插值法第一次(new)

1、數值逼近數值逼近(N(NUMERICALUMERICAL A APPROXIMATIONPPROXIMATION) )插值法（第2章） 函數逼近與曲線擬合（第3章） 數值積分與數值微分 （第4章）2016.3.10第二章第二章 插值插值（I INTERPOLATIONNTERPOLATION）法法1.1.了解插值的概念。了解插值的概念。2.2.掌握拉格朗日掌握拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值法及其余項公式。插值法及其余項公式。3.3.了解均差的概念及基本性質，掌握牛頓插值法。了解均差的概念及基本性質，掌握牛頓插值法。4.4.了解差分的概念，會牛頓前插公式、后插公式。了解差分

2、的概念，會牛頓前插公式、后插公式。5.5.會埃爾米特會埃爾米特(Hermite)(Hermite)插值及其余項公式。插值及其余項公式。6.6.知道高次插值的病態(tài)性質知道高次插值的病態(tài)性質, ,會分段線性插值和分段埃會分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。爾米特插值及其誤差和收斂性。7.7.會三次樣條插值會三次樣條插值, ,知道其誤差和收斂性。知道其誤差和收斂性。條件條件 已知已知233sin,214sin,216sin 計算計算 sin 50 的近似值的近似值 并估計誤差。并估計誤差。 需求需求問題實例更一般情況更一般情況問題問題：需要計算函數的近似關系表達式、在未知點的函數值：需要

3、計算函數的近似關系表達式、在未知點的函數值條件：條件： 一組有函數關系的自變量和因變量的測量數據一組有函數關系的自變量和因變量的測量數據),(iiyx本節(jié)課主要內容插值問題的描述Lagrange插值多項式的存在唯一性，構造形式，基函數性質誤差分析應用 描述事物之間的數量關系：函數。 有兩種情況： 一是表格表格形式一組離散的數據離散的數據來表示函數關系；另一種是函數雖然有明顯的有明顯的表達式表達式，但很復雜，但很復雜，不便于研究和使用。 從實際需要出發(fā)：對于計算結果允許有一定的誤差，可以把函數關系用一個簡單的便于計算和處理的近似表達式近似表達式來代替，從而使問題得到簡化。一般地，構造某種簡單函數

4、代替原來函數。插值法就是一種基本方法0 引言引言(1)(2)(2) 在在 x 為特殊值為特殊值時時, 是好計算的是好計算的, 則則 (2)可轉化為可轉化為(1)當精確函數當精確函數 y = f(x) 非常復雜或未知時，在一非常復雜或未知時，在一系列節(jié)點系列節(jié)點 x0 xn 處測得函數值處測得函數值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此構造一個簡單易算的近似函，由此構造一個簡單易算的近似函數數 g(x) f(x)，滿足條件，滿足條件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 g(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數插值函數。x0 x1x2x3x4xg(x) f

5、(x), 1 , 0()(niyxPii（1.1） 設函數 在區(qū)間 上有定義，且已知在點 上的值 ，若存在一簡單函數 ，使)(xfy ,babxxxan10nyyy,10)(xP成立，就稱 為 的插值函數插值函數，點 稱為插插值節(jié)點值節(jié)點，包含節(jié)點的區(qū)間 稱為插值區(qū)間插值區(qū)間，求插值函數 的方法稱為插值法插值法.)(xP)(xfnxxx,10,ba)(xP 2.1.1 2.1.1 插值問題的提出插值問題的提出nnxaxaaxP10)(（1.2） 若 是次數不超過 的代數多項式，)(xPn其中 為實數，就稱 為插值多項式插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值多項式插值.ia)( xP本章只討論多

6、項式插值與分段插值. 若 為分段的多項式，就稱為分段插值分段插值.)( xP 若 為三角多項式 ，就稱為三角插值三角插值.)( xP即插值函數：Lagrange, Newton, Hermite, Spline由此可以得到關于系數 的 元線性方程組上的函數值 ,求次數不超過 的多項式 ，使 2.1.2 2.1.2 多項式插值多項式插值 ), 1 , 0()(niyxPii（1.3） 設在區(qū)間 上給定 個點), 1 , 0)(nixfyii,babxxxan10naaa,101n1nn)(xP,101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa（1.4）此方程組的系數

7、矩陣為,1111100nnnnnxxxxxxA稱為范德蒙德（范德蒙德（VandermondeVandermonde）矩陣）矩陣,由于 互異，故), 1 ,0(nixi（1.5）因此線性方程組（1.4）的解 存在且唯一.naaa,10 定理定理1 1 滿足條件（1.3）的插值多項式 是存在唯一的.(證明)(xP. 0)(det1,njiojijixxA1 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 niyxPiin,., 0,)( 求求 n 次多項式次多項式 使得使得nnnxaxaaxP 10)(條件：條件：無重合節(jié)點，即無重合節(jié)點，即jixx ji n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，

