線性代數(shù)-N階行列式

1、線 性 代 數(shù)線 性 代 數(shù) 南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系信息與計(jì)算科學(xué)系程程 浩浩線性代數(shù)是研究在日常生活里、在工程技術(shù)線性代數(shù)是研究在日常生活里、在工程技術(shù)的許多領(lǐng)域以及在各項(xiàng)科學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)的的許多領(lǐng)域以及在各項(xiàng)科學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)的代數(shù)問(wèn)題的一門學(xué)科。代數(shù)問(wèn)題的一門學(xué)科。介介 紹紹 這些代數(shù)問(wèn)題包括：這些代數(shù)問(wèn)題包括：矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算，線性方線性方程組的求解理論與方法程組的求解理論與方法，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，線性空間與線性變換線性空間與線性變換等。等。1 什么全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽？什么全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽？2 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在我校的情況？數(shù)

2、學(xué)建模競(jìng)賽在我校的情況？3 該怎樣參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽？該怎樣參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽？ 線性代數(shù)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的線性代數(shù)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。例如，在計(jì)算機(jī)圖形處理一個(gè)強(qiáng)有力的工具。例如，在計(jì)算機(jī)圖形處理中，通常將圓錐曲線中，通常將圓錐曲線220AxBxyCyDxEyF 寫成下列矩陣形式寫成下列矩陣形式 221022122BDAxBExyCyDEF 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為0TXSX 如果將該圓錐曲線作（繞原點(diǎn)的）旋轉(zhuǎn)變換如果將該圓錐曲線作（繞原點(diǎn)的）旋轉(zhuǎn)變換（坐標(biāo)系不變），設(shè)變換矩陣（坐標(biāo)系不變），設(shè)變換矩陣cossin0sincos0001R 則變換后的圓錐曲線其方程即為則變

3、換后的圓錐曲線其方程即為0TTXRSRX 用矩陣方法來(lái)表示圓錐曲線的旋轉(zhuǎn)變換，用矩陣方法來(lái)表示圓錐曲線的旋轉(zhuǎn)變換，不僅表達(dá)簡(jiǎn)明，而且更便于不僅表達(dá)簡(jiǎn)明，而且更便于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。線性代數(shù)線性代數(shù)這一門學(xué)科各章內(nèi)容之間有較強(qiáng)這一門學(xué)科各章內(nèi)容之間有較強(qiáng)的的漸進(jìn)關(guān)系漸進(jìn)關(guān)系；概念具有；概念具有多樣性多樣性；有些理論比較；有些理論比較抽象抽象；解決問(wèn)題的方法富于；解決問(wèn)題的方法富于變化變化；對(duì)本課程的；對(duì)本課程的這些特點(diǎn)，在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以注意。這些特點(diǎn)，在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以注意。第一章第一章 行列式行列式 n n階行列式的定義階行列式的定義n n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)克萊姆克

4、萊姆(Cramer)(Cramer)法則法則n n階行列式的計(jì)算階行列式的計(jì)算n n階行列式的定義、性質(zhì)與計(jì)算階行列式的定義、性質(zhì)與計(jì)算 行列式是線性代數(shù)中的一個(gè)基本工具。在初等行列式是線性代數(shù)中的一個(gè)基本工具。在初等數(shù)學(xué)里已經(jīng)介紹二階、三階行列式，現(xiàn)在為了研數(shù)學(xué)里已經(jīng)介紹二階、三階行列式，現(xiàn)在為了研究究 n n 元線性方程組需要進(jìn)一步討論元線性方程組需要進(jìn)一步討論 n n 階行列式。階行列式。 討論二階、三階行列式討論二階、三階行列式進(jìn)一步介紹進(jìn)一步介紹 n n 階行列式階行列式解決一類解決一類 n n 元線性方程組求解問(wèn)題元線性方程組求解問(wèn)題第一節(jié)第一節(jié) n n 階行列式階行列式 一一.

