教育學(xué)夜大高數(shù)D專升本無窮級數(shù)

1、123 4 123, nuuuu nuuuu321則式子則式子稱為稱為, 簡稱簡稱,設(shè)給定一個數(shù)列設(shè)給定一個數(shù)列121nnnuuuu 即即1,nnu 記記作作 (即有沒有和數(shù)即有沒有和數(shù))其中其中 稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的(或或).1?nnu 存存在在不不存存在在或或, 或或.5一數(shù)列中有限項相加總是有和數(shù)的一數(shù)列中有限項相加總是有和數(shù)的,無限項相加是否有和數(shù)無限項相加是否有和數(shù)?可能有可能有, 也可能沒有也可能沒有.如何研究它如何研究它?通過有限項之和去認(rèn)識和研究無限項之和通過有限項之和去認(rèn)識和研究無限項之和.121nnnuuuu nS級數(shù)前級數(shù)前n項之和項之和:nnuuuS 21組成的數(shù)列稱為

2、級數(shù)的組成的數(shù)列稱為級數(shù)的.6 nkku1,11uS ,321nnuuuuS 部分和數(shù)列部分和數(shù)列Sn：nnuuuS 21顯然顯然, ,212uuS ,3213uuuS ,11Su 其其中中,122SSu ,1 nnnSSu1.nnnuS 的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列就就是是.1 nnnuS來研究級數(shù)來研究級數(shù)現(xiàn)通過研究部分和數(shù)列現(xiàn)通過研究部分和數(shù)列1,nnnuS 則則給給定定級級數(shù)數(shù)就就唯唯一一確確定定一一個個部部分分和和數(shù)數(shù)列列1,nnnSu 反反之之 給給定定一一個個數(shù)數(shù)列列也也唯唯一一確確定定一一個個級級數(shù)數(shù)1.nnnuS 與與一一一一對對應(yīng)應(yīng)7 發(fā)散的級數(shù)沒有和發(fā)散的級數(shù)沒有和.1,nn

3、u 設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)1,nnu 則則稱稱收收斂斂,nS對對應(yīng)應(yīng)的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列l(wèi)im,nnSS 若若存存在在 極限值極限值 S 稱為級數(shù)的和稱為級數(shù)的和.12nuuu ：lim,nnS若若不不存存在在1,nnu 則則稱稱發(fā)發(fā)散散1nnu ( )( ) S8,nSS 是是和和的的近近似似值值1( ),nnuC 時時nSS ,nnSS 且且因因為為時時, |nnrSS產(chǎn)生的誤差為產(chǎn)生的誤差為近似代替近似代替用用其差值其差值 rn =稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的.0nr所所以以12nnuu 9qqan 1)1(討論討論 () 的斂散性的斂散性： 1nnSaaqaq L Lqa 11 q1 q 1211n

4、nnaqaaqaqaq LLLL(0,)aq 為為公公比比1,q 時時 1121,(1),1,1,1.nnnnaqnaqqSaaaqnaq 設(shè)設(shè)有有等等比比數(shù)數(shù)列列公公比比為為則則前前項項之之和和當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)時時1,lim0.nnqqq 當(dāng)當(dāng)常常數(shù)數(shù)滿滿足足時時則則有有10 111nnnaaq1,q 時時 1111)1(nnnnaaq1,q 時時lim.nnS 不不存存在在anSn 11( ),1,(),1.nnCqaqDq )( n1( 1)naaa aaa .1qaS 1111ln 1.nn 判判別別級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性1ln 1nunln)1ln(nn ln2ln1nS )1ln(

5、n原級數(shù)原級數(shù) (D) )( n3ln4ln )1(lnln nnnnln)1ln( ln3ln212 11.(1)(2)nnn 判判別別級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性 11,12nunn1123nS1111112nnnn2121 n 原級數(shù)原級數(shù) (C)(21 n11341111.2334(1)(2)2nn且且13 1,nnus 若若 1nnuk則則k 是常數(shù)是常數(shù),sk 1.nnku 證證:11,nnnnnnukuS 設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)的的部部分分和和分分別別為為nnkukuku 21 則則)(21nuuuk ,nSk 1,nnus 因因為為,limsSnn 所所以以,limsknn 所以所以1. n

6、nkuks 則則證畢證畢1411.nnnnuku與與有有相相同同的的斂斂散散性性0,k 當(dāng)當(dāng)時時 1,nnus 若若 1nnuk則則k 是常數(shù)是常數(shù),sk 1.nnku 15 1,nnus 1,nnv 1)(nnnvu則則設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù) s , )(1Cunn 若若, )(1Dvnn . )()(1Dvunnn 則則.11 nnnnvu16由性質(zhì)由性質(zhì)2：11()nnnnnnvuvu 矛盾矛盾！ . )()(1Dvunnn 1() ( ),nnnuvC 若若(C) + (C) = (C)17, )(1Dunn 若若1(),nnvD .)(1的的斂斂散散性性不不一一定定則則 n