8、求，求xaaxP101)( 使得使得111001)(,)(yxPyxP 可見可見 P1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。兩點的直線。)(1xP101xxxx 010 xxxx = y0 + y11.1 線性插值線性插值兩點式兩點式)()(0010101xxxxyyyxP 點斜式點斜式)(001010 xxxxxxy ()ff（解的存在唯一性）1.2 二次插值二次插值n = 2已知已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 ,y2 , 求求22102)(xaxaaxP 使得使得002,)(yxP112)(yxP 222)(yxP , 為求為求

9、P2(x),將三點代入其表達式將三點代入其表達式,即可得到三個方程式即可得到三個方程式,從而聯立方程組解出系數從而聯立方程組解出系數a0, a1, a2即可即可:2020100 xaxaay 2121101xaxaay 2222102xaxaay 方程組的方程組的解是否存在解是否存在? 若存在解若存在解,是否是否唯一唯一?!當當 x0 , x1 , x2互異時互異時,方程組的解存在且唯一方程組的解存在且唯一.注：注：顯然有顯然有, 求求n 次插值時次插值時, 由由n +1個點可有個點可有n +1個方程個方程, 聯立方程組即可求出插值多項式的聯立方程組即可求出插值多項式的n +1個系數個系數.

10、然而然而,方程組的求解也并不是一件容易的事方程組的求解也并不是一件容易的事。1.2.1 待定系數法待定系數法 對于線性插值的對于線性插值的兩種形式兩種形式解解進行適當的分析進行適當的分析, , 從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā)從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā), ,就有了所謂的就有了所謂的拉格朗日拉格朗日插值法插值法( (公式公式) )和和牛頓插值牛頓插值( (公式公式). ). 我們先來看看如何得到二次二次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式（和和牛頓插值公式牛頓插值公式（為討論方便，留待后述為討論方便，留待后述）. . 首先, 線性插值的兩點式可看作是兩個特殊的一次式可看作是兩個特殊的一次式的一種線性組合的一種線性

11、組合.101xxxx 010 xxxx )(1xP= y0 + y1 10)(iiiyxl兩點式兩點式l0(x)l1(x)實質上實質上0l（x）和）和1l（x）即是滿足函數表）即是滿足函數表 的一次插值多項式的一次插值多項式 ,稱稱l0(x)和和l1(x)為以為以x0,x1為節(jié)點的基本插為節(jié)點的基本插值多項式，也稱為值多項式，也稱為線性插值的線性插值的插值基函數插值基函數 。 于是，線性插值即是用于是，線性插值即是用基函數的線性組合基函數的線性組合來構造的來構造的. 1.2.2 基函數法基函數法稱為稱為拉氏基函數拉氏基函數 ，滿足，滿足 li(xj)= ij 顯然有顯然有l(wèi)0(x)+ l0(x

12、)1.這里，這里， l0(x)和和l1(x)具有如下性質：具有如下性質：l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數來線性組合函數來線性組合:這時，這時，l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多項式，且應滿足都是二次多項式，且應滿足滿足滿足(2.1)式的式的 l i(x) 是否存在是否存在?若存在，具有什么形式呢若存在，具有什么形式呢?（2.1）同理可得同理可得 l1(x) 1(x x0)(x x2), l2(x) 2(x x0)(x x1),1(x1x0

13、)(x1x2)12(x2x0)(x2x1)1此即此即二次二次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式, 其中其中, l0(x), l1(x), l2(x)是滿足是滿足(2.1)的特殊的特殊(基本基本)二次插值多項式二次插值多項式;稱為稱為二次插值基函數二次插值基函數.P2(x)= y0+ y1+ y2(x - -x0)(x - -x2)(x1- -x0)(x1- -x2)(x - -x1)(x - -x2)(x0- -x1)(x0- -x2)(x - -x0)(x - -x1)(x2- -x0)(x2- -x1) 先考慮先考慮 l0(x)。因。因 l0(x)是以是以 x1, x2 為零點的二次多項式為

14、零點的二次多項式,所以它可寫成所以它可寫成 l0(x) 0(x x1)(x x2), 其中其中 0 是待定系是待定系數。數。 又因為又因為 l0( x0)=1，所以，所以 0(x0 x1)(x0 x2)1，則可有，則可有0(x0 x1)(x0 x2)1 l0(x) 0(x x1)(x x2), n 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后令；然后令 niiinyxlxP0)()(，則顯然有，則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個每個 li 有有 n 個根個根 x0 xi xn njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)()