5、. 二階、三階行列式二階、三階行列式 研究二元線性方程組：研究二元線性方程組： 22221211212111bxaxabxaxa利用利用消元法消元法 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x 1 2211222111222211aaaaababx 211222112111122aaaaababx 從二元線性方程組解的形式可以發(fā)現(xiàn)，如果從二元線性方程組解的形式可以發(fā)現(xiàn)，如果引引入記號(hào)（入記號(hào)（叫做叫做二階行列式二階行列式）：）： dcbaD bcad 同理同理1122221112212

6、2babaaaaa211222111222211aaaaababx 11112211122122ababaaaa211222112111122aaaaababx 則其解可簡(jiǎn)潔地表示為：則其解可簡(jiǎn)潔地表示為： DD1 DD2 其中其中2221211ababD 22211211aaaaD 2211112babaD 22221211212111bxaxabxaxa解線性方程組解線性方程組 143022121xxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式 02644321 D又又241201 D113012 D所以方程組的解為所以方程組的解為 解解例例1111 DDx2122 DDx類似地，如果

7、在求解三元方程組類似地，如果在求解三元方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的過(guò)程中引入下列的過(guò)程中引入下列三階行列式三階行列式的記號(hào)的記號(hào)333231232221131211aaaaaaaaaD 其實(shí)，這個(gè)三階行列式的展開式的值也可以用其實(shí)，這個(gè)三階行列式的展開式的值也可以用下面的所謂下面的所謂主、副對(duì)角線法則主、副對(duì)角線法則得到：得到： 333231232221131211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaaD 并并規(guī)定規(guī)定其值

8、為：其值為： 時(shí)，用消元法同樣可得這個(gè)方程組的解時(shí)，用消元法同樣可得這個(gè)方程組的解DDx11 DDx22 DDx33 其中其中 Dj（j = 1, 2, 3）是用常數(shù)項(xiàng)）是用常數(shù)項(xiàng) b1, b2, b3 替換替換系數(shù)行列式系數(shù)行列式 D 中的第中的第 j 列列所得的三階行列式。所得的三階行列式。 而且當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式而且當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式 0333231232221131211 aaaaaaaaaD例例2113321101 D解解 D = 330111121 )(110131321 )(8=8 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 但應(yīng)當(dāng)指出的是但應(yīng)當(dāng)指出的是：主、副對(duì)角線法則不易于向主

9、、副對(duì)角線法則不易于向一般一般 n 階行列式推廣階行列式推廣。333231232221131211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaaD 事實(shí)上，事實(shí)上，三階行列式的計(jì)算，除了三階行列式的計(jì)算，除了主、副對(duì)主、副對(duì)角線法則角線法則 還可以還可以按按照依第一行展開照依第一行展開的方法得到行列式的方法得到行列式的值。的值。 即即131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaaD 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式：A11 = 111)(131211aaa,其中其中 A11,

10、A12, A13 分別是第一行元素分別是第一行元素33322322aaaa32233322aaaa A12 = )()(3123332133312321211aaaaaaaa A13 = 3122322132312221311aaaaaaaa )(同理同理131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaaD 和和 )(3123332112aaaaa)(3122322113aaaaa 而且而且131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaaD )(3223332211aaaaa不難看到，這與用不難看到，這與用主、副

11、對(duì)角線法則主、副對(duì)角線法則得到的結(jié)果得到的結(jié)果是一致的。是一致的。 例如例如，對(duì)例，對(duì)例 2 2 中的行列式，有中的行列式，有 A11 = 1 A12 = 10 A13 = 7 從而從而行列式的值行列式的值131312121111AaAaAaD =1( 1)+ 0 10 + 1(7)= 8113321101 D與與對(duì)角線法對(duì)角線法結(jié)果相同。結(jié)果相同。 1 1）可以用）可以用低階行列式低階行列式的值去定義的值去定義高階行列式高階行列式的值；的值； 即，從而從二、三階行列式出發(fā)去定義一般的即，從而從二、三階行列式出發(fā)去定義一般的 n n 階階行列式。行列式。 2 2）這樣的定義方式應(yīng)該具有某種這樣

12、的定義方式應(yīng)該具有某種內(nèi)在的一致性內(nèi)在的一致性。 即，這樣定義的各階行列式應(yīng)該有統(tǒng)一的性質(zhì)。即，這樣定義的各階行列式應(yīng)該有統(tǒng)一的性質(zhì)。這一展開的規(guī)律啟示我們這一展開的規(guī)律啟示我們： 二二. n . n 階行列式階行列式 由由nn個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)jia( i, j = 1, 2, ,n) 組成組成的具有的具有 n 行行 n 列的列的式子式子nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnjia 并且規(guī)定其值為：并且規(guī)定其值為： 1 1）當(dāng)）當(dāng) n = 1時(shí)，時(shí)， D = 1111aa 定義定義1.叫做叫做 n 階行列式階行列式（Determinant）， 2 2）當(dāng)）當(dāng) n 2時(shí)，時(shí)，D

