托卡馬克物理基礎(chǔ)-2[1]

1、II 磁約束聚變裝置和反應(yīng)堆的約束原理聚變反應(yīng)必須在高溫下才能進(jìn)行。按粒子動(dòng)能與溫度的轉(zhuǎn)換關(guān)系1eV=11600 K. 通常我們簡單地將 1keV 與1千萬度互相對應(yīng)。氘氚聚變要在10keV以上才能充分進(jìn)行，對應(yīng)于1億度的高溫。物質(zhì)在幾千度溫度下已經(jīng)氣化并在進(jìn)一步的高溫下形成等離子體-物質(zhì)的第四態(tài)。聚變堆堆心是幾億度的等離子體。就算是實(shí)驗(yàn)室中的等離子體，溫度也在幾百萬度以上。這些等離子體必須放在高真空容器中。通常的材料最高能經(jīng)受3000 K就很不錯(cuò)了。顯然，不可能用普通的材料來包圍聚變堆中的等離子體。最簡單的想法是利用電磁場。利用電場是最簡單的，在歷史上也有人試驗(yàn)過?，F(xiàn)在也有人繼續(xù)研究用電場約

2、束等離子體。這對低溫等離子體是可以的。但對高溫等離子體不行。主要是因?yàn)?，等離子體中的離子和電子在電場作用下沿相反的方向運(yùn)動(dòng)，于是外加電場很快就被極化的等離子體屏蔽了。另外，也無法設(shè)計(jì)一種三維的封閉電場位形。用磁場約束等離子體則有完全不同的圖像。帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)分成兩部分，在垂直于磁力線方向做Larmor運(yùn)動(dòng)；沿磁力線方向則可以自由運(yùn)動(dòng)（如果磁場是均勻的）。因此，除非受到其他作用，帶電粒子不會(huì)離開磁力線。所以，磁場可以將高溫等離子體與周圍物質(zhì)（真空室）隔開。磁場的這種熱絕緣本領(lǐng)與磁場的強(qiáng)度有關(guān)，也與等離子體的參數(shù)有關(guān)。進(jìn)一步的分析表明，更與磁場位形的特性有關(guān)。II.1 磁約束位形 (mag

3、netic configuration)磁場是一類無源矢量場，磁力線既不能產(chǎn)生，也不能消除。磁場一定與電流有關(guān)。對穩(wěn)態(tài)磁場，描述磁場的兩個(gè)電動(dòng)力學(xué)方程是Ampere定律和無散度矢量關(guān)系：，（在等離子體物理中，不區(qū)分磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場的差別，即將等離子體當(dāng)作真空介質(zhì)處理。所有的電流都看成真空電流。） 磁約束聚變研究近60年的歷史表明，現(xiàn)有技術(shù)進(jìn)展只能確保環(huán)型磁約束位形有可能建造聚變反應(yīng)堆。我們主要介紹環(huán)形位形?！拔恍巍币辉~代表這樣一個(gè)總體概念：磁力線的幾何形態(tài)，產(chǎn)生磁場的電流特征，等離子體的宏觀特征，等等。II.1.1 環(huán)形位形的簡單模型，磁力線的旋轉(zhuǎn)變換 (rotational transfor

4、m)考慮一根無限長直線電流和以此直線為中心的一個(gè)圓圈電流產(chǎn)生的組合磁場（Tamm位形）。直線電流產(chǎn)生的磁場很容易表示：， 圓圈電流產(chǎn)生的磁場也有嚴(yán)格的解析表示式，但包含橢圓積分。現(xiàn)在我們考慮離這個(gè)電流很近地方的磁場，可以近似地將它看成另一個(gè)直線電流的磁場，用局部極坐標(biāo)系：在環(huán)形幾何中，將沿小回路方向（the short way）稱為“極向”(poloidal),沿大回路方向(the long way)為環(huán)向（Toroidal）。如果我們將環(huán)剪斷并拉成直線，那么，合成磁場就是簡單的螺旋線?，F(xiàn)在，環(huán)形螺旋線將沿一個(gè)環(huán)面（近似為圓環(huán)面 ）不斷轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)快慢可以用稱磁力線的旋轉(zhuǎn)變換（率）。現(xiàn)在發(fā)生一個(gè)