7、nnvu如如:)(111D )()1()1()1(D )()11()11()11(C 但但18 在級數(shù)前加上或去掉或改變有限項在級數(shù)前加上或去掉或改變有限項, 不影響不影響級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性, 但收斂時其和會改變但收斂時其和會改變.2323888,999(C), 889.81719S 且且例例:,19898 q2323888,999a 232388,998.17Sa且且.1536498178 S且且(C)(C)19 收斂級數(shù)對其項任意加括號后所組成收斂級數(shù)對其項任意加括號后所組成的級數(shù)仍然收斂的級數(shù)仍然收斂, 且其和不變且其和不變.Suuuunnn 211設(shè)設(shè) 部分和為部分和為 Sn ,

8、 )()(54321uuuuu,m 部部分分和和為為,21S ,mnS 顯顯然然數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列的的一一個個子子列列按某一規(guī)律加括號后的級數(shù)按某一規(guī)律加括號后的級數(shù):,kmS ,52S ,limSSnn 因為因為,limSmm 所以所以證畢證畢該性質(zhì)可理解為收斂的級數(shù)滿足加法結(jié)合律該性質(zhì)可理解為收斂的級數(shù)滿足加法結(jié)合律.20 發(fā)散級數(shù)加括號后所成級數(shù)不一定發(fā)散發(fā)散級數(shù)加括號后所成級數(shù)不一定發(fā)散.注注1. 例例: 111111 (D)(11)(11)(11) 而而(C)加括號后所成的級數(shù)發(fā)散加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,3. 則原級數(shù)也發(fā)散則原級數(shù)也發(fā)散. 甚至甚至, 對一個發(fā)散的級數(shù)對一個發(fā)散的

9、級數(shù), 若按不同的方式加括號若按不同的方式加括號, 所得的級數(shù)可能收斂于不同的和所得的級數(shù)可能收斂于不同的和.0. 收斂于收斂于1( 11)( 11)( 11) 1.收收斂斂于于發(fā)散的級數(shù)不滿足加法結(jié)合律發(fā)散的級數(shù)不滿足加法結(jié)合律.收斂于收斂于 0, )11()11(加括號后所得的級數(shù)加括號后所得的級數(shù) 1111 (D) 添加了括號后所得的級數(shù)收斂并不能保證原來的級添加了括號后所得的級數(shù)收斂并不能保證原來的級2.例例:數(shù)收斂數(shù)收斂.而原來的級數(shù)而原來的級數(shù)21)(1Dunn 1( ),nnuC 若若lim0.nnu 則則 ,1Sunn 設(shè)設(shè)1 nnnSSu且且1limlimnnnnSS 1li

10、mlim()nnnnnuSS 0 SSlim0nnu )(1Cunn . 1lim0nnu .2lim,nnSS 則則11ln 1, ()nDn 22111:1.nnn 例例 判判別別的的斂斂散散性性 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.1limlim 1nnnnun0 e例例2:11111123nnn 證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散.(反證反證)11( ),nCn 設(shè)設(shè))( nSSn則則此時此時)(2 nSSn; )(02 nSSSSnn 232111122nnSSnnn 但但111222nnnn 項項矛盾矛盾!. )(11Dnn 212 nn0; )(02 nSSSSnn24 習(xí)題習(xí)題 7 1 (第第17

11、3頁頁)4(1, 2, 3)2515(1)(0);nnaa 級數(shù)為等比級數(shù)級數(shù)為等比級數(shù),公比為公比為,1aq aq1 所以當(dāng)所以當(dāng)a1 , 1 ,1時時即即 a級數(shù)收斂級數(shù)收斂;1qa 當(dāng)當(dāng)a1 1, 01,a即即時時級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.264. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性:13 (1)(2);3nnn 等比級數(shù)等比級數(shù)的公比為的公比為1,3q 則由性質(zhì)則由性質(zhì)1知原級數(shù)收斂知原級數(shù)收斂.133nn 1(1)3nnn 11,3q 由由知知13; 3nn 收收斂斂等比級數(shù)等比級數(shù)的公比為的公比為1,3q 11,3q 由由1(1); 3nnn 知知也也收收斂斂13(1);33nnnn

12、 274. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性:1(3);101nnn 則由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散則由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.101110lim nnn因為因為, 0 281,0,nnnuu 若若中中1.nnu 則則稱稱為為正正項項級級數(shù)數(shù)29 收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界,.nS有有界界)(1Cunn )()0(1Cuunnn .nS部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有界界lim,nnSS ,nS又又有有界界11,nnnSSu 10,nu 而而,nS單單增增lim,nnSS 則則 1nnu(C)1,nnSS 30, ,nS對對正正項項級級數(shù)數(shù)若若部部分分和和數(shù)數(shù)列列無無界界如如:

