基于幾何畫板在中考探究題教學(xué)中的研究

1、基于幾何畫板在中考探究題基于幾何畫板在中考探究題教學(xué)中的研究教學(xué)中的研究江西省贛州中學(xué)江西省贛州中學(xué) 張仁華張仁華理論基礎(chǔ) 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）指出：信版）指出：信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響.數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代化信息技術(shù)，實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代化信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效.要要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，充分考慮信息

2、技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為技術(shù)作為 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去. 著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞曾精著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞曾精辟地指出：辟地指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一

3、方面，數(shù)學(xué)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)性的歸納科學(xué).”.”幾何畫板幾何畫板提供了一個(gè)提供了一個(gè)十分理想的展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程并讓學(xué)生積十分理想的展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程并讓學(xué)生積極探索問題的極探索問題的“做數(shù)學(xué)做數(shù)學(xué)”的環(huán)境的環(huán)境. . 理論基礎(chǔ)運(yùn)用幾何畫板展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合 最明顯地表現(xiàn)是利用直角坐最明顯地表現(xiàn)是利用直角坐標(biāo)系將幾何問題與代數(shù)問題結(jié)合聯(lián)系起來標(biāo)系將幾何問題與代數(shù)問題結(jié)合聯(lián)系起來, ,這種這種思想是近年來中考的熱點(diǎn)之一思想是近年來中考的熱點(diǎn)之一. .例例1.如圖所示，如圖所示，C為線段為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分

4、別過點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作作ABBD，EDBD，連接，連接AC、EC已知已知AB=5，DE=1，BD=8；設(shè)；設(shè)CD=x.(1)用含用含x的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問點(diǎn)請(qǐng)問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小的值最小?(3)根據(jù)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式 的最小值的最小值 224129xx例題賞析 例例2.如圖如圖1,若拋物線若拋物線L1的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A在拋物線在拋物線L2上上,拋物線拋物線L2的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)B也在拋物線也在拋物線L上上(點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B不重合不重合),我們把這樣的兩我們把這樣的兩拋

5、物線拋物線L1、L2互稱為互稱為“友好友好”拋物線拋物線,可見一條拋物線的可見一條拋物線的“友好友好”拋物線可以有多條拋物線可以有多條. （1）如圖）如圖2,已知拋物線已知拋物線L3： 與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C,試試求出點(diǎn)求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；例題賞析2284yxx（2）請(qǐng)求出以點(diǎn)）請(qǐng)求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的L3的的“友好友好”拋物線拋物線L4的解析式的解析式,并指出并指出L3與與L4中同時(shí)隨增大而增大的自變量的取值范圍；中同時(shí)隨增大而增大的自變量的取值范圍； （3）若拋物線）若拋物線 的任意一條的任意一條“友好友好”拋物線拋物線

6、的解析式為的解析式為 ,請(qǐng)寫出請(qǐng)寫出 與與 的關(guān)系式的關(guān)系式,并說并說明理由明理由. 例題賞析21()ya xmn22()ya xhk1a2a 例例3.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) ： 與軸交于與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的左邊），的左邊），與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C （1）寫出）寫出A、B點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)坐標(biāo)；（2）二次函數(shù)）二次函數(shù) : 頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為P直接寫出二次函數(shù)直接寫出二次函數(shù) 與二次函數(shù)與二次函數(shù) 有關(guān)圖象的有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；兩條相同的性質(zhì)；是否存在實(shí)數(shù)，使是否存在實(shí)數(shù)，使ABP為等邊三角形，如存為等邊三角形，如存在，請(qǐng)求出的值；如不存在，請(qǐng)說明理由；在，請(qǐng)求出的值；如不存

