第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式

1、第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式第六章不等式、推理與證明第六章不等式、推理與證明 考考 綱綱 要要 求求1理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：幾何意義證明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：(1)|axb|c；(2)|axb|c；(3)|xa|xb|c.課課 前前 自自 修修知識(shí)梳理知識(shí)梳理二、絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)二、絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)1|a|b|ab|a|b|(注意等號(hào)成立的條件注意等號(hào)成立

2、的條件)2|a|b|ab|a|b|(注意等號(hào)成立的條件注意等號(hào)成立的條件)以上二式中，左邊分別在以上二式中，左邊分別在ab0(0)時(shí)取得等號(hào)，右邊分時(shí)取得等號(hào)，右邊分別在別在ab0(0)時(shí)取得等號(hào)時(shí)取得等號(hào)3|ab|a|b|.4. .三、解絕對(duì)值不等式的思路三、解絕對(duì)值不等式的思路1若若a0，xR，則，則|x|ax2a2axax2a2xa.若若aR，則需對(duì)，則需對(duì)a進(jìn)行分類討論：進(jìn)行分類討論：|x|a2|f |g g f g ，|f |g f g 或或f g .3|f |g |f2 g2 f g 0.4含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，例如：形如含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，例如：形如|xa|xb|c

3、、|xa|xa|c或或|xa|xb|c的不等式的求解通的不等式的求解通常采用常采用“零點(diǎn)分段討論法零點(diǎn)分段討論法”求解，也可利用絕對(duì)值的幾何意義求解，也可利用絕對(duì)值的幾何意義去求解去求解5含有參數(shù)的不等式的求解，通常要對(duì)參數(shù)分類討論含有參數(shù)的不等式的求解，通常要對(duì)參數(shù)分類討論 x x x x x x x x x x x x x x x x x四、解答含絕對(duì)值問(wèn)題的常用策略四、解答含絕對(duì)值問(wèn)題的常用策略(1)定義策略；定義策略；(2)平方策略；平方策略；(3)定理策略；定理策略；(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；策略；(5)分段討論策略；分段討論策略；(6)數(shù)形結(jié)合策略數(shù)形結(jié)合策略五、證明絕對(duì)值不等式

4、的方法五、證明絕對(duì)值不等式的方法證明絕對(duì)值不等式的基本思想和基本方法有轉(zhuǎn)化思想和證明絕對(duì)值不等式的基本思想和基本方法有轉(zhuǎn)化思想和比較法，分析法，換元法，綜合法，放縮法，反證法等比較法，分析法，換元法，綜合法，放縮法，反證法等基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1(2012天津五區(qū)縣期末天津五區(qū)縣期末)若命題若命題p：|x1|2，命題，命題q：x22x，則，則綈綈p是是綈綈q的的()A必要不充分條件必要不充分條件 B充分不必要條件充分不必要條件C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析：解析：解解|x1|2得得3x1，p：3x1，綈綈p：x3或或x1；解；解x22x得得2x1，q：2x1，

5、綈綈q：x2或或x1.顯然顯然綈綈p綈綈q，而，而綈綈q推不出推不出綈綈p.綈綈p是是綈綈q的充分不必要條件故選的充分不必要條件故選B.答案：答案：B2(2011三明市三校聯(lián)考三明市三校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)集已知實(shí)數(shù)集R，集合，集合Mx|x2|2，N ，則，則M( RN) () Ax|4x0 Bx|1x0Cx|1x0 Dx|x2解析：解析：由由|x2|22x224x0，M ，由由 1 0 x2，N ， RN ，M( RN) .故選故選C.答案：答案：C| x4x03x12xx1x2x1| x x1x2或|- x1x2|- x1x03(2012肇慶市一模肇慶市一模)|x|22|x|150的解集是的解集