13、11,1nSn 11,(1)nn n 有界有界)(C11ln 1,nn ln(1),nSn無界無界)(D則其必發(fā)散則其必發(fā)散.01,nS31)0(1 nnnuu)0(1 nnnvv nv若若), 2 , 1( nvunn且且 nu則則設(shè)有兩個正項級數(shù)設(shè)有兩個正項級數(shù)(C),(C).(1)(2)nu 若若(D), nv則則(D).則則32 (1)1,nnnuS 設(shè)設(shè)的的部部分分和和為為1,nnnvT 的的部部分分和和為為1,nnv 若若正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂,M則則存存在在正正數(shù)數(shù)使得使得0,nTMnnuuuS 210所以所以nvvv 21nT ,M 1,nnu 即即正正項項級級數(shù)數(shù)的的部部分

14、分和和有有界界.1收斂收斂所以所以 nnu(2):利利用用反反證證法法1,nnv 若若正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂可知可知則由則由)1(;1收斂收斂 nnu1,nnu 與與條條件件發(fā)發(fā)散散矛矛盾盾.1發(fā)散發(fā)散所以所以 nnv33 )0( kkvuvunnnn改為改為若若結(jié)論同樣成立結(jié)論同樣成立; 甚至上式只要在某個自然數(shù)后開始成立甚至上式只要在某個自然數(shù)后開始成立即可即可.34 11npnp級數(shù)級數(shù)證明證明1,p 當(dāng)當(dāng)時時收收斂斂1.p 當(dāng)當(dāng)時時 發(fā)發(fā)散散1,p 時時11(), ()nDn 調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)1,p 時時11 pnn 11(),nDn 且且11().pnDn 35pxy1 1,p 時

15、時1,pyx 作作pppnnS131211 npxdx11111111ppn Mp 111 ,nS即即有有界界11( )pnCn nppx1111 11npn證畢證畢xy01 2 3n36 因為要與已知斂散的級數(shù)的一般項進(jìn)行比較因為要與已知斂散的級數(shù)的一般項進(jìn)行比較,等比級數(shù)等比級數(shù) 11nnaq P - 級數(shù)級數(shù) 11npn所以必須掌握一些已知斂散的級數(shù)所以必須掌握一些已知斂散的級數(shù). 常用常用:)1(11 pnn調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)(D)1|)( qC1|)( qD1)( pC1)( pD 37 例例1. 判別下列正項級數(shù)的斂散性判別下列正項級數(shù)的斂散性:(1)211(1)nn n 311nn

16、 2311(1)n nnn 由由13 p211( )(1)nCn n ,13n )(C38(2)2111nnn 211nn 111nn211().1nnDn n13121 2)1(1nn n 112211nnn )(D22111nnnnn 或或n1 39(3)13( 1)3nnn 3( 1)3nn 11,3q 13( 1)( )3nnnC 43n 143nn 而而)(C3( 1)3nn 3( 1)33nnn )()()(CCC 利用利用40lim0,且且nnnulv 11.nnnnuv則則與與有有相相同同的的斂斂散散性性 設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù),1 nnu,1 nnv)0,( nnvu41 例例

17、2：判別前例中級數(shù)判別前例中級數(shù)(1),(2)的斂散性的斂散性：)1(1lim2 nnn311( ),nCn 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.211(1)(1)nn n 31n, 1 42211limnnn 11(),nDn 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.211(2)1nnn 2(1)lim1nn nn n1, 1 4311(1)ln 1nn 1ln 1limnn 例例3: 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性:n1, )(11Dnn 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.1limln 1nnn 1limln 1nnn , 1 4411(2)2 (21)nnn 12 (21)limnnn 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.21n, )(112

18、Cnn ,41 lim42nnn 45311(3)1nn 311limnn 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.321n3121( ),nCn 1, 33lim1nnn 46設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù)1(0),nnnu u 1lim,nnnuu 若若則當(dāng)則當(dāng),1 1( )nnuC 1()nnuD ),(1 或或 1nnu, 1 斂散性不定斂散性不定471(1)2nnn nnuu1 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.例例1: 判別下列正項級數(shù)的斂散性判別下列正項級數(shù)的斂散性:121 nnnn2 nn21 21 n, 1 4811(2)(1)!nn 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.!nnnuu1 n1 , 10 n=! )1( n49(3

19、) nnn!3! 32! 21321)1(! )1( nnn1nnn . )(C原級數(shù)原級數(shù)nnuu1 (1)nnnn !nnn en1 ,1 由此題結(jié)論還可得由此題結(jié)論還可得:!lim0.nnnn 5051 習(xí)題習(xí)題 7 2 (第第177頁頁)1(4, 5), 2(1)52 各項正負(fù)交錯的級數(shù)稱為各項正負(fù)交錯的級數(shù)稱為. nnuuuuu14321)1(如如: nnuuuuu)1(4321或或其中其中), 2 , 1(0 iui 11)1(nnnu 1)1(nnnu53若交錯級數(shù)若交錯級數(shù) 11)1(nnnu滿足條件滿足條件:), 2 , 1()11 nuunn則此級數(shù)則此級數(shù), 1.Su 且

