材力講稿ch61新

1、1版權(quán)所有版權(quán)所有, 2000,2005 (c) 華中科技大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)力學(xué)系羅俊Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , ChinaE-mail：luo_jun_Tel:2第六章第六章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念6.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力6.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介6.4 廣義虎克定理6.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析6.6 應(yīng)變能密度 畸變能密度6.7 強(qiáng)度理論 相當(dāng)應(yīng)力36.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念一、單元體（微元體）過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn) O, 取平行

2、于坐標(biāo)面的六個(gè)微面組成正六面體dx.dy.dz, 稱為該點(diǎn)的單元體。4過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn) O, 取平行于坐標(biāo)面的六個(gè)微面組成正六面體dx.dy.dz, 稱為該點(diǎn)的單元體。構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)處的應(yīng)力值一般不相等，對(duì)于同一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，各個(gè)方位角截面上的應(yīng)力一般也不相等。 受力構(gòu)件內(nèi)過(guò)一點(diǎn)處不同方位微面上應(yīng)力的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念56.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念二、主應(yīng)力 主平面對(duì)于一般的應(yīng)力單元體，如果有的微面上沒(méi)有切應(yīng)力，則該面稱為該點(diǎn)的應(yīng)力主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。如果三個(gè)主應(yīng)力都不為零，該點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)。如果有一個(gè)主應(yīng)力為零，則稱該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。如果只有一個(gè)主應(yīng)

3、力不為零，則稱該點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。思考：任意一點(diǎn)的三個(gè)主平面是否是唯一的？結(jié)論：結(jié)構(gòu)內(nèi)任何一點(diǎn)都可以找到三個(gè)互相垂直的主平面。這三個(gè)主平面上分別作用有三個(gè)主應(yīng)力，用 表示。并按照代數(shù)值大小排列，即 。32112366.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念三、基本變形的應(yīng)力狀態(tài)1、單向拉伸和壓縮2、扭轉(zhuǎn)3、純彎曲4、橫力彎曲平面應(yīng)力狀態(tài) 與Z軸相關(guān)的應(yīng)力為零76.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念四、為什么要進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析？1、材料力學(xué)的強(qiáng)度理論一般是基于主應(yīng)力的。對(duì)于處于一般受力狀態(tài)下的微體，要對(duì)單元體不同方位微面上的應(yīng)力變形進(jìn)行分析，以確定主應(yīng)力的方位和大小。2、可以加深對(duì)應(yīng)力是一個(gè)張量的理解，不同方位微面上的應(yīng)力值對(duì)應(yīng)

4、于應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換。3、應(yīng)力狀態(tài)分析是學(xué)習(xí)彈性體力學(xué)的基礎(chǔ)。86.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力xyx y yx xy單元體上所有與Z軸相關(guān)的應(yīng)力均為零。獨(dú)立的應(yīng)力值有：xyyxxy96.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力正應(yīng)力符號(hào)規(guī)定拉為正拉為正壓為負(fù)壓為負(fù)106.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力使微元順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正使微元順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正反之為負(fù)反之為負(fù)x y yx xy 由由 x x 軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到 xx軸軸 （斜截面外法線）為正（斜截面外法線）為正反之為負(fù)反之為負(fù)xyyx116.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力xyx y yx xy y yx xydAx0 yF0 xF126.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 y y

5、x xydAx0 xF 2 cosx cos sin xy cos sin yx 2 siny y 0 dA(cos )xydA(sin )sin )cos(dAx dA(sin ) cosdA yx13 y yx xydAx6.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力0 yF cos sinx 2cosxy cossiny 2sinyx xydA(cos ) 0 ydA(sin ) cos dA xdA(cos ) yxdA(sin ) sin146.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 2cos cossinxy cossinyx 2siny cossinx 2cosxy cossiny 2sinyx sin2cos

6、sin2 引引入入22cos1cos2 22cos1sin2 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx 156.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力2用用 斜截面截取斜截面截取2得到微元的另得到微元的另一截面的公式一截面的公式2sin2cos2290 xyyxyx2cos2sin290 xyyx166.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力最后，得到以下四個(gè)方程最后，得到以下四個(gè)方程 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx 2sin2cos2290 xyyxyx2cos2sin290 xyyx176.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力yx90任意兩個(gè)互相垂直的微面上的正應(yīng)力之和保持不變。