7、在，請(qǐng)說明理由；若直線若直線 與拋物線與拋物線 交于點(diǎn)交于點(diǎn)E、F，請(qǐng)問，請(qǐng)問線段線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，如果不會(huì)，求的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，如果不會(huì)，求EF的的長(zhǎng)度；如果會(huì)，說明理由長(zhǎng)度；如果會(huì)，說明理由243yxx1L2L243 (0)y kxkxkk2L8yk1L例題賞析“以形助數(shù)，用數(shù)解形以形助數(shù)，用數(shù)解形”教學(xué)策略有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣 增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解 促進(jìn)學(xué)生的思維的發(fā)展促進(jìn)學(xué)生的思維的發(fā)展強(qiáng)化學(xué)生強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想“由數(shù)思形，由形探數(shù)由數(shù)思形，由形探數(shù)”運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行開放探究運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行開放探究 開放探究型問題

8、是近年中考比較常見的開放探究型問題是近年中考比較常見的題目，解答這類問題的關(guān)鍵是牢固掌握基本題目，解答這類問題的關(guān)鍵是牢固掌握基本知識(shí)，需要有較強(qiáng)的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能知識(shí)，需要有較強(qiáng)的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力力.具體做題時(shí)，要仔細(xì)分析題目的有關(guān)信具體做題時(shí)，要仔細(xì)分析題目的有關(guān)信息、合情推理、聯(lián)想，并要運(yùn)用類比、歸納、息、合情推理、聯(lián)想，并要運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想全面考慮問題，有時(shí)還分類討論等數(shù)學(xué)思想全面考慮問題，有時(shí)還借助圖形、實(shí)物或?qū)嶋H操作來打開思路借助圖形、實(shí)物或?qū)嶋H操作來打開思路. 結(jié)論開放探索問題是指題目中的結(jié)論不確定或題目中的結(jié)論需類比、引申、拓廣，或改變題目的條件，探

9、究原有的結(jié)論是否成立，或題目給出特例，要求探究歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論，常與化歸思想方法結(jié)合應(yīng)用.結(jié)論開放探究型結(jié)論開放探究型 例例4.如圖，正方形如圖，正方形ABCD與正三角形與正三角形AEF的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)A重合將重合將AEF繞其頂點(diǎn)繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE=DF時(shí)，則時(shí)，則BAE的大的大小可以是小可以是 . 例題賞析例例5.如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，中，BC:AB= ,在在BC上取兩點(diǎn)上取兩點(diǎn)E、F（E在在F左邊），以左邊），以EF為邊作等邊三角形為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)使頂點(diǎn)P在在AD上，上，PE、PF分別交分別交AC于點(diǎn)于點(diǎn)G、H.求求PEF的邊

10、長(zhǎng)的邊長(zhǎng);若若PEF的邊的邊EF在線段在線段BC上移動(dòng)上移動(dòng).試猜想試猜想PH與與BE有何數(shù)量關(guān)系有何數(shù)量關(guān)系?并證明你猜想的結(jié)論并證明你猜想的結(jié)論.3例題賞析例例6.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上,張老師出示了如下框中的問題：張老師出示了如下框中的問題：?jiǎn)栴}思考問題思考 (1)經(jīng)過獨(dú)立思考經(jīng)過獨(dú)立思考,同學(xué)們想出了多種正確的證明思路同學(xué)們想出了多種正確的證明思路,其中有位同學(xué)的思路如下：如圖其中有位同學(xué)的思路如下：如圖1,過過B作作 交交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,請(qǐng)你據(jù)這位同學(xué)的思路提示請(qǐng)你據(jù)這位同學(xué)的思路提示證明上述框中問題證明上述框中問題.例題賞析BEAC方法遷移方法遷移 (2)如圖如圖

11、2,在在Rt中中, ,點(diǎn)點(diǎn)D為為AB中點(diǎn)中點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)E是線段是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn), 連接連接DE, 線段線段DF始終與始終與DE垂直且交垂直且交BC于點(diǎn)于點(diǎn)F.猜想線段猜想線段AE、EF、BF的數(shù)量關(guān)系并加以證明的數(shù)量關(guān)系并加以證明.拓展延伸拓展延伸(3)如圖如圖3,在在Rt中中, ,點(diǎn)點(diǎn)D為為AB中點(diǎn)中點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)E是線段是線段AC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn), 連接連接DE,線段線段 DF始終與始終與DE垂直且交垂直且交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,試問試問第第 (2)中線段中線段AE、EF、FB的數(shù)量關(guān)系會(huì)發(fā)生改變嗎的數(shù)量關(guān)系會(huì)發(fā)生改變嗎?若會(huì)若會(huì), 請(qǐng)說明理由；若不會(huì)請(qǐng)說明理由；若不

