概率論與數(shù)理統(tǒng)計 23 連續(xù)型隨機變量及其概率密度

1、2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度1 1、概率密度的定義及性質(zhì)、概率密度的定義及性質(zhì)2 2、常見的連續(xù)型隨機變量、常見的連續(xù)型隨機變量在平面幾何中我們知道無法通過點的在平面幾何中我們知道無法通過點的長度長度來度量來度量線段的長度，（是用單位長度度量的），對于連續(xù)型隨機線段的長度，（是用單位長度度量的），對于連續(xù)型隨機變量而言，取到某一個點上的概率是沒有意義的。不能用變量而言，取到某一個點上的概率是沒有意義的。不能用離散型隨機變量的分布律（分布列）來描述連續(xù)型隨機變離散型隨機變量的分布律（分布列）來描述連續(xù)型隨機變?yōu)榇艘M定義為此引進定義的概率的分布。而是用考察事件的概率的分布。而是用考察事件X

2、X落在落在aXbaXb的概率。的概率。引言引言1、定義、定義2.8: :使對任意實數(shù)使對任意實數(shù) a, b (ab) , 有有Pa Xb則稱則稱X是是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量, f (x) 稱為稱為概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),baf x dx=( ) ,abxf (x)O簡稱簡稱概率密度概率密度, 下圖為其幾何解釋下圖為其幾何解釋 A陰影面積陰影面積A = PaXb2、密度函數(shù)性質(zhì)、密度函數(shù)性質(zhì):f x dx(2) ( )= 1 . 設(shè)設(shè)X是隨機變量是隨機變量, , 若存在一個非負可積函數(shù)若存在一個非負可積函數(shù) f (x) , , (1) f (x)0 是可積的是可積的 ;一、定義及性質(zhì)一、

3、定義及性質(zhì)(3)連續(xù)性隨機變量與離散型隨機變量的一個重要連續(xù)性隨機變量與離散型隨機變量的一個重要區(qū)別是區(qū)別是: :連續(xù)型隨機變量取連續(xù)型隨機變量取單個值的概率為單個值的概率為0 .因為因為(4)對于兩個常數(shù)對于兩個常數(shù)a，b有有 P a X b = P aX b =P a X b = P aXb baf x dx=( )3、定理、定理2.4:若隨機變量若隨機變量X是連續(xù)型的是連續(xù)型的, , 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 f (x) , , 則有則有 GP XGf x dx=( ),其中其中 G 表示一個區(qū)域表示一個區(qū)域 , , 且設(shè)且設(shè) f (x) 在在G上可積上可積 .00limlim()0ax

4、xaxPXaP axXafx dxFxf (x)O陰影面積為陰影面積為F(x)x4 4、連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)：、連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)：F(x) = P X x xf t dt x=( ) , 對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量 X ，其密度，其密度函數(shù)為函數(shù)為 f (x) ,則則 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為注注 (1)F(x)與密度函數(shù)與密度函數(shù) f (x) 關(guān)系的幾何解釋如圖所示關(guān)系的幾何解釋如圖所示:(2)由積分上限函數(shù)的由積分上限函數(shù)的性質(zhì)可知性質(zhì)可知dF xf xdx( ) =( ) .例例1、(90(90年考研題年考研題) )設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X的概率密度函數(shù)為的概

5、率密度函數(shù)為1 2| |( ),xf xex則則X的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)F(x)=_。12| |( )( )xxxF xf x dxedx解解：111222- -x0=|x0+x0+( )xxxF xe dxedx當當時時：001111222- -=-|=-|xx xxeee12( )( )f xfx其其所所對對應(yīng)應(yīng)的的概概率率密密度度為為和和是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則必必1021102F(x) = xxexex故故。12211211( )( )xx 例例 、（年年考考研研題題）設(shè)設(shè)F F 和和F F為為兩兩個個分分布布函函數(shù)數(shù)，1221122A A :( ) ( ):( ) ( ):(