7、切應(yīng)力互等定理。90默認(rèn)切應(yīng)力沿順時(shí)針?lè)较颉?86.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力0222000 cossindd:xyyx令令yxxy22tg0由此得兩個(gè)駐點(diǎn)：由此得兩個(gè)駐點(diǎn)：2和兩個(gè)極值：和兩個(gè)極值：）、（0101極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力 00 ）2222xyyxyxm inm ax （196.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 在切應(yīng)力相對(duì)的方向上，在切應(yīng)力相對(duì)的方向上，且偏向于且偏向于 x 及及 y大的一側(cè)大的一側(cè)01 dd 令令xyyxtg 221222x yyxminmax ）（010445 , 成成即即極極值值剪剪應(yīng)應(yīng)力力面面與與主主面面 min2max1 ; yxy xyO主主

8、單元體單元體21 x206.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力為什么叫莫爾圓為什么叫莫爾圓 ( ？首先由首先由Otto （1835-1918）提出）提出 ( 又是一位工程師又是一位工程師)216.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxy0 y xy x xn x xy yxyO226.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力圓心？圓心？半徑？半徑？)0 ,2(yx222xyyxR第一種畫法第一種畫法（1）在）在 軸上作出軸上作出 A0( x,0), B0( y,0) （2） A0, B0的中點(diǎn)為圓心的中點(diǎn)為圓心C（3）過(guò)）過(guò)A0垂直向上取垂直向上取 x

9、y 得得 A， CA為半徑為半徑0 CA0B0AByx（4）以）以C 為圓心、為圓心、CA為半徑為半徑 畫圓畫圓236.2 平面應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 x xy yxyOn A( x , xy)O CB( y , yx)x2 nD( , 24 x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , 2 0 025223122xyyxyxR OC ）（半徑半徑22minmax2xyyxR）（半徑A( x , xy)maxCO B( y , yx)x2 min 2 0 0 1 2 32630080 , ,yx例例 單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體單元體上應(yīng)力如圖，

10、求出主應(yīng)力，畫出主單元體3080單位：?jiǎn)挝唬篗Pa80301 3 OA (80, 3080, 30BCx y D1、取、取 的中點(diǎn)的中點(diǎn)C為圓心為圓心yx, 以以 AC 為半徑畫莫爾圓為半徑畫莫爾圓2、算出心標(biāo)、算出心標(biāo) 0C = -40，半徑，半徑3、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值5022DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031 MPaR -minmax50 275、畫出主單元體、畫出主單元體 （1）A點(diǎn)對(duì)應(yīng)于右垂面點(diǎn)對(duì)應(yīng)于右垂面 （2）右垂面）右垂面順順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)針轉(zhuǎn)1 3 OA (80, 3080, 30BCx y Do 2577128636

11、18086360. .DCADtg arcACD 3080單位：?jiǎn)挝唬篗Pa802 1 o 得主單元體的最大得主單元體的最大 拉應(yīng)力所在的面拉應(yīng)力所在的面 （3）垂直做主單元體的）垂直做主單元體的 另一個(gè)面另一個(gè)面o 28)325,45(B)325,95(A 1 2 04532532595150 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa02 29020120321 ROCROC6020 FCAFtg arc 4532532595150 10 2AB5022DCADACR 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa02 EDF300 30qzzxyIbQSzxIMy 梁發(fā)生橫力

12、彎曲，梁發(fā)生橫力彎曲，M與與Q 0，試確定截面上，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置位置單元體上：?jiǎn)卧w上：223122xyxx）（31 5 5 3 31 1 3 3 3 3452 2 3 30 3 34 4 0 A1A2D2D1COA2 D2D1CA1O 20D2 A2CD1O20= 90 D2A1O20CD1A2 A2D2D1CA1O3233xy11截截面面22截截面面33截截面面44截截面面ii截截面面nn截截面面bacdq 1 3 3 1346.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介123xyz 2 1 3356.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介231max 1xyz圖圖a 2 3圖圖b