5、有趣的現(xiàn)象：當(dāng)磁力線不斷繞環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從的一個(gè)截面看，磁力線每次與圓環(huán)面相交與不同點(diǎn)，由無限多個(gè)點(diǎn)組成的面稱為“磁面”(magnetic surface),現(xiàn)在這個(gè)磁面就是近似環(huán)面 。在托卡馬克位形中，圓環(huán)電流是由等離子體產(chǎn)生的，而且有一定的分布剖面。但基本上磁面和磁力線的旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)與這個(gè)簡單的Tamm位形沒有本質(zhì)差別。但托卡馬克中不用旋轉(zhuǎn)變換這個(gè)量，而用它的倒數(shù)，由于磁流體穩(wěn)定性方面的原因，這個(gè)量稱為安全因子這個(gè)量越大，等離子體的穩(wěn)定性越好；這個(gè)量與等離子體的總環(huán)向電流的大小成反比。等離子體的一類宏觀不穩(wěn)定性正是由環(huán)向電流引起的。稱“扭曲模”不穩(wěn)定性 (Kink mode)指出一個(gè)重要的性質(zhì)

6、：對于環(huán)形軸對稱系統(tǒng)，磁面實(shí)際只與極向磁場有關(guān)，而與環(huán)向磁場無關(guān)。我們假定是磁面函數(shù)，就是說磁力線與面處處相切，即滿足因?yàn)檩S對稱性，第一項(xiàng)為零，于是 ，即只與極向場有關(guān)。容易證明，這個(gè)極向磁面函數(shù)實(shí)際上可以取為極向磁通函數(shù)，定義為以上只是特例。對于一般的拓?fù)洵h(huán)形幾何，如果類似地定義“長路”與“短路”并引進(jìn)環(huán)向和極向角坐標(biāo)和，則極向磁通函數(shù)為而環(huán)向磁通函數(shù)可以一般地定義為在一個(gè)磁面上磁力線的平均旋轉(zhuǎn)變換為II.1.2 由真空室外部線圈產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)變換：仿星器位形(Stellarator) 有幾種方法可以不在等離子體內(nèi)部通電流來產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)變換。但可以證明，這種位形一定不具有軸對稱性。最早產(chǎn)生磁力線旋轉(zhuǎn)變

7、換的方法是將真空室扭成空間8字形。外部僅有螺線圈。這是磁約束聚變的先驅(qū)，美國Princeton大學(xué)的天體物理學(xué)家Lyman Spitser發(fā)明的?？梢杂每臻g曲線坐標(biāo)系來分析這種位形。這里我們簡單介紹由外部大螺旋繞組產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)變換的方法。這個(gè)方法是后來很多仿星器裝置設(shè)置磁場線圈的基本方法。在忽略環(huán)形效應(yīng)時(shí)，直園柱形真空室外部電流產(chǎn)生的螺旋對稱磁場可以用磁標(biāo)勢來表示：【】在無電流區(qū)域滿足Laplace方程，因此其解可以一般地寫成我們簡單介紹一些性質(zhì)：如果外部電流是由l對正負(fù)相間的螺旋繞組組成的，則這個(gè)磁場具有平均的旋轉(zhuǎn)變換率，它正比于，隨半徑變化。當(dāng)，旋轉(zhuǎn)變換具有磁剪切。 另一個(gè)重要性質(zhì)是磁面具有分