20、且其其和和0lim)2 nnu54111 nun(1) 111)1(nnnnun1 ),(01 nnun又又( ),原原級級數(shù)數(shù)且且和和CS 41312111 . . 55(2)1(1) sinnnn 11sinsin nnunnu 0sinlim nn 又又,().由由萊萊布布尼尼茲茲定定理理得得原原級級數(shù)數(shù)C)1( n56nu nnnuuuu211 任意項級數(shù)的斂散情況有下列三種任意項級數(shù)的斂散情況有下列三種: 對任意項級數(shù)對任意項級數(shù), 一般有無窮多正項一般有無窮多正項,無窮多負(fù)項無窮多負(fù)項,但其各項的絕對值但其各項的絕對值組成了正項級數(shù)組成了正項級數(shù):1. 絕對收斂絕對收斂;2. 條件

21、收斂條件收斂;3. 發(fā)散發(fā)散.57定義定義:1,nnu 若若收收斂斂1nnu 則則稱稱條條件件收收斂斂1,nnu 若若發(fā)發(fā)散散1nnu 則則稱稱絕絕對對收收斂斂1,nnu 而而收收斂斂1,nnu 對對任任意意項項級級數(shù)數(shù)而而言言5811,nnnnuu設(shè)設(shè)任任意意項項級級數(shù)數(shù)若若級級數(shù)數(shù)收收斂斂則則原原級級數(shù)數(shù)也也收收斂斂。絕對收斂的級數(shù)必收斂。絕對收斂的級數(shù)必收斂。59,nu 由由收收斂斂0 nv則則,nnuv 且且,nv 即即為為正正項項級級數(shù)數(shù)( ),nuC 2( ),nvC , )2( nnnuvu對對)2(性性質(zhì)質(zhì)得得級級數(shù)數(shù)也也收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)逐逐項項相相加加減減所所收斂。收

22、斂。 nu,則則由由比比較較法法, )(Cvn ,2nnnuvu 又又), 2 , 1(),(21 nuuvnnn作作60.例例:,)1(11收斂收斂 nnn發(fā)散。發(fā)散。但但 11nn61 1)1()1(nnn11( 1)nnnnun ,)()1(1Cnnn 但由萊布尼茨定理知但由萊布尼茨定理知11,()nDn 1).()1( nnCCn則則 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性, 若收斂則說明是若收斂則說明是絕對收斂還是條件收斂絕對收斂還是條件收斂:62(2)0(4sin1 nnn,4sin1 nnn 考察考察nn4sin )(411Cnn , )(4sin1Cnnn ).(CA原級數(shù)原

23、級數(shù)n41 63(3) 11212)1(nnnn 11212)1(nnnn考察考察用比值法用比值法 nnnuu1lim)12(232lim nnn, )(2121Cnnn . ).(CA原級數(shù)原級數(shù)1232lim nnn,121 1212nnn122 nn64(4) 11)1()1(nnnn 11)1(nnnnnu對對nn 1，而而)(11211Dnn 112111 nnunnnnu而由而由nn 11121 n, 011lim nnn且且，原級數(shù)原級數(shù))(C).(CC且為且為 發(fā)散；發(fā)散；所以所以 1nnu65 為什么要討論級數(shù)的絕對收斂與條件收斂為什么要討論級數(shù)的絕對收斂與條件收斂? 絕對收

24、斂級數(shù)可以任意交換項的位置而不絕對收斂級數(shù)可以任意交換項的位置而不因為有很多性質(zhì)是絕對收斂級數(shù)所具備的因為有很多性質(zhì)是絕對收斂級數(shù)所具備的,而條件收斂的級數(shù)不具備而條件收斂的級數(shù)不具備. 如如:改變它的收斂性及和數(shù)改變它的收斂性及和數(shù).注注: 條件收斂的級數(shù)不具有這一性質(zhì)條件收斂的級數(shù)不具有這一性質(zhì).如如: 4131211條件收斂條件收斂, 其和記為其和記為 S可以證明重新排序后的級數(shù)可以證明重新排序后的級數(shù) 611119141715121311S23收斂于收斂于66 4131211條件收斂條件收斂, 其和記為其和記為 S 證明重新排序后的級數(shù)證明重新排序后的級數(shù) 61111914171512

25、1311S23收斂于收斂于1,:2將將原原級級數(shù)數(shù)的的每每一一項項乘乘以以并并改改寫寫成成 810610410210它收斂于它收斂于S21再將它與原級數(shù)逐項相加再將它與原級數(shù)逐項相加, 得重新排序后的級數(shù)得重新排序后的級數(shù) 611119141715121311S23顯然收斂于顯然收斂于67 黎曼于黎曼于1854年證明了年證明了: 可以把任何一個可以把任何一個條件收斂的級數(shù)的項適當(dāng)重排條件收斂的級數(shù)的項適當(dāng)重排, 使新級數(shù)收使新級數(shù)收斂于任何事先指定的數(shù)斂于任何事先指定的數(shù); 也可以使重排后的也可以使重排后的級數(shù)發(fā)散于正無窮大或負(fù)無窮大級數(shù)發(fā)散于正無窮大或負(fù)無窮大.68 習(xí)題習(xí)題 7 3(第第1

