA tA t 111nnA nA nIiA nA n特別地， 11na na nia n進而，注注* *：利率計算的根本是累計函數(shù)的計算。：利率計算的根

13、本是累計函數(shù)的計算。單利（單利（simple interest） 在實際金融活動中，通常用到的兩種計息方式分別在實際金融活動中，通常用到的兩種計息方式分別為單利和復利。為單利和復利。 假設在期初投資假設在期初投資1個單位的本金，在每一個時期中個單位的本金，在每一個時期中都得到完全相同的利息金額，即都得到完全相同的利息金額，即利息為常數(shù)利息為常數(shù)。 由此可知：由此可知：a(0)=1,a(1)=1+i,a(2)=1+2i.即即 a(t)=1+it, 這種類型的利息產(chǎn)生方式被稱為單利，這種類型的利息產(chǎn)生方式被稱為單利，i被稱為是單利率。被稱為是單利率。注注*：所謂單利是指所謂單利是指只對本金計算利息

14、只對本金計算利息, ,而對前期已經(jīng)產(chǎn)而對前期已經(jīng)產(chǎn)生的利息在后期不再計算利息的利息計算方法生的利息在后期不再計算利息的利息計算方法. . 相應單利的累積函數(shù)為時間的線性函數(shù)相應單利的累積函數(shù)為時間的線性函數(shù) 常數(shù)的單利率并不意味著常數(shù)的實利率！常數(shù)的單利率并不意味著常數(shù)的實利率！因為相應于單利的第因為相應于單利的第n個時期的實利率個時期的實利率 為為 a1,1111nna niina nni是一個關于是一個關于n的單調(diào)遞減的函數(shù)，并且當?shù)膯握{(diào)遞減的函數(shù)，并且當n的取值較的取值較大時，實利率大時，實利率 將變得更小。將變得更小。nini注注* *：當計算實利率：當計算實利率 時，是把第時，是把第

15、n n期開始的資本期開始的資本總額作為投資額來計算相應的所得利息與期初投資總額作為投資額來計算相應的所得利息與期初投資額之比。額之比。 隨著資本總額的不斷增加，常數(shù)的利息必將導致隨著資本總額的不斷增加，常數(shù)的利息必將導致單調(diào)遞減的實利率。單調(diào)遞減的實利率。注注* *：上面的討論雖然只是在整點時刻上進行的觀上面的討論雖然只是在整點時刻上進行的觀察，但由于所產(chǎn)生的利息被認為是在該期間的各個察，但由于所產(chǎn)生的利息被認為是在該期間的各個小區(qū)間上按比例產(chǎn)生的，從而上面給出的關于整數(shù)小區(qū)間上按比例產(chǎn)生的，從而上面給出的關于整數(shù)t t的單利的生成方式可以認為是對于所有大于等于的單利的生成方式可以認為是對于所

16、有大于等于0 0 的的t t都成立的利息產(chǎn)生方式。都成立的利息產(chǎn)生方式。ni在單利方式下，累積函數(shù)滿足：在單利方式下，累積函數(shù)滿足： 1,0,0+1,0,0a sta sa ttsa sta sa tts或注注* *：上式意味著經(jīng)過時間上式意味著經(jīng)過時間t+st+s所產(chǎn)生的利息等于經(jīng)所產(chǎn)生的利息等于經(jīng)過時間過時間t t產(chǎn)生的利息與經(jīng)過時間產(chǎn)生的利息與經(jīng)過時間s s產(chǎn)生的利息之和。產(chǎn)生的利息之和。注注* *：在連續(xù)時間情形下，單利方式意味著在連續(xù)時間情形下，單利方式意味著1 1個貨幣個貨幣單位的投資經(jīng)過任何相同長度的計息期所產(chǎn)生的利單位的投資經(jīng)過任何相同長度的計息期所產(chǎn)生的利息相同。息相同。復利

17、（復利（compound interest）問題的提出：問題的提出： 單利情形下，在前面的各個時期所獲得的利息并沒單利情形下，在前面的各個時期所獲得的利息并沒有在后面的時期用來再獲取額外的利息。如果所獲得有在后面的時期用來再獲取額外的利息。如果所獲得的利息可的利息可繼續(xù)投資繼續(xù)投資情形如何？情形如何？ 在上面的例子中，投資者每年都獲得了在上面的例子中，投資者每年都獲得了$160的利息。的利息。投資者在第一年末實際上有投資者在第一年末實際上有$2160，可以用來投資，如，可以用來投資，如果按照果按照$2160計算，投資者在第二年的時候可以獲得利計算，投資者在第二年的時候可以獲得利息息$172.8

