2.1函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課時ppt課件

1、1.3.2 函數(shù)的極值函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0 ,那么函那么函數(shù)數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)如果在這個區(qū)間內(nèi)f (x)0那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).一、知識回顧一、知識回顧: :如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,那么那么 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟第第1 1步：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；步：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；第第2 2步：求導(dǎo)函數(shù)的零點步：求導(dǎo)函數(shù)的零點( (如果導(dǎo)函數(shù)在定義如果導(dǎo)函數(shù)

2、在定義域上非正或非負域上非正或非負, ,直接判斷增減直接判斷增減) )；第第3 3步：用導(dǎo)函數(shù)的零點將函數(shù)的定義域分步：用導(dǎo)函數(shù)的零點將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間成若干個區(qū)間( (導(dǎo)函數(shù)不存在的點也要作為導(dǎo)函數(shù)不存在的點也要作為劃分區(qū)間的端點考察劃分區(qū)間的端點考察) )；第第4 4步：通過導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)步：通過導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)間的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間間的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間. .特別注意特別注意: :原函數(shù)的定義域原函數(shù)的定義域關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題 思考思考1： 觀察下圖，當(dāng)觀察下圖，當(dāng)t=t0時時,運動員距水面運動員距水面的高度最大的高度最大,那

3、么函數(shù)那么函數(shù) ht在此點的導(dǎo)數(shù)在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題何意義解決問題 問題問題2：我們知道正弦函數(shù)的五點作圖法是：我們知道正弦函數(shù)的五點作圖法是利用函數(shù)的五個關(guān)鍵點作出圖形的利用函數(shù)的五個關(guān)鍵點作出圖形的,利用圖象利用圖象的關(guān)鍵點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的關(guān)鍵點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,你能作出函數(shù)你能作出函數(shù) 的圖象嗎的圖象嗎?32267yxx26126 (2)yxxx x 求導(dǎo)并確定單調(diào)區(qū)間。確 定 圖 象 的 關(guān) 鍵 點 ：（ 0

4、， 7） ， （ 2， -1）畫函數(shù)的草圖。 上述作圖中，圖象的關(guān)鍵點十分重要，這上述作圖中，圖象的關(guān)鍵點十分重要，這些關(guān)鍵點與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何聯(lián)系？我們將些關(guān)鍵點與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何聯(lián)系？我們將進行研究進行研究 x(-,0) 0(0,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 7 -1 二、新課二、新課函數(shù)的極值函數(shù)的極值: :o oa aX1X1X2X2X3X3X4X4b bax xy y)(4xf)(1xf如圖如圖: 探索思考：探索思考：1234f ( x )xxxx函數(shù)在 、等關(guān)鍵點處的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ y=f(x)在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，在這些點的

5、導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？ o oa aX1X1X2X2X3X3X4X4b bax x)(4xf)(1xf如圖如圖: 探索思考：探索思考：函數(shù)在函數(shù)在 X2處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，值都小， f (X2)=0，而且在，而且在 X=X2的左側(cè)的左側(cè)f (x)0.我們把點我們把點X1叫做叫做y=f(x)的極大值點的極大值點,f (X1)叫函數(shù)叫函數(shù)y=f(x)的極大值的極大值;點點 X2叫做叫做y=f(x)的極小值點的極小值點,f (X2)叫函數(shù)叫函數(shù)y=f(x)的極小值的極小值; 以以X1

6、 ，X2兩點為例：函數(shù)在兩點為例：函數(shù)在X1 處處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，都大， f(X1)=0,而且在而且在 X=X1的左側(cè)的左側(cè)f (x)0，右側(cè)，右側(cè)f (x)0 右側(cè)右側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極大值是極大值; (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極小值是極小值.解方程解方程f/(x)=0.當(dāng)當(dāng)f/(x)=0時時:注意：極值可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點取到注意：極值可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點取到.如：如：230f ( x )xx 在在有有極極小小值值。 x(-,-a) -a(-a,0) (0

7、,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當(dāng)故當(dāng)x=-a時時,f(x)有極大值有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)當(dāng)x=a時時,f(x)有極有極小值小值f(a)=2a.（注：利用奇函數(shù)求更易）（注：利用奇函數(shù)求更易）解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf 2(01)af xxax補充例題 ：求函數(shù)的極值?？紤]：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？考慮：函數(shù)的極

8、大值一定大于極小值嗎？補充例題補充例題2:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極處有極值為值為10,求求 a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個根有一個根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時時, ,此時此時f(x)在在x=1處無處無極值極值,不合題意不合題意.0) 1( 3)(2 xxf當(dāng)當(dāng)a=4,b=-11時時,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1時時, ,此時此時x=1是極是極值點值點.0)(0)( xfxf

9、從而所求的解為從而所求的解為a=4,b=-11.練習(xí)練習(xí)3:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因而因而,當(dāng)當(dāng)x=-1時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.練習(xí)練習(xí)2求下列函數(shù)的極值點：3x1 (0)31 (0)2xx.f ( x )()x 2

10、31.f ( x )x 2 (x(0,2.f ( x )sinx) 補充例補充例4:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x=0,x=4處取得極值處取得極值,且極小且極小值值 為為-1,求求a、b的值的值. (2)假設(shè)假設(shè) ,函數(shù)函數(shù)f(x)圖象上的任意一點圖象上的任意一點的切線的切線 斜率為斜率為k,試討論試討論k-1成立的充要條件成立的充要條件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=2a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0時時, 故當(dāng)故當(dāng)x=0時時, f(x)達到極小值達到極小值f(0)=b,所以

11、所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等價于當(dāng)?shù)葍r于當(dāng) 時時,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10對一切對一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,當(dāng)當(dāng)a1時時,g(x)0對一切對一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要條件成立的充要條件. 解法解法2:分離變量也可通過函數(shù)值域求出分離變量也可通過函數(shù)值域求出a的范圍的范圍.(2)等價于當(dāng)?shù)葍r于當(dāng) 時時,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即2ax3x2-1恒成立，顯然當(dāng)恒成立，顯然當(dāng)x=0時，不等式恒成立時，不等式恒成立當(dāng)當(dāng) 時，不等式化為時，不等式化為 令令 1 , 0 x01x 3122axx 312