13、= nnAaAaAa1112121111 111njjjaA 其中其中 jjjMA1111 )( jM1nnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaa11131313312121221 jA1為為行列式行列式 D 的元素的元素 ja1的的為行列式為行列式 D 的元素的元素 并稱并稱 jM1ja1的的 余子式余子式， 代數(shù)余子式代數(shù)余子式。 322113312312332211aaaaaaaaa可知：可知：n n 階行列式的定義階行列式的定義展式展式中，一定包含有中，一定包含有n n！個(gè)項(xiàng)，并且每一項(xiàng)都是來(lái)自于個(gè)項(xiàng)，并且每一項(xiàng)都是來(lái)自于不同行、不同列不同行、不同列的的n n個(gè)元素個(gè)元素的乘積

14、。（的乘積。（容易證明容易證明）從從二、三階行列式二、三階行列式dcbaD bcad 333231232221131211aaaaaaaaaD 332112322311312213aaaaaaaaa例例3計(jì)算計(jì)算 n 階階上三角行列式上三角行列式nnnnnaaaaaaD00022211211由行列式定義，按第一行展開時(shí)，第一行的由行列式定義，按第一行展開時(shí)，第一行的1111111MaDn )(以此類推，得以此類推，得 解解 皆等于零皆等于零， 所以所以 nnnaaaD2211 naaa11312,的的余子式余子式 元素元素 ？1111Ma 特別地，對(duì)特別地，對(duì)主對(duì)角主對(duì)角行列式行列式，有有 n

15、nnaaaD0000002211nnaaa2211對(duì)對(duì)上三角行列式上三角行列式與與主對(duì)角主對(duì)角行列式行列式值的結(jié)論，我們值的結(jié)論，我們以后常會(huì)用到。以后常會(huì)用到。 nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD)()()( )()()(121111212121000000 例例4計(jì)算計(jì)算 n 階（階（副對(duì)角、下副對(duì)角、下三角三角）行列式行列式 解解 由由 n 階行列式的定義，可以得到階行列式的定義，可以得到 nnnnMaD1111 )(nM1是是 n-1 階行列式，階行列式，其中其中 的的余子式余子式 na1nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD)()()( )()()(1

16、21111212121000000 2(1)11111(1)2(1)(1)12(1)00( 1)( 1)0nnnnnnnnnnnnn naDaMaaaaaa 它與它與 n 階行列式階行列式 nD同樣的形式，同樣的形式，行列式的定義行列式的定義，有，有12112121111111nnnnnnnaaaaD)()()()()()( = 1121211nnnnnaaa)()()( 等于等于 11211nnnaaa)()( 這個(gè)這個(gè) n 行列式行列式 nD的值并不總的值并不總值得注意的是值得注意的是：反復(fù)利用（反復(fù)利用（n 階）階）！ ！ ！例例5 5計(jì)算計(jì)算 4 4 階數(shù)字行列式階數(shù)字行列式 0010

17、130101012011 D解解 1414131312121111AaAaAaAaD =0011300101 =7420011 0001310111 0 0103011012 如果再將上述行列式如果再將上述行列式按第四行元素展開按第四行元素展開，又得到，又得到 71310112011124 )(這個(gè)結(jié)果與這個(gè)結(jié)果與按定義展開按定義展開是一樣的。是一樣的。 實(shí)際上，行列式不但可以按第一行元素展開，實(shí)際上，行列式不但可以按第一行元素展開，而且也可以按第一行以后的而且也可以按第一行以后的任一行任一行或者或者任一列任一列去去展開，其結(jié)果都是相同的。展開，其結(jié)果都是相同的。即有下面的即有下面的定理定理：0010130101012011 D n 階行列式階行列式 D 等于它的任一行（列）等于它的任一行（列）的元素與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，的元素與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和， nkkikiAa1ni, 2 , 1和和 nkjkjkAa1jnjnjjjjAaAaAaD 2211