18、，可以多獲得，可以多獲得$12.8. 后面的各期也可以采用這種方法去投資，最終獲得后面的各期也可以采用這種方法去投資，最終獲得的利息總額為的利息總額為多獲得利息多獲得利息$80.98.420001+8%-2000=720.98注注* *：即通常所說的：即通常所說的“利滾利利滾利”。復利計算模式的基本思想是復利計算模式的基本思想是:利息收入應該自動利息收入應該自動地被記入下一期的本金地被記入下一期的本金. ln 11,0ttia tita te從而有為整數(shù)等價于注注* *：上面整數(shù)時間：上面整數(shù)時間t t可以推廣到一般的時間可以推廣到一般的時間t0.t0.在復利方式下，累積函數(shù)滿足：在復利方式下

19、，累積函數(shù)滿足： ,0,0a sta s a tts 0,0,00a sta sa tatsa sa注注* *：可以推出表達式：可以推出表達式：單利方式與復利方式的區(qū)別單利方式與復利方式的區(qū)別(1)(1)在在t=0t=0或或t=1t=1時，單利和復利計算的終值相等。時，單利和復利計算的終值相等。01t1復利； 當時，單利 復利(2) 單利常用于人民幣存款及利率不足期的近似計算；單利常用于人民幣存款及利率不足期的近似計算；復利常用于貸款，保險，投資收益分析等場合復利常用于貸款，保險，投資收益分析等場合.增長形式不同：對于單利來說，它在同樣長時期內(nèi)增長形式不同：對于單利來說，它在同樣長時期內(nèi)的增長

20、絕對值保持為常數(shù)；而對復利來說則是增長的的增長絕對值保持為常數(shù)；而對復利來說則是增長的相對比率保持為常數(shù)。即相對比率保持為常數(shù)。即 對單利：對單利：a(t+s)-a(t) 不依賴于不依賴于t 對復利：對復利：a(t+s)-a(t) / a(t) 不依賴于不依賴于t（3）如果如果利率水平為常數(shù)利率水平為常數(shù)，則在單利下的，則在單利下的實際利率是時實際利率是時間的遞減函數(shù)間的遞減函數(shù)；而在復利下的；而在復利下的實際利率與時間無關實際利率與時間無關，仍等，仍等于常數(shù)的復利率。于常數(shù)的復利率。貼現(xiàn)（貼現(xiàn)（discount） 考慮這樣的問題：一筆十年后付考慮這樣的問題：一筆十年后付10001000元的付

21、款，元的付款，相當于現(xiàn)在付多少元？購房時，一次付清可享受適相當于現(xiàn)在付多少元？購房時，一次付清可享受適當?shù)膬?yōu)惠，一次付清與分期付款到底那個合算當?shù)膬?yōu)惠，一次付清與分期付款到底那個合算? ? 定義：時刻定義：時刻t t的的1 1個貨幣單位在時刻個貨幣單位在時刻0 0的價值稱為的價值稱為貼現(xiàn)函數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)（discount function）, ,用用 表示。表示。 1at注注* *：貼現(xiàn)函數(shù)為累積函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)。：貼現(xiàn)函數(shù)為累積函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)。 累積與貼現(xiàn)是一對相反的過程，相應于期初累積與貼現(xiàn)是一對相反的過程，相應于期初1個單位個單位本金的本金的t時期期末的值為時期期末的值為 ，而相應于，而相應于

22、t時期期末時期期末1個個單位金額的期初值則為單位金額的期初值則為 。 1at a t 單利情形單利情形 復利情形復利情形 111atiti，為單利率 t11= tativi，為實利率累積因子（累積因子（accumulation factor） 若實利率為若實利率為i，則在期初投資的，則在期初投資的1個單位的本金在期個單位的本金在期末將累積到末將累積到1+i，把，把1+i稱為是累積因子。稱為是累積因子。即：即： 期末累積值期末累積值=期初本金期初本金累積因子累積因子 貼現(xiàn)因子（貼現(xiàn)因子（discount factor） 考慮累積的反問題：在期初開始時應投資多少，才考慮累積的反問題：在期初開始時應

23、投資多少，才能使得能使得1個時期結束時本金和利息總額恰好為個時期結束時本金和利息總額恰好為1個單位個單位的貨幣量？的貨幣量？ 如果期初投資如果期初投資 ，則期末時恰好累積至，則期末時恰好累積至1. 把把 稱為是貼現(xiàn)因子，即：稱為是貼現(xiàn)因子，即： 期初本金期初本金=期末累積值期末累積值貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子 1(1) i1(1) i 定義：一個計息期內(nèi)的利息收入與期末貨幣量的比值定義：一個計息期內(nèi)的利息收入與期末貨幣量的比值稱為稱為實貼現(xiàn)率實貼現(xiàn)率（effective rate of discount） 1212121,21,22,11nnt tt tt tnnttdIA tA tdA tA tA n