13、max12336501xyz504030ABC (M Pa) （M Pa ） 1 2 3 max223122yzzz）（2850583121 43max376.3 廣義虎克定理ExxxyE xzE Gxyxy)x,y,zi,j ( ij 0 )x,y,zi ( i0 0zxyz xyz xxyz x y386.3 廣義虎克定理zyxzyxxEEEE1 xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1 xyz z y xy x396.3 廣義虎克定理0zxyzz13221E12331E32111EyxxE21xyxyGxyyE21 1 3 24012EG6.3 廣義虎克定理41

14、dz dy dxV )(dz dy dx )(dz)(dy)(dxV32132111111 3211VVV體積應(yīng)變：體積應(yīng)變：)(21 )(21321zyxEE 1 3 2dxdzdy6.3 廣義虎克定理4203 自自由由面面上上解解 :MPa.).(. E34410160302403011021016292121 故為平面應(yīng)力狀態(tài)故為平面應(yīng)力狀態(tài) MPa.).(.E32010240301603011021016291222 12436691322103341034432010210301.).(.E MPa. MPa.3200344321 44例例 為測(cè)量薄壁容器所承受的內(nèi)壓力，用電阻應(yīng)變片

15、為測(cè)量薄壁容器所承受的內(nèi)壓力，用電阻應(yīng)變片 測(cè)得容器表面環(huán)向應(yīng)變測(cè)得容器表面環(huán)向應(yīng)變 t = =350l06；容器平均直徑；容器平均直徑 D = 500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求：求： 1.1.橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式 2.2.內(nèi)壓力內(nèi)壓力pppx mlpODxABy451 1、軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)力( L( Longitudinal stress) )解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式容器截開后受力如圖所示容器截開后受力如圖所示, ,據(jù)平衡方程據(jù)平衡方程42DpDm 4pDmp m mxD4

16、6縱截面將容器截開后受力縱截面將容器截開后受力2 2、環(huán)向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力( (Hoop stress) )Dlplt22pDt3 3、內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）、內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）241EpDEmttMPa.).(. )(DEp t363250250103500101021042469 t m外表面外表面yp t tDq qdq q)d2(qDlpzO476.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析一般應(yīng)變狀態(tài)簡(jiǎn)介486.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析一般應(yīng)變符號(hào)規(guī)定:線應(yīng)變, 使線段伸長(zhǎng)的線應(yīng)變?yōu)檎?。切?yīng)變，使直角變小的切應(yīng)變?yōu)檎?。反之為?fù)。在應(yīng)變分析時(shí)，不區(qū)分應(yīng)變正負(fù)號(hào)。應(yīng)變符號(hào)由剪切胡克定理得

17、到。（保證符號(hào)一致）和應(yīng)力類似，一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)變不同，同一點(diǎn)各個(gè)方向上的線應(yīng)變大小也不一樣，不用面內(nèi)的切應(yīng)變也不同。通過(guò)某個(gè)方向上的應(yīng)變來(lái)推知其它方向上的應(yīng)變就叫應(yīng)變分析。496.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析平面應(yīng)變狀態(tài)如果和某一方向比如說(shuō)Z方向相關(guān)的應(yīng)變都為零，則該點(diǎn)處于平面應(yīng)變狀態(tài)。平面應(yīng)變分析是實(shí)驗(yàn)電測(cè)構(gòu)件表面應(yīng)變的基礎(chǔ)。構(gòu)件表面一般為自由面，因此各點(diǎn)與表面外法線相關(guān)的應(yīng)變?yōu)榱?。因此處于平面?yīng)變狀態(tài)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以測(cè)定構(gòu)件表面?zhèn)€點(diǎn)的應(yīng)變進(jìn)而利用胡克定理推出該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，以及主應(yīng)力大小和方位。506.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析516.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析526.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析 2sin2cos22xyyxyx 2sin2cos22xyyxyx90E12sin22cos22xyyxyxyxxE21xyxyGxyyE21平面應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系又有，如果取，沿 方向有，將上面各式代入有，此式與應(yīng)力變換公式類似。所以應(yīng)變分析可以采用應(yīng)力分析的方法。比如說(shuō)主應(yīng)變分析，應(yīng)變圓等。536.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析2xy2221222xyyxyxyxxy02tan21211E12