第十三章 8,9,10波函數(shù) 氫原子 自旋_

1、1 本節(jié)課要求：本節(jié)課要求： 知道一維無限深勢阱粒子能量特點(diǎn)；熟知四個量子數(shù)取值特點(diǎn)，并寫量子態(tài)；熟練寫出電子組態(tài)（原子序數(shù)小于18）；2第十三章第十三章 早期量子論和量子力學(xué)基礎(chǔ)早期量子論和量子力學(xué)基礎(chǔ)3一、對波函數(shù)的簡單認(rèn)識一、對波函數(shù)的簡單認(rèn)識二、波函數(shù)及其統(tǒng)計意義二、波函數(shù)及其統(tǒng)計意義三、薛定諤方程三、薛定諤方程將波函數(shù)對將波函數(shù)對x取二階偏導(dǎo)數(shù)：取二階偏導(dǎo)數(shù)：對對t 取一階偏導(dǎo)數(shù)得：取一階偏導(dǎo)數(shù)得：2222px(1)tixm2222Eit(2) 此式即自由粒子的此式即自由粒子的含時間含時間的薛定諤方程的薛定諤方程.從自由粒子的波函數(shù)入手：從自由粒子的波函數(shù)入手：)(20),(pxEt

2、hietx注意到低速自由粒子：注意到低速自由粒子：mpE22E(1)、(2)右邊統(tǒng)一成右邊統(tǒng)一成 得到：得到：（介紹建立方程思路，不是理論推導(dǎo)）（介紹建立方程思路，不是理論推導(dǎo)）三維非自由粒子：三維非自由粒子： titrUm),(2224)1(2222tixm2222222zyx拉普拉斯算符拉普拉斯算符以一維為例以一維為例 考慮考慮 ，即勢函數(shù)與時間無關(guān)，可設(shè)，即勢函數(shù)與時間無關(guān)，可設(shè))(xUU )()(),(tfxtx波函數(shù)為：波函數(shù)為： 代入（代入（1）得到）得到: 與時間、空間無關(guān)的常量與時間、空間無關(guān)的常量.E)2()(),(EtiextxExUdxdm)(222222)(),(xtx

3、由（由（2）得到）得到:)(x5ExUdxdm)(2222一、一維無限深勢阱中的粒子一、一維無限深勢阱中的粒子 0 x a阱外阱外)()(2222xExdxdm 0)( xax,x0)()(2222xExdxdm阱內(nèi)阱內(nèi)ax0222mEk 0)()(2 xkxkxBkxAxsincos)( 60 x akxBkxAxsincos)( 0)0(0sinka0sin)(kaBa0A) 0( B)0(k), 2 , 1, 0( ,nknka22222222nmamKEn(1) 粒子能量量子化粒子能量量子化(2) 粒子的最小能量不等于零粒子的最小能量不等于零22212manE波函數(shù)：波函數(shù)：xkBxn

4、sin)(再利用波函數(shù)再利用波函數(shù)歸一歸一化條件：化條件：1dsind),(0220 xaxnBxtxaaaB2xkansin22n21nEEn=7= 1= 2= 3= 4nnnn0a2)(x波函數(shù)波函數(shù))sin2()(xanaxn0a=1=2=3=4nnnn)(x粒子出現(xiàn)的概率粒子出現(xiàn)的概率2)(xaxx , 0, 0axxana0),(sin22注注意意概率圖的概率圖的 峰值個數(shù)峰值個數(shù)=n勢阱寬勢阱寬 定概率最大的位置定概率最大的位置 x“波包波包”數(shù)確定量子數(shù)數(shù)確定量子數(shù)n2na ), 3 , 2 , 1( n8二、有限深勢阱，粒子概率分布二、有限深勢阱，粒子概率分布2)(x0a經(jīng)典理

5、論無法解釋，實驗得到證實經(jīng)典理論無法解釋，實驗得到證實.三、一維勢壘三、一維勢壘 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)oax0UUEm 粒子沿粒子沿 方向運(yùn)動，當(dāng)方向運(yùn)動，當(dāng) ，粒子可以通過勢壘，粒子可以通過勢壘.x0UE ，粒子也可以通過勢壘，粒子也可以通過勢壘.0UE 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)經(jīng)典理論無法解釋，實驗得到證實經(jīng)典理論無法解釋，實驗得到證實. 量子：量子：掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡(STM)(STM)原理：利用電子的隧道效應(yīng)原理：利用電子的隧道效應(yīng). . 量子：量子： 如果勢阱不是無限深，如果勢阱不是無限深，粒子的能量粒子的能量 低于勢壘低于勢壘，但粒子在阱外不遠(yuǎn)處出，但粒子在阱外不遠(yuǎn)處出 現(xiàn)的概率不為

