微元法高考物理專題復(fù)習(xí)建議

1、“微元法”高考物理專題復(fù)習(xí)建議劉小兵南京市金陵中學(xué)河西分校（江蘇 南京210019） 【摘要】在研究物理問題時，從對事物的極小部分(微元)分析入手，達到解決事物整體的方法，稱為“微元法”。這是物理研究中非常重要的方法，在高考中屢屢出現(xiàn)，從應(yīng)用來看，可以分為選取微元作為研究對象、微元求導(dǎo)和微元求和等三個方面。本文歸納總結(jié)了“微元法”解題步驟，力圖通過最簡單的例子和規(guī)范的解題過程引領(lǐng)示范，并且運用各種圖象讓物理情景形象生動地呈現(xiàn)，易于學(xué)生理解和提升。【關(guān)鍵詞】微元法 變力 變加速度 化變?yōu)楹?化曲為直在處理和研究物理問題時，將研究對象或物理過程進行無限細分（化變?yōu)楹恪⒒鸀橹保?，從其中抽取某一微?/p>

2、單元（研究對象或研究過程）進行研究，從而找到被研究對象或被研究過程遵循的物理規(guī)律，這種方法稱為“微元法”。從對事物的極小部分(微元)分析入手，達到解決事物整體的方法。 這是一種深刻的思維方法，化變?yōu)楹?，化曲為直，通過分割逼近，獲得“微元”，從而可以運用中學(xué)階段的解題手段，再累加求和（或求商求導(dǎo)），最終達到了求解整體的目的。人教版課本中多處涉及到了“微元思想”，由于散落在各冊教材中，學(xué)生印象比較模糊，因此在總復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí)時以“微型例題”形式總結(jié)。如推導(dǎo)v-t圖的面積表示位移、研究重力做功、推導(dǎo)向心加速度，等等，都用到了“微元法”。【微型例題1】試用“微元法”推導(dǎo)說明v-t的面積表示位移。圖1解析

3、：Step1 在勻速直線運動的v-t圖象中，如圖1， 圖象與時間軸所圍的面積表示位移x=vt.可以把整個勻變速直線運動的運動過程分成幾個比較小的時間段，把每一小段時間內(nèi)的勻變速運動粗略地看成是勻速直線運動(化變?yōu)楹?。然后把運動物體在每一個時間間隔內(nèi)的位移（即小矩形的面積）都表示出來，最后求和，就得到了勻變速直線運動的總位移。Step2 從圖2看出，矩形面積之和小于勻變速直線運動在該段時間內(nèi)的位移。Step3 選取的時間段t越小，各勻速直線運動位移和與勻變速直線運動位移之間的差值就越小，如圖3。當(dāng)t0時，各矩形面積之和趨近于v-t圖象的面積。Step4 如果把整個運動過程劃分得非常非常細（微元

4、法），很多很小矩形的面積之和就能準(zhǔn)確代表物體的位移了，位移的大小等于如圖4所示的梯形的面積.圖2圖4圖3圖5【微型例題2】已知物體以O(shè)為圓心，R為半徑，做角速度為的勻速圓周運動，求物體的向心加速度的大小解析：如圖5所示，物體的運動速度由變到，速度變化為.（矢量差）在很小時，有的方向指向圓心，并且有，(在矢量三角形中，和大小相等，弦長視為弧長，扇形的弧長)（微元法）又有，圖6故 【微型例題3】將一個質(zhì)量為的物體，通過圖中曲線路徑由A點到C點（A、C兩點離地高度分別為、）試求重力對物體所做的功是多少？解析：如圖6所示，把路徑分成許多小段，每一段可以看作一個小斜面（設(shè)斜面長為，傾角為，重力做功），各