24、A na na nIdA nA na n時間段內(nèi)的貼現(xiàn)率的計算公式： 注注* *：注意與實利率的區(qū)別。：注意與實利率的區(qū)別。 設設i為單利率，計算相應單利各期的實貼現(xiàn)率為單利率，計算相應單利各期的實貼現(xiàn)率 11na na nida nni 設設i為復利率，計算相應復利各期的實貼現(xiàn)率為復利率，計算相應復利各期的實貼現(xiàn)率 111111nnnna na niiida nii 單貼現(xiàn)（單貼現(xiàn)（simple discount）貼現(xiàn)函數(shù)為貼現(xiàn)函數(shù)為 111,atdttdd ， 0為單貼現(xiàn)率復貼現(xiàn)（復貼現(xiàn)（compound discount）與復利方式下的累積過程類似與復利方式下的累積過程類似,若每個時期內(nèi)

25、的貼現(xiàn)率若每個時期內(nèi)的貼現(xiàn)率相同相同,則稱該相同的貼現(xiàn)率為復貼現(xiàn)率則稱該相同的貼現(xiàn)率為復貼現(xiàn)率.記作記作d. 顯然顯然貼現(xiàn)函數(shù)為貼現(xiàn)函數(shù)為 110,tatdtd， 為復貼現(xiàn)率除特殊說明，我們后面所討論的都是針對復貼現(xiàn)模式計算除特殊說明，我們后面所討論的都是針對復貼現(xiàn)模式計算Nttadt1)()1 (42一時期內(nèi)金額的改變可以稱為一時期內(nèi)金額的改變可以稱為“利息利息”，也可以稱，也可以稱為為“貼現(xiàn)貼現(xiàn)”，但兩者意義不同。，但兩者意義不同。利息利息本金基礎上的增加額，在期末支付，其計本金基礎上的增加額，在期末支付，其計算的依據(jù)為期初余額。算的依據(jù)為期初余額。貼現(xiàn)貼現(xiàn)累積值基礎上的減少額，在期初支付

26、，其累積值基礎上的減少額，在期初支付，其計算的依據(jù)是期末余額。計算的依據(jù)是期末余額。用利率用利率i可以很方便地計算：利息可以很方便地計算：利息=本金本金*i貼現(xiàn)率有類似的作用：貼現(xiàn)貼現(xiàn)率有類似的作用：貼現(xiàn)=期末值期末值*d注注:注：單貼現(xiàn)模式并不對應單利的貼現(xiàn)模式注：單貼現(xiàn)模式并不對應單利的貼現(xiàn)模式 而復貼現(xiàn)模而復貼現(xiàn)模式對應復利的貼現(xiàn)模式式對應復利的貼現(xiàn)模式定定 義：義： ( 實實) 利率和利率和( 實實) 貼現(xiàn)率被稱為貼現(xiàn)率被稱為等價等價的（的（equivalent ），若它們滿足：相同的原始本金初值），若它們滿足：相同的原始本金初值經(jīng)過相同的計息期，產(chǎn)生相同的終值。經(jīng)過相同的計息期，產(chǎn)生

27、相同的終值。例例1 1 假設某人假設某人A A到銀行以實貼現(xiàn)率到銀行以實貼現(xiàn)率6%6%借借100100元，為期元，為期1 1年，一年后年，一年后A A還給銀行還給銀行100100元。則元。則1)1)銀行實際付給銀行實際付給A A多多少元？少元？2)2)這相當于利率是多少的貸款？這相當于利率是多少的貸款？解解: :1)(0)(1)(1)100(1 0.06)94AAd元94(1)1006.38%ii 2)令證明：證明： 1）設期末貨幣量為）設期末貨幣量為 1， 則由貼現(xiàn)率定義可知利息量則由貼現(xiàn)率定義可知利息量恰為貼現(xiàn)率恰為貼現(xiàn)率d ，從而期初貨幣量應為從而期初貨幣量應為1- d ，所以由利息率所

28、以由利息率的定義可得的定義可得ddi1 2）設期初貨幣量為）設期初貨幣量為 1 ，由利率定義可知利息量恰為利率，由利率定義可知利息量恰為利率i ，從而期末貨幣量應為從而期末貨幣量應為1+ i ，所以由貼現(xiàn)率的定義可得所以由貼現(xiàn)率的定義可得iiid1對于等價的利率對于等價的利率 i 和貼現(xiàn)率和貼現(xiàn)率d 有如下關系式：有如下關系式：1） 2）ddi1iiid11/(1+i) =1-d - 此方程兩邊均表示在期末支付此方程兩邊均表示在期末支付1的現(xiàn)值。的現(xiàn)值。例例 ：假設期初借款人從貸款人處借入假設期初借款人從貸款人處借入10000 10000 元，元，并約定一年到期時還并約定一年到期時還10500

29、 10500 元，即利率元，即利率i i=5%=5% 。如。如果借款人希望期初時即付給貸款人利息，果借款人希望期初時即付給貸款人利息，1 1 年到年到期時償還本金期時償還本金10000 10000 元，問期初借款人實際可得元，問期初借款人實際可得金額是多少？金額是多少？ 解：貼現(xiàn)因子解：貼現(xiàn)因子 d = iv = 0.04762從而借款人在期初實際可得從而借款人在期初實際可得 10000(1- d ) =10000v = 9524(元)3） d = iv因為貼現(xiàn)因子因為貼現(xiàn)因子 ，再由，再由2） 可得?？傻?。9524. 0)1 (1iv1)1 (iv4） d =1- v 貼現(xiàn)率與貼現(xiàn)因子互補。

