2.1傳播子和Feynman路徑積分ppt課件

1、2.5 傳播子和Feynman路徑積分 一、波動(dòng)力學(xué)的傳播子時(shí)間無(wú)關(guān)的Haniltonian量體系的時(shí)間演化用與H對(duì)易的觀測(cè)量的本征矢展開(kāi)初態(tài)可方便求得：或 其中，a0iE (t t )/0000aiH(t t )/|,t ;te|,t|aa|,te0iE(tt) /0a(x, t)(t )() eaaacux a| x) x(u a30003*0(t )|,t|,t ( ) ( ,t )aacad xaxxd x uxx n將上述表達(dá)式改寫成：n即n這里n稱為傳播子。傳播子與初態(tài)無(wú)關(guān)，但依賴于勢(shì)。一旦能量的本征函數(shù)和本征值已知，則傳播子可構(gòu)造出。000()/00()/30()/30|, ;|

2、,|,|( , )aaaiEt taiEt taiEt taxt txaated xxaaxxted xxaaxx t e)t , x()t , x; t , x(K xd) t , x(0030()/0( , ; , )|aiEt taK xt x txaaxe討論：n上式表明，若初態(tài)已知，則波函數(shù)的時(shí)間演化便完全由K確定。Schrdinger波動(dòng)力學(xué)是純粹的因果理論。n受勢(shì)作用的波函數(shù)的時(shí)間變化，只要系統(tǒng)不受擾動(dòng)，便與經(jīng)典力學(xué)中任何量一樣完全確定。n不同處：當(dāng)測(cè)量介入時(shí)，波函數(shù)以不可控制的方式突然變?yōu)樗鶞y(cè)觀測(cè)量的本征函數(shù)之一但“投影有確定的幾率）。 二、傳播子的基本性質(zhì)n1. 傳播子 滿足

3、含時(shí)Schrdinger波方程（ ,tt0為變量， 不變）。n2. （即 ）n這兩性質(zhì)說(shuō)明傳播子可看作是t0 時(shí)處于 的粒子在t時(shí)刻的波函數(shù)（ ）n對(duì)初態(tài)分布于一定空間的情況，需要做的只是將相應(yīng)的波函數(shù)乘以傳播子并對(duì)空間積分。這種方式相當(dāng)于對(duì)不同位置的貢獻(xiàn)求和，與靜電學(xué)求電勢(shì)相似但有“相位”）：0( , ; , )K xt x tx x,t0|xx030tlim( , ; ,t )( )tK xt xxx x|e| x)t , x; t , x(K/ )tt (iH00 x| xx|) x( xd)x(3n傳播子其實(shí)就是含時(shí)波動(dòng)方程的格林函數(shù)：n和邊界條件 （對(duì)tt0）.n第一式右邊的函數(shù)是由

4、于K在t=t0不連續(xù))tt () x x(i)t , x; t , x( Kti) x(Vm2030220)t , x; t , x(K0三、傳播子的 例子n傳播子的具體形式依賴于粒子所受的勢(shì)。n1. 一維自由粒子。P與H對(duì)易，共同本征態(tài)n由n可得n該式可用于研究諸如高斯波包隨時(shí)間擴(kuò)散展開(kāi)的情形 2|p, p|pp|p, 2pH ppm/ x ipe21 p| x)tt (2) xx(imexp)tt (i2mm2)tt (ip) xx( ipexpdp21)t x; t , x(K0200202. 諧振子 的傳播子n波函數(shù)為n其傳播子為n該式的證明可通過(guò)特殊函數(shù)的性質(zhì)n也可通過(guò)a和a+算符方

5、法或?qū)⒚枋龅穆窂椒e分方法。n由于傳播子是以為角頻率的時(shí)間周期函數(shù)，位于x的粒子將在 回到原位置。 11224/221exp22!nintiE tnnnmmxmux eHx en xx2ttcos xx*ttsin2imexpttsini2m)t x; t x(K022000 222222021expexp2!11nnnnnHHn n2t四、傳播子的時(shí)間與空間積分n空間積分：n由于 ，取 并積分相當(dāng)于求坐標(biāo)表象中時(shí)間演化算符的跡，故得上述結(jié)果。由于跡不隨表象變，在 表象中H對(duì)角，便于求出G(t) 。n在G(t)的表達(dá)式中若令t為純虛數(shù)且 為正實(shí)數(shù)，則G(t)演化為 ，與統(tǒng)計(jì)力學(xué)的配分函數(shù)是有相同

6、形式。因而，研究量子力學(xué)傳播子的方法對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)也有用。 3/32, ; ,0| |aaiE tiE taaG td x K x t xd xxaee0()/0, ; |iH t tK xt x txex xx a|it/ZexpaaEG(t)的Laplace-Fourier變換 /00/exp/iEtiEtaaG EidtG t eidtiE te 被積函數(shù)振蕩，積分不易求。令EE+i,且0，那么可見(jiàn)體系的完整能譜都表現(xiàn)在復(fù)E平面的 的極點(diǎn)。研究物理體系的能譜，只要研究 的解析性質(zhì) /00000/lim/lim11limaxi EE ttaaaaaaaie dxG Eidteei EEEEiE