5、個斜面的高度為、從A 到C 重力對物體所做的功等于物體在通過各個小斜面時重力做功的和，即亦即可見，課本中的“微元法”“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲”，并且不特別指明方法“微元法”。我們在總復(fù)習(xí)時應(yīng)該加以提煉和歸納，便于學(xué)生備考。本文分為三種題型：題型一、以“微元”為研究對象；題型二、微元求導(dǎo)；題型三、微元求和。題型一、以“微元”為研究對象1、選取質(zhì)量元m圖7一旦我們遇到“質(zhì)量元”的時候規(guī)律都是相同的，我們可以將其分解為無數(shù)個微小的“質(zhì)量元”，我們選取其中之一作為研究對象，寫出表達式就能使得問題迎刃而解?！纠?】加速啟動的火車車廂內(nèi)的一桶水,若已知水面與水平面之間的夾角為，則火車加速行駛的加速度為多大

6、？FNmgsin圖9解析：我們需要從水面上提取所需的“水元”，其質(zhì)量為m，其受力情況如圖所示，合力F合=mg, 根據(jù)牛頓第二定律可知,則a=g ,方向與啟動方向相同。圖8【例2】證明，如圖8，建筑工地上的黃砂，無論怎樣堆，其錐角保持不變。假如圓錐的底周長為，高為，求黃砂之間的動摩擦因數(shù)。（假設(shè)最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等）解析：如圖9所示，圓錐形黃砂堆傾角為，取砂粒子質(zhì)量元m 進行受力分析,m沿堆面不向下滑動，則處于平衡狀態(tài)且達到最大靜摩擦力，所以mgsin = mgcos ，即=tan 。所以.2、選取時間元圖10【例3】高壓采煤水槍出口的橫截面積為S，水的射速為v，水射到煤層上后速度變?yōu)榱?/p>

7、，若水的密度為，試求水對煤的沖擊力解析：如圖10所示，取很小的一小段時間內(nèi)沖到墻上的一小段水柱為研究對象，設(shè)其質(zhì)量為，則。根據(jù)牛頓第二定律，解得。3、選取電量元圖11【例4】 如圖11所示，一個均勻的帶電圓環(huán)，帶電量為Q，半徑為R，圓心為O 點 通過O 點作垂直于圓環(huán)面的直線，在此線上取一點P，P到O的距離為R，則帶電圓環(huán)在P點處產(chǎn)生的電場強度多大?方向怎樣? 解析：只能適用于點電荷產(chǎn)生的電場，無法直接求解。故在圓環(huán)直徑的兩端對稱地取兩段微元研究，設(shè)其電量均為q，它們在P 點處的場強的合場強；求和：；由于，故.其方向沿OP 連線向外。4、選取圓弧元圖12【例5】如圖12所示，有一臺小型石磨，某

8、人用大小恒為F，方向始終與磨桿垂直的力推磨。假設(shè)施力點到固定轉(zhuǎn)軸的距離為L，在使磨轉(zhuǎn)動一周的過程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不斷變化，因此是一個變力做功問題，如果將推力作用點的軌跡分成無限多小段，每一段曲線近似為直線，力F的方向也近似與這一小段的軌跡重合，則每小段均可看作恒力做功過程。運用恒力作功的計算式求出各小段推力做的功，則轉(zhuǎn)動一周過程中推力做的功.題型二、微元求導(dǎo)物理學(xué)中表示變化快慢的物理量瞬時值的定義式都是根據(jù)“微元求導(dǎo)（求商）”來定義的。如，都是運用了當(dāng)時，微元求商（即求導(dǎo)）的極限思想。圖13【例6】（2012年江蘇高考）一只皮球豎直向上拋出，皮球運動時受到空氣阻力的大小與

9、速度的大小成正比下列描繪將皮球在上升過程中加速度大小a與時間t關(guān)系的圖象，可能正確的是（ ）解析：，根據(jù)，對上升過程有，即，隨著時間推移，v減小，a減小，如何減小呢？對求導(dǎo)，可見圖的切線斜率的絕對值減小，本題答案選C?！纠?】 P 、Q 是某電場中一條電場線上的兩點, 一點電荷僅在電場力作用下, 沿電場線從P 點運動到Q 點, 經(jīng)過此兩點時速度大小分別為和 , 其速度v 隨位移x 變化的圖象如圖14所示, 請比較P 、Q 兩點電場強度的大小.圖14解析：在圖上作P、Q兩點的曲線切線，其斜率的絕對值分別為、，顯然有，即.由于，兩點的加速度分別為，圖中，所以.電荷只受電場力，故.題型三、微元求和對