12、會(huì),請(qǐng)證明之請(qǐng)證明之.例題賞析“執(zhí)因索果執(zhí)因索果,順藤摸瓜順藤摸瓜”解題策略有助于 培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力 提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力充分提升學(xué)生充分提升學(xué)生類比思想與轉(zhuǎn)化化歸的思想類比思想與轉(zhuǎn)化化歸的思想 條件開放問題是指題目的結(jié)論明確，條件不完備，要求解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括.它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求.它有利于培學(xué)生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程.條件

13、開放探究型條件開放探究型例例7.如圖甲，在如圖甲，在ABC中，中，ACB為銳角點(diǎn)為銳角點(diǎn)D為射為射線線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以，以AD為一邊且在為一邊且在AD的的右側(cè)作正方形右側(cè)作正方形ADEF解答下列問題：解答下列問題：（1）如果）如果AB=AC，BAC=90 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)D在線段在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，不重合），如圖乙，線段線段CF、BD之間的位置關(guān)系為之間的位置關(guān)系為 ，數(shù)量，數(shù)量關(guān)系為關(guān)系為 例題賞析當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)D在線段在線段BC的延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，中線上時(shí)，如圖丙，中的結(jié)論是否仍然成立，的結(jié)論是否仍然成立，為什么？為什么？（2）如果）如果AB

14、AC，BAC90，點(diǎn)，點(diǎn)D在線段在線段BC上上運(yùn)動(dòng)試探究：當(dāng)運(yùn)動(dòng)試探究：當(dāng)ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CFBC（點(diǎn)（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由（畫圖不寫作法）并說明理由（畫圖不寫作法） 例題賞析例題賞析例例8.如圖如圖1,RtACB中中,AC=3,BC=4,有一過點(diǎn)有一過點(diǎn)C的動(dòng)圓的動(dòng)圓 O與與 斜邊斜邊AB相切于動(dòng)點(diǎn)相切于動(dòng)點(diǎn)P,連接連接CP.(1)當(dāng)當(dāng) O與直角邊與直角邊AC相切時(shí)相切時(shí),如圖如圖2,求此時(shí)求此時(shí) O的半徑的半徑r的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)隨著切點(diǎn)隨著切點(diǎn)P的位置不同的位置不同,弦弦CP的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化,

15、試求出弦試求出弦CP的長(zhǎng)的取值范圍；的長(zhǎng)的取值范圍；(3)當(dāng)切點(diǎn)當(dāng)切點(diǎn)P在何處時(shí)在何處時(shí), O的半徑的半徑r有最大值？試求出這個(gè)最大有最大值？試求出這個(gè)最大值值.“執(zhí)果索因執(zhí)果索因,逆水行舟逆水行舟”解題策略有助于 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究問題和解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究問題和解決問題的能力 提高邏輯推理能力和發(fā)展發(fā)散性思維能力提高邏輯推理能力和發(fā)展發(fā)散性思維能力充分提升學(xué)生觀察分析與比較概括的能力充分提升學(xué)生觀察分析與比較概括的能力 規(guī)律開放探索問題是指根據(jù)已知條件或所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律與特征，得到一般性結(jié)論的一類探索性問題.考查的問題一般包括數(shù)

16、學(xué)命題、式子、圖形等，探究的結(jié)果一般要求能運(yùn)用代數(shù)式、方程、函數(shù)等進(jìn)行描述.規(guī)律開放探究型規(guī)律開放探究型例例9.如下圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上如下圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上（該圓周長(zhǎng)為（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字上了數(shù)字0、1、2）上：先讓原點(diǎn)與圓周上）上：先讓原點(diǎn)與圓周上0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上合，再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1、2、3、4、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1、2、0、1、所所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合。這樣，正

