2.1標(biāo)量場的梯度(....)ppt課件

1、1.4 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度一、等值面一、等值面1 1、等值面、等值面標(biāo)量場標(biāo)量場: )(ru用一個標(biāo)量函數(shù)來表示，在直角坐標(biāo)系中表示為：用一個標(biāo)量函數(shù)來表示，在直角坐標(biāo)系中表示為： 標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為標(biāo)量場的等值面。標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為標(biāo)量場的等值面。 例如，在溫度場中，由溫度相同的點構(gòu)成等溫面；在電位場中，例如，在溫度場中，由溫度相同的點構(gòu)成等溫面；在電位場中，由電位相同的點構(gòu)成等位面。由電位相同的點構(gòu)成等位面。 2 2、等值面方程、等值面方程 Czyxu),( 常數(shù)常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形取一系列不同的值，就得到一系列不同的等

2、值面，形成等值面族，等值面族充滿整個場空間，且不同的等值面互不相成等值面族，等值面族充滿整個場空間，且不同的等值面互不相交。交。 二、方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù) 1 1、方向?qū)?shù)的定義、方向?qū)?shù)的定義 考慮標(biāo)量場中兩個等值面考慮標(biāo)量場中兩個等值面 , u uu標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) ( , , )u x y z沿給定方向沿給定方向 le的變化率：的變化率： 00limlimuuuuuuulPMPM uPNleMuu ne稱為標(biāo)量函數(shù)稱為標(biāo)量函數(shù) ( , , )u x y z在在P沿方向沿方向 le的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。 2 2、方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系中的表示、方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系中的表示 coscosco

3、szuyuxulu其中，其中， coscoscoszyxleeeecos,cos,cos是是 le的方向余弦：的方向余弦： dldzdldydldxcos,cos,cos3 3、方向?qū)?shù)的性質(zhì)、方向?qū)?shù)的性質(zhì) 方向?qū)?shù)是標(biāo)量場在點方向?qū)?shù)是標(biāo)量場在點P處沿方向處沿方向le對距離的變化率。對距離的變化率。 標(biāo)量場中，在給定點標(biāo)量場中，在給定點P處沿不同方向處沿不同方向le的方向?qū)?shù)不相同。的方向?qū)?shù)不相同。 二、梯度二、梯度 1 1、梯度的定義、梯度的定義 標(biāo)量場標(biāo)量場 )(ru的梯度的梯度 gradu：是一個矢量，其方向為標(biāo)量場：是一個矢量，其方向為標(biāo)量場 )(ru變化率最大的方向、大小則等于

4、其最大變化率，即變化率最大的方向、大小則等于其最大變化率，即 maxluegradul2 2、梯度在坐標(biāo)系下的表示、梯度在坐標(biāo)系下的表示 coscoscoszuyuxulucoscoscoszyxzyxeeezueyuexuelegradu記為記為 ugradu在直角坐標(biāo)系中的表示在直角坐標(biāo)系中的表示zueyuexueuzyx在圓柱坐標(biāo)系中的表示在圓柱坐標(biāo)系中的表示zueueueuz1在球坐標(biāo)系中的表示在球坐標(biāo)系中的表示uerurerueursin113 3、梯度的性質(zhì)、梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。標(biāo)量場在給定點處沿某方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。

5、標(biāo)量場在給定點處沿某方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場中某點處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向標(biāo)量場中某點處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向)(ru增加的方向。增加的方向。 4 4、梯度運(yùn)算的基本公式、梯度運(yùn)算的基本公式 0cuccu)(vuvu)(vuuvuv)(2vvuuvvuududfuf)(rerrr231rerrrr【例題【例題1】求證】求證 231rerrrr【證明】在球坐標(biāo)系下：【證明】在球坐標(biāo)系下： uerurerueursin11所以所以 34144rrqrqrqu【例題【例題2】求無界空間中的點電荷】求無界空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電位的梯度。所產(chǎn)生的電位

6、的梯度。 【解】無界空間中的點電荷【解】無界空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電位為：所產(chǎn)生的電位為： rqu4所以所以 34144rrqrqrqu【例題【例題3】求數(shù)量場】求數(shù)量場 =(x+y)2-z 通過點通過點M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。 【解】點【解】點M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為。其等值面方程為0)(2zyx2)(yxz【解】【解】 l方向的方向余弦為方向的方向余弦為 【例題【例題4】求數(shù)量場】求數(shù)量場 在點在點M(1, 1, 2)處沿處沿l=ex+2ey+2ez方向

7、的方向?qū)?shù)。方向的方向?qū)?shù)。 zyxu22312211cos222322212cos222322212cos222而而 222)(,2,2zyxzuztyuzxxu數(shù)量場在數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為方向的方向?qū)?shù)為 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點在點M處沿處沿l方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù) 324232132131Ml 【 例 題【 例 題 5 】 設(shè) 標(biāo) 量 函 數(shù)】 設(shè) 標(biāo) 量 函 數(shù) r 是 動 點是 動 點 M ( x , y, z ) 的 矢 量的 矢 量r=xex+yey+zez的模，即的模，即 ， 證明：證明： 222zyxrrrrgradr【證】【證】zyxezreyrexrrgradr因為因為 rxzyxxzyxxxr222222同理同理 rzzr，ryyr所以所以 zyxerzeryerxrgradrrrrzeyexerzyx)(1 【例題【例題6】求】求r在在M(1，0，1)處沿處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)Х较虻姆较驅(qū)?shù)。數(shù)。【解】【解】)(1zyxezeyexrrgradr點點M處的坐標(biāo)為處的坐標(biāo)為x=1, y=0,