30、貼現(xiàn)率與貼現(xiàn)因子互補。5） i - d = id某人可借貸某人可借貸1而在期末歸還而在期末歸還1+i，也可以借貸，也可以借貸1-d而在而在期末歸還期末歸還1 。表達式。表達式i-d是所付利息的差額，此種差額是所付利息的差額，此種差額是因為所借本金相差是因為所借本金相差d而產(chǎn)生的。金額而產(chǎn)生的。金額d依利率依利率i在一在一時期末的利息就是時期末的利息就是id.解：解： 1） 從貼現(xiàn)的角度看，從貼現(xiàn)的角度看， 零息債券的貼現(xiàn)率零息債券的貼現(xiàn)率 d =5%， 而儲蓄的貼現(xiàn)率而儲蓄的貼現(xiàn)率 = 4.988% 因此，債券投資優(yōu)于儲蓄。因此，債券投資優(yōu)于儲蓄。iid1ddi111221211ididiid

31、d注：若 與 等價，若 與等價，則當且僅當2）從年利率的角度看）從年利率的角度看 ，零息債券的利率，零息債券的利率 =5.26%而儲蓄利率而儲蓄利率i = 5.25% 5.26% ，債券投資優(yōu)于儲蓄。債券投資優(yōu)于儲蓄。例：例： 若現(xiàn)有面額為若現(xiàn)有面額為100 元的零息債券，在到期前一元的零息債券，在到期前一年的時刻價格為年的時刻價格為95 元，同時，短期一年儲蓄利率元，同時，短期一年儲蓄利率為為5.25%，如何進行投資選擇？，如何進行投資選擇？名利率名利率(nominal rate of interest) 問題的提出問題的提出儲蓄、儲蓄、 保險、債券投資等金融業(yè)務通常會涉及許多保險、債券投資

32、等金融業(yè)務通常會涉及許多不同的期限，比如，目前銀行開設的人民幣整存整取不同的期限，比如，目前銀行開設的人民幣整存整取定期儲蓄業(yè)務包括定期儲蓄業(yè)務包括3個月、個月、6個月、個月、1年、年、2年、年、3年年和和5年六個檔期它們各自的利率相互之間如何比較？年六個檔期它們各自的利率相互之間如何比較？現(xiàn)行儲蓄利率現(xiàn)行儲蓄利率人民幣存款利率人民幣存款利率2002年年2月月21日起執(zhí)行日起執(zhí)行 項目年利率（）項目年利率（）活期存款活期存款 0.72 定期存款（整存整取定期存款（整存整取 ） 三個月三個月1.71 半年半年1.89 一年一年1.98 二年二年 2.25 三年三年 2.52 五年五年 2.79

33、分析分析：存三個月的實利率為：存三個月的實利率為1.71%，而存，而存1年的實利年的實利率為率為1.98%，如果真是這樣的話，恐怕就不會有人存，如果真是這樣的話，恐怕就不會有人存1年期的定期了。因為可以考慮在年期的定期了。因為可以考慮在1年期間可以存了年期間可以存了取、再存再取、總共可以存上四個取、再存再取、總共可以存上四個3個月定期這樣個月定期這樣的話，按照復利公式可以得到的話，按照復利公式可以得到1年下來年下來1個單位的本個單位的本金的累積值為：金的累積值為： 4(11.71%)1.070217.02%利息收入遠遠超過存一個利息收入遠遠超過存一個1年的定期年的定期 五年期定期的利率僅為五年

34、期定期的利率僅為2.79%，而，而1年期定期的年期定期的利率為利率為1.98%，難道還會有人存五年的定期嗎？，難道還會有人存五年的定期嗎？實利率考慮的是在一個計息期內(nèi)所真實獲得的全部實利率考慮的是在一個計息期內(nèi)所真實獲得的全部利息與期初本金金額之比，而名利率考慮的是在一個利息與期初本金金額之比，而名利率考慮的是在一個計息期內(nèi)，當計息期內(nèi)，當支付利息的次數(shù)不止一次支付利息的次數(shù)不止一次或或不足一次不足一次時時如何計算利率。如何計算利率。相關術語：相關術語：利息換算期利息換算期(interest conversion period)月?lián)Q算月?lián)Q算(convertible monthly)季換算季換算

35、(payable quarterly)半年換算半年換算(compounded semiannually) 例：例： （季換算名利率（季換算名利率4%）表示每個季度換算）表示每個季度換算一次利息，且每個季度的實利率為一次利息，且每個季度的實利率為1 如三個月定期存款利率如三個月定期存款利率(掛牌利率掛牌利率)為則為則10000元存滿三個月可得利息元存滿三個月可得利息42.75元元 ()()()(1)()mmmimmiimm定義：的整數(shù) 被稱為 換算名利率 或“掛牌利率”，即在標準的利息計算時間單位內(nèi)（一般為一年）依利率換算 次，每個換算期內(nèi)的實利率為。(4)4%i(4)1.71%i注：半年掛牌利