8、界面。內(nèi)部的磁力線是閉合的，而外部的磁力線不閉合。這一特性符合磁約束基本反應(yīng)堆的一個(gè)重要要求：即將等離子體內(nèi)部產(chǎn)生的熱能傳送到外部時(shí)，分界面內(nèi)外的傳送方法有根本差別。在歷史上，仿星器裝置的研究先于托卡馬克，但后來遇到困難而被托卡馬克領(lǐng)先?，F(xiàn)在，由于仿星器裝置不需內(nèi)部電流，因而可以穩(wěn)態(tài)運(yùn)行，而原先在約束和加熱的困難都已可以克服，其研究又開始大規(guī)模開展起來。在磁約束聚變中，是僅次于托卡馬克的一個(gè)方向。而且很多人相信它優(yōu)于托卡馬克。II.2 托卡馬克平衡位形的基本特性II.2.1 靜磁平衡近似及其性質(zhì)無論是實(shí)驗(yàn)裝置，還是未來的反應(yīng)堆，等離子體一般不會(huì)處在恒定不變的狀態(tài)。因?yàn)樗械奈锢砹慷荚诓粩嘧兓?/p>

9、定態(tài)只是一種近似。對不同的物理問題，應(yīng)存在多個(gè)時(shí)標(biāo)。最快的時(shí)標(biāo)是磁流體不穩(wěn)定性的發(fā)展。其中又有最危險(xiǎn)的不穩(wěn)定性。變化時(shí)間尺度是阿爾芬時(shí)間，a是小半徑，是阿爾芬速度，對典型的托卡馬克參數(shù)，這個(gè)時(shí)標(biāo)尺度約為,因此從磁約束聚變反應(yīng)堆的角度，這類運(yùn)動(dòng)必須被穩(wěn)定化，否則我們也無法建造聚變反應(yīng)堆。但使等離子體對所有的微擾都穩(wěn)定化是不可能的，可以允許的磁流體不穩(wěn)定性是一些不會(huì)破壞整體約束的模式。如電阻性不穩(wěn)定性，這種不穩(wěn)定性被限制在局部空間區(qū)域內(nèi)，其發(fā)展速率也小于理想磁流體不穩(wěn)定性。另一個(gè)時(shí)標(biāo)是擴(kuò)散時(shí)標(biāo)，物理量的變化是擴(kuò)散過程引起的，等離子體參數(shù)的變化較慢。特征時(shí)標(biāo)是粒子約束時(shí)間和能量約束時(shí)間，由反常輸運(yùn)過

10、程確定。等離子體中還會(huì)存在一些宏觀運(yùn)動(dòng)，如環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)和極向轉(zhuǎn)動(dòng)。這些運(yùn)動(dòng)對現(xiàn)代托卡馬克物理非常重要，但在很多情況下，這些運(yùn)動(dòng)速度比阿爾芬速度小很多，甚至比聲速度也小很多，即 （是聲速）第一個(gè)比值有時(shí)稱磁馬赫數(shù)，第二個(gè)稱馬赫數(shù)。在這樣的條件下，我們可以在一級近似下設(shè)等離子體是靜止的，即宏觀速度為零。再假定等離子體的壓強(qiáng)我為標(biāo)量，于是磁流體運(yùn)動(dòng)方程 簡化為 (2-1-1)注意其中的電流密度和總磁場包括等離子體內(nèi)部產(chǎn)生的電流和磁場，即自恰電流和自恰磁場。加上麥?zhǔn)戏匠?（安倍定律） (2-1-2) (2-1-3)這三個(gè)方程組成描述托卡馬克和其他軸對稱環(huán)形平衡位形的基本方程組。它們完整地描述這類平衡條件下

11、對給定的外部磁場，等離子體內(nèi)部壓強(qiáng)剖面和極向磁通面的結(jié)構(gòu)。是托卡馬克物理研究的出發(fā)點(diǎn)。由標(biāo)壓強(qiáng)平衡方程可以得出一些具有獨(dú)特物理特征的一系列基本性質(zhì)：1. 平衡磁面必然是等壓面：， 所以 ；2. 電流線完全位于磁面上，既不進(jìn)入，也不逸出： 或3. 電流線必須閉合： （電流連續(xù)性條件）對此多做一些討論。由壓強(qiáng)平衡方程，可以得到等離子體中垂直于磁力線方向的電流密度為 (2-1-4)這個(gè)電流又稱“反磁”電流。因?yàn)榈入x子體的電子或離子的Larmor運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁矩總是“反磁”性的，所以等離子體總體是反磁性的?，F(xiàn)在指出，在上面的平衡方程中，平行于磁力線方向的電流密度是不起作用的，我們無法從上面的方程知道平行