17、半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合。這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.（1）圓周上數(shù)字）圓周上數(shù)字a 與數(shù)軸上的數(shù)與數(shù)軸上的數(shù)5對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)，則a_；（2）數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周）數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n圈（圈（n為正整數(shù)）為正整數(shù)） 后，并落在圓周上數(shù)字后，并落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)是所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)是 _（用含（用含n的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）.例題賞析“特例入手特例入手,類比一般類比一般”解題策略有助于 培養(yǎng)學(xué)生的能力觀察類比歸納總結(jié)能力培養(yǎng)學(xué)生的能力觀察類比歸納總結(jié)能力提升學(xué)生從提升學(xué)生從特殊到一般思想

18、特殊到一般思想應(yīng)用的意識(shí)應(yīng)用的意識(shí)存在性開放探究型存在性開放探究型 存在性探索問題是指在某種題設(shè)條件下,判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的一類問題,探索存在性時(shí),常遵循從特殊(特殊點(diǎn)、特殊值、特殊圖形、特殊位置）到一般的規(guī)律.例例10( 例例3變式變式).已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) ： 與軸交于與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的左邊），的左邊），與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C （1）寫出）寫出A、B點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)坐標(biāo)；（2）二次函數(shù)）二次函數(shù) : 頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為P直接寫出二次函數(shù)直接寫出二次函數(shù) 與二次函數(shù)與二次函數(shù) 有關(guān)圖象的有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；兩條相同的性質(zhì)；若直線若直線 與拋物線與拋物

19、線 交于點(diǎn)交于點(diǎn)E、F，與，與 交于點(diǎn)交于點(diǎn)D、H，請(qǐng)問是否存在這樣的請(qǐng)問是否存在這樣的 值，使點(diǎn)值，使點(diǎn)D、H 恰好是恰好是EF的三等分點(diǎn)；如果存在，求出的三等分點(diǎn)；如果存在，求出 ,若若不存在不存在,說明理由說明理由243yxx1L2L1L243 (0)y kxkxkk2L8ykkk1L例題賞析“假設(shè)存在假設(shè)存在,迂回論證迂回論證”解題策略有助于 鍛煉學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性鍛煉學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力“一題多解一題多解,一題多改一題多改”教學(xué)策略有助于 培養(yǎng)學(xué)生分析問能力題和解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生分析問能力題和解決問題的能力 提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思

20、維能力提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力訓(xùn)練學(xué)生揭示各方面知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律訓(xùn)練學(xué)生揭示各方面知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律加深知識(shí)的理解和應(yīng)用并使知識(shí)融會(huì)貫通加深知識(shí)的理解和應(yīng)用并使知識(shí)融會(huì)貫通“一題多變一題多變,一題多問一題多問”利用幾何畫板進(jìn)行分類討論 分類討論問題就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照分類討論問題就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后再逐類一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后再逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于因存進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于因存在一些不確定因素、解答無法或者結(jié)論不能給予在一些不確定因素、解答無法或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們們

21、往往將問題劃分為統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們們往往將問題劃分為若干類或若干個(gè)局部問題來解決分類思想方法若干類或若干個(gè)局部問題來解決分類思想方法實(shí)質(zhì)上是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將其實(shí)質(zhì)上是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將其區(qū)分為不同的種類的思想方法，其作用是克服思區(qū)分為不同的種類的思想方法，其作用是克服思維的片面性，防止漏解要注意，在分類時(shí)，必維的片面性，防止漏解要注意，在分類時(shí)，必須按同一標(biāo)準(zhǔn)分類，做到不重不漏須按同一標(biāo)準(zhǔn)分類，做到不重不漏例例11.如圖如圖1，在等腰梯形，在等腰梯形ABCD中，中，ADBC，E是是AB的中點(diǎn)，過的中點(diǎn)，過E點(diǎn)作點(diǎn)作EFBC交交CD于點(diǎn)于點(diǎn)FAB=4，BC=6