7、E(E)G(E)G五、傳播子作為躍遷振幅 n波函數(shù)是特定位置左矢與隨時(shí)間變化右態(tài)矢的內(nèi)積，也可被認(rèn)為是Heisenberg圖象中反向時(shí)間演化的位置左矢與不隨時(shí)間變化的狀態(tài)右矢之乘積。類似地，傳播子可寫為n這里 和 是海森堡圖象中位置算符的本征左矢和右矢。n因 是從 到 態(tài)的躍遷振幅，故 n 是t0時(shí)處于 的粒子在t時(shí)處于 的幾率振幅?；蛘哒f(shuō) 是由時(shí)空點(diǎn) 到另一時(shí)空點(diǎn) 的振幅。00/0/0K x,t;x,t| | | |, | ,aiEt taiHtiHtaxaa xexeaa exx t x t, |xt0t , x|0t , a| t , b0t , a|t , b|0t , x| t ,

8、x xx0t , x| t , x)t , x(0( , )xt另類解釋n由于Heisenberg圖象中任一時(shí)刻觀測(cè)量的本征矢都可選作基矢，我們也可稱 為鏈接不同時(shí)間的兩組基矢的變換函數(shù)。n因而，在Heisenberg圖象中，時(shí)間演化可看作改變基函數(shù)的幺正變化。n與經(jīng)典動(dòng)力學(xué)中物理量隨時(shí)間的變化可看作由經(jīng)典Hamiltonian產(chǎn)生的正則變換相似。0t , x| t , x六、傳播子的組合性質(zhì)n為使時(shí)空坐標(biāo)記號(hào)更對(duì)稱，記 為 n由于海森堡圖象中在任意給定時(shí)間的位置態(tài)矢形成完備基，可在任意位置插入單位算符 n 因而n 該性質(zhì)稱為躍遷振幅傳播子的組合性質(zhì)。n類似地有 ：n如知無(wú)窮小時(shí)間間隔 的形式

9、，則一般的 可利用傳播子的組合性質(zhì)而得。這種推理方式導(dǎo)致了Feynman的量子力學(xué)理論形式。0t , x| t , xt, x|t, x1 t | x t x | xd3 t x| t x t x|txxd t x|txtttt|/x tx tdxdxxtx tx tx tx tx t dtttt ,x|tx t ,x|tx七、作為路徑求和的路徑積分 n為簡(jiǎn)單記，討論一維，并記 為n將t1至tN分為N-1等分 ， 那么n為討論該表達(dá)式的含義，n 可看如圖所示的時(shí)空平面： n時(shí)空的初始與終點(diǎn)固定，n 由初始到終點(diǎn)有不同的可n 能路徑。對(duì)給定一路徑，n 我們要計(jì)算其躍遷振幅，n 然后對(duì)各種可能路徑

10、求和，這與經(jīng)典力學(xué)是有差別的。在經(jīng)典力學(xué)中粒子有確定的軌跡，其路徑對(duì)應(yīng)于哈密頓原理所給出的路徑即作用函數(shù)的變分為零） repeated N timesxnx1Ntt1; t; tt1N1 11211111222 21 12|N NNN NNNNNNNNx tx tdxdxdx dx x txtxtxtx tx t 八、經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)路徑的差別n經(jīng)典力學(xué)中xt-平面有一確定的路徑與粒子運(yùn)動(dòng)聯(lián)系，而量子力學(xué)中所有可能路徑都起作用，其中一些路徑與經(jīng)典路徑毫無(wú)相似之處。n經(jīng)典力學(xué)的作用量或主函數(shù)為nL是x與 的函數(shù)，S要在路徑確定后才有定義n對(duì)每小段路徑其躍遷幾率為n初點(diǎn)到終點(diǎn)路徑的n 總躍遷幾率

11、為n所有路徑對(duì) 的貢獻(xiàn)：n假設(shè) ，則相鄰徑的貢獻(xiàn)傾向于抵消。n對(duì)最小作用量路徑經(jīng)典路徑），則相鄰路徑的S差別是二階的，因而可相干增強(qiáng)。所以 時(shí)挑出的軌道為經(jīng)典軌道。 1,1,nnttS n ndtL x x/1n,niSex /1 ,NiS1n ,nS/N/1n ,niSeee2n11NN2N11NNtx|tx/i ,NiS11NNetx|tx所有路徑00九、Feynman路徑積分公式1. 無(wú)限小時(shí)間間隔的一段路徑， w(t)只與t而與V(x)無(wú)關(guān)的權(quán)重因子。由于是無(wú)限小時(shí)間間隔，路徑可看作直線，因而對(duì)自由粒子， 知。由于W(t)與V(x)無(wú)關(guān)，用自由粒子情況算出：于是，對(duì) ，有 /1n ,n

12、iS1n1nnnetW1txtx 12211,1222nntnnnntxxxxmxmS n ndtV xtVt 211121111nnnnnnim xxtn nnnttttnnx txtexxwtti2mtw10t 1n, niSexpti2mtxtx1nnnn1n1nnntxtx2. 對(duì)有限時(shí)間間隔的路徑 n其中n上式即為Feynman路徑積分的表達(dá)式。 111 /2,1 /1 112222,explimNNNNiS n nN NNNNnxtxtmx txtdxdxdxeitL x xx tidtD 11 /21222limNNxNNxNmD x tdxdxdxit十、Feynman路徑積分與薛定諤方程 n或n從而n對(duì)一階t項(xiàng)有1 1111111 1211111 1 exp22N NNN NNNNNNNNNNx txtdxx txtxtxtxxmimiV tdxxtxtitt 21 11 1exp/ 2,2miV txtt xtdimtxt xtit 21 11 1221 11 12exp222 12mimxt xttxt xtdtittiV txt xt