12、電流是如何產(chǎn)生的。但平行電流由確實(shí)對平衡位形的結(jié)構(gòu)有根本性影響（通過安倍定律）。但由電流連續(xù)性條件，可以知道平行電流又不是任意的，必須滿足一定的約束，令 (2-1-5)由電流連續(xù)性條件，得到 (2-1-6)一般稱 形式的方程為磁微分方程。這種方程不是一定有唯一解的。存在唯一的有物理意義解的充分和必要條件是 。代入具體的電流表示式可發(fā)現(xiàn)，垂直電流的散度不為零代表電荷分離。因此這個(gè)條件有非常清晰的物理含義，即對磁面平均得到的總電荷分離率為零。因此電場不會(huì)無限地增大?？梢宰C明，這個(gè)條件與環(huán)形位形中磁力線必須具有一定的旋轉(zhuǎn)變換是一致的。II.2.2 Grad-Shafranov方程 重新將三個(gè)方程寫在

13、下面： (2-2-1) (2-2-2) (2-2-3)引入圓柱坐標(biāo)系，軸對稱性。磁場可以用兩個(gè)流函數(shù)來描述： (2-2-4)這里 ， 是環(huán)向磁場；極向磁場 ， 。用(2-2-4)表示的磁場自動(dòng)滿足散度為零條件。顯然，代表一個(gè)環(huán)形磁面，因?yàn)?。我們特別感興趣的一類磁面結(jié)構(gòu)是，所有磁面互相套起（不相交），最中心的磁面退化為一條閉合曲線-“磁軸”?，F(xiàn)在將(2-2-4)代入(2-2-2),利用一些矢量運(yùn)算恒等式，得到 （2-2-5）對比極向磁場的表示式可知，極向電流因此函數(shù)F代表極向電流通量，而且是磁面函數(shù) 這里積分區(qū)域由磁軸和磁面說任意一條閉合曲線組成。對函數(shù)F的主要貢獻(xiàn)來自外部電流產(chǎn)生的環(huán)向磁場，但

14、等離子體的自恰磁場也有貢獻(xiàn)，主要表現(xiàn)在其一階導(dǎo)數(shù)上?！疽姾竺娴挠懻摗坑?2-2-5) 的環(huán)向分量可以得到另一個(gè)方程 （2-2-6）這里出現(xiàn)一個(gè)二階橢圓型微分算子 L，它與電動(dòng)力學(xué)中討論過的環(huán)形電流產(chǎn)生的磁場有關(guān)。例如對一個(gè)位于處的無限細(xì)的電流環(huán)，方程其解(Green函數(shù))是比較熟悉的： (2-2-7)這是很有用的基礎(chǔ)性表示式，因?yàn)樗型獠拷o定的極向場線圈（其中電流方向沿環(huán)向）產(chǎn)生的磁場都可以通過對Green函數(shù)的積分來嚴(yán)格表示。 我們可以把托卡馬克等離子體的總極向磁通函數(shù)分成為外部電流產(chǎn)生的磁通和等離子體內(nèi)部電流產(chǎn)生的磁通之和：，其中外部電流產(chǎn)生的磁通可以直接由外部已給定的極向場電流通過Gre

15、en函數(shù)的積分給出： (2-2-8)這里Ij, Sj 分別為第j個(gè)線圈的電流和截面積。等離子體中的環(huán)向電流密度剖面與壓強(qiáng)剖面和極向電流通量函數(shù)的剖面有確定的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系可以從靜平衡條件(2-2-1)得出，例如寫出這個(gè)方程的R-分量：由 ，代入后得到 (2-2-9)(2-2-6)與(2-2-9)結(jié)合起來，得出最后的結(jié)果： (2-2-10)這是著名的Grad-Shafranov方程。一方面，它聯(lián)系了極向磁通函數(shù)與等離子體壓強(qiáng)和極向電流通量間的關(guān)系；另一方面，它也可以成為求解極向磁通的方法，即如果預(yù)先設(shè)定等離子體壓強(qiáng)及極向電流函數(shù)與極向磁通函數(shù)的一種關(guān)系，即設(shè)函數(shù)為已知函數(shù)，則Grad-Shafr