36、率為注：半年掛牌利率為1.89%即半年期的即半年期的實利率為實利率為1.89%/2=0.945%，連續(xù)存兩個半年定期，連續(xù)存兩個半年定期可得利息可得利息 例：例： 連續(xù)存連續(xù)存4個三個月定期和存一個一年期定期哪個三個月定期和存一個一年期定期哪一個更合算？一個更合算？解：設期初本金解：設期初本金10000元，連續(xù)存元，連續(xù)存4個三個月定期，個三個月定期，則可得利息則可得利息 410000(1 1.71%/ 4)1000172.10210000(1 1.89%/ 2)1000189.89(2)1.89%i而存一個一年期定期則可得利息而存一個一年期定期則可得利息198.00元元 (1/)(1/)(1

37、/)(1/)(1/2)(1/2)(1/3)(12 2.25%222.25%=4.5% 3 2.52% 3mmmmmimimmimimmiiii在個 時 期 中 支 付 一 次 利 息 的 名 利 率 的 符 號 為其 中是 大 于 的 正 整 數(shù) 。名 利 率是 指 每個 時 期 支 付 一 次 利 息 ， 且 在時 期 中 支 付 利 息 是 按 照 利 率進 行 的 ， 即為 每時 期 的 實 利 率 。例 ：年 期 定 期 年 的 實 利 率 為年 期 定 期年 的 實 利 率 為/3)(1/5)(1/5)32.52%3=7.56% 5 2.79% 552.79%5=13.95%ii年

38、期 定 期年 的 實 利 率 為例例:500元以季掛牌存款利率元以季掛牌存款利率8%經(jīng)經(jīng)5年后的價值為多少？年后的價值為多少？4 520500 (1+8%/4) =500 (1+2%) =742.97( )mi()1(1)mmiim ()(1)1mmiim實際應用中通常需要計算與名利率等價的實際應用中通常需要計算與名利率等價的(年年)實利率實利率i 的大小的大小 。名利率與等價的實利率有如下關系：名利率與等價的實利率有如下關系：或或()()1/()(1)1mmmiiimi由 年 實利率 也可以計算出名利率，即()()()()()()()(1)1()()1()mmmmmmmmmmiiiimiim

39、mmiiim由二項式展開可以證明，因為 =1+ =+(1/ )(1/ )1(1/ )(1/)()(1)1(1)1)/mmmmmmiiiimiimii名利率與等價 年 利率 有如下關系以及并且由二項式展開可以證明補充補充 銀行儲蓄常識銀行儲蓄常識 人民幣儲蓄按存款期限不同分為活期儲蓄和定期儲蓄人民幣儲蓄按存款期限不同分為活期儲蓄和定期儲蓄兩大類兩大類 定期儲蓄又包括了定期儲蓄又包括了整存整取整存整取、零存整取零存整取、整整存零取存零取、存本取息存本取息、定活兩便定活兩便等等 活期儲蓄存款活期儲蓄存款由儲蓄機構發(fā)給存折，憑存折存由儲蓄機構發(fā)給存折，憑存折存取，開戶后可以隨時存取?；钇趦π畲婵顜粲?/p>

40、每年取，開戶后可以隨時存取?；钇趦π畲婵顜粲诿磕?月月30日日統(tǒng)一結算利息一次利息并入本金一并生息統(tǒng)一結算利息一次利息并入本金一并生息 。 整存整取定期儲蓄存款整存整取定期儲蓄存款 由儲蓄機構發(fā)給存單，存由儲蓄機構發(fā)給存單，存期分期分3個月、半年、個月、半年、1年、年、2年、年、3年、年、5年年六檔期六檔期本金本金一次存入一次存入 到期憑存單支取本息。到期憑存單支取本息。 存款的計息存款的計息利率分為年利率、月利率和日利率三種，相互之間利率分為年利率、月利率和日利率三種，相互之間的換算采用的換算采用30/360規(guī)則（即規(guī)則（即普通利息算法普通利息算法）。）。 即：即： 1年年 = 12月月

41、= 360日日 月利率月利率 = 年利率年利率/ 12， 日利率日利率 = 年利率年利率/ 360 1月月 = 30日日 日利率日利率 = 月利率月利率/ 30 例例 ： 活期儲蓄利率活期儲蓄利率掛牌利率掛牌利率(年單利率年單利率) = 0.72% 日利率日利率= 0.72% / 360 = 0.002% 注：一年期以內(nèi)活期儲蓄為單利計息注：一年期以內(nèi)活期儲蓄為單利計息按按儲蓄管理條例儲蓄管理條例規(guī)定：存款的計息起點為元，規(guī)定：存款的計息起點為元，元以下角分不計利息，利息金額算至分位，分以下尾元以下角分不計利息，利息金額算至分位，分以下尾數(shù)四舍五入。數(shù)四舍五入。 存期的計算采用存期的計算采用“