6、 ) ( )f x fxBfx F xCf x F x_為為概概率率密密度度的的是是。1221:( ) ( )( ) ( )Df x F xfx F x1122,(x) =( ) , ( )( )Ff xFxfx解解：由由題題意意知知1212121212( ( ) ( ) )F x F xF FF Ff FF f1212121( ) ( )( ) ( )( ) ( ) |f x F xF x fx dxF x F x故選（故選（D） axbf xba 其其它它1,( ) =0, 二、幾種常見的連續(xù)型隨機變量二、幾種常見的連續(xù)型隨機變量:(1) 定義定義2.9:1、均勻分布、均勻分布:若隨機變量

7、若隨機變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱隨機變量則稱隨機變量 X 在區(qū)間在區(qū)間 a , , b 上服從均勻分布上服從均勻分布, ,記為記為 X U a , , b , ,其中其中 a , , b 為參數(shù)為參數(shù), , a b .均勻分布對應(yīng)的隨機試驗概型為幾何概型，隨機試驗的均勻分布對應(yīng)的隨機試驗概型為幾何概型，隨機試驗的結(jié)果如果可用隨機點在區(qū)域上的位置來表示。而落在區(qū)結(jié)果如果可用隨機點在區(qū)域上的位置來表示。而落在區(qū)域上的位置可用隨機變量域上的位置可用隨機變量X來表示，且等可能性，這就是來表示，且等可能性，這就是幾何概型（或均勻分布）幾何概型（或均勻分布）設(shè)設(shè)X為落點的位置，則為落點的位置，

8、則XU(a，b)。 它用來描述一個隨機變量它用來描述一個隨機變量X在一個區(qū)間上取每一個值的可在一個區(qū)間上取每一個值的可能性均相等的分布規(guī)律。能性均相等的分布規(guī)律。均勻分布的密度函數(shù)均勻分布的密度函數(shù) 的幾何意義是：的幾何意義是： 0 , ( ) =, xax b (2) 均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù):xe xf x 其其它它,0( ) =0, (1) 定義定義2.9:2、指數(shù)分布、指數(shù)分布:設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其其中中為為常常數(shù)數(shù)0 , X稱稱 服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的 . .指指數(shù)數(shù)分分布布指數(shù)分布可用來描述衰減的隨機現(xiàn)象，例如：在可靠指數(shù)

9、分布可用來描述衰減的隨機現(xiàn)象，例如：在可靠性問題中，電子元件的壽命，常常服從指數(shù)分布，隨性問題中，電子元件的壽命，常常服從指數(shù)分布，隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間也服從指數(shù)分布。機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間也服從指數(shù)分布。(2) 分布函數(shù)分布函數(shù):xe xF x 其其它它1,0( ) =0, 指數(shù)分布密度函數(shù)的幾何意義指數(shù)分布密度函數(shù)的幾何意義:(3) 服從服從指數(shù)分布的隨機變量的特點指數(shù)分布的隨機變量的特點: “無記憶性無記憶性”某個產(chǎn)品已經(jīng)用了某個產(chǎn)品已經(jīng)用了s s個小時，能持續(xù)再用個小時，能持續(xù)再用t t小時的概率與小時的概率與前面用過的時間前面用過的時間s s無關(guān)。這好像前面時間無關(guān)。這好像前面時

10、間s s個小時的經(jīng)歷個小時的經(jīng)歷“忘記了忘記了”，人們喜歡稱指數(shù)分布永遠年輕！，人們喜歡稱指數(shù)分布永遠年輕！, 0 , s t 對對任任意意 有有P Xst XsP Xt + = 事實上，有事實上，有P Xst Xs + 11 ( + )( ) + = PXstXsP XstP XstP XsP XsP Xs( + )1( + )= t 1( )s tsF steeP XF se 指數(shù)分布的這一性質(zhì)，使之具有廣泛的應(yīng)用，特別是指數(shù)分布的這一性質(zhì)，使之具有廣泛的應(yīng)用，特別是在可靠性理論與排隊論中更有廣泛的應(yīng)用。在可靠性理論與排隊論中更有廣泛的應(yīng)用。3、正態(tài)分布、正態(tài)分布:正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)

11、計中最重要的一個分布，正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一個分布，很多隨機變量可以用正態(tài)分布來近似描述。譬如測量誤很多隨機變量可以用正態(tài)分布來近似描述。譬如測量誤差，產(chǎn)品的質(zhì)量，人的身高和年降水量等等均可用正態(tài)差，產(chǎn)品的質(zhì)量，人的身高和年降水量等等均可用正態(tài)分布來描述。凡隨機現(xiàn)象呈分布來描述。凡隨機現(xiàn)象呈“兩頭小，中間大兩頭小，中間大”都可以都可以用正態(tài)分布來描述。用正態(tài)分布來描述。進一步研究表明，凡是考察的指標都受到為數(shù)眾多的相進一步研究表明，凡是考察的指標都受到為數(shù)眾多的相互獨立的隨機因素的影響，而每一個因素的影響都是微互獨立的隨機因素的影響，而每一個因素的影響都是微小的（無主導(dǎo)因素）。

12、那么具有上述特點的指標一般都小的（無主導(dǎo)因素）。那么具有上述特點的指標一般都服從或近似服從正態(tài)分布。服從或近似服從正態(tài)分布。xf xex,22()21( ) =2 (1) 定義定義2.11:若隨機變量若隨機變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為XXN 稱稱 服服從從, , 記記作作正正分分布布 態(tài)態(tài)2( , ) ,其其中中,0 . xf (x)OXN 的的密密度度函函數(shù)數(shù)2( , )f x 的的圖圖形形: :( )txF xedt ,22()21( ) =2 (2) 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù):xF (x)OS 其其圖圖形形為為一一條條光光滑滑上上升升的的 形形曲曲線線: :221( )

13、 =2,t xxedtx (2) 定義定義2.12:01(0,1) N稱稱 = , = = , = 時時的的正正態(tài)態(tài)分分布布 為為標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布. .( )x標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù): :221( ) =2,xxex ( )x標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布的的分分布布函函數(shù)數(shù): :(1) () = 1( )xx注注(2) ( )x 中中不不含含任任何何未未知知參參數(shù)數(shù). .(i) = 1( ) ;P X xx (3) 定理定理2.5: 設(shè)設(shè)XN(0 , 1) , 則有則有(ii) =( )( ) ;P a X bba (iii) = 2 ( )1 .PX cc 注注 可

14、用可用 (x) 的定義證明定理的定義證明定理. 2 ( , ) , (0,1) .XXNY =N若若則則 (4) 定理定理2.6: ( ) ( ) ,XYX Y FxFy 設(shè)設(shè)與與的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和證證則則由由分分布布函函數(shù)數(shù)定定義義知知( ) = =YXFyP YyPy ( )X= P Xy= Fy 由由于于正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo), , 所所以以若若( ) ( ) , XYX Y fxfy設(shè)設(shè) 與與的的密密度度函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和則則有有(0,1) .XY =N故故 ( ) =( ) = ()YYXddfyFyFydydy 221=

15、 ()=2yXfye (5) 相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論: 2 ( , ) , (), XNa b c ab設(shè)設(shè)對對于于任任意意實實數(shù)數(shù) , , , ,有有 =() ,cP Xc =() () .baP a 0），且），且= 2 (2.5) -1 = 20.9938 -1 = 0.982624= b - 4ac = 16 - 4X 4 = 1- PX4 = 1- PX414042=.XP 二次方程二次方程y2 +4y+X=0無實根的概率為無實根的概率為1/2,則則=_例例3 3、（8989年數(shù)年數(shù)1 1）設(shè)隨機變量）設(shè)隨機變量 在區(qū)間（在區(qū)間（1,61,6）上服從）上服從均勻分布，則均勻分布，則要使方程有根，則須使要使方程有根，則須使= 2 -40，即，即方程方程x2 + x+1=0 x+1=0有實根的概率是有實根的概率是_。11 650(, )( )f解解：由由題題意意知知其其他他40222 2 2 | |PPP456 62 21 15 5d則則a，b應(yīng)滿足應(yīng)滿足_。14 4 ( (1 10 0) )( )f x例例 、年年考考研