16、anov方程變成關(guān)于二階非線性橢圓型偏微分方程。這里非線性是兩重因素引起的。第一，函數(shù)可以是的任意函數(shù)，因而一般是非線性的；其次，邊界條件是非線性的，因?yàn)檫吔鐥l件必須是 ，這里的邊界極向磁通值是外部環(huán)向電流和內(nèi)部等離子體電流的磁通之和，在解求出之前并不知道。即使設(shè)定其為一個(gè)給定值（例如）， 但仍然不知道邊界在那里。這稱為“自由邊界”問題；在很多分析中，可以設(shè)定邊界為一定形狀（對應(yīng)于給定一個(gè)環(huán)形的導(dǎo)體壁），這時(shí)自由邊界的困難排除了，但一般環(huán)向電流剖面函數(shù)還是非線性的，仍要求解非線性偏微分方程?！救绻曳巾?xiàng)為僅為空間函數(shù)，則方程化為一般的線性橢圓型偏微分方程】現(xiàn)在常常應(yīng)用于托卡馬克位形設(shè)計(jì)或分析的

17、一個(gè)方法是：設(shè)定 (2-2-10)對預(yù)先給定的系數(shù)，假定可以求出滿足邊界條件的解，倒回來可以由解求出壓強(qiáng)剖面和函數(shù)F。調(diào)節(jié)這組系數(shù)，就可以得到很多類型的位形。即使這樣，求解仍需采用迭代方法。這類求解平衡問題的數(shù)值編碼已經(jīng)有很多，基本每個(gè)主要的磁約束聚變研究實(shí)驗(yàn)室都有自己的編碼。而且對(2-2-10)中函數(shù)的形式也推廣到更為非線性的情況下。II.2.3 如何驅(qū)動(dòng)等離子體的環(huán)向電流 以上假定的方法是一種數(shù)學(xué)方面的方法，雖然在一定程度上也可以用于設(shè)計(jì)位形或分析問題（如穩(wěn)定性，輸運(yùn)），但對確定環(huán)向電流方面仍有很大的缺點(diǎn)。尤其是在堆芯等離子體問題中，由于等離子體環(huán)向電流中有一部分是等離子體自己產(chǎn)生的，上

18、面的方法會(huì)與實(shí)際電流剖面不匹配。在目前已發(fā)展的理論框架下，等離子體內(nèi)部自身產(chǎn)生的環(huán)向電流密度剖面不能按空間點(diǎn)確定，只能按磁面平均的形式確定。首先我們把平行電流密度的形式確定下來。為此，要利用環(huán)向電流密度的公式(2-2-9)好垂直電流密度的公式（2-1-4）以及兩者直接的關(guān)系式：，可以得到 （2-2-11）定義對磁面的平均 ，我們可以將環(huán)向電流密度與電流驅(qū)動(dòng)機(jī)制聯(lián)系起來 (2-2-12)這個(gè)方程將環(huán)向電流與驅(qū)動(dòng)模式聯(lián)系起來。這里出現(xiàn)一個(gè)與平行電流有關(guān)的磁面平均值 ，目前的理論模型沒有涉及這個(gè)量的產(chǎn)生機(jī)制。在實(shí)際問題中，這個(gè)量應(yīng)當(dāng)與具體的電流驅(qū)動(dòng)機(jī)制有關(guān)。已經(jīng)知道的驅(qū)動(dòng)方法有：歐姆驅(qū)動(dòng)，束驅(qū)動(dòng)，波