26、81頁頁)1(2, 4, 6, 9)691. 用比較判別法或其極限形式判別下列正項級數(shù)的斂用比較判別法或其極限形式判別下列正項級數(shù)的斂散性散性:11(4);1nn n 11 1n nn n 因因為為則由正項級數(shù)的比較判別法知原級數(shù)收斂則由正項級數(shù)的比較判別法知原級數(shù)收斂.321n 31213 ,2nppn 而而是是的的 級級數(shù)數(shù)31,2p 由由知知其其收收斂斂701(5)sin;4nn sin4 limnn 因因為為則由正項級數(shù)的比較判別法極限形式知原級數(shù)收斂則由正項級數(shù)的比較判別法極限形式知原級數(shù)收斂.1, 11 ,44nn 而而是是公公比比為為的的等等比比級級數(shù)數(shù)4n 11,4 由由知知其

27、其收收斂斂1. 用比較判別法或其極限形式判別下列正項級數(shù)的斂用比較判別法或其極限形式判別下列正項級數(shù)的斂散性散性:7113(1);2nnnn 1 limnnnuu 因因為為則由正項級數(shù)的比值判別法知原級數(shù)發(fā)散則由正項級數(shù)的比值判別法知原級數(shù)發(fā)散.3,2nnnun 113(1)2lim32nnnnnnn 1132lim(1)23nnnnnnn 3lim2(1)nnn 23 , 1 2. 用比值判別法或其極限形式判別下列正項級數(shù)的斂用比值判別法或其極限形式判別下列正項級數(shù)的斂散性散性:7273上上為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)Inxun), 2 , 1()( ,:的的函函數(shù)數(shù)列列則則表表達(dá)達(dá)式式 )

28、()()(21xuxuxun簡稱簡稱 (函數(shù)項函數(shù)項) .稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間 I 上的上的, 1)(nnxu740,xI 顯顯然然 對對于于確確定定的的點(diǎn)點(diǎn)01(),;nnux 對對而而言言它它可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散01() ( ),nnuxC 若若.01(),nnux 則則為為常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)01() (),nnuxD 若若.01( ),nnxux 則則稱稱為為的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)01( ),nnxux 則則稱稱為為的的發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn) 75 對于對于 I 中的每一點(diǎn)中的每一點(diǎn), 不是收斂點(diǎn)就是發(fā)散不是收斂點(diǎn)就是發(fā)散點(diǎn)點(diǎn). 對收斂域內(nèi)任一點(diǎn)對收斂域內(nèi)任一點(diǎn) x, 函數(shù)項級

29、數(shù)退化為函數(shù)項級數(shù)退化為一收斂的常數(shù)項級數(shù)一收斂的常數(shù)項級數(shù), 所以有一確定的和所以有一確定的和 S,顯然顯然 S 與與 x 有關(guān)有關(guān), 由由 x 惟一確定惟一確定.記為記為 ,1( ).nnux 的的收收斂斂域域稱為函數(shù)項級數(shù)的稱為函數(shù)項級數(shù)的,其定義域就是其定義域就是76同樣同樣,),()(1xSnxunnn項部分和為項部分和為的前的前記記 則在收斂域內(nèi)有則在收斂域內(nèi)有)()(limxSxSnn ( )( )( )nnr xS xS x 其其余余項項, 在在收收斂斂域域內(nèi)內(nèi) 有有0)(lim xrnn121( )( )( )( )( )nnniiSxu xuxuxu x 7721: 1 n

30、xxx例例判判別別函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù), .的的斂斂散散性性并并求求其其收收斂斂域域與與和和函函數(shù)數(shù)(,), 級級數(shù)數(shù)的的定定義義域域1 x1 x所以所以 的收斂域為的收斂域為 (1, 1). 0nnx.且且為為等等比比級級數(shù)數(shù)x 11由前面的討論可知由前面的討論可知當(dāng)當(dāng)時時, 這級數(shù)收斂于和這級數(shù)收斂于和當(dāng)當(dāng)時時,這級數(shù)發(fā)散這級數(shù)發(fā)散發(fā)散域為發(fā)散域為), 1 1,( 和函數(shù)為和函數(shù)為x 11注意注意: 和函數(shù)的定義域小于級數(shù)的定義域和函數(shù)的定義域小于級數(shù)的定義域.781. 判斷下列級數(shù)是否收斂判斷下列級數(shù)是否收斂. 如果是收斂級數(shù)如果是收斂級數(shù), 指出是絕對收斂指出是絕對收斂? 還是條件收斂