42、算頭不算尾算頭不算尾” 的方法，即是從的方法，即是從存款存入銀行的當日算起，存款存入銀行的當日算起， 直至取款日前一天為止。直至取款日前一天為止。取款當日不計利息取款當日不計利息 定期儲蓄存款提前支取的，按支取日掛牌公告的定期儲蓄存款提前支取的，按支取日掛牌公告的活期儲蓄存款利率計付利息，部分提前支取的，提前活期儲蓄存款利率計付利息，部分提前支取的，提前支取的部分按支取日掛牌公告的活期儲蓄存款利率計支取的部分按支取日掛牌公告的活期儲蓄存款利率計付利息，其余部分到期時按開戶日掛牌公告的整存整付利息，其余部分到期時按開戶日掛牌公告的整存整取定期儲蓄存款利率計付利息，取定期儲蓄存款利率計付利息，部分

43、提前支取以一次部分提前支取以一次為限。為限。除約定自動轉存外，定期儲蓄存款過期支取的，其除約定自動轉存外，定期儲蓄存款過期支取的，其過期部分的利息按活期存款計算。過期部分的利息按活期存款計算。 活期活期儲蓄存款在存入期間遇有利率調(diào)整，按儲蓄存款在存入期間遇有利率調(diào)整，按結息日掛結息日掛牌公告的活期儲蓄存款利率牌公告的活期儲蓄存款利率計算利息。計算利息。定期定期儲蓄存款在存期內(nèi)如遇利率調(diào)整仍按存單儲蓄存款在存期內(nèi)如遇利率調(diào)整仍按存單開戶日開戶日掛牌公告的相應的定期儲蓄存款利率計算利息。掛牌公告的相應的定期儲蓄存款利率計算利息。 從從1999年年11月月1日起儲蓄存款利息所得按照每次取得日起儲蓄存

44、款利息所得按照每次取得的利息所得額征收的利息所得額征收20%的個人所得稅；的個人所得稅；儲蓄存款在儲蓄存款在2007年年8月月15日后的利息所得，按照日后的利息所得，按照5%的比例稅率征的比例稅率征收個人所得稅。收個人所得稅。 例：一年期定期儲蓄掛牌利率為例：一年期定期儲蓄掛牌利率為1.98%稅后實際利稅后實際利率為率為1.98%80%1.584%； 1.98%95%1.881%例例 ： 單利與復利的比較單利與復利的比較 活期儲蓄在每年的活期儲蓄在每年的7月月1日至次年的日至次年的6月月30日之間是按日之間是按照單利來計息的，照單利來計息的， 如果按照復利來計息，即做到利滾如果按照復利來計息，

45、即做到利滾利利, 收益會增加多少？收益會增加多少？ 解解 ：本金：本金10000元元 單利計息單利計息 10000 0.72%=72元元 復利計息（復利計息（1年按照年按照360天計天計 ）360100000.002%1000072.26（）元即每即每 1 萬元比原先多出利息萬元比原先多出利息 0.26 元元 注：注： 當利率水平較低或當時間較短的時候復利與單當利率水平較低或當時間較短的時候復利與單利的差別不大利的差別不大( )( )( )( )( )( )1/(1)1(1)1 (1)1 (1)pppppppppdpddppddddppdpd 定義：名貼現(xiàn)率整數(shù) ，是指在標準計息期內(nèi)依換算 次

46、，每個換算期內(nèi)的實際貼現(xiàn)率為名貼現(xiàn)率與等價的實貼現(xiàn)率有如下關系或以及名貼現(xiàn)率（名貼現(xiàn)率（nominal rate of discount ）結論結論 相同計息期內(nèi)等價的名利率與名貼現(xiàn)率有如下相同計息期內(nèi)等價的名利率與名貼現(xiàn)率有如下的關系（的關系（m, p可以不相同）可以不相同） ( )( )( )( )1( )( )( )( )1)(1)(1)2),(1)(1)mpmpmmmmmmidmpmpidmmididmmmm 若則有：及midmm111)()(從而有()( )1()() 1)(1)1(1)(1)1 2)mpmpmmididmpidmmm 注 注 與為計息期內(nèi)等價的實利率與貼現(xiàn)現(xiàn)率例例

47、有以下兩種有以下兩種5年期的投資選擇：年期的投資選擇：A：年利率：年利率7%，每，每半年計息一次：半年計息一次：B：年利率：年利率7.05%，每年計息一次比較，每年計息一次比較兩種選擇的收益。兩種選擇的收益。 解解方法一方法一 比較等價的年實利率比較等價的年實利率方法二方法二 比較實際收益比較實際收益結論結論 A A收益高收益高(2)27%7%,(1)17.1225%7.05%2AABiii 1057%(5)(1)1.41062(5)(17.05%)1.4058(5)(5)ABABaaaa例例 求與月?lián)Q算名貼現(xiàn)率為求與月?lián)Q算名貼現(xiàn)率為6%等價的季換算名利率。等價的季換算名利率。解解 已知已知