22、，B=60.（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)E到到BC的距離；的距離； 例題賞析（2）點(diǎn)）點(diǎn)P為線段為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作作PMEF交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)M，過，過M作作MNAB交折線交折線ADC于點(diǎn)于點(diǎn)N，連結(jié)連結(jié)PN，設(shè)，設(shè)EP=x. 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)N在線段在線段AD上時(shí)（如圖上時(shí)（如圖2），），PMN的形的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長(zhǎng)；的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由；若改變，請(qǐng)說明理由；例題賞析 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)N在線段在線段DC上時(shí)（如圖上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)），是否存在點(diǎn)P，使使PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足

23、要求的足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例題賞析“合理分類，分級(jí)討論合理分類，分級(jí)討論”教學(xué)策略有助于 培養(yǎng)學(xué)生思維的完備性培養(yǎng)學(xué)生思維的完備性增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性“標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不漏不重標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不漏不重”利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析 利用利用幾何畫板幾何畫板工具把靜態(tài)的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，工具把靜態(tài)的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，抽象的知識(shí)具體化，改變了教師一貫的解決例題抽象的知識(shí)具體化，改變了教師一貫的解決例題教學(xué)方法，讓學(xué)生親身體驗(yàn)，自主探索，在學(xué)中教學(xué)方法，讓學(xué)生親身體驗(yàn)，自主探索，在學(xué)中做，在做中學(xué)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)培養(yǎng)做，在做中學(xué)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)

24、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索研究、動(dòng)手操作實(shí)踐的能力，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索研究、動(dòng)手操作實(shí)踐的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力， 提升了思維活動(dòng)的層提升了思維活動(dòng)的層次，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素質(zhì)次，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素質(zhì).觸類旁通，學(xué)習(xí)觸類旁通，學(xué)習(xí)方法的遷移也將有助于其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而整方法的遷移也將有助于其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而整體地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力體地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.例例12.如圖，已知正三角形如圖，已知正三角形ABC的高為的高為9厘米，厘米， O的半徑為的半徑為r厘米，當(dāng)圓心厘米，當(dāng)圓心O從從點(diǎn)點(diǎn)A出發(fā)，沿線路出發(fā)，沿線路ABBCCA運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)回到點(diǎn)A時(shí)，時(shí)， O

25、隨著點(diǎn)隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而停止的運(yùn)動(dòng)而停止.（1）當(dāng)）當(dāng)r=9厘米時(shí)，厘米時(shí)， O在移動(dòng)過程中在移動(dòng)過程中與與ABC三邊有幾個(gè)切點(diǎn)？三邊有幾個(gè)切點(diǎn)？（2）當(dāng)）當(dāng)r=2厘米時(shí)，厘米時(shí)， O在移動(dòng)過程中與在移動(dòng)過程中與ABC三邊三邊有幾個(gè)切點(diǎn)？有幾個(gè)切點(diǎn)？（3）猜想不同情況下）猜想不同情況下,r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù)的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù).例題賞析例題賞析(動(dòng)點(diǎn)類動(dòng)點(diǎn)類) 例例13.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)P是菱形是菱形ABCD的對(duì)角線的對(duì)角線AC上的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P垂直于垂直于AC的直線交菱形的直線交菱形ABCD的邊于的邊于M、N兩點(diǎn)設(shè)兩點(diǎn)設(shè)AC2，BD1，APx，AMN的面積為的

26、面積為y，則，則y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)的函數(shù)圖象大致形狀是圖象大致形狀是【 】例題賞析例題賞析( (動(dòng)線類動(dòng)線類) ) 例例14. 如圖，在如圖，在RtPMN中，中，P=900，PM=PN，MN=8，矩形，矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為的長(zhǎng)和寬分別為8和和2，C點(diǎn)點(diǎn)和和M點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，BC和和MN在一條直線上令在一條直線上令RtPMN不不動(dòng)，矩形動(dòng)，矩形ABCD沿沿MN所在直線向右以每秒所在直線向右以每秒1的速度的速度移動(dòng)，直到移動(dòng)，直到C點(diǎn)與點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止設(shè)移動(dòng)點(diǎn)重合為止設(shè)移動(dòng)x秒后，矩形秒后，矩形ABCD與與PMN重疊部分的面積為重疊部分的面積為y2求求y與與x之間之間的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式