6、是 _.解析：解析：|x|22|x|150，|x|5或或|x|3(舍舍去去)x5.答案：答案：(，5)(5，)4(2011咸陽(yáng)市檢測(cè)咸陽(yáng)市檢測(cè))設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)x3，則，則f(2)_；若；若f(x)5，則，則x的取值范圍是的取值范圍是_.解析：解析：f(2) 236；f(x)5 x35 1x1.所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為1,1答案：答案：61,1- -4 1-2x 1考考 點(diǎn)點(diǎn) 探探 究究考點(diǎn)一考點(diǎn)一解含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式【例【例1】解不等式：解不等式：(1) 4； (2) 4.+2x 1-x 2思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：解含絕對(duì)值的不等式，需先去

7、掉絕對(duì)值符解含絕對(duì)值的不等式，需先去掉絕對(duì)值符號(hào)當(dāng)只含一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，可直接利用公式號(hào)當(dāng)只含一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，可直接利用公式0)axa(a0)xa去掉絕對(duì)值符號(hào)去掉絕對(duì)值符號(hào)(注意：當(dāng)注意：當(dāng)不等號(hào)是不等號(hào)是“”或或“”，則解集也要相應(yīng)的改變，也含有等，則解集也要相應(yīng)的改變，也含有等號(hào)號(hào))當(dāng)然也可按定義去絕對(duì)值符號(hào)當(dāng)然也可按定義去絕對(duì)值符號(hào)解析：解析：(1) 42x14或或2x14，解得，解得x .所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 .(2) 44x242x6.所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 .+2x 15232-x 2點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：解含絕對(duì)值的不等式，需先去掉絕對(duì)值符號(hào)：解含絕

8、對(duì)值的不等式，需先去掉絕對(duì)值符號(hào)變式探究變式探究1(1)(2012肇慶市期末肇慶市期末)不等式不等式|3x4|4的解集是的解集是_(2)(2012山東卷山東卷)若不等式若不等式|kx4|2的解集為的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)k_.考點(diǎn)二考點(diǎn)二 解解 g(x)或或 1)，的解集為，的解集為_解析：解析：(1)原不等式原不等式 x2或或1x3.原不等式的解集為原不等式的解集為x|x2或或1x3/a4a2xx22/a4a2xx22答案：答案：(1)x|x2或或1x3(2)變式探究變式探究2(1)不等式不等式 的解集是的解集是()A(0,2) B(，0)C(2，) D(，0)(0，)(2)不等式不

9、等式2x的解集是的解集是_考點(diǎn)三考點(diǎn)三解含有兩個(gè)解含有兩個(gè)(或兩個(gè)以上或兩個(gè)以上)絕對(duì)值符號(hào)的不等式絕對(duì)值符號(hào)的不等式【例【例3】(1)(2012江西卷江西卷)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x1|2x1|6的解集為的解集為_(2)(2012梅州中學(xué)月考梅州中學(xué)月考)函數(shù)函數(shù)f(x)|2x1|x4|的最小的最小值是值是_思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式的求解含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式的求解可用零點(diǎn)分類討論法外，也可以利用絕對(duì)值的幾何意可用零點(diǎn)分類討論法外，也可以利用絕對(duì)值的幾何意義義數(shù)軸來(lái)求解；后者有時(shí)用起來(lái)會(huì)事半功倍體數(shù)軸來(lái)求解；后者有時(shí)用起來(lái)會(huì)事半功倍體現(xiàn)考綱中要

10、求會(huì)用絕對(duì)值的幾何意義求解常見的絕對(duì)現(xiàn)考綱中要求會(huì)用絕對(duì)值的幾何意義求解常見的絕對(duì)值不等式值不等式變式探究變式探究3(1)(2011江西卷江西卷)對(duì)于對(duì)于xR，不等式，不等式|x10|x2|8的解集為的解集為_(2)(2012佛山市順德區(qū)檢測(cè)佛山市順德區(qū)檢測(cè))已知已知f(x) |x| |x-1| ，則，則 f(x)_，f(x)2時(shí)時(shí)x的取值范圍為的取值范圍為_解析：解析：(1)(法一法一)零點(diǎn)分段討論法零點(diǎn)分段討論法當(dāng)當(dāng)x2時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 x10 x28,128，恒成立，恒成立，于是得于是得x2.綜上，得綜上，得x0，所以原不等式的解集為，所以原不等式的解集為x| x0