48、求與之等價的求與之等價的由由可得可得(12 )6% ,d( 4 )i(4)4(12)12(1/ 4)(1/12)id(4)(12)334(1/12)14(0.995)10.06066.06%id連續(xù)利息計算連續(xù)利息計算 連續(xù)型利息模型，即利息的產(chǎn)生是連續(xù)地依賴于時間的，連續(xù)型利息模型，即利息的產(chǎn)生是連續(xù)地依賴于時間的，但利息的支付卻不必是連續(xù)的。但利息的支付卻不必是連續(xù)的。 考慮理想的情形，即考慮理想的情形，即每個瞬間都可以進行利息的換算每個瞬間都可以進行利息的換算，如何來度量利息在每一個小瞬間的變化的強度。如何來度量利息在每一個小瞬間的變化的強度。 定義：定義：設累積函數(shù)設累積函數(shù) 為為 的

49、連續(xù)可微函數(shù)，則稱的連續(xù)可微函數(shù)，則稱函數(shù)函數(shù) 為累積函數(shù)為累積函數(shù) 對應的對應的利息力函數(shù)利息力函數(shù)，并稱利息力函數(shù)在，并稱利息力函數(shù)在各個時刻的值為各個時刻的值為利息力利息力(force of interest)(force of interest)( )att( )( )ta ta t 0t )(ta 累積函數(shù)可以表示為累積函數(shù)可以表示為貼現(xiàn)函數(shù)可以表示為貼現(xiàn)函數(shù)可以表示為0( )exp(ds)tsa t10( )exp(ds)tsat注注0( )(ln ( )dsln ( )ln (0)( )ttsa ta ta taa t定義定義: 時刻時刻 的的貼現(xiàn)力貼現(xiàn)力(force of di

50、scount) 為為注注 負號使得貼現(xiàn)力取正值負號使得貼現(xiàn)力取正值結論結論: 利息力與貼現(xiàn)力相等即利息力與貼現(xiàn)力相等即注注tt11( )( )tatat tt1211( )( ) ( )( )( )( )( )atat a ta tatata t 例例: :求單利在時刻求單利在時刻t t 的利息力的利息力解解: :從而時刻從而時刻 t t 的利息力為的利息力為注注 單利的利息力關于時間為遞減函數(shù)單利的利息力關于時間為遞減函數(shù)例例: :求復利在時刻求復利在時刻t t 的利息力的利息力解解: :從而時刻從而時刻 t t 的利息力為的利息力為itaitta)(,1)(ititatat1)()(tti

51、itaita)1)(1ln()(,)1 ()(aaaxxln)()1ln()()(itatat注：復利的利息力關于時間為常值函數(shù)注：復利的利息力關于時間為常值函數(shù)結論結論: :若利息力為常數(shù)若利息力為常數(shù), ,即即 則則1) 1) 2)2)常數(shù)利息力常數(shù)利息力 與實利率與實利率i 的關系式為的關系式為3)3)在相同計息期內(nèi)在相同計息期內(nèi)注：注：此即為復利情形此即為復利情形a(t)=(1+i)t,tttetaeta)(,)(1)1ln()ln()1ln(, 1dvieiid證明證明 1):證明證明 2):由由 ，可得，可得 由由i,v,d的關系可得，的關系可得，ttedsta)exp()(0i

52、e a1(1)1ei)1ln()ln()1ln(dviid.! 3! 2132eiddddd.32)1ln(32證明證明 3)：由由 2)可以證明可以證明 即即 結論：名利率結論：名利率 與名貼現(xiàn)率與名貼現(xiàn)率 以及利息力以及利息力 有如下關系有如下關系 deiediiiddepdemidippmmmpppmmpm11limlim1 1)()()()()()()()()(mi)( pd1)(mmemi1 )(ppepdiiddmp)()()()(limlimppmmdiie1de11） 2） 3） 4） 注注 1)&2): ，注注 3)&4): 利用展開式利用展開式.! 311!

53、 211 1322)(mmemimm21)()( ,12mmiiimmmdiim)(0而而 的性質可由與的性質可由與 的關系式及相應性質的關系式及相應性質推出推出)( pd)(mi可以證明可以證明 以及以及 1649$1000)10()0()10(10%5eaAA例例 Find the accumulated value of $1000 invested for ten years if the force of interest is 5%.解解例例:基金基金 F以利息力函數(shù)以利息力函數(shù) 累積；基金累積；基金G以利息力函數(shù)以利息力函數(shù) 累積。分別用累積。分別用 和和 表示兩個基金在時刻表示