27、例題賞析例題賞析(動(dòng)圖形類動(dòng)圖形類) 例例15.已知，紙片已知，紙片 的半徑為，如圖，沿弦的半徑為，如圖，沿弦AB折疊操作折疊操作 （1）如圖）如圖2，當(dāng)折疊后的，當(dāng)折疊后的 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O時(shí)，求時(shí)，求 的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； （2）如圖）如圖3，當(dāng)弦，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求折疊后的時(shí)，求折疊后的 所在圓所在圓的圓心的圓心O到弦到弦AB的距離；的距離； （3）在圖中，再將紙片）在圖中，再將紙片 沿弦沿弦CD折疊操作折疊操作 如圖如圖4，當(dāng)，當(dāng)ABCD時(shí)，折疊后的時(shí)，折疊后的 與與 所在所在圓分別運(yùn)動(dòng)為外切于點(diǎn)圓分別運(yùn)動(dòng)為外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦到弦AB、CD的距離之和為的距離之和為d，求，求d的

28、值；的值；ABABABABCD例題賞析(折圖形類)如圖如圖5，當(dāng)，當(dāng)AB與與CD不平行時(shí)，折疊后的不平行時(shí)，折疊后的 與與 所在圓外切于點(diǎn)所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)為為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)為為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形的形狀，并證明你的的中點(diǎn)，試探究四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論結(jié)論CDAB圖1圖2圖2圖3圖4圖5例題賞析(折圖形類)“關(guān)注全程關(guān)注全程,落足臨界落足臨界”教學(xué)策略有助于 培養(yǎng)學(xué)生完整分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生完整分析問題和解決問題的能力增強(qiáng)學(xué)生以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來觀察事物的能力增強(qiáng)學(xué)生以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來觀察事物的能力“化動(dòng)為靜化動(dòng)為靜,以靜制動(dòng)以靜制動(dòng)”加強(qiáng)學(xué)生從加強(qiáng)學(xué)生從特

29、殊到一般的思想方法特殊到一般的思想方法的認(rèn)識(shí)的認(rèn)識(shí)例例16.如圖如圖1，正方形，正方形ABCD和正三角形和正三角形EFG的邊的邊長(zhǎng)都為長(zhǎng)都為1，點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在線段分別在線段AB、AD上滑動(dòng)，上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)G到到CD的距離為的距離為x，到，到BC的距離為的距離為y，記，記HEF為為 （當(dāng)點(diǎn)（當(dāng)點(diǎn)E、F分別與分別與B、A重合時(shí)，重合時(shí)，記記 =0） 用幾何畫板追蹤點(diǎn)的軌跡0153045607590 xy0.0300.290.290.130.03（1）當(dāng)）當(dāng)=0時(shí)（如圖時(shí)（如圖2所示），求所示），求x，y的值（結(jié)果保留根號(hào)）；的值（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）當(dāng)）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)為何值時(shí)，點(diǎn)G落在對(duì)角線落在對(duì)角線AC上？請(qǐng)說出你的理由，并求出此時(shí)上？請(qǐng)說出你的理由，并求出此時(shí)x，y的值（結(jié)果保留根號(hào)）；的值（結(jié)果保留根號(hào)）；（3）請(qǐng)你補(bǔ)充完成下表（精確到）請(qǐng)你補(bǔ)充完成下表（精確到0.01）：）： 例題賞析（4）若將）若將“點(diǎn)點(diǎn)E,F分別在線段分別在線段AB,AD上滑動(dòng)上滑動(dòng)”改為改為“點(diǎn)點(diǎn)E,F分別在正方形分別在正方形ABCD邊上滑動(dòng)邊上滑動(dòng)”當(dāng)滑動(dòng)當(dāng)滑動(dòng)一周時(shí)，請(qǐng)使用（一