高等數(shù)學(xué)2017年最新課件換元法

1、二、第二類換元法二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法一、第一類換元法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 換元積分法換元積分法 第四章第四章 第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)設(shè), )()(ufuF)(xu可導(dǎo)可導(dǎo),xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有則有一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu則有換元?jiǎng)t有換元公式公式xxxfd)()(uufd)()

2、(xu)(d)(xxf(也稱也稱配元法配元法即即xxxfd)()(, 湊微分法湊微分法)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1. 1. 求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau則則,ddxau 故故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 當(dāng)當(dāng)1m時(shí)時(shí)bxaxdCbxaaln1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22)(1d1axxa例例2. 2. 求.d22xax解解:22dxax,axu 令令則則xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21du

3、uCu arctan)(ax機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例3. 3. 求).0(d22axax21duu想到想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例4. 4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 類似類似Ca

4、xaxaln21例例5. 5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: : xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cos

5、 xfxcosd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(lnxfxlnd例例6. 6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例7. 7. 求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxt

6、andxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例9. 9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結(jié)果一樣兩法結(jié)果一樣機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxsin11sin1121例例10.10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1

7、ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxtansec解法解法 2 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同樣可證同樣可證xxdcscCxxcotcscln或或xxdcscCx2tanln(P196 例例16 )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 222d)(2123xax例例11.11. 求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(

8、aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )2cos2cos21 (241xx 例例12 .12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例13.13.

9、求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14.14. 求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (

10、1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 分析分析: 例例15.15. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )()(xfxf小結(jié)小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧常用簡(jiǎn)化技巧:(1) 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分:(2) 降低

11、冪次降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 配元方法配元方法(4) 巧妙換元或配元巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 利用積化和差利用積化和差; 分式分項(xiàng)分式分項(xiàng);利用倍角公式利用倍角公式 , 如如思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各題求積方法有何不同下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxx

12、d4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxxd) 1(1102. 2. 求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作業(yè)作業(yè) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二、第二類換元法二、第二類換元法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上

13、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第一類換元法解決的問題第一類換元法解決的問題難求難求易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求積分若所求積分xxxfd)()(易求易求,則得第二類換元積分法則得第二類換元積分法 .難求，難求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 2 . 設(shè))(tx是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且且,0)( t)()(ttf具有原函數(shù)具有原函數(shù) ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函數(shù)是其中txxt證證:的原函數(shù)為設(shè))()(ttf, )(t令令 )()(1xxF則則)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfx

14、xfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則有換元公式則有換元公式例例16.16. 求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax則則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例17.17. 求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan2

15、2ttax則則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xa1C例例18.18. 求. )0(d22aaxx解解:,時(shí)當(dāng)ax 令令, ),0(,sec2ttax則則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁

16、上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22ax axa,時(shí)當(dāng)ax令令,ux,au 則于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時(shí)ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明說明: :被積函數(shù)含有被積函數(shù)含有22ax 時(shí)時(shí), 除采用除采用1shch22tt采用雙曲代換采用雙曲代換taxsh消去根式消去根式 , 所得結(jié)果一致所得結(jié)果一致 . ( 參考書上參考書上 P201-P202 )taxch或或22ax 或或機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

17、束結(jié)束 三角代換外三角代換外, 還可利用公式還可利用公式原式原式21) 1(22ta221a例例19.19. 求.d422xxxa解解: 令令,1tx 則則txtdd21原式原式ttd12tttad) 1(2122,0時(shí)當(dāng)x42112tta Cata2223) 1(23當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 類似可得同樣結(jié)果類似可得同樣結(jié)果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 小結(jié)小結(jié): :1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令令ndxcbxa

18、t,d),()3(22xxaxf令令taxsin或或taxcos,d),()4(22xxaxf令令taxtan或或taxsh,d),()5(22xaxxf令令taxsec或或taxch機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第四節(jié)講第四節(jié)講xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充 (P203)(7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí)分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用可試用倒代換倒代換 ,

19、d)()6(xafx令令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P203 公式公式 (20) )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例20.20. 求例例21. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln21

20、2(P203 公式公式 (23) )例例22.22. 求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x(P203 公式公式 (22) )2521xCx512arcsin機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例23. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin(P203 公式公式 (22) )例例24.24. 求.d222 axxx解解: 令令,1tx 得得原式原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ttttd)1(12132例

21、例25.25. 求.2) 1(d23xxxx解解: 原式原式1) 1() 1(d23xxx令令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112例例16tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例例16 16 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令令21xt令令xet1令令xt1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 2. 已知,1d)(25Cxxxfx求求.d)(xxf解解: 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得)(5xfx,12xx則則1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原變量代回原變量) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上