54、兩個基金在時刻 的累積函數(shù)，令的累積函數(shù)，令 ，計算使，計算使 達到最大的時刻達到最大的時刻 T。0)(t 11tt0)(t 2142ttt)(taF)(taG0)(t t)()()(tatathGF)(th解：由題設條件有解：由題設條件有 tdsstatF1)11exp()(020221)214exp()(tdssstatG22)(ttthtth41)(41T根據(jù)根據(jù) h(t)定義得定義得 以及以及 ,由由此可以求出使此可以求出使 h(t) 達到最大的時刻達到最大的時刻 注注: 此例為變利息力此例為變利息力基金F與基金G的累積函數(shù) 1.2 1.2 利息基本計算利息基本計算有關利息計算的基本要

55、點有關利息計算的基本要點1) 1) 投資開始時的現(xiàn)值投資開始時的現(xiàn)值( (貨幣貨幣) )2) 2) 投資經(jīng)過的時間投資經(jīng)過的時間( (時間時間) )3) 3) 利率利率( (貨幣的時間價值度量貨幣的時間價值度量) )4) 4) 投資結束時的終值投資結束時的終值( (貨幣貨幣) )關鍵關鍵: :其中的任何三個的值都可以決定第四其中的任何三個的值都可以決定第四個的值個的值投資時間的度量投資時間的度量 精確利息計算精確利息計算(exact simple or compound interest) “實際投資天數(shù)實際投資天數(shù)/年實際天數(shù)年實際天數(shù)”(Actual/Actual) 按實際的投資天數(shù)計算，

56、一年為按實際的投資天數(shù)計算，一年為365 天天 普通利息計算普通利息計算(Ordinary simple/compound interest) “30/360” 假設每月有假設每月有30天，一年為天，一年為360天天注：注： 兩個給定日期之間的天數(shù)的計算公式為兩個給定日期之間的天數(shù)的計算公式為 360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，其中，Y2、M2、D2分別代表支取日的年、月、日，而分別代表支取日的年、月、日，而 Y1、M1、D1、則分別代表存入日的年、月、日。、則分別代表存入日的年、月、日。例：存入日：例：存入日：1999 1999 年年3 3 月月1

57、1 11 日日 支取日：支取日： 2000 2000 年年6 6 月月20 20 日日 存期天數(shù)存期天數(shù)=360=360（2000199920001999）+30+30（6-36-3）+ +（20- 1120- 11） = 360+90+9 = 459= 360+90+9 = 459例：存入日：例：存入日：1999 1999 年年6 6 月月20 20 日日 支取日：支取日：2000 2000 年年3 3 月月11 11 日日存期天數(shù)存期天數(shù)=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20)=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999

58、)+30(12+2-6)+(30+11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261 =0+240+21= 261注注 大月日歷日大月日歷日3030日與日與3131日被視為同一天；二月當月存日被視為同一天；二月當月存入、當月取出的，按照實際存款天數(shù)計算，跨月存入、入、當月取出的，按照實際存款天數(shù)計算，跨月存入、取出的，則按照取出的，則按照3030天計算。天計算。銀行家利息法則銀行家利息法則(Bankers Rule)“實際天數(shù)實際天數(shù)/360”/360”按實際的投資天數(shù)計算，但一年設為按實際的投資天數(shù)計算，但一年設為36036

59、0天天注：注： 不是所有的利息計算都需要計算天數(shù)不是所有的利息計算都需要計算天數(shù)( (如銀行儲蓄、債券交易會涉及投資天數(shù)的如銀行儲蓄、債券交易會涉及投資天數(shù)的計算），許多金融業(yè)務是自動依月、季、計算），許多金融業(yè)務是自動依月、季、半年或一年進行的。半年或一年進行的。價值方程價值方程問題的提出問題的提出 :多筆金融業(yè)務發(fā)生在不同時刻如何來統(tǒng)一處理多筆金融業(yè)務發(fā)生在不同時刻如何來統(tǒng)一處理 ?在考慮利息問題時貨幣將具有時間性即在考慮利息問題時貨幣將具有時間性即“貨幣的貨幣的時間價值時間價值” （time value of money ）不同時刻的貨幣量是無法直接比較大小的必須將不同時刻的貨幣量是無法

60、直接比較大小的必須將 這些量調(diào)整累積或貼現(xiàn)到某一個共同日期（這些量調(diào)整累積或貼現(xiàn)到某一個共同日期（比較比較日日/comparison date）來進行比較）來進行比較調(diào)整到比較日的計算方程被稱為調(diào)整到比較日的計算方程被稱為“價值方程價值方程” （equation of value）注注 ：期初和期末期初和期末是兩個特殊的比較日，中間其是兩個特殊的比較日，中間其它時刻都可以作為比較日?，F(xiàn)值方程它時刻都可以作為比較日?，F(xiàn)值方程/終值方程終值方程是將比較日選為期初是將比較日選為期初/期末的兩種特殊的價值方期末的兩種特殊的價值方程程.。注注 ：采用復利計算，最終計算結果與比較日的采用復利計算，最終計算結果與比較日的選