15、.().()( j i jiiiixxCxl)(11)( njijjijixxxxxl0)()()( niiinyxlxL0)()( 拉格朗日拉格朗日 多項式多項式與與 有關，而與有關，而與 無關無關節(jié)點節(jié)點f1.3 n 次插值次插值定理定理 (唯一性唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多階插值多項式是唯一存在的。項式是唯一存在的。niyxPii,., 0,)( 證明：證明： ( 存在性存在性可利用可利用Vandermonde 行列式行列式論證論證)反證：若不唯一，則除了反證：若不唯一，則除了Ln(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項階多項式式 Pn(x) 滿足滿足 Pn(xi) = yi

16、?？疾炜疾?則則 Qn 的階數的階數, )()()(xLxPxQnnn n而而 Qn 有有 個不同的根個不同的根n + 1x0 xn注：注：若不將多項式次數限制為若不將多項式次數限制為 n ，則插值多項式，則插值多項式不唯一不唯一。例如例如 也是一個插值也是一個插值多項式，其中多項式，其中 可以是任意多項式?？梢允侨我舛囗検?。 niinxxxpxLxP0)()()()()(xp niiinyxlxL0)()(設節(jié)點設節(jié)點)1( nf在在a , b內存在內存在, 考察截斷誤差考察截斷誤差)()()(xLxfxRnn , baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿足條件滿足條件 ,Rolles

17、 Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，則，則存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10 xx ),(10 xx 0)( 推廣：推廣：若若0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( 0)()(0 nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()( nRn(x) 至少有至少有 個根個根n+1 niinxxxKxR0)()()(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 niixtxKtRnt0)()()()( (x)有有 n+2 個不同的根個不同的根 x0 xn x),(, 0)()1(bax

18、xn !)1()()()1(nxKRxnn 注意這里是對注意這里是對 t 求導求導 !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( nfxKxn niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( 1.4 插值余項插值余項 (Remainder) 注：注： 通常不能確定通常不能確定 x , 而是估計而是估計 , x (a,b) 將將 作為誤差估計上限。作為誤差估計上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1(當當 f(x) 為任一個次數為任一個次數 n 的的多項式多項式時，時， , 可知可知 ，即插值多項式對于次數，即插值多項式對于次數 n 的

19、的多項多項式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRn.)(應應用用的的高高階階導導數數存存在在時時才才能能余余項項表表達達式式只只有有在在xf,)()( )(61)(2,)( )(21)()(21)(1202102101021xxxxxxxxfxRnxxxxxxfxfxRn ，時時，拋拋物物插插值值的的余余項項為為當當，時時，線線性性插插值值余余項項為為當當例例1 求經過求經過A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三個插值點的插值多項式三個插值點的插值多項式.解：解：三個插值節(jié)點及對應的函數值為三個插值節(jié)點及對應的函數值為.322110221100 yxyxyx，；，；，13

20、)12)(02()1)(0(2)21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1()()()()()()()(2120210121012002010212 xxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL由拋物插值公式得由拋物插值公式得n+1個節(jié)點的Lagrange插值多項式不超過n次例例2：已知已知233sin,214sin,216sin 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計算插值計算 sin 50 并估計誤差。并估計誤差。 解：解：0 x1x2x185500 n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2

21、 計算計算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 (extrapolation ) 的實際誤差的實際誤差 0.010100.010103,421 xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內插內插 (interpolation ) 的實際誤差的實際誤差

22、0.005960.00596內插通常優(yōu)于外推。選擇內插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的要計算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。端點，插值效果較好。n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實際誤差次插值的實際誤差 0.000610.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對不是次數越但絕對不是次數越高

23、就越好，嘿高就越好，嘿嘿嘿 例例3 考慮下述的插值法問題：求二次多項式考慮下述的插值法問題：求二次多項式P(x)，滿足，滿足P(x0) = y0, 其中其中 是已給的數據并給出使這一問題的解存在且唯一的條件是已給的數據并給出使這一問題的解存在且唯一的條件.，2211)()(yxPyxP21020yyyxx、，解解：設：設 則則 由已知條件有由已知條件有，cbxaxxP2)(.2)(baxxP11222200202ybaxycbxaxycbxax0012111222020 xxxxx0)()(22220201xxxxx)0(220201xxxxx即即 所以所以故原問題的唯一可解性就歸結為上述方程