6、零現(xiàn)的概率不為零.9掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡(STM)(STM)金屬樣品金屬樣品 外表面有一層電子云外表面有一層電子云( (隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)) )金屬探針靠近樣品金屬探針靠近樣品樣品與探針之間加上微小的電壓樣品與探針之間加上微小的電壓 如果如果控制隧道電流保持恒定控制隧道電流保持恒定，針針尖尖在在垂直垂直于樣品方向于樣品方向高低高低的的變化變化，就，就反映出樣品表面情況反映出樣品表面情況. . 恒高模式恒高模式，針尖針尖在在垂直垂直于樣品于樣品方向方向高度高度不變不變. . 10一、氫原子的嚴(yán)格解的一、氫原子的嚴(yán)格解的結(jié)果結(jié)果xyz）r電子電子原子核原子核（1 1）能量量子化）能量量子化2

7、6 .13nEn 求解求解 得氫原子能量：得氫原子能量：)(rR（2 2）軌道角動量量子化和）軌道角動量量子化和角量子數(shù)角量子數(shù)求解角函數(shù)求解角函數(shù) ，得角動量，得角動量 量子化。量子化。),(L對應(yīng)符號對應(yīng)符號 處于處于 能級的原子能級的原子, ,其角動量共有其角動量共有 n 種可能值。種可能值。nE)()()(rRr=稱稱 為為主主量子數(shù)。量子數(shù)。n,.,O,N,M,L,K,5,4, 3,2, 1n=設(shè)波函數(shù)為設(shè)波函數(shù)為)1( llL角動量角動量L L 取值：取值：稱稱 為為角角量子數(shù)，或量子數(shù)，或副副量子數(shù)。量子數(shù)。l11.,h,g,f,d,p,s)1(,5,4,3,2,1,0-nl=對

8、應(yīng)符號對應(yīng)符號 氫原子內(nèi)氫原子內(nèi)電子電子的狀的狀態(tài)態(tài)（n數(shù)字，數(shù)字，l符號）符號）主量主量子數(shù)子數(shù)角量子數(shù)角量子數(shù)n =1, Kl = 0( s )1sn =2, Ll = 0l = 1( p )2s2pn =3, Ml = 2( d )3s3p3dn =4, Nl = 34s4p4d4f( f )l = 4( g )電子態(tài)電子態(tài)nl12（3 3）軌道角動量空間量子化和）軌道角動量空間量子化和磁量子數(shù)磁量子數(shù)lzmL lml,.,2, 1,0稱稱 為為磁量子數(shù)磁量子數(shù)。lm12 l 設(shè)外磁場設(shè)外磁場 的方向的方向沿沿 方向方向，角動量在，角動量在 軸上的投影軸上的投影 只能取只能取zLzzBl

9、lm 可以取可以取 ？個值。？個值。一定時，一定時，例例 ，角動量的空間量子化如圖示：，角動量的空間量子化如圖示：2, 1l 4 4 核外電子繞核運(yùn)動核外電子繞核運(yùn)動，具有磁矩，在外磁場中發(fā)生轉(zhuǎn)動，其方具有磁矩，在外磁場中發(fā)生轉(zhuǎn)動，其方向也是量子化的。向也是量子化的。13一、施特恩一、施特恩- -格拉赫實驗格拉赫實驗電子自旋實驗證明電子自旋實驗證明 自旋角動量無經(jīng)典對應(yīng)，是一種相對論效應(yīng)。自旋角動量無經(jīng)典對應(yīng)，是一種相對論效應(yīng)。S0=lS 下面給出自旋數(shù)值下面給出自旋數(shù)值, ,自旋角動量量子化。自旋角動量量子化。14二、二、 電子的自旋電子的自旋)1( llL)1( ssS自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)

10、SL 在外磁場中在外磁場中取向取向也是也是量子化量子化的：的：szmS SS21s21smsms,15（1）原子中電子的狀態(tài)由）原子中電子的狀態(tài)由四個量子數(shù)四個量子數(shù)確定：確定：主量子數(shù)主量子數(shù) n=1,2,3,大體上決定電子在原子中的能量大體上決定電子在原子中的能量角量子數(shù)角量子數(shù) ) 1( llL磁量子數(shù)磁量子數(shù)lml , 2, 1, 0自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù) 21sm三、三、 原子的電子殼層結(jié)構(gòu)原子的電子殼層結(jié)構(gòu)slmmln,)1(,2,1 ,0 nl（2）電子在原子中的分布遵從下列兩個原理：）電子在原子中的分布遵從下列兩個原理：16泡利不相容原理泡利不相容原理),(slmmln在原子