31、還是條件收斂?1( 1)(2);2nnnn 11( 1)1 ,22nnnnnnn 因因為為nu nnnuu1lim而而12lim(1) 2nnnnn lim2(1)nnn 12 , 1 11 ,2nnn 所所以以收收斂斂則原級數(shù)絕對收斂則原級數(shù)絕對收斂.7912(4)( 1);3nnn 1122( 1),33nnnnn因因為為122,33nn 而而是是公公比比為為的的等等比比級級數(shù)數(shù),132知其收斂知其收斂由由 則原級數(shù)絕對收斂則原級數(shù)絕對收斂.1. 判斷下列級數(shù)是否收斂判斷下列級數(shù)是否收斂. 如果是收斂級數(shù)如果是收斂級數(shù), 指出是絕對收斂指出是絕對收斂? 還是條件收斂還是條件收斂?8031c

32、os(6);nnn 3311coscos=,nnnnnn 因因為為33cos1,nnn 而而311,nn 由由收收斂斂)3(級數(shù)級數(shù)的的 pp31cos,nnn 得得收收斂斂則原級數(shù)絕對收斂則原級數(shù)絕對收斂.1. 判斷下列級數(shù)是否收斂判斷下列級數(shù)是否收斂. 如果是收斂級數(shù)如果是收斂級數(shù), 指出是絕對收斂指出是絕對收斂? 還是條件收斂還是條件收斂?8111(9)( 1);21nnnn ,2112lim nnn因為因為1 lim( 1)0,21nnnn 所所以以則原級數(shù)發(fā)散則原級數(shù)發(fā)散.1. 判斷下列級數(shù)是否收斂判斷下列級數(shù)是否收斂. 如果是收斂級數(shù)如果是收斂級數(shù), 指出是絕對收斂指出是絕對收斂?

33、 還是條件收斂還是條件收斂?82 ( (20120nnnnna xaa xa xa x 20010200()()()nnnaxxaaxxaxx 或或)(0 nnxxa 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為.其中常數(shù)其中常數(shù) 稱為冪級數(shù)的系數(shù)稱為冪級數(shù)的系數(shù),210aaa0.x 是是常常數(shù)數(shù)形如形如, ),( 00 ()xxx或或顯然顯然, 冪級數(shù)的定義域為冪級數(shù)的定義域為顯然是冪級數(shù)的收斂點(diǎn)顯然是冪級數(shù)的收斂點(diǎn).83 冪級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中最常見最簡單的一種冪級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中最常見最簡單的一種, 0nnna x 設(shè)設(shè)有有00(1)(0)(*) ( )xxxC當(dāng)當(dāng)時時其收斂域如何其收斂域如何? 在收斂域內(nèi)在收斂

34、域內(nèi), 和函數(shù)如何求和函數(shù)如何求? (*),0(*) ( . )xxxA C 則則適適合合的的一一切切都都使使0(2)(*) ()xxD 當(dāng)當(dāng)時時0(*) ().xxxD 則則適適合合的的一一切切都都使使那那么么84000(0),nnna xxx 若若在在處處收收斂斂00(,).xx 則則在在內(nèi)內(nèi)都都收收斂斂00,.xx 則則在在外外都都發(fā)發(fā)散散(1)00,nnna xx 若若在在處處發(fā)發(fā)散散ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散85, p p ,p p 且且到到原原點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離是是相相同同的的,0 x均為均為00(,), xx 即即為為對對稱稱的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的為為稱稱

35、 10nnnxax, 記為記為 .(2)在收斂域與發(fā)散域之間的分界點(diǎn)在收斂域與發(fā)散域之間的分界點(diǎn)上上, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂pp 0 x0 x86,00一點(diǎn)收斂一點(diǎn)收斂不是只在不是只在若若 xxannn0,( . )nnnxRa xA C 當(dāng)當(dāng)時時0 ,()nnnxRa xD 當(dāng)當(dāng)時時0,nnnxRxRa x 當(dāng)當(dāng)與與時時可可能能收收斂斂.可可能能發(fā)發(fā)散散也不是在整個數(shù)軸上都收斂也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定則必有一個完全確定的正數(shù)的正數(shù) R 存在存在, 使得使得：870,nnnRa x 為為的的收收斂斂半半徑徑的

36、的為為 0nnnxa),(RR ,處處的的收收斂斂情情況況后后當(dāng)當(dāng)討討論論了了點(diǎn)點(diǎn)RxRx ,RR , ,(RR , ),RR , ),(RR 的的可以決定出可以決定出 0nnnxa,00一點(diǎn)收斂一點(diǎn)收斂只在只在當(dāng)當(dāng) xxannn: 0;收收斂斂域域為為,0都收斂都收斂對一切對一切當(dāng)當(dāng)xxannn , R則則則則 R = 0,為為).,(: 收斂域為收斂域為四種情況之一四種情況之一.88如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)0nnna x 在在2 x處條件收斂處條件收斂,那么該冪級數(shù)的收斂半徑為多少那么該冪級數(shù)的收斂半徑為多少?2 R89(2)0, ?R如如何何求求收收斂斂半半徑徑且且設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù))0(,0