19、驅(qū)動(dòng)及自舉電流(Bootstrap current): (2-2-13)此外，在(2-2-12)中還原一個(gè)與壓強(qiáng)梯度有關(guān)的附加項(xiàng)，即，這是由于電荷分類產(chǎn)生的剩余電場對環(huán)向電流的調(diào)整，文獻(xiàn)上稱為Pfirsh-Schluter電流，或簡稱P-S電流。同樣，對其他驅(qū)動(dòng)電流，自恰電場也會(huì)進(jìn)行一定的調(diào)整，反映在的因子中?，F(xiàn)在我們用歐姆驅(qū)動(dòng)為例進(jìn)行較詳細(xì)的討論。采用最簡單的Spitzer電阻率形式的歐姆定律： （2-2-14）這里出現(xiàn)的等離子體運(yùn)動(dòng)速度僅是擴(kuò)散量級的，對平衡位形的效應(yīng)可以忽略。記由歐姆變壓器產(chǎn)生的環(huán)向電場分量為，不考慮等離子體自身磁通變化產(chǎn)生的電場（等離子體總電流保持不變，電流的重新分布過

20、程很慢），則有（2-2-15）非常重要的是，環(huán)形約束系統(tǒng)中等離子體存在電荷分離，因此存在自恰靜電場： （2-2-16）這樣，（2-2-14）式的平行于磁場的分量給出 （2-2-17）引入正交磁面坐標(biāo)系，其中為極向角坐標(biāo)，將（2-2-17）式對磁面求平均以消去靜電勢函數(shù)，得到： （2-2-18）式中J為雅可比量。上式是關(guān)于歐姆驅(qū)動(dòng)的基本關(guān)系式，這里我們假定為磁面函數(shù)。為了將與歐姆驅(qū)動(dòng)聯(lián)系起來，將其表示成：，其中為壓強(qiáng)梯度引起的逆磁電流：（2-2-19）我們首先說明，由于，對應(yīng)于離子和電子的環(huán)向漂移產(chǎn)生的電荷分離，必須有平行電流來抵消這種分離：（2-2-20）這個(gè)磁微分方程的一般解的形式如下： （

21、2-2-21）此式中的常數(shù)代表由各種驅(qū)動(dòng)機(jī)制產(chǎn)生的平行電流（以及自舉電流），而第二項(xiàng)為抵消電荷分離由等離子體中自恰電場產(chǎn)生的電流，即Pfirsch-Schluter電流。II.2.4 托卡馬克中帶電粒子的漂移運(yùn)動(dòng)與自舉電流 為了說明自舉電流這個(gè)非常重要概念，簡單介紹一點(diǎn)關(guān)于帶電粒子在不均勻磁場中漂移運(yùn)動(dòng)的知識。在均勻磁場中，帶電粒子沿磁力線可以自由運(yùn)動(dòng)，垂直于磁力線方向則做回旋運(yùn)動(dòng)，其Larmor 半徑為，帶電粒子的園運(yùn)動(dòng)等價(jià)于一個(gè)磁矩，其大小為，所產(chǎn)生的磁場的方向與原磁場相反。在不均勻磁場中，如果磁場的不均勻性滿足 ，那么，可以證明，磁矩是很好的寢漸不變量 (adiabatic invariance):。在不均勻磁場中，回旋運(yùn)動(dòng)的軌道不再是閉合的園，這表明，粒子存在漂移運(yùn)動(dòng)。通常采用回旋中心坐標(biāo)系：，由于回旋運(yùn)動(dòng)是快運(yùn)動(dòng)，漂移運(yùn)動(dòng)就是慢運(yùn)動(dòng)。不均勻磁場引起兩種漂移運(yùn)動(dòng)。一是磁場不均勻性產(chǎn)生的漂移，另一是磁力線彎曲引起的漂移。兩者相加，得到因此，粒子漂移中心的總運(yùn)動(dòng)速度是其中 是電漂移速度。 現(xiàn)在考慮最簡單的托卡馬克位形：園截面套環(huán)位形。磁場這時(shí)，主要的不均勻性來自環(huán)向磁場的的依賴關(guān)系。當(dāng)粒子沿磁力線由環(huán)的外側(cè)（大R處）向環(huán)的內(nèi)側(cè)方向（小R）運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁場逐漸加強(qiáng)，于是由磁矩不變性條件，粒子的平行速度逐漸變小。對一些粒子，有可能在運(yùn)動(dòng)到最內(nèi)側(cè)點(diǎn)（在極坐標(biāo)系中為）之前平