11、(法二法二)用絕對(duì)值的幾何意義所求問(wèn)題可以看成到兩點(diǎn)用絕對(duì)值的幾何意義所求問(wèn)題可以看成到兩點(diǎn)10和和2的距離差大于或等于的距離差大于或等于8的所有點(diǎn)的集合，畫出數(shù)軸線，的所有點(diǎn)的集合，畫出數(shù)軸線，找到找到0到到10的距離為的距離為d110，到，到2的距離為的距離為d22，d1d28，并當(dāng)，并當(dāng)x往右移動(dòng)，距離差會(huì)大于往右移動(dòng)，距離差會(huì)大于8，所以滿足條件的，所以滿足條件的x的范的范圍是圍是x0，即原不等式的解集為，即原不等式的解集為x | x0 答案：答案：(1)(2)1 考點(diǎn)四考點(diǎn)四求含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式的參數(shù)的取值范圍求含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式的參數(shù)的取值范圍【例【例4】(2012合肥一中

12、質(zhì)檢合肥一中質(zhì)檢)不等式不等式|x3|x1|a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為的取值范圍為()A1,4 B(，25，)C(，1)4，) D2,5解析：解析：令令f(x)|x3|x1|，|x3|x1|x3(x1)|4，f(x)的最小值為的最小值為f(x)min4.要使原不等式恒要使原不等式恒成立，只需成立，只需a23af(x)min，即，即a23a40，解得，解得1a4.故選故選A.答案：答案：A變式探究變式探究4關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式|x2|xa|2a在在R上恒成立，則上恒成立，則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a的最大值是的最大值是_解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)閨x2|xa|a2|

13、，即即(|x2|xa|)min|a2|，依題意有，依題意有，|a2|2a，解得，解得a ，所以，實(shí)數(shù)所以，實(shí)數(shù)a的最大值是的最大值是.答案：答案：2323考點(diǎn)五考點(diǎn)五絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用【例【例5】(2012江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)若存在實(shí)若存在實(shí)數(shù)數(shù)x滿足滿足|x3|xm|5，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：|x3|xm|x3(xm)|m3|，原不等式變?yōu)樵坏仁阶優(yōu)閨m3|5，即，即5m35，得，得2m8.答案：答案：(2,8)變式探究變式探究5(2011華師附中檢測(cè)華師附中檢測(cè))對(duì)任意對(duì)任意xR，不等式，不等式a

14、24a恒成立，則恒成立，則a的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：|2x|3x|(x2)(x3)|5，a24a5，1a5.a的取值范圍是的取值范圍是1,5答案：答案：1,5課時(shí)升華課時(shí)升華1解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是設(shè)法去掉解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)常用的方法是：絕對(duì)值符號(hào)常用的方法是：(1)由定義分段討論由定義分段討論(簡(jiǎn)稱零點(diǎn)分區(qū)間法簡(jiǎn)稱零點(diǎn)分區(qū)間法)；(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(題型法題型法)；(3)平方法；平方法；(4)數(shù)形結(jié)合法等數(shù)形結(jié)合法等2解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不

15、等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論注等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論注意：意：(1)要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?；要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?2)用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏劃分，做到不重不漏3靈活運(yùn)用絕對(duì)值不等式兩個(gè)重要性質(zhì)靈活運(yùn)用絕對(duì)值不等式兩個(gè)重要性質(zhì)理理 ，特別關(guān)注等號(hào)成立的條件，特別關(guān)注等號(hào)成立的條件.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2012陜西卷陜西卷)若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)x使使|xa|x1|3成立，成立，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：|a1|xa|x1|3，解得，解得2a4.答案：答案：2a42(2012天津卷天津卷)已知集合已知集合AxR|x2|3，集，集合合BxR|(xm)(x2)0，且，且AB(1，n)，則，則m_，n_.解析：解析：AxR|x2|3x|5x1，Bx|(xm)(x2)0，又又AB(1，n)，畫數(shù)軸可知，畫數(shù)軸可知m1，n1.答案：答案： 11高考預(yù)測(cè)高考預(yù)測(cè)1(2012佛山一中期中佛山一中期中)不等式不等式|2x1|x2|的解