10、于變力作用的物理過程，有時用能量無法求解。此時可以考慮用“微元法求和”。其基本思路是：Step1 確定研究對象，寫出瞬時表達式；Step2 取一小段時間（時間極短，加速度、速度都來不及變）；Step3 換元，使之具有“平權(quán)性”，才能正確合理求和；Step4 對各小段求和；Step5 寫出解答，得到結(jié)果?！纠?】一質(zhì)量為m 的雨滴，從距地面h 高處由靜止開始下落，假設(shè)雨滴在運動中受到的空氣阻力跟速度的一次方成正比，即有f = kv( k為已知常數(shù)) ，已知雨滴落地前已開始做勻速運動，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間 試問：（1） 雨滴的運動時間；（2） 定性畫出圖、圖。解析：（1）（Step1 寫瞬時式），

11、根據(jù)有，即，從而 ；（Step2 取微元）取一小段時間，；（Step3 換元）由于很小，所以；（Step4 求和）亦即（Step5 寫結(jié)果）又有解得.（2）下落中，v先增大后勻速，由可知，先減小后為0，v-t圖如圖15。ta0圖16tv0圖15又對求導(dǎo)，得到，圖的斜率絕對值減小，畫出圖如圖16。圖17【例9】如圖所示，一水平放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌上放有一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌左端連有一阻值為 的電阻，桿與導(dǎo)軌的電阻均忽略不計，整個裝置處于磁感應(yīng)強度為B 的勻強磁場中 現(xiàn)給金屬桿一個向右的初速度v0，然后任其向右運動，導(dǎo)軌足夠長，試求:( 1) 證明金屬桿的瞬時速度與其在導(dǎo)軌上的滑

12、行位移成線性關(guān)系；( 2) 金屬桿在導(dǎo)軌上向右運動的最大位移(3)定性畫出圖、圖。解析：（1）（Step1 寫瞬時式）據(jù)有，亦即則；（Step2 取微元）取一小段時間，故（Step3 換元）；（Step4 求和），亦即（為了書寫方便，可以等效寫成，等效為逆向加速運動）；（Step5 寫結(jié)果）解得.（2）時位移最大。.va0圖19xv0V0圖18（3）本題中的圖、圖與【例8】中的第（2）問的答案一致。由，形如直線方程，圖如圖18。由畫出圖如圖19。圖19【例10】 如圖20所示，一有界勻強磁場區(qū)域的寬度為L，方向豎直向下在光滑的水平桌面上，現(xiàn)有一邊長為 ( L) 的正方形閉合金屬線框以垂直磁場邊

13、界的初速度v0 滑入磁場，已知線框全部進入磁場中時的速度為v1，穿出磁場后的速度為v2.(1)試證明 (2)定性畫出圖、圖、圖。解析：（1）（Step1 寫瞬時式）據(jù)有，亦即，所以 ；（Step2 取微元）取一小段時間，；（Step3 換元）；（Step4 求和）；亦即；（Step5 寫結(jié)果）進場：；出場：，兩式右邊相同，故左邊亦相等。解得.（2）圖、圖、圖如圖21至圖23所示。xv0圖22tv0圖21ta0圖23運用微元法，能夠深入研究物體的運動性質(zhì)，甚至探究未知的運動。圖24【例11】（2013年全國高考卷I）如圖24，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為，間距為導(dǎo)軌上端接有一平行板電容

14、器，電容為導(dǎo)軌處于勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為，方向垂直于導(dǎo)軌平面在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為 的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為忽略所有電阻讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：（）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；（）金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系解析：（1），所以.（2）（Step1 寫瞬時式）根據(jù)，所以；(Step2 取微元)取一小段時間，；(Step3 換元)；(Step4 求和)；即，再將代入，(Step5 寫結(jié)果)得到.上式形如，說明導(dǎo)體棒做勻加速直線運動，加速度。 在微元求和中，常常用到、，等等，值得注意。參考文獻：1陳鋒.窺一斑而見全豹-微元法在中學(xué)物理中的應(yīng)用J.物理