37、 nnnnaxa1lim,nnnaa 1,nnaa 其其中中是是冪冪級級數(shù)數(shù)相相鄰鄰兩兩項項的的系系數(shù)數(shù)若若:(1)0, (3), 1 R則則 R則則0 R則則90求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間. nnnxxx5)1(5352122由定理由定理 2：nnaa1 5,R51 n)2(51 nn15)2( nnnn5)1( . )5, 5( 收斂區(qū)間收斂區(qū)間 1.91 0!nnnx. 2nnaa1 R0 n11 n! )1( n!n. ),( 收斂區(qū)間收斂區(qū)間92. 3 0!nnxn0 R )(nnnaa1 !)!1(nn 1 n.0 處收斂處收斂所給冪級數(shù)只在所

38、給冪級數(shù)只在 x934. 1)1(nnxn1,xt令令nnaann11 1,nnnt 則則原原級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉樗运?R = 1,收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為1| t1 n1|1| x即即: (0, 2).收收斂斂區(qū)區(qū)間間94 0nnnxa設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)),(RR 0nnnxb冪級數(shù)冪級數(shù)) , (RR 1) 加減法加減法 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa),(MM ),min(RRM 95)(212111 vvuuvunnnn 121122111()(nnvuvuvuvuvu )1vun41312111vuvuvuvu42322212vuvuvuvu43332313vuvuvuvu4

39、4342414vuvuvuvu4321vvvv4321uuuu柯西乘積柯西乘積962) 乘法乘法 00nnnnnnxbxa 00110)(nnnnnxbababa xbababa)(011000 nnnnxbababa)(0110),(MM ),min(RRM (柯西乘積柯西乘積)97)()(0 nnnxaxS 0)(nnnxa11nnnna x 逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑的收斂半徑, 但在端點(diǎn)處斂散性可能會改變但在端點(diǎn)處斂散性可能會改變. ; )( 0域內(nèi)連續(xù)域內(nèi)連續(xù)在其收斂在其收斂冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù) nnnxaxS 1.性性

40、質(zhì)質(zhì)0 ( ) ; nnnS xa x 冪冪級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)在在其其收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)2. 性性質(zhì)質(zhì):且有逐項求導(dǎo)公式且有逐項求導(dǎo)公式98 (反復(fù)用上述結(jié)論反復(fù)用上述結(jié)論, 可知可知 S(x) 在收斂域內(nèi)有在收斂域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)任意階導(dǎo)數(shù))000( )()xxnnnS x dxa xdx 00 xnnna x dx 逐項積分后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的逐項積分后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑收斂半徑, 但在端點(diǎn)處斂散性可能會改變但在端點(diǎn)處斂散性可能會改變.101nnnaxn 0 ( ) ; nnnS xa x 冪冪級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)在在其其收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)可可積積3

41、. 性性質(zhì)質(zhì):且且有有逐逐項項積積分分公公式式99 用用或或的方法的方法, 可可求得一些級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的求得一些級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的.100 不必先求收斂區(qū)間不必先求收斂區(qū)間, 在求和函數(shù)的過程在求和函數(shù)的過程中中 3)(3xxxS設(shè)設(shè)(21),n 消消去去分分母母上上的的 6421)(xxxxS, 1 x 02)1(nnnx 753753xxxx可求得收斂區(qū)間可求得收斂區(qū)間. 01212)1(nnnnx先逐項求導(dǎo)先逐項求導(dǎo):211x 101 )0()()(SxSxSxxxarctanarctan0 xnxnnnarctan12)1(012 . )1, 1(: X20211)1()(xxxSn

42、nn xxdxxdxxS02011)()1, 1( x102 nxnxx242)12(531 42531)(xxxS設(shè)設(shè)),12( n欲欲消消去去 xxxdxxdxS020)31()(200(21)xnnnx dx 1253nxxxx 02)12(nnxn 0012nxnx 012nnx先逐項積分先逐項積分:10321xx 1 x0( )( )xS xS x dx )1, 1(: X 1253nxxxx 012nnx xxxdxxdxS020)31 ()(21xx 22 21.(1)xx 104 習(xí)題習(xí)題 7 4 (第第186頁頁)1(1, 2, 5), 3(1, 2)1051. 求下列級數(shù)的

43、收斂域求下列級數(shù)的收斂域:23(1)22 42 4 62!nnxxxxn 210(2)( 1)21nnnxn 0(5)(5)nnxn 1063. 求下列級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)求下列級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù):11(1)3nnnnx 1( 1)(2)nnnxn 107108 （內(nèi)具有內(nèi)具有的某個鄰域的某個鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)若若),()(00 xUxxf(1),n 直直到到階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)次多項式與一個余項次多項式與一個余項的一個的一個可表示成可表示成nxx)(0 ( ):nRx 之之和和200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 0(,

44、 ),( )xU xf x 則則當(dāng)當(dāng)時時109200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中之間之間與與在在0 xx ,Taylor的的公公式式,( )nnTaylorRx到到階階的的公公式式其其中中稱稱為為 )(xf或稱為或稱為0 xx 在在處處展展開開按按上述公式稱為上述公式稱為)(xf的冪的冪0 xx 展開到展開到 n 階階拉格朗日拉格朗日型余項型余項.110 若若 在在 處有任意階導(dǎo)數(shù)處有任意階導(dǎo)數(shù), 則稱則稱：)(xf0 xx 200000)(! 2)(