11、中，不能有兩個或兩個以上的電子具有相同的量子數(shù)在原子中，不能有兩個或兩個以上的電子具有相同的量子數(shù)量子數(shù)相同的電子，最多只有量子數(shù)相同的電子，最多只有21022) 12(22) 12(2nnnlNnlnln,lmln ,量子數(shù)相同的電子，最多只有量子數(shù)相同的電子，最多只有n) 12(2 l量子數(shù)相同的電子，最多只有量子數(shù)相同的電子，最多只有22n2能量最小原理能量最小原理四、電子組態(tài)四、電子組態(tài)至少有一個不同！至少有一個不同！mln,.4,6,5,4,5,4,3,4,3,3,2,2,1fspdspdspspssdsp3436262233221: )18(pspssKr17勢阱寬勢阱寬 與物質(zhì)波

12、波長與物質(zhì)波波長 ： 概率圖的峰值個數(shù)概率圖的峰值個數(shù) ：填充電子遵守兩個原理：填充電子遵守兩個原理：原子中原子中電子狀態(tài)電子狀態(tài)的四個量子數(shù)：的四個量子數(shù)：電子組態(tài)電子組態(tài)（Z19）：）：a各量子數(shù)取值：各量子數(shù)取值：本小節(jié)課主要內(nèi)容本小節(jié)課主要內(nèi)容能量特點(diǎn)：能量特點(diǎn)： 21nEEn=n 2na 定概率最大的位置定概率最大的位置slmmln,6262233221pspss不相干不相干最小值最小值18例例 試確定處于試確定處于基態(tài)基態(tài)氦原子中電子的量子數(shù)。氦原子中電子的量子數(shù)。)21, 0 , 0 , 1 ()21, 0 , 0 , 1 ( 和和據(jù)泡利不相容原理，它們的自旋據(jù)泡利不相容原理，它

13、們的自旋磁磁量子數(shù)應(yīng)分別為量子數(shù)應(yīng)分別為1/21/2和和-1/2-1/2。0, 0lml解：氦原子有兩個電子。解：氦原子有兩個電子。據(jù)題意這兩個電子處于據(jù)題意這兩個電子處于1s1s態(tài)，即態(tài)，即 n=1n=1，則：，則： 因此，處于基態(tài)的氦原子中的兩個電子的四個因此，處于基態(tài)的氦原子中的兩個電子的四個量子數(shù)分別為：量子數(shù)分別為：練習(xí)練習(xí)13-16在主量子數(shù)在主量子數(shù) 的量子態(tài)中，角量子數(shù)的量子態(tài)中，角量子數(shù) 的的可能取值為可能取值為 ，磁量子數(shù)，磁量子數(shù) 的可能取值為的可能取值為 。4n llm0,1,2,3l 0, 1,2,3lm 19例：例： 分別計算量子數(shù)分別計算量子數(shù) 和和 的電子的可的

14、電子的可能能的的狀態(tài)數(shù)。狀態(tài)數(shù)。623ml=0，ms=1/2, -1/2狀態(tài)狀態(tài)數(shù)數(shù) 2 。 因此，因此，第二種情況第二種情況共有狀態(tài)數(shù)共有狀態(tài)數(shù) 2+6=8。12=ln，2 n解：對解：對 的電子，的電子，1, 2 ln1, 0, 1 lm對每一種對每一種 ，lm對于對于 的電子，的電子，1,0 l2 n0 l1 l：狀態(tài)數(shù)狀態(tài)數(shù) 6（同上）（同上）。故總的狀態(tài)數(shù)為：故總的狀態(tài)數(shù)為：21,21 sm又可取又可取 。20練習(xí)練習(xí)13-17原子內(nèi)電子的量子態(tài)由原子內(nèi)電子的量子態(tài)由 、 、 、 四個量子數(shù)表四個量子數(shù)表征，當(dāng)征，當(dāng) 、 、 一定時，不同的量子態(tài)有一定時，不同的量子態(tài)有 個；當(dāng)個；當(dāng) 、 一一定時，不同的量子態(tài)有定時，不同的量子態(tài)有 個；當(dāng)個；當(dāng) 一定時，不同的量一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為子態(tài)數(shù)目為 。nllmsmnllmnln882321pss86223221dpss6262233221pspss242622333221dpspss練習(xí)練習(xí)13-18氬（氬（Z=18）原子基態(tài)的電子組態(tài)是：）原子基態(tài)的電子組態(tài)是：(C) （D）(A) (B) 2(21)l