24、組的唯一可解性而后故原問題的唯一可解性就歸結為上述方程組的唯一可解性而后者唯一可解的充要條件為者唯一可解的充要條件為這就是這就是P（x）存在且唯一的條件。）存在且唯一的條件。HW: p.481,2,4,5(1).)10(.出有牛頓插值公式出有牛頓插值公式形式，從而導形式，從而導項式變形為便于計算的項式變形為便于計算的這一缺點，可把插值多這一缺點，可把插值多為了克服為了克服的的實際計算中是很不方便實際計算中是很不方便式也要發(fā)生變化，這在式也要發(fā)生變化，這在均要隨之變化，整個公均要隨之變化，整個公，時，全部插值基函數時，全部插值基函數但是，當插值節(jié)點增加但是，當插值節(jié)點增加中非常方便中非常方便結構

25、緊湊，在理論分析結構緊湊，在理論分析式，公式式，公式得到拉格朗日插值多項得到拉格朗日插值多項利用插值基函數很容易利用插值基函數很容易nklk 1.5 拉格朗日插值公式的優(yōu)缺點拉格朗日插值公式的優(yōu)缺點。階導數連續(xù)的函數空間上二表示在區(qū)間記號其中試證：設例ba,ba,C. )(max)(81)()()()()(max,3.22222xfMMabaxabafbfafxfbaCfbxabxa )()()()()(max)()()()()()(,(),(,(:1axabafbfafxfaxabafbfafxLbfbafabxa于是的線性插值為：通過兩點證明2221)(81)(max2)(2)(max)(

26、)(maxMabbxaxMbxaxfxLxfbxabxabxa 課堂練習證明證明njkjkjjxxlxnjx0)(), 1 , 0(:為互異節(jié)點，則有設基函數性質505)0(Lagrange5)()5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(. 1iiiiilxxlix插值基函數，則次為對應的為互異節(jié)點，設？50345)() 12(iiiiixlxxx？本節(jié)主要內容本節(jié)主要內容NewtonNewton插值插值等距差分公式等距差分公式 Lagrange插值插值公式公式(利用利用插值基函數插值基函數很容易得到很容易得到): 含義直觀含義直觀,結構緊湊結構緊湊,在理論分析中非常方便在理論分析中非常方

27、便; 計算機上計算機上實現實現也很也很容易容易. 也有一些也有一些缺點缺點： 一是一是計算量大計算量大，這是顯然的；另外，還有一個更嚴重的，這是顯然的；另外，還有一個更嚴重的缺點，當插值節(jié)點增加時，缺點，當插值節(jié)點增加時，全部插值基函數全部插值基函數均要隨之均要隨之變化變化，整個計算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項都要改變，整個計算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項都要改變，還要還要增加一項增加一項計算。計算。 為克服上述兩個缺點為克服上述兩個缺點, 努力：把插值多項式變形為努力：把插值多項式變形為便于計算便于計算的形式。的形式。 希望：希望：計算改變的過程中計算改變的過程中,盡可能能利用已

28、有的計算結果盡可能能利用已有的計算結果. 下面我們將看到下面我們將看到,這是可能的。我們可以有具有這是可能的。我們可以有具有“承襲性承襲性”的所謂牛頓公式。的所謂牛頓公式。)()(0010101xxxxyyyxP )(001010 xxxxxxy ()fffx0,x1 二次牛頓插值多項式二次牛頓插值多項式 我們再看線性插值線性插值的點斜式點斜式: )(00 xxy fx0,x1常數常數(差商差商) 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達式組合表達式:P2(x)= 0 + 1(x- -x0) + 2(x- -x0)(x- -x1)利用

29、利用P2(x0)=y0有有: 0 = y0 ,利用利用P2(x1)=y1有有: 1 = 0101xxxx ()ff= fx0,x1 ,利用利用P2(x2)=y2有有: 2 = fx0,x1 (x2- -x0)(x2- -x1) (x2- -x0)(x2- -x1)0 xx2 ()ff (x2- -x0)-fx0,x2fx0,x1 x2 - - x1 =-= fx0,x1,x2 ;P2(x)=f(x0) + (x- -x0) + (x- -x0)(x- -x1) fx0,x1 fx0,x1,x2 fx0,x2 x=x0時0注注: 1. 事實上事實上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用從上述可看出二