45、)()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)(0( ).f xxTaylor為為在在處處的的級級數(shù)數(shù)1) 上述級數(shù)的收斂域是什么上述級數(shù)的收斂域是什么 ?2) 在收斂域上在收斂域上, 其和函數(shù)是否為其和函數(shù)是否為 f (x) ?3) 把把 f (x) 展開成冪級數(shù)是否就是上述形式展開成冪級數(shù)是否就是上述形式 ?或者說把或者說把 f (x) 展開成冪級數(shù)形式是否唯一展開成冪級數(shù)形式是否唯一 ?111級級數(shù)數(shù)的的充充要要在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能展展開開成成則則Taylorxf)(:條條件件是是.)(0)(lim0 xUxxRnn 0, (),TaylorxU x 由由公公式式 當(dāng)當(dāng)

46、時時公式中的余項滿足公式中的余項滿足的的Taylorxf)(0( ), f xx設(shè)設(shè)在在的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)具具有有各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)112200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 1( )( )( ).nnRxf xSx )()(xfTaylorxf級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于的的)()(lim1xfxSnn 1lim( )lim ( )( )0.nnnnRxf xSx )(1xSn )(xRn .得得證證113 若若 f (x) 可以在可以在 x0 的某鄰域內(nèi)展開為冪級數(shù)的某鄰域內(nèi)展開為冪級數(shù), 則這樣的冪級數(shù)只能是泰勒級數(shù)則這樣

47、的冪級數(shù)只能是泰勒級數(shù).的冪級數(shù)的冪級數(shù)求得求得即當(dāng)我們用不同的方法即當(dāng)我們用不同的方法)(xf, . 展展開開式式時時其其結(jié)結(jié)果果是是一一樣樣的的114( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxn ( )0. f xxTaylorMaclaurin 在在處處的的級級數(shù)數(shù)又又稱稱為為級級數(shù)數(shù)200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)(0( )f xxTaylor在在處處的的級級數(shù)數(shù)為為( )000()() .!nnnfxxxn ( )0(0).!nnnfxn 1151. 直直接接法法: 利利用用直直接接法法將將函函數(shù)數(shù)展展開開為為冪冪級級

48、數(shù)數(shù)的的步步驟驟 );1,2,( , )( )( 1.)( nxfxfn的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)計算計算 0 , , x 如如果果在在處處某某階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在 就就停停止止計計算算說說明明( )2. (0), (0) (1,2,) ; nffn 計計算算的的值值( )0(0)3. ( ) , !nnnff xxn 寫寫出出的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)并并求求 ;R出出其其收收斂斂半半徑徑; 該該函函數(shù)數(shù)不不能能展展開開成成麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)( )0( )0(0) ( ) ,!(0)( ).!nnnnnnff xxnff xxn 注注意意此此時時可可以以寫寫 但但不不能能寫寫 1164

49、. (, ) ( ) nxR RRx 考考察察當(dāng)當(dāng)時時余余項項的的極極限限( )0(0)( ),(,), !nnnff xxxR Rn (1)1( )lim( )lim(0)(1)!nnnnnfRxxxn 在在與與之之間間 .是否為零是否為零, 如如果果為為零零 則則有有 , .xR 再再討討論論時時級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性 得得冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域 , . 如如果果不不為為零零 則則函函數(shù)數(shù)不不能能展展開開成成麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)117 例例: 將下列函數(shù)展開成將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).xexf )()1(), 2 , 1 , 0()()( nexfxn ! 212

50、nxxxn), 2 , 1 , 0(1)0()( nfn于是得級數(shù)于是得級數(shù)易得收斂半徑為易得收斂半徑為 R 2! 2)0()0()0(xfxff nnxnf!)0()(1181)!1()( nnxnexR 01)!1(nnxnxe作作)!1(1 nxenx)0(之間之間與與在在x )!2(lim2 nxenxn)()!1(01Cnxennx 0)!1(|lim1| nxenxn0)(lim xRnnnnnuu1lim 由由1)!1( nxxen10 0)(lim xRnn| x 2lim nxn119 nxxnxxe!1! 2120!nnxn : (,).收收斂斂域域 120)2(xxfsi

51、n)( ( )( )sin, (1,2,)2nfxxnn , 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff的麥克勞林級數(shù)為的麥克勞林級數(shù)為所以所以)(xf!7! 5! 3753xxxx , R且可得且可得: (,).收收斂斂域域 )!12()1(121nxnn 2! 2)0()0()0(xfxff nnxnf!)0()( 例例: 將下列函數(shù)展開成將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).121?sin x是否收斂于是否收斂于)(xRn10( )(1)!nnxCn 0)!1(|lim1 nxnn0)(lim xRnn )!12()1(! 7! 5! 3)(121753nxxxxxxfnn

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