30、次牛頓插值公式是用待待定系數法定系數法求得的求得的; 2. 它也可看作是三個特殊函數的一種線性組合它也可看作是三個特殊函數的一種線性組合:P2(x)=f(x0) + (x- -x0) + (x- -x0)(x- -x1) fx0,x1 fx0,x1,x2 fx0,x1 , fx0,x1,x2 f(x0), 1 , (x- -x0) , (x- -x0)(x- -x1)即函數 的線性組合,組合系數為 本質上還是本質上還是基函數法基函數法. 更一般地，更一般地，n+1個節(jié)點的插值多項式，我們希望由上個節(jié)點的插值多項式，我們希望由上述類似的一組特殊函數：述類似的一組特殊函數：來線性組合為：來線性組合

31、為： 1 , (x- -x0) , (x- -x0)(x- -x1)，(x- -x0)(x- -x1)(x- -xn).(.)()()(10102010 nnnxxxxaxxxxaxxaaxN那么其組合系數是什么樣的呢？怎么求呢？那么其組合系數是什么樣的呢？怎么求呢？我們同樣可用待定系數法我們同樣可用待定系數法. 容易發(fā)現容易發(fā)現,計算計算a0, a1, a2 , an 是很有規(guī)律的是很有規(guī)律的. 定義定義2 稱稱 為函數為函數f(x)關于點關于點x0,xk的的一階均差一階均差.稱稱 為為f(x) 的的二階均差二階均差.一般地一般地, 稱稱 為為 f(x) 的的k 階均差階均差(差商差商).

32、fx0,xk =f(xk)- -f(x0)xk- -x0 fx0,x1,xk=fx0,xk- - fx0,x1xk- -x1 fx0,x1,xk=fx0, xk-2,xk- - fx0,x1, ,xk-1xk- -xk-1均差有如下的基本性質均差有如下的基本性質: 1 k 階均差可表示為函數值階均差可表示為函數值f(x0), f(x1), f(xk)的線性組合的線性組合,即即 fx0,x1,xk=f(xj)(xj- -xj+1)(xj- -xk)(xj- -xj+1)(xj- -x0) kj=0這個性質可用歸納法證明這個性質可用歸納法證明. 這個性質也表明均差與節(jié)點的排列這個性質也表明均差與節(jié)

33、點的排列次序無關次序無關,稱為均差的對稱性稱為均差的對稱性,即即 fx0,x1,xk= fx1,x0,x2,xk= = fx1, , xk ,x0 fx0,x1,xk=fx1, xk-1,xk- - fx0,x1, ,xk-1xk- -x02 由性質由性質1可得可得:f(n)()n!,ba 3 若若f(x)在在a,b上存在上存在n階導數階導數, 且節(jié)點且節(jié)點x0,x1,xn a,b,則則n階均差與導數關系如下階均差與導數關系如下: ,011kkxxxxf,10nxxxf（證明推后到余項分析）,)()()(000 xxfxxxfxf ,)(,101100 xxxfxxxxfxxf ,.,)(,.

34、,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf ).(.)()()(10102010 nnnxxxxaxxxxaxxaaxN12 n 11+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn 1) n 1.)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,100 nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi 二、牛頓插值公式二、牛頓插值公式)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf Rn(x).)(,)(,)(102100100 xxxxxxxfxxxxfxf).(,.,100

35、nnxxxxxxfNn(x)n+1(x)10(0nkxxfakk， 多項式多項式Nn(x)顯然滿足插值條件顯然滿足插值條件,即即Nn(xj)=f(xj),(j=1, n),且次數不超過且次數不超過n,由唯一性定理它就是前述的由唯一性定理它就是前述的Ln(x),其系數為其系數為 Nn(x)稱為牛頓均差插值多項式稱為牛頓均差插值多項式,它比拉格朗日插值多項式它比拉格朗日插值多項式計算量省計算量省,且便于程序設計且便于程序設計.注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其只是算法不同，故其余項也相同，即余項也相同，即)(!)1()()(,.,1)1(10 xnfx

36、xxxfkxnkn ),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk 實際計算過程為實際計算過程為f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1均差計算可列均差表如下：均差計算可列均差表如下：, 2, 1 , 1, 0 ,11 iikixxxxfxxfxxfikkikiki 例例1 依據如下函數值表建立不超過依據如下函數值表建立不超過3次的拉格朗日插值多次的拉格朗日插值多項式及牛頓插值多項式項式及牛頓插值多項式Nn(x),并驗證插值多項式的唯一性并驗證插值多項式的唯一性. 解解: (1)拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式Ln(x).插值基函數插值基函數xk0124f (xk)19233拉格朗日插值多項式為拉格朗日插值多項式為:121445411 )(3)(23)(9)()()(233210303xxxxlxlxlxlyxlxLiii,12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(,4541)42)(12)(02()4)(1)